数学竞赛专题之数列
高中数学竞赛讲义数列
高中数学竞赛讲义（五）──数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…，a n或a1, a2, a3,…，a n…。
其中a1叫做数列的首项，a n是关于n的具体表达式，称为数列的通项。
定理1 若S n表示{a n}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，a n=S n-S n-1.定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有a n+1-a n=d（常数），则{a n}称为等差数列，d叫做公差。
若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：S n=；3）a n-a m=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，则a n+a m=a p+a q；5）对任意正整数p, q，恒有a p-a q=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{a n}是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn.定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有，则{a n}称为等比数列，q叫做公比。
定理3 等比数列的性质：1）a n=a1q n-1；2）前n项和S n，当q1时，S n=；当q=1时，S n=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则a m a n=a p a q。
定义4 极限，给定数列{a n}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|a n-A|<，则称A为n→+∞时数列{a n}的极限，记作定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和S n的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。
高中数学竞赛专题讲座---递归数列
递归数列讲座知识与方法递归（推）数列数列的表示方法大致有两类：一是通项公式；另一是递推公式．数列{}n a 的相邻几项的关系式简称为递推式．数学竞赛中遇到有关数列的问题不仅是等差、等比数列，许多是递归数列的问题．在解递归数列的问题时，有时需要根据递推关系求数列的通项，常常用到叠加法：()()()123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a ；适当时需要进行代数换元转化为常见数列的通项；有时需要用到从特殊到一般的、归纳－猜想证明方法（常常用到数学归纳法）．但也有一些题目并不要把数列的通项公式求出，而往往可根据题设所给的递推关系，得到新的、更明显的递推关系．而这时就需要综合运用其他数学知识．范例选讲1. 已知11=a ，52=a ，121211++=--+n n n n n a a a a a ，求数列{}n a 的通项公式．解：定义11=F ，02=F ， ,4,3,21=+=--n F F F n n n 由所给关系式得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-+21221111111n n n a a a ,由归纳法可得 ,2,1,111111122212=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=++n a a a n nF F n从而1112251322526211+++-=⎪⎭⎫⎝⎛=+n n nn n F F F F F na ,因此(),2,1,15132212112=-=--+++n a n n n F F F n其中 ,2,1,2512515122=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=--n F n n n 注：本题是今年冬令营的一个测试题．在解题时层层推进，比较容易找到思路．2. 证明数列knk k n n Ca 3012122⋅=∑=++都不能被5整除．解：10=a ，111=a ，又()()12232312322221222+-+=⋅=k k k．所以()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=++1212122122241n n n a ()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++=nn249122249122241．18211=+=x x c ，49212-=-=x x c ,所以()5mod 349182121----+≡-=n n n n n a a a a a ．,,10a a 除以5的余数为 ,1,1,3,2,2,1,4,4,2,3,3,4,1,1形成周期数列．()5mod 12n n a a ≡+，又前12项中没有被5整除的．∴命题得证．注：这是一个逆向运用二阶递推的例子．已知数列的通项公式无法证明所要求证的．反过来通过将数列的二阶递推关系找到，结合数列的周期性加以证明．3. 数列{}n a 满足10=a ，51=a ，() ,3,229322121=--=---na a a a n n n n ，证明n a 都是整数．