数列—等差、等比的证明

数列—等差、等比的证明
第一篇：数列—等差、等比的证明
等差、等比数列的证明
1．数列{a327
*n}的前n项和为Sn=2n+2
n（n∈N）．
（Ⅰ）证明：数列{an}是等差数列；（Ⅱ）若数列{bn}满足：an=log2bn，证明：数列{bn}是等比数列．
2．已知数列{a*
n}的前n项和为Sn=4an-3(n∈N)，证明：数列{an}是等比数列．3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1=1，Sn+1=4an+2（n∈N*）．
（Ⅰ）证明：数列⎧⎨an⎫
⎩2n⎬⎭
为等差数列；（Ⅱ）证明：数列{an+1-2an}为等比数列．
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：
Sn=2a2n+n-4n（n∈N*），证明：数列{an-2n+1}为等比数列．5．（2008北京文20）数列{an}满足：a1=1，a-λ)a*
n+1=(n2+nn，（n∈N）λ是常数．（Ⅰ）当a2=-1时，求λ及a3的值；
（Ⅱ）数列{an}是否可能为等差数列? 若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；
6．设函数f(x)=x2+m，m∈R，定义数列{an}如下：
a1=0，an+1=f(an)（n∈N*）．（Ⅰ）当m=1时，求a2,a3,a4的值；
（Ⅱ）是否存在实数m，使a2,a3,a4构成公差不为0的等差数列? 若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
6．（2008湖北21）已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，a2
n+1=
an+n-4，bnn=(-1)(an-3n+21)，其中λ为实数，n∈N*．
（Ⅰ）证明：数列{an}不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，证明你的结论．
7．（2010安徽20）设数列{an}中的每一项都不为0．证明：数列{an}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N*，都有111n
a+a+⋅⋅⋅+=
a． 1a22a3anan+11an+1
8．（2011北京文、理20）
若数列An:a1,a2,⋅⋅⋅,an(n≥2)满足
ak+1-ak=1(k=1,2,⋅⋅⋅,n-1)，则称An为E数列．
（Ⅰ）写出一个E数列A5满足a1=a3=0；（Ⅱ）若a1=12，n=2000，证明：
E数列An是递增数列的充要条件是an=2011．
第二篇：数列等差证明2010江西理数
数列等差证明2010江西理数
2010江西理数）22.（本小题满分14分）
证明以下命题：
（1）对任一正整a,都存在整数b,c(b
（2）存在无穷多个互不相似的三角形△n，其边长an，bn，cn为正整数且an，bn，cn
成等差数列。

【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。

（1）考虑到结构要证a+c=2b，；类似勾股数进行拼凑。

证明：考虑到结构特征，取特值1,5,7满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立。

结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。

证明：当an，bn，cn成等差数列，则bn-an=cn-bn，分解得：
(bn+an)(bn-an)=(cn+bn)(cn-bn)
选取关于n的一个多项式，4n(n-1)做两种途径的分解 ***22222 4n(n2-1)=(2n-2)(2n2+2n)=(2n2-2n)(2n+2)4n(n2-1)
⎧an=n2-2n-1⎪对比目标式，构造⎨bn=n2+1(n≥4)，由第一问结论得，等差数列成立，⎪c=n2+2n-1⎩n
考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。

下证互不相似。

任取正整数m，n，若△m，△n相似：则三边对应成比例m2-2m-1m2+1m2+2m-1==，n2-2n-1n2+1n2+2n-1
由比例的性质得：
m-1m+1=⇒m=n，与约定不同的值矛盾，故互不相似。

n-1n+1 第三篇：数列等比性质分析2013福建
数列等比性质分析2013福建
9．D5[2013·福建卷] 已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n
*
－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N)，则以下结论一定正确的是()
mA．数列{bn}为等差数列，公差为q
2mB．数列{bn}为等比数列，公比为q
2C．数列{cn}为等比数列，公比为qm
mD．数列{cn}为等比数列，公比为qm
9．C [解析] 取an＝1，q＝1，则bn＝m，cn＝1，排除A，取a1＝1，q＝－1，m取正偶
cn＋1amn＋1·amn＋2·…·amn＋mmmm数，则bn＝0，排除B，＝＝q·q·…·q,sdo4(共cnam（n－1）＋1·am（n－1）＋2·…·am（n －1）＋m
m个))＝qm，故选C.2
第四篇：证明等比等差数列
1．已知数列满足a1=1，an＋1=2an＋1(n∈N*)(1)求证数列{an
＋1}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．
2.已知数列{an}中，a13=5，an=2-1an-1(n≥2,n∈N)+，数列{bn}满足
bn=1(n∈N+)an-1；
（1）求证：数列（2）求数列
{bn}是等差数列；
{an}的通项公式
na=1,a=2a+2{}3.在数列an中，1 n+1n（1）设bn=an,n-1证明2{bn}是等差数列;（2）求数列{an}的通项公式。

4.设数列
{lgan}是等差数列；{an}的前n项和为Sn,a1=10,an+1=9Sn+10。

求证：
5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0(n≥2),a1=1/2.（1）求证：{1/Sn}是等差数列；（2）求an表达式；
第五篇：数列等比证明二项式定理错项求和2011四川
数列二项式定理错项求和2011四川
011年高考四川卷理科20)(本小题共12分)
设d为非零实数，an = 1122n-1 n-1nn* [Cn d+2Cnd+…+(n—
1)Cnd+nCnd](n∈N).n
(I)写出a1,a2,a3并判断{an}是否为等比数列.若是，给出证明；若不是，说明理由；(II)设bn=ndan(n∈N)，求数列{bn}的前n项和Sn．解析：（1）*
a1=d
a2=d(d+1)
a3=d(d+1)2
01223n-1nan=Cnd+Cnd+Cnd+Λ+Cnd=d(1+d)n-1
an+1=d(1+d)n
an+1=d+1an
因为d为常数，所以{an}是以d为首项，d+1为公比的等比数列。

bn=nd2(1+d)n-1
（2）Sn=d2(1+d)0+2d2(1+d)1+3d2(1+d)2+ΛΛ+nd2(1+d)n-1 =d2[(1+d)0+2(1+d)1+3(1+d)2+ΛΛ+n(1+d)n-1](1)(1+d)Sn=d2[( 1+d)1+2(1+d)2+3(1+d)3+ΛΛ+n(1+d)n](2)
1⋅(1-(1+d)n)+d2n(1+d)n=d+(d2n-d)(1+d)n（2）-（1）=dSn=-d[1-(1+d)2
∴Sn=1+(dn-1)(1+d)n。