高中数学排列组合问题方法总结

高中数学排列组合方法总结

1. 分组（堆）问题

分组（堆）问题的六个模型：①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分；(④有序不等分；

⑤有序等分；⑥有序局部等分.)

处理问题的原则：

①若干个不同的元素“等分”为ｍ个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!

②若干个不同的元素局部“等分”有ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!

③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积.

④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列.

1. 分组（堆）问题

例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同的发包方式？

解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤：

⑴将四项工程分为三“堆”，有种分法；

⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队，

有3!＝6种给法.

∴共有6×6＝36种不同的发包方式.

2.插空法：

解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决.

♀♀♀♀♀♀♀

↑↑↑↑↑↑例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？

解：分两步进行：

第1步，把除甲乙外的一般人排列：

第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)：

几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插孔.

3.捆绑法

相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列.

例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?

解：（1）分两步进行：

♀♀♀♀♀♀

甲乙

第一步，把甲乙排列(捆绑)：

第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：

几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列.

4.消序法(留空法)

几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了.

例4. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？

解法1：将5个人依次站成一排，有种站法，

然后再消去甲乙之间的顺序数

∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为

211

421

2

26

C C C

A =

5

5

A

有=120种排法

2

6

A

有=30种插入法120303600

∴⨯

共有＝种排法

2

2

A

有＝2种捆法

2120240

∴⨯

共有＝种排法

5

5

A

有＝120种排法

5

5

A

2

2

A

5

3

5

5

2

2

543

A

A

A

=⨯⨯=

解法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好，有 种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法

∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为

4.消序法(留空法)

变式：如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A 到B 只能上行或右行共有多少条不同的路线?

B

A

B

A

解: 如图所示

将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格:

也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,①,②,③,④顺序一定的排列，有

种排法. 其中必有四个↑和七个→组成!

所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,

所以从A 到B 共有

条不同的路径.

5.剪截法（隔板法）：

n 个 相同小球放入m(m ≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n 个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m 段.

例5. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种.

解： 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.

将16个小球串成一串，截为4段有

种截断法，对应放到4个盒子里. 3

5

A 33

55

1A A ⨯=514

(51)(81)11C C --+-=3

15455C =

因此，不同的分配方案共有455种 .

5.剪截法：

n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.

变式：某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种.

解：问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个，再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.

将10个小球串成一串，截为4段有种截断法，对应放到4个盒子里.

因此，不同的分配方案共有84种 .

6.错位法：

编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.

特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.

例6. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有____种.

解：选取编号相同的两组球和盒子的方法有种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.

故所求方法有15×9＝135种.

7.剔除法：

从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.

排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.

例7. 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条.

解：所有这样的直线共有条，

其中不过原点的直线有条，

∴所得的经过坐标原点的直线有210-180＝30条.

小结:

①分堆问题；

②解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法).

3 984

C=

2 615

C=

3

7

210

A=

12

66

180

A A

⨯=

1.将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则不同的投法的种数是（）

A.43

B.34

C.34A

D.34C

B