九年级上册上册数学压轴题(培优篇)(Word版 含解析)
九年级上册上册数学压轴题（培优篇）（Word版含解析）
一、压轴题
1．已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点
A、B(不与P，Q重合)，连接AP、BP. 若∠APQ=∠BPQ.
(1)如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=22时，求⊙O的半径；
(2)如图2，选接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上(不与P、M重合)，连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直线AB与ON的位置关系，并证明.
2．如图1，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=100，D是BC的中点．
小明对图1进行了如下探究：在线段AD上任取一点E，连接EB．将线段EB绕点E逆时针旋转80°，点B的对应点是点F，连接BF，小明发现：随着点E在线段AD上位置的变化，点F的位置也在变化，点F可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：
（1）如图2，当点F在直线AD上时，连接CF，猜想直线CF与直线AB的位置关系，并说明理由．
（2）若点F落在直线AD的右侧，请在备用图中画出相应的图形，此时（1）中的结论是否仍然成立，为什么？
（3）当点E在线段AD上运动时，直接写出AF的最小值．
3．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，连接AC、EC、EF、 .
FC，且EC EF
∽；
（1）求证：AEF BCE
（2）若23AC =，求AB 的长；
（3）在（2）的条件下，求出ABC 的外接圆圆心与CEF △的外接圆圆心之间的距离？ 4．翻转类的计算问题在全国各地的中考试卷中出现的频率很大，因此初三（5）班聪慧的小菲同学结合2011年苏州市数学中考卷的倒数第二题对这类问题进行了专门的研究。你能和小菲一起解决下列各问题吗？（以下各问只要求写出必要的计算过程和简洁的文字说明即可。）
（1）如图①，小菲同学把一个边长为1的正三角形纸片（即△OAB ）放在直线l 1上，OA 边与直线l 1重合，然后将三角形纸片向右翻转一周回到初始位置，求顶点O 所经过的路程；并求顶点O 所经过的路线；
图①
（2）小菲进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC 放在直线l 2上，OA 边与直线l 2重合，然后将正方形纸片向右翻转若干次．她提出了如下问题：
图②
问题①：若正方形纸片OABC 接上述方法翻转一周回到初始位置，求顶点O 经过的路程； 问题②：正方形纸片OABC 按上述方法经过多少次旋转，顶点O 经过的路程是
41202
π+。 （3）①小菲又进行了进一步的拓展研究，若把这个正三角形的一边OA 与这个正方形的一边OA 重合（如图3），然后让这个正三角形在正方形上翻转，直到正三角形第一次回到初始位置（即OAB 的相对位置和初始时一样），求顶点O 所经过的总路程。
图③
②若把边长为1的正方形OABC 放在边长为1的正五边形OABCD 上翻转（如图④），直到正方形第一次回到初始位置，求顶点O 所经过的总路程。
图④
（4）规律总结，边长相等的两个正多边形，其中一个在另一个上翻转，当翻转后第一次回到初始位置时，该正多边形翻转的次数一定是两正多边形边数的___________。
5．如图，在?ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝60°．点P是边BC上一动点，作△PAB的外接圆⊙O交BD于E．
（1）如图1，当PB＝3时，求PA的长以及⊙O的半径；
（2）如图2，当∠APB＝2∠PBE时，求证：AE平分∠PAD；
（3）当AE与△ABD的某一条边垂直时，求所有满足条件的⊙O的半径．
6．如图，函数y=-x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2-2x-3=0的两个实数根，且m＜n．
（1）求m，n的值以及函数的解析式；
（2）设抛物线y=-x2+bx+c与x轴的另一交点为点C，顶点为点D，连结BD、BC、CD，求△BDC面积；
（3）对于（1）中所求的函数y=-x 2+bx +c ， ①当0≤x ≤3时，求函数y 的最大值和最小值；
②设函数y 在t ≤x ≤t +1内的最大值为p ，最小值为q ，若p-q =3，求t 的值． 7．如图，一次函数1
22
y x =-
+的图象交y 轴于点A ，交x 轴于点B 点，抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点．
（1）求A ，B 两点的坐标；并求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x 轴的直线x ＝t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N ．求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．
8．已知点(4,0)、(2,3)-为二次函数图像抛物线上两点，且抛物线的对称轴为直线
2x =．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线平移，使顶点与原点重合，已知点(,1)M m -，点A 、B 为抛物线上不重合的两点（B 在A 的左侧），且直线MA 与抛物线仅有一个公共点．
①如图1，当点M 在y 轴上时，过点A 、B 分别作AP y ⊥轴于点P ，BQ x ⊥轴于点
Q ．若APM △与BQO △ 相似， 求直线AB 的解析式；
②如图2，当直线MB 与抛物线也只有一个公共点时，记A 、B 两点的横坐标分别为a 、
b ．当点M 在y 轴上时，直接写出
m a
m b
--的值为 ；当点M 不在y 轴上时，求证：m a
m b
--为一个定值，并求出这个值．
9．()1尺规作图1：
已知：如图，线段AB 和直线且点B 在直线上
求作：点C ，使点C 在直线上并且使ABC 为等腰三角形． 作图要求：保留作图痕迹，不写作法，做出所有符合条件的点C ．
()2特例思考：
如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有______个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有______个.