解：由题意知93221212--=---n n n n a a a a ，9322211--=+-n n n n a a a a ．两式相减， 有1212211323222---+-+--=-n n n n n n n n a a a a a a a a ．整理，得() ,3,23223222111=-+-+=--+-n a a a a a a n n n n n n ，将1-n 个式子联乘得11120223,223n n n a a a a a a +-+-=+-又132=a ．所以322511-+=-+n n n a a a （＊），可得()32213211--=---+n n n n a a a a ，又03201=--a a ，所以0321=---n n a a （１）， 由此可推知Z a n ∈．又由（＊）式推知()3223211+-=+--+n n n n a a a a ，又123201=+-a a 所以n n n n a a 262123211⋅=⋅=+---．与（１）联立可解得322-=+n n a ．注：本题已知数列的一个递推关系是分式形式的，证明＂n a 都是整数＂有一定的难度．因此通过整理变形得到数列的另一个递推公式：0321=---n n a a ．这样证明起来变得容易了．另外本题也可通过先求数列的前几项，再根据结果猜测数列满足0321=---n n a a ，再用数学归纳法加以证明．4. 求证：由31=a ，52=a 及不等式()N n n na a a n a a n n n n n ∈≥+<<-+-+-,21111可唯一确定正整数列{}n a ．解：（1）先证明3+=n n F a 是满足条件的．（{}n F 为斐波那契数列）413F a ==，413F a ==均成立． ∵12213=-F F F .当3≥k 时,()()()21221112111-------+--=+-+=-k k k k k k k k k k k k F F F F F F F F F F F F ,因为()()()()()222132212211111-----+-=--==--=-n n n n n n n n F FF F F F F F F ．若对所有N n ∈，3+=n n F a ． 则验证2≥=k n 时，()123242111+++++--=-=-k k k k kk k F F F a a a ,所以k a a a k k k k <≤-≤-<-+-11211，na a a n a a k k k k k +<<-+-+-1111．存在数列{}n a ．（使{}n a 中每个3+=i i F a ）（２）下证：{}n a 唯一确定．用数学归纳法证明3+=n n F a 且22+≥n a n （＊）．3=n 时，92232371223122=+<<-=<a a a a a ．事实上由已知不等式可推得12112-+-+<<-k k k k k a k a a a k a ，因为N a ∈3，所以83=a ，同时2323+⨯≥a ．所以（＊）成立．4=n 时，1456733561122234223<=+<<-=<a a a a a ，又N a ∈4，所以134=a ．另外，2424+⨯≥a ，所以（＊）成立．设1-=k n 及()4≥=k k n 时（＊）成立．则1+=k n 时， 因为()12122211212=+-≤=--+---k ka k a k a a k a k k k k k ，又⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---1212,k k k k a k a a k a 中至多只有一个整数． N a k ∈+1，且12112-+-+<<-k k k k k a k a a a k a ,所以1+k a 确定为4+k F ．且()()21222212341++≥++≥+=+==+++++k k k a a F F F a k k k k k k ．所以1+=k n 时，（＊）成立． 因此{}n a 唯一确定．证毕．综合（１）（２），可发现⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==+++33325125151n n n n F a ． 注：本题用同一法证明．在证明过程中用到了数学归纳法． 5. 数列{}n a 定义如下：01=a ，12=a ，()()⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-+=--2111212121n a n n na a n n n n ()3≥n ．试求()11222211132a nC a C n a C a C a f n n n n n n n n n n ----+-++++= 的最简表达式．解：由题意知()()()2112121--+-+=+--n a n n na a n n n n ，所以()()()()!21!2!1!2121n n n a n a n a n n n n --+-+-=+--,令!n a b n n =，01=b ，212=b ．则()()!212121n n b b b n n n n --++=+--,所以()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=-------!111!21221211n b b n b b n n n nn n ，令()!111n b b c nn n n ---=-，则121--=n n c c ，又02=c ，所以()!111n b b nn n -+=-.