()3拓展应用：
如图，AOB 45∠=，点M ，N 在射线OA 上，OM x =，ON x 2=+，点P 是射线OB 上的点.若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 有且只有三个，求x 的值． 10．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C ，给出如下定义：
如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的覆盖矩形．点A ，B ，C 的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A ，B ，C 的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，AB 3C 3D 3都是点A ，B ，C 的覆盖矩形，其中矩形AB 3C 3D 3是点A ，B ，C 的最优覆盖矩形． （1）已知A （﹣2，3），B （5，0），C （t ，﹣2）． ①当t ＝2时，点A ，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为 ；
②若点A ，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC 的表达式；
（2）已知点D （1，1）．E （m ，n ）是函数y ＝
4
x
（x ＞0）的图象上一点，⊙P 是点O ，D ，E 的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P 的半径r 的取值范围．
11．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，AC＝BD，点D在AB上，连接CO，并
延长CO交线段AB于点F，连接OA、OB，且OA＝5，tan∠OBA＝1
2
．
（1）求证：∠OBA＝∠OCD；
（2）当△AOF是直角三角形时，求EF的长；
（3）是否存在点F，使得S△CEF＝4S△BOF，若存在，请求EF的长，若不存在，请说明理由．
12．如图，扇形OMN的半径为1，圆心角为90°，点B是上一动点，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．
（1）当点B移动到使AB：OA=：3时，求的长；
（2）当点B移动到使四边形EPGQ为矩形时，求AM的长．
（3）连接PQ，试说明3PQ2+OA2是定值．
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一、压轴题
1．(1) ☉O 的半径是3
2
；(2)AB ∥ON ，证明见解析. 【解析】 【分析】
(1) 连接AB ，根据题意可AB 为直径，再用勾股定理即可． (2) 连接OA , OB ,
OQ ,根据圆周角定理可得Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∠=∠∠=∠，从而证出
OC AB ⊥,
延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠，再根据三角形内角和定理求得OQN ∠=90?得证. 【详解】 解：(1)连接AB ，
在☉0中，
o APQ BPQ 45∠=∠=， o APB APQ BPQ 90∴∠=∠+∠=
AB ∴是☉0的直径.
Rt APB ∴?在中，22AB AP BP =+AB=3∴
∴☉0的半径是
32
(2)AB//ON
证明：连接OA , OB , OQ , 在☉0中,
AQ AQ =, BQ BQ =,
Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∴∠=∠∠=∠.
又
APQ BPQ ∠=∠,
AOQ BOQ ∴∠=∠.
在AOB ?中，OA OB =, AOQ BOQ ∠=∠,
OC AB ∴⊥,即o OCA 90∠=
连接OQ ，交AB 于点C 在☉0中，OP OQ =
OPN OQP.∴∠=∠
延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠
o NOP 2OPN 90∴∠+∠=,
又:o NOP NOQ QOR 180∠+∠+∠=，
NOQ 90O ∴∠=
NOQ OCA 180O ∴∠+∠= .
AB//ON ∴ 【点睛】
本题考查了圆周角定理，勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，是一道综合题，灵活运用相关知识是解题的关键．
2．（1）//CF AB ，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）AF 的最小值为4 【解析】 【分析】
（1）结合题意，根据旋转的知识，得BE EF =，80BEF ∠= ，再根据三角形内角和性质，得50BFD ∠=；结合AB=AC=4，D 是BC 的中点，推导得CFD BAD ∠=∠，即可完成解题；
（2）由（1）可知：EB=EF=EC ，得到B ，F ，C 三点共圆，点E 为圆心，得∠BCF=
1
2
∠BEF=40°，从而计算得ABC BCF ∠=∠，完成求解； （3）由（1）和（2）知，CF ∥AB ，因此得点F 的运动路径在CF 上；故当点E 与点A 重合时，AF 最小，从而完成求解. 【详解】
（1）∵将线段EB 绕点E 逆时针旋转80°，点B 的对应点是点F ∴BE EF =，80BEF ∠= ∴180502
BEF
EBF BFE -∠∠=∠=
= ，即50BFD ∠=
∵AB=AC=4，D 是BC 的中点
∴BD DC =,AD BC ⊥
∴BF CF =，ABD ACD △≌△ ∴FBD FCD △≌△，100
5022
BAC BAD CAD ∠∠=∠=== ∴50BFD CFD ∠=∠= ∴50CFD BAD ∠=∠= ∴//CF AB
（2）如图，连接BE 、EC 、BF 、EF
由（1）可知：EB=EF=EC
∴B ，F ，C 三点共圆，点E 为圆心 ∴∠BCF=
1
2
∠BEF=40° ∵50BAD ∠=，AD BC ⊥ ∴9040ABC BAD ∠=-∠= ∴ABC BCF ∠=∠
∴//CF AB ，（1）中的结论仍然成立 （3）由（1）和（2）知，//CF AB ∴点F 的运动路径在CF 上 如图，作AM ⊥CF 于点M
∵8090BEF ∠=<
∴点E 在线段AD 上运动时，点B 旋转不到点M 的位置 ∴故当点E 与点A 重合时，AF 最小 此时AF 1=AB=AC=4，即AF 的最小值为4． 【点睛】
本题考查了旋转、等腰三角形及底边中线、垂直平分线、全等三角形、三角形内角和、平行线、圆心角、圆周角的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、旋转、垂直平分线、
平行线、圆心角和圆周角的知识，从而完成求解． 3．（1）详见解析；（2）22；（3）12
【解析】 【分析】
（1）由矩形的性质得到90EAF CBE ∠=∠=?，再根据同角的余角相等，得到
AFE BEC =∠∠，即可证明相似；
（2）根据矩形的性质和相似三角形的性质，得到222AB BC =，再利用勾股定理，即可求出AB 的长度；
（3）分别找出两个三角形外接圆的圆心M 、N ，利用三角形中位线定理，即可求出MN 的长度. 【详解】
（1）证明：在矩形ABCD 中，有90EAF CBE ∠=∠=?， ∴90AEF AFE ∠+∠=?， ∵EC EF ⊥， ∴90FEC ∠=?， ∴90AEF BEC ∠+∠=?， ∴AFE BEC =∠∠， ∴AEF BCE ∽；
（2）在矩形ABCD 中，有AD=BC ， ∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点， ∴22,2AB AE BE AD AF ===； ∵AEF BCE ∽， ∴
AE AF
BC BE
=， ∴222AB BC =，
在Rt △ABC 中，由勾股定理得，
222AB BC AC +=，
∴2
21
122
AB AB +
=， 解得：22AB =； （3）如图：
∵△ABC 是直角三角形，
∴△ABC 的外接圆的圆心在AC 中点M 处， 同理，△CEF 的外接圆的圆心在CF 的中点N 处， ∴线段MN 为△ACF 的中位线， ∴11
24MN AF AD =
=， 由（2）知，22222AB BC AD ==，
∴AD AB =，
∴1882
MN AB ===. 【点睛】
本题考查了求三角形外接圆的圆心距，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角形中位线定理，解题的关键是熟练利用所学性质进行证明和求解. 4．(1)43π；（2
，81；（3）28
3
π
；（4）最小公倍数. 【解析】
试题分析：（1）根据正三角形的性质及弧长公式求出点A 绕点B 、点C 旋转的两段弧长相加即可．
(2)①根据正方形旋转一周的路径，利用弧长计算公式以及扇形面积公式求出即可， ②再利用正方形纸片OABC 经过4次旋转得出旋转路径，进而得
出
4120(2222π
π+=+ ，即可得出旋转次数． (3)方法同（2）；
（4）边长相等的两个正多边形，其中一个在另一个上翻转，当翻转后第一次回到初始位置时，该正多边形翻转的次数一定是两正多边形边数的最小公倍数.
试题解析：（1）∵点A 所经过的这两段弧所在圆的半径为1，所对圆心角均为120度 ∴点A 所经过的路线长为12014
21803
ππ??