另一方面，()()()∑∑==--⋅-+=-+=nk k n k k kn nn a k k n n k n a Ck n f 11!!!11．令()∑=--+==nk k n n b k n kn n f g 1!1!，()()k nk k n k n n b k n kn b k n kn g g ⋅--+-⋅-+-+=-∑∑=+=+1111!1!12()()()()1121212!2!12!12-+=-=+=-⋅--+=⋅+--+-⋅-+-+=∑∑∑k kn k k nk k n k b bk n kn b k n kn b k n kn()()()()()()∑∑∑+==+=+--+--=-⋅+--+=12212!!11!!1!1!12n k knk k kn k k k n k k n k k n kn ()()()()()()[]11!111!11!111!11212+-+---=-++-=∑∑+=+=n n n n C n Cn n k kkn nk kkn()()!11!11+--=n n又342323=+=b b g ，所以()()1!2!11!1!31!21!3+-⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++=n n n n g n f n ． 注：这是2000年冬令营的测试题．由已知条件比较容易根据题设的条件想到将数列{}n a 的递推关系除以!n ，从而得到{}n b 的递推关系：()!111n b b nn n -+=-．同时也应将n f 的两边同除以!n ，先求出n g 与1-n g 的关系．6. 设数列{}n a 的通项公式为()()N n a nnn ∈--=312；数列{}n b 的定义如下：20=b ，251=b ，()()N n b b b b n n n ∈--=-+12112．求证：对一切自然数n ，都有[]na nb 2=．证：我们证明更强的命题：N n b nna a n ∈+=-,22,易知数列{}n a 的特征方程是022=--x x ，所以{}n a 的递推公式是N n a a a n n n ∈+=++,212，故N a n ∈．下面用数学归纳法证明加强的命题．(1) 当1=n 时，11=a ，112225-+==b ，命题成立．(2) 假设当k n ≤时，命题成立，都有kkaa kb -+=22．当1+=k n 时，()()()[]12111211222222b b b b b k k kka a a a k k k --++=--=-----+()()1222222bkkkka a a a -++=--122)2(211112222b k k k k k k k k a a a a a a a a -+++=----+--+-+12211112222b k k k k k k a a a a a a -+++=--+++---,而()()[]kkkkk k a a 1222123121-⋅+⋅---=--()[]()1111331++-=-⋅=k k ．所以121=--k k a a ，112225222211b k k k k a a a a ==+=+-+----．所以11221++-++=k k a a k b ， 当1+=k n 时命题也成立．由（１）（２）可知，加强命题成立．同时，又因为N a n ∈,所以[]na nb 2=，原命题得证．注：本题的关键在于加强命题N n b nna a n ∈+=-,22．然后用数学归纳法加以证明．在加强命题之前可通过计算数列的前几项找到规律．7. 设()m a a a A ,,,21 =是由m 个数{}m i a i ,,2,1,1,0 =∈组成的数组．定义运算S 如下：(){}m m b b b b b b A S 2124321,,,,,,-= ，其中当1=i a 时，012=-i b ，12=i b ；当0=i a 时，112=-i b ，02=i b ，m i ,,2,1 =．用()A Sn表示()()() A S S S （n 个S ）．取()1=A ．问在()()n a a aA S n221,,, =有多少对由连续两项组成的数对()1,+i i a a ，满足01==+i i a a ？解：()1=A 时，()()na a a A Sn221,,, =中满足01==+i ia a 的数对()1,+i i a a 的个数记为n f ，满足0=i a ，11=+i a 的数对()1,+i i a a 的个数记为n g ．由题意知，()A Sn中数对()0,0必由()A S n 1-中的数对()1,0经运算S而得到，而()A S n 1-中的数对()1,0必由()A S n 2-中的1或数对()0,0经运算S 而得到．由于()A Sn 2-是22-n 数组，其中有一半的项（即32-n ）为1，所以可得如下递归关系：2312---+==n n n nf g f ． ∴当n 为奇数时， =++=+=-----45323222n n n n n n f f f 3122222110253-=+++++=---n n n f当n 为偶数时，31222212153+=++++=---n n n n f f ．∴()()1n S 中，连续两项是0的数对有()[]nn 12311-+-个．注：本题是个应用题，关键在于通过题意找到递归关系．训练题1. 设{}n a 中的每一项都是正整数，并有21=a ，72=a ，()32121221≥≤-≤---n a a a n n n ．证明：自第二项开始，数列的各项都是奇数．2. 已知00=a ，11=a ，()1221>+=--n a a a n n n ．证明：n a kn k22⇒．3. 已知数列{}n a 满足：11=a ，22=a ，且212212-++=n n n a a a ，() ,2,121222==++n a a a n n n ，试求数列的通项公式．4. 设d 为正整数，求()d x x x n mod 021≡++ ，()n i dx i ≤≤<<10的解()n x x x ,,,21 的个数．。
竞赛中的数列问题
竞赛中的数列问题摘要：一、数列问题的背景与重要性1.数列问题的起源与发展2.数列问题在竞赛中的地位与作用二、数列问题的基本类型1.等差数列2.等比数列3.斐波那契数列4.周期数列三、解决数列问题的方法与技巧1.基本公式与性质2.数列的求和与求积3.数列的性质与应用4.数列的递推关系式四、数列问题的实际应用1.金融领域的数列问题2.生物领域的数列问题3.物理领域的数列问题五、总结与展望1.数列问题的挑战与机遇2.数列问题的未来发展趋势正文：数列问题是数学竞赛中经常出现的一种题型，它涉及到许多重要的数学思想和方法。
对于参加竞赛的学生来说，掌握数列问题的解决方法与技巧是提高竞赛成绩的关键。
本文将从数列问题的背景与重要性、基本类型、解决方法与技巧、实际应用等方面进行阐述。
一、数列问题的背景与重要性数列问题起源于古希腊数学家，经过几千年的发展，已经成为数学领域的一个重要分支。
在各类数学竞赛中，数列问题以其广泛的应用和丰富的内涵受到命题者的青睐。
数列问题能够锻炼学生的思维能力、分析问题和解决问题的能力，对于培养学生的数学素养具有重要意义。
二、数列问题的基本类型数列问题可以分为多种类型，其中最常见的是等差数列、等比数列、斐波那契数列和周期数列。
等差数列和等比数列是数列问题的基础，它们具有很多重要的性质和公式。
斐波那契数列和周期数列则具有更强的规律性和趣味性，它们在数学竞赛中经常出现。
三、解决数列问题的方法与技巧解决数列问题需要掌握一些基本的方法和技巧。
首先，要熟悉数列的基本公式和性质，这是解决数列问题的基础。
其次，要学会运用数列的求和与求积方法，这是解决数列问题的关键。
此外，还要了解数列的性质与应用，以及数列的递推关系式，这些方法和技巧将为解决数列问题提供强有力的支持。
四、数列问题的实际应用数列问题在实际生活中有着广泛的应用。
在金融领域，数列问题可以帮助投资者预测股票价格和汇率等金融数据；在生物领域，数列问题可以帮助科学家研究生物的生长和发育规律；在物理领域，数列问题可以帮助研究者分析声波、电磁波等物理现象。
《高中数学竞赛》数列
《高中数学竞赛》数列2竞赛辅导数列(等差数列与等比数列)数列是高中数学中的一个重要课题，也是数学竞赛中经常出现的 问题。
数列最基本的是等差数列与等比数列。
所谓数列，就是按一定次序排列的一列数。
如果数列{a n }的第n 项a n 与项数(下标)n 之间的函数关系可以用一个公式a n =f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。
从函数角度看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，…n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
为了解数列竞赛题，首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义、性质有关公式，把握它们之间的(同构)关系。
一、 等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d 表示。
等差数列{a n }的通项公式为：)1()1(1d n a a n -+=前n 项和公式为：)2(2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= 从(1)式可以看出，n a 是n 的一次数函(0≠d )或常数函数(0=d )，(n a n ,)排在一条直线上，由(2)式知，n S 是n 的二次函数(0≠d )或一次函数(0,01≠=a d )，且常数项为0。
在等差数列{n a }中，等差中项：221+++=n n n a a a 且任意两项n m a a ,的关系为：d m n a a m n )(-+= 它可以看作等差数列广义的通项公式。
3从等差数列的定义、通项公式，前n 项和公式还可推出：{}n k a a a a a a a a k k n n n 3,2,1,123121∈+==+=+=++-- 若q p n m a a a a q p n m N q p n m +=++=+∈:,,,,,*则有且等等或等差数列,,,,1)12(,)12()1(232121 k n nk k k k k k n n n m S S S S S S S a n S a n S -+----++=-=二、 等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
高中数学竞赛辅导讲义 第五章 数列【讲义】
第五章 数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。
其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。
定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。