=. （2）①顶点O
经过的总路线长为：901902218018022?+?+=+=πππππ
②由①：每翻转一周顶点O 经过的总路线长为：π22
2+
20=π
即翻转20周后再翻一次，共翻81次.
（3）①每翻三次翻一周，顶点O 所经过的总路线长为：21017
2180
3??=ππ
共翻四周回到初始位置，所以顶点O 所经过的总路线长为:72843
3?=ππ
. ②每翻四次翻一周，顶点O 所经过的总路线长为
:1621162812180
1804510??+=+
πππ 共翻5
周回到初始位置，所以顶点
O 所经过的总路线长为
：
81545?=π（
（4）最小公倍数 考点: 1.旋转的性质；2.等边三角形的性质；3.正方形的性质；4.弧长的计算； 5．（1）PA
O
2）见解析；（3）⊙O 的半径为2
或
【解析】 【分析】
（1）过点A 作BP 的垂线，作直径AM ，先在Rt △ABH 中求出BH ，AH 的长，再在Rt △AHP 中用勾股定理求出AP 的长，在Rt △AMP 中通过锐角三角函数求出直径AM 的长，即求出半径的值；
（2）证∠APB ＝∠PAD ＝2∠PAE ，即可推出结论；
（3）分三种情况：当AE ⊥BD 时，AB 是⊙O 的直径，可直接求出半径；当AE ⊥AD 时，连接OB ，OE ，延长AE 交BC 于F ，通过证△BFE ∽△DAE ，求出BE 的长，再证△OBE 是等边三角形，即得到半径的值；当AE ⊥AB 时，过点D 作BC 的垂线，通过证△BPE ∽△BND ，求出PE ，AE 的长，再利用勾股定理求出直径BE 的长，即可得到半径的值． 【详解】
（1）如图1，过点A 作BP 的垂线，垂足为H ，作直径AM ，连接MP ， 在Rt △ABH 中，∠ABH ＝60°， ∴∠BAH ＝30°，
∴BH ＝
1
2
AB ＝2，AH ＝AB ?sin60°＝
∴HP ＝BP ﹣BH ＝1， ∴在Rt △AHP 中，
AP
∵AB 是直径， ∴∠APM ＝90°，
在Rt △AMP 中，∠M ＝∠ABP ＝60°，
∴AM ＝AP
sin 60?
＝3
，
∴⊙O的半径为
3
，
即PA⊙O
（2）当∠APB＝2∠PBE时，
∵∠PBE＝∠PAE，
∴∠APB＝2∠PAE，
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠APB＝∠PAD，
∴∠PAD＝2∠PAE，
∴∠PAE＝∠DAE，
∴AE平分∠PAD；
（3）①如图3﹣1，当AE⊥BD时，∠AEB＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴r＝1
2
AB＝2；
②如图3﹣2，当AE⊥AD时，连接OB，OE，延长AE交BC于F，∵AD∥BC，
∴AF⊥BC，△BFE∽△DAE，
∴BF
AD ＝
EF
AE
，
在Rt△ABF中，∠ABF＝60°，
∴AF＝AB?sin60°＝
BF＝1
2
AB＝2，
∴2
8
，
∴EF，
在Rt△BFE中，
BE
5
，∵∠BOE＝2∠BAE＝60°，OB＝OE，
∴△OBE是等边三角形，
∴r；
③当AE⊥AB时，∠BAE＝90°，
∴AE为⊙O的直径，
∴∠BPE＝90°，
如图3﹣3，过点D 作BC 的垂线，交BC 的延长线于点N ，延开PE 交AD 于点Q ， 在Rt △DCN 中，∠DCN ＝60°，DC ＝4， ∴DN ＝DC ?sin60°＝23，CN ＝1
2
CD ＝2， ∴PQ ＝DN ＝23， 设QE ＝x ，则PE ＝23﹣x ，
在Rt △AEQ 中，∠QAE ＝∠BAD ﹣BAE ＝30°， ∴AE ＝2QE ＝2x ， ∵PE ∥DN ， ∴△BPE ∽△BND ， ∴PE DN ＝BP
BN
， ∴
2323
x -＝BP
10， ∴BP ＝10﹣
53
3
x ， 在Rt △ABE 与Rt △BPE 中， AB 2+AE 2＝BP 2+PE 2， ∴16+4x 2＝（10﹣
53
3
x ）2+（23﹣x ）2， 解得，x 1＝63（舍），x 2＝3， ∴AE ＝23，
∴BE ＝22AB AE +＝224(23)+＝27， ∴r ＝7， ∴⊙O 的半径为2或
47
或7．
【点睛】
此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是熟知圆的基本性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质.
6．（1）m ＝﹣1，n ＝3，y ＝﹣x 2+2x +3；（2）S=3；（3）①y 最大值＝4；当x ＝3时，y 最小值＝0；②t ＝﹣1或t ＝2 【解析】 【分析】
（1）首先解方程求得A 、B 两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）根据解方程直接写出点C 的坐标，然后确定顶点D 的坐标，根据两点的距离公式可得BDC ?三边的长，根据勾股定理的逆定理可得90DBC ∠=?，据此求出 △BDC 面积； （3）①确定抛物线的对称轴是1x =，根据增减性可知：1x =时，y 有最大值，当3
x =
时， y 有最小值；
②分5种情况：1、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的左侧；2、当11t +=时；3、当函数y 在1t x t +内的抛物线分别在对称轴的两侧；4、当1t =时，5、函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减性可解答． 【详解】
解：（1）m ，n 分别是方程2230x x --=的两个实数根，且 m n <， 用因式分解法解方程：(1)(3)0x x +-=，
11x ∴=-，23x =，
1m ∴=-，3n =，
(1,0)A ∴-，(0,3)B ，
把(1,0)-，(0,3)代入得， 103b c c --+=??=?，解得2
3b c =??=?
，
∴函数解析式为2y x 2x 3=-++．
（2）令2
230y x x =-++=，即2230x x --=，
解得11x =-，23x =，
∴抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴的交点为 (1,0)A -，(3,0)C ，
1OA ∴=，3OC =，
∴对称轴为13
12
x -+==，顶点(1,123)D -++，即 (1,4)D ，
∴
BC = BD ==DC ==
222CD DB CB =+，
BCD ∴?是直角三角形，且90DBC ∠=?，
∴11
2322
S BCD BD BC =
=??=； （3）∵抛物线y ＝﹣x 2+2x +3的对称轴为x ＝1，顶点为D （1，4）， ①在0≤x ≤3范围内，
当x ＝1时，y 最大值＝4；当x ＝3时，y 最小值＝0；
②1、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的左侧，当x t =时取得最小值
223q t t =-++，最大值2(1)2(1)3p t t =-++++，
令22
(1)2(1)3(23)3p q t t t t -=-++++--++=，即 213t -+=，解得1t =-．
2、当11t +=时，此时4p =，3q =，不合题意，舍去；
3、当函数y 在1t x t +内的抛物线分别在对称轴的两侧，
此时4p =，令2
4(23)3p q t t -=--++=，即 2220t t --=解得：11t =)，
21t = )；
或者2
4[(1)2(1)3]3p q t t -=--++++=，即 t =
4、当1t =时，此时4p =，3q =，不合题意，舍去；
5、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的右侧，当x t =时取得最大值
223p t t =-++，最小值2(1)2(1)3q t t =-++++，
令22
23[(1)2(1)3]3p q t t t t -=-++--++++=，解得 2t =．
综上，1t =-或2t =． 【点睛】
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的顶点公式，直角三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，最值问题等知识，注意运用分类讨论的思想解决问题．
7．(1) A （0，2），B(4，0)，2
7
22
y x x =-+
+；(2)当t=2时，MN 有最大值4；(3) D 点坐标为（0，6），（0，-2）或（4，4）． 【解析】 【分析】
(1)首先求得A 、B 的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；
(2)本问要点是求得线段MN 的表达式，这个表达式是关于t 的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN 的最大值；
(3)本问要点是明确D 点的可能位置有三种情况，如答图2所示，其中D 1、D 2在y 轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D 3点在第一象限是直线D 1N 和D 2M 的交点，利用直线解析式求得交点坐标即可． 【详解】
解：(1)∵1
22
y x =-
+的图象交y 轴于点A ，交x 轴于点B 点， ∴A 、B 点的坐标为：A （0，2），B(4，0)，
将x=0，y=2代入2
y x bx c =-++得c=2， 将x=4，y=0,代入2y x bx c =-++得b=72
， ∴抛物线解析式为：27
22
y x x =-+
+； (2)如答图1所示，设MN 交x 轴于点E ，则E(t ，0)，则M(t ，1
22
t -
)，
又N 点在抛物线上，且x N =t ， ∴2
7
22
N y t t =-+
+， ∴()22
271224=2422N M MN y y t t t t t t ?
?=-=-+
+--=-+--+ ??