若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式：S n =d n n na a a n n 2)1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn .定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有q a a nn =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。
定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =qq a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。
竞赛中的数列问题
竞赛中的数列问题【实用版】目录1.竞赛中的数列问题概述2.数列问题的分类3.数列问题的解题技巧4.实例解析5.总结与展望正文【1.竞赛中的数列问题概述】在各类数学竞赛中，数列问题是一个重要的题型，它涉及的知识点广泛，题型多样，既能考查学生的基本运算能力，也能考查学生的思维能力和创新能力。
数列问题主要围绕等差数列、等比数列及其性质、求和公式、通项公式等知识点展开。
【2.数列问题的分类】数列问题主要分为以下几类：（1）等差数列问题：主要涉及等差数列的性质、求和公式、通项公式等。
（2）等比数列问题：主要涉及等比数列的性质、求和公式、通项公式等。
（3）混合数列问题：涉及等差数列与等比数列的结合，需要运用分类讨论的思想进行求解。
（4）数列的极限问题：涉及数列的收敛性、发散性、极限等概念。
【3.数列问题的解题技巧】（1）熟练掌握等差数列、等比数列的性质和公式，这是解决数列问题的基本功。
（2）善于运用分类讨论的思想，对于混合数列问题，要能够根据题目条件进行分类讨论，寻找解题思路。
（3）对于数列的极限问题，要能够运用数列的收敛性、发散性、极限等概念进行分析。
【4.实例解析】例题：已知数列{an}满足 an=2an-1+3an-2（n≥2），求数列{an}的前n 项和。
解：根据题目条件，我们可以判断这是一个等差数列问题。
首先，根据 an 的表达式，我们可以得到 an-2 和 an-1 的关系：an-2=2an-3+3an-4，进一步可以得到 an-3 和 an-2 的关系：an-3=2an-4+3an-5，以此类推，我们可以得到：an-k=2an-k-1+3an-k-2（k≥2）将上述各式相加，可以得到：an=2(an-1+an-2+...+an-k)+3(an-1+an-2+...+an-k-1)根据等差数列的求和公式，我们可以得到：an=2(n-k)an-k/2+3(n-k-1)an-k-1/2化简得：an=(4n-5)an-k-1/2+(2n-3)an-k/2由此，我们可以求得数列{an}的前 n 项和。
高中数学竞赛标准讲义：第5章：数列
2010高中数学竞赛标准讲义：第五章：数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{an}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…，an或a1, a2, a3,…，an…。
其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。
定理1 若Sn表示{an}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，an=Sn-Sn-1.定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则{an}称为等差数列，d叫做公差。
若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn=；3）an-am=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，则an+am=ap+aq；5）对任意正整数p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有，则{an}称为等比数列，q叫做公比。
定理3 等比数列的性质：1）an=a1qn-1；2）前n项和Sn，当q1时，Sn=；当q=1时，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则aman=apaq。
定义4 极限，给定数列{an}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|an-A|<，则称A为n→+∞时数列{an}的极限，记作定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{an}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和Sn的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。
定理3 第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。
四年级下册数学讲义-竞赛专题：第二讲-数列与数表(含答案解析)人教版
数列与数表知识概述1、数列：主要包括⑴递增数列(等差数列，等比数列)，等差数列为重点考察对象。