?， ∴当t=2时，MN 有最大值4．
(3)由(2)可知A （0，2）、M(2，1)、N(2，5)，
以A 、M 、N 、D 为顶点做平行四边形，D 点的可能位置有三种情况，如答图2所示，
当D 在y 轴上时，设D 的坐标为（0，a ）， 由AD=MN ，得|a-2|=4，解得a 1=6，a 2=-2， 从而D 点坐标为（0，6）或D （0，-2），
当D 不在y 轴上时，由图可知D 3为D 1N 与D 2M 的交点， 分别求出D 1N 的解析式为：1
62
y x =-
+， D 2M 的解析式为：3
22
y x =
-， 联立两个方程得：D 3（4，4），
故所求的D 点坐标为（0，6），（0，-2）或（4，4）． 【点睛】
本题主要考查的是二次函数综合，经常作为压轴题出现，正确的掌握二次函数的性质是解题的关键． 8．（1）214y x x =-；（2）①1
22
y x =-+，②1，见解析，定值为1 【解析】 【分析】
（1）利用待定系数法把点(4,0)、(2,3)-代入解析式，再结合抛物线对称轴方程得到三元一次方程组，解方程组即可．
（2）①先求出平移后的抛物线解析式，设出直线MA 的解析式1y kx =-，再联立抛物线
解析式21
14y kx y x =-??
?=??
，得到21104x kx -+=，令210k ?=-=，求出k 的值，得出APM
?为等腰直角三角形，运用APM ?与BQO ?相似得出90BQO APM ∠=∠=，故AB ：
y mx n =+，则21
44m n m n +=??-+=?
即可求出AB 函数关系式．
②当M 在y 轴上时，m=0，再根据图像对称性可得A 、B 两点关于y 轴对称，得出a ，b 的关系，即可求出答案；当M 不在与轴上时，设MA ：111y k x k m =--，联立抛物线解析
式112
1
14y k x k m y x =--???=??
，得出2114440x k x k m -++=，令212=16(1)0k k m ?--=，同理设出MB ，令2
2216(1)0k k m ?=--=，故1k ，2k 为方程210x mx --=不相等两个实数
根，得出12k k m +=，即可求出答案． 【详解】
解：（1）设2
y=ax +bx+c a （≠0）
，把点(4,0)、(2,3)-代入 ∵对称轴为x=2
∴16404232
2a b c a b c b a ?
?++=?
-+=???-=? 解得1410a b c ?=??
=-??=??
∴抛物线解析式2
14
y x x =
-． （2）①(0,1)M -，平移后抛物线214
y x = 设MA ：1y kx =-
则联立2
1
14y kx y x =-??
?=??，21104x kx -+= 210k ?=-=
1k ∴=±
又由图，A 在y 轴右侧
故1k =，(2,1)A
2AP PM ∴==，APM ?为等腰直角三角形 又APM ?与BQO ?相似
∴△BQO 为等腰直角三角形，设B （﹣x ，x ），带入抛物线解析式得：2
14
x x = 解得x=4或x=0(舍去) ∴B （﹣4,4）
设AB ：y mx n =+，把(2,1)A ，B （﹣4,4）带入得：
则2144m n m n +=??-+=?，122
m n ?
=-???=?
∴AB 解析式为：1
22
y x =-+． ②（i ）∵2
14
y x =
关于y 轴对称，M 在y 轴上，且MA ，MB 与抛物线只有一个交点 ∴A 、B 两点关于y 轴对称， ∴a=﹣b
∴
m a m b --=0+b
0b
-=1， 故答案是：1；
（ii ）设MA ：111y k x k m =--，
则联立112
114y k x k m y x =--???=??， 2114440x k x k m -++=，
此方程仅一个根， 故1
1422
k a k =
=， 且2
12=16(1)0k k m ?--=，
同理设MB ：221y k x k m =--， 亦有22b k =，
2
2216(1)0k k m ?=--=，
故1k ，2k 为方程210x mx --=不相等两个实数根，
12k k m +=，
()111122122m k m k m a
m b m m k k m
---∴
===----，
人教版九年级上册数学培优体系讲义
第二十一章 一元二次方程 1．一元二次方程 预习归纳 1．等号两边都是整式，只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的方程，叫一元二次方程． 2．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 ． 3．一元二次方程的一般形式是 ． 例题讲解 【例】把方程(3x －2)(2x －3)＝x 2－5化成一元二次方程的一般形式，并写出方程的二次项，一次项及常数项和二次项系数，一次项系数． 基础训练 1．下列方程是一元二次方程的是( ) A ．21 10x x =＋＋ B ．2110x x =＋＋ C ．210xy －＝ D ．22 0x xy y =－＋ 2．方程()45x x －＝化为一般形式为( ) A ．2450x x =－＋ B ．2450x x =＋＋ C ．2450x x =－－ D ．2 450x x =＋－ 3．方程23740x x =－＋中二次项的系数，一次项的系数及常数项分别是( ) A ．3、7、4 B ．3、7、﹣4 C ．3、﹣7、4 D ．3、﹣7、﹣4 4．(2014菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2 ＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为 ( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．－2 5．(2014哈尔滨)若x ＝－1是关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＋1＝0的一个解，则m 的值为 ． 6．把一元二次方程2(x 2＋7)＝x ＋2化成一般形式是 ． 7．下列数中－1，2，－3，－2，3是一元二次方程x 2－2x ＝3的根是 ． 8．若方程x 2－2x ＋m ＝0的一个根是－1，求m 的值． 9．(2013牡丹江)若关于x 的一元二次方程为ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，求2013－a －b 的值．
初三九年级上册数学压轴题(培优篇)(Word版 含解析)
初三九年级上册数学压轴题（培优篇）（Word版含解析）一、压轴题 1．如图，在平面直角坐标系中，直线1l： 1 6 2 y x =-+分别与x轴、y轴交于点B、C， 且与直线2l： 1 2 y x =交于点A. （1）分别求出点A、B、C的坐标； （2）若D是线段OA上的点，且COD △的面积为12，求直线CD的函数表达式；（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内里否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 2．如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上（不与点A，B重合）的任一点，点C，D为⊙O 上的两点．若∠APD＝∠BPC，则称∠DPC为直径AB的“回旋角”． （1）若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠DPC是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由； （2）猜想回旋角”∠DPC的度数与弧CD的度数的关系，给出证明（提示：延长CP交⊙O 于点E）； （3）若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+133，直接写出AP的长．3．如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC＝3，BC＝4． （1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边BC相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相
切．设⊙P的面积为S，你认为能否确定S的最大值？若能，请你求出S的最大值；若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由． 4．在长方形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1/ cm s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2/ cm s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：______＝______，______＝______（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？ （3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于2 26cm？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 5．如图，已知矩形ABCD中，BC=2cm，AB=23cm，点E在边AB上，点F在边AD上，点E由A向B运动，连结EC、EF，在运动的过程中，始终保持EC⊥EF，△EFG为等边三角形． （1）求证△AEF∽△BCE； （2）设BE的长为xcm，AF的长为ycm，求y与x的函数关系式，并写出线段AF长的范围； （3）若点H是EG的中点，试说明A、E、H、F四点在同一个圆上，并求在点E由A到B 运动过程中，点H移动的距离． 6．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，0是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于 点D，与BC边交于点E、F，连接OD，已知BD=3，tan∠BOD=3 4 ，CF=8 3 ． （1）求⊙O的半径OD； （2）求证：AC是⊙O的切线；（3）求图中两阴影部分面积的和．
初三数学圆的专项培优练习题含答案