⑵周期数列；例如：1，2，4，7，1，2，4，7，1，2，4，7，…⑶复合数列；例如：1，3，2，6，3，9，4，12，5，15…⑷特殊数列；例如：斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21…2、等差数列通用公式：通项公式：第n项=首项 +（项数– 1）×公差项数公式：项数=（末项–首项）÷公差 + 1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷23、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。
4、数表规律给出几个具体的、特殊的图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论。
具体方法和步骤是：⑴通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；⑵猜想符合规律的一般性结论；⑶验证或证明结论是否正确。
在杯赛考试中主要将图形规律与等差数列结合到一起来考察。
（1）在数列3、6、9……，201中共有多少数？ （2）在数列3、6、9……，201和是多少？ （3）如果继续写下去，第201个数是多少？ 【解析】（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式： 项数=（末项-首项）÷公差+1,便可求出。
项数=（201-3）÷3+1=67（2）求和公式=（首项+末项）×项数÷2 =（3+201）×67÷2 = 102×67 =6834（3）根据公式：末项=首项+公差⨯（项数-1）末项=3+3⨯（201-1）=603， 第201个数是603添在图中的三个正方形内的数具有相同的规律，请你根据这个规律， 确定出A= B = C= ；【解析】 第一组 （1+2）×3=9 第二组 （2+3）×4=20 第三组 （3+4）×5=35 由分析得：A=35，B=4，C=5.经过观察与归纳找出数与图的规律。
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高中数学竞赛专题之数列 一、数列的性质 等差数列与等比数列是中学阶段的两种重要数列，也是各年高考、竞赛的重点，现将它们的主要性质及内容对照讨论如下：
性质1：若,,,,21naaa是等差（等比）数列，那么,,,,kjijiiaaa仍是等差（等比）数列。
性质2：若}{na为等差数列，且kllkllji11，那么kljklillaa11（脚标和相同则对应的
项的和相同）；若}{na为等比数列，且kllkllji11，那么lljkliklaa11（脚标和相同则对应的项的积相同）。 性质3：若}{na为等差数列，记,,,,1)1(1211kikmimkikikiiaSaSaS，那么
}{mS仍为等差数列，}{na为等比数列，记,,,,)1(11211kmiklmkikliklaPaPaP，
那么}{mP仍为等比数列。
性质4：若}{na为等比数列，公比为q，且|q|〈1，则qaSnn1lim1。
例1、若}{na、}{nb为等差数列，其前n项和分别为nnTS,，若132nnTSnn， 则nnnbalim（ ）A.1 B. 36 C. 32 D.94 例2、等差数列}{na的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项的和为（ ） A.130 B. 170 C. 210 D.260
例3、}{na、}{nb为等差数列，其前n项和分别为nnTS,，若331313nnTSnn （1）求2828ab的值， （2）求使nnab为整数的所有正整数n。 例4、在等差数列}{na中，若010a，则有等式 ),19(,192121Nnnaaaaaann
成立，类比上述性质，相应地：
在等比数列}{nb中，若19b，则有等式 成立。
例5、一个正数，其小数部分、整数部分和其本身成等比数列，则该数为 。 例6、设1,,2,110|.0{(21ninnaniaaaanM，或只取位纯小数十进制）}，nT
是nM的元素个数，nS是所有元素的和，则nnnTSlim 。 例7、设A={1,2,…n},nS是A的所有非空真子集元素的和，nB表示A的子集个数，求
nnnBnS2lim的值。
例8、设数列}{na的前n项和为),2,1(,12naSnn，数列}{nb满足),2,1(,,311kbabbkkk，求数列}{nb的前n项和。
方法：首先找出}{na的通项式，在找出}{nb的通项式
例9、设}{na为等差数列，}{nb为等比数列，且)(,,,21233222211aaababab，又12)(lim21nnbbb，试求}{na的通项公式。
例10、设nS是等差数列}{na的前n项和，且)(),1(23NnaSnn，数列}{nb的通项式为34nbn， （1）求数列}{na的通项公式， （2）若},,,{},,,{2121nnbbbaaad，则称d为数列}{na与}{nb的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列}{nd，证明：}{nd的通项公式为)(,312Nndnn。 例11、)4(2nn个正数排成n行n列： ,11a,12a,13ana
1
,21a,22a23a
na2
,1na,2na,3nanna 其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比相等，已知
163,81,1434224aaa，求11a+22a+33a+nna的值。
作业： 1、将正奇数集合{1，3，5，…}由小到大按n组有(2n-1)个奇数进行分组：{1}、{3，5，7}、{9，11，13，15，17}….，则1991位于 组中。
2、在等差数列}{na中，公差0d，412aaa与是的等比中项，已知数列,,,,,,2131knkkaaaaa
成等比数列，求数列}{nk的通项公式。
3、设正数数列}{na满足32,122nnnnnaabaS，（1）求数列}{na的通项公式，（2）设)(22222mnbanmbaMnmnm，试求M的最小值。
二、数学归纳法 数学归纳法在一定程度上考察了以下能力：（1）从整体上直接领悟数学对象本质的能力； （2）从数学问题、数式结构、数式关系中洞察对象本质的能力；（3）从解题思路和问题结果中领悟数学本质的能力。
第一数学归纳法：设)(nT是一个关于自然数n的命题，满足以下条件：（1）)1(T是成立的，
（2）假设)(kT成立能推出)1(kT成立，则命题对一切自然数n都成立。
第二数学归纳法：设)(nT是一个关于自然数n的命题，满足以下条件：（1）)1(T是成立的，（2）假设)1(T，)2(T，…)(kT成立能推出)1(kT成立，则命题对一切自然数n都成立。 解题思维过程：尝试——观察——归纳、猜想——证明，即从特殊关系中概括一般规律，建立猜想，给出严格证明。 解题策略：从数学问题、数式结构、数式关系、解题思路和问题结果等特征去思考问题。 例1、已知对任意自然数n，有2113)(0njjnjjnaaa且，求证nan （1989年高中）
例2、用nS表示n2,3,2,1的各数的最大奇数因子之和，求证：)24(31nnS 例3、设}{na是正数数列且满足)1(21nnnaaS，求数列}{na的通项公式。 方法：尝试——观察——归纳、猜想——证明
例4、已知数列}{nx满足：11x，当1n时， 有))(1(32(413221123121nnnnnnxxxxxxnxnxxxxxxx），试求数列}{nx的通项公式。方法：尝试——观察——归纳、猜想——证明
例5、一个数列}{nV定义如下：)1(,)2(,25,2121110nVVVVVVnnn，证明：对于自然数n，有])1(2[312][nnnV。这里][nV表示不超过nV的最大整数。（IMO18-6） 方法：变化形式
例6、设数列}{na满足：aaaaann1,111，这里10a，求证：对所有的自然数n，有1na。（1977年加拿大数学奥林匹克） 例7、已知naaa,,21是n个正数且满足121naaa， 求证：nnaaa322221）（）（）（
例8、已知 a, b是正实数，且满足111ba，试证：对每一个自然数n，有 1222)(nnnnnbaba 三、递推数列，热点问题是求递推数列的通项公式 1、转化：最常见的转化为等差（等比）数列的通式和求和
类型： （1）baaann1，化归成)(1nnaaa型；
（2）nnnbdcaa1，化归成)(11nnnnbacba型； （3）rbdcaannn1，化归成)(11ubacubannnn型； （4）dcnpaann1，化归成])1([1unapunann型；
（5）cdacaannn11，化归成cdaann111型； （6）21nnnqapaa型 例1、、已知数列}{nx满足：11x， 2111)1(4,nnnnnnxxxxxx且，试求数列}{nx的通项公式。方法：开方转化成等差数列的形式
例2、设数列}{na满足：43,111nnaaa，求}{na的通项公式。 例3、设数列}{na满足：),2,1(,1,11221naaaaannn，求2004a。 例4、设数列}{na满足：naanann11)1(,1，求2005a。 2、变换（代换）：三角代换、代数代换 例1、已知11011,2nnnaaaa，求na。方法：观察特点，联想到正切公式
例2、数列}{na满足：)24141(161,111nnnaaaa，求na 方法：含根式，通过代换转化为不含根式的递推式
例3、设naaa,,21满足关系式3,18)6)(301aaann且（，则niia01 方法：倒数关系不易求解，通过代换转化为熟悉的形式 例4、给定正整数n和正数M，对于满足条件：Maan2121的所有等差数列naaa,,21，
试求1221nnnaaaS的最大值。方法：根据特点，三角代换
3、特征方程及特征根求解递推式 对于二阶线性递推数列数列}{nx满足：012nnnbxaxx..（1）其中ba,为常数，若
有等比数列}{nx满足等式（1），则x必满足相应的方程：0)(2baxxxf…….（2），称此方程（2）为（1）的特征方程。 数列}{nx的通项公式与特征方程的根有如下关系：
当042ba时，方程（2）有两个不相同的实数根21,qq，则数列}{1nq、}{2nq均是（1）的解，并且对任意常数21,cc有}{2211nnqcqc也是（1）的解（通解），21,cc由初值确定。
当042ba时，方程（2）有两个相同的实数根21qq，则数列}{1nq、}{1nnq均是（1）的解，并且对任意常数21,cc有}{1211nnnqcqc也是（1）的解（通解），21,cc由初值确定。
当042ba时，方程（2）有两个共轭复根21,qq，则数列}{1nq、}{2nq均是（1）的解，并且对任意常数21,cc有}{2211nnqcqc也是（1）的解（通解），21,cc由初值确定。
例1、 求斐波那锲数列}{nx的通项公式：nnnxxxxx1210,1。 方法：利用特征方程求解
注：设数列}{nx是k阶线性递推数列，其特征方程为0)(xf，设其前n项的和nS，则}{nS是k+1阶线性递推数列，其特征方程为0)()1(xfx 例2、已知数列}{nx满足：)3(,32,7,12121nxxxxxnnn，求此数列的前n项和。