初三数学圆的专项培优练习题（含答案） ?EB 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成 立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三 2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆 的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．C．6 D． 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由。 9．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA 的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2． 九年级上册数学 期末试卷（培优篇）（Word 版 含解析） 一、选择题 1．如图，等边三角形ABC 的边长为5，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，将△ADE 沿DE 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点F 处，若BF ＝2，则BD 的长是（ ） A ．2 B ．3 C ． 218 D ． 247 2．在平面直角坐标系中，如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a +b +c ＝0；②b ＞2a ；③方程ax 2+bx +c ＝0的两根分别为﹣3和1；④b 2﹣4ac ＞0，其中正确的命题有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（ ） A ． 15 B ． 25 C ． 35 D ． 45 4．为了比较甲乙两足球队的身高谁更整齐，分别量出每人身高，发现两队的平均身高一样，甲、乙两队的方差分别是1.7、2.4，则下列说法正确的是（ ） A ．甲、乙两队身高一样整齐 B ．甲队身高更整齐 C ．乙队身高更整齐 D ．无法确定甲、乙两队身高谁更整齐 5．如图，////AD BE CF ，直线12l l 、与这三条平行线分别交于点、、A B C 和点D E F 、、．已知AB =1，BC =3，DE =1.2，则DF 的长为（ ） A ．3.6 B ．4.8 C ．5 D ．5.2 6．二次函数()2 0y ax bx c a =++≠的图像如图所示，它的对称轴为直线1x =，与x 轴交点 的横坐标分别为1x ，2x ，且110x -<<.下列结论中：①0abc <；②223x <<；③421a b c ++<-；④方程()2 200ax bx c a ++-=≠有两个相等的实数根；⑤13 a > .其中正确的有（ ） A ．②③⑤ B ．②③ C ．②④ D ．①④⑤ 7．如图，ABC △内接于⊙O ，30BAC ∠=?，8BC = ，则⊙O 半径为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 8．若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（ ） A ．1：2 B ．1：2 C ．1：3 D ．1：4 9．如图， O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是点E ，22.5CAO ∠=，6OC =，则 CD 的长为( ) A ．62 B ．32 C ．6 D ．12 10．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ） A ．3π+ B ．3π C ．23π- D ．223π-11．一元二次方程x 2＝－3x 的解是（ ） 2019-2020学年九年级数学上册培优 新人教版 1．已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列三个结 论：①a ＜0；②a ＋b ＋c ＞0；③－ b 2a ＞0．其中正确的结论有( ) A ．只有① B ．①② C ．①③ D ．①②③ 2.如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第 二次输出的结果为12，…，则第2011次输出的结果为 。 3.如图，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，且DE ∥BC ，下列结论中，一定正确的是 。①BDF ?是等腰三角形 ②BC DE 2 1 = ③四边形ADFE 是菱形 ④2BDF FEC A ∠+∠=∠ 4.如图，已知⊙O 的半径为1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿PQ 排成一列，所有 正三角形都关于PQ 对称，其中第一个111C B A △的顶点1A 与点P 重合，第二个222C B A △的顶点2A 是11C B 与PQ 的交点，…，最后一个n n n C B A △的顶点n B 、n C 在圆上．求正三角形的边长1a = , 2a = , n a = . (2题) 5.类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1 个单位．用实数加法表示为 3+（2-）=1． 若坐标平面上的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负， 平移a 个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），则把有序数对{a ，b }叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a ，b }与“平移量”{c ， d }的加法运算法则为}{}{}{d b c a d c b a ++=+，，，． 解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}． （2）①动点P 从坐标原点O 出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A ，再按照“平移量” {1，2}平移到B ；若先把动点P 按照“平移量”{1，2}平移到C ，再按照“平移量” {3，1}平移，最后的位置还是点B 吗? 在图1中画出四边形OABC . ②证明四边形OABC 是平行四边形. （3）如图2，一艘船从码头O 出发，先航行到湖心岛码头P （2，3），再从码头P 航行到码头Q （5，2），最后回到出发点O . 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程． 6.如图，已知抛物线42 12 ++- =x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为 （第5题） 图1 九年级数学培优提高试卷一 一、选择题 1、Rt△ABC 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，则cos A =（ ） A 、 45 B 、 34 C 、 35 D 、 43 2、下列各组数中，成比例的是（ ） A 、-6，-8，3，4 B 、-7，-5，14，5 C 、3，5，9，12 D 、2，3，6，12 3、下列结论正确的是 （ ） A 、所有直角三角形都相似； B 、所有边长相等的菱形都相似； C 、同弧所对的圆周角相等； D 、当2 40b ac -=时，二次函数2y ax bx c =++的图象与坐标轴只有一个交点. 4、已知反比例函数)0(<= k x k y 的图像上有两点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，且21x x <， 则21y y -的值 ( ) A 、小于0 B 、等于0 C 、大于0 D 、不能确定 5、如图，以平行四边形ABCD 的一边AB 为直径作⊙O ，若⊙O 过点 C ，且∠AOC =80°，则∠BA D 等于（ ） A 、160° B 、145° C 、140° D 、135° 6、一扇形的半径等于已知圆的半径的3倍，且它的面积等于该圆的面积，则这一扇形的圆心角为（ ） A 、20o B 、40o C 、100o D 、120o 7、将24y x =的图象先向左平移 12个单位，再向下平移3 4 个单位，则所得图象的函数解析式是（ ） A 、2134()24y x =++ B 、 2134()24y x =-- C 、 213(4)24y x =+- D 、 213 4()24 y x =+- D A B P 第8题 8、如图，若P为△ABC的边AB上一点（AB>AC），则下列条件能保证△ACP∽△ABC的有（） ①∠ACP=∠B②∠APC=∠ACB③ AC AP AB AC =④ AB AC BC PC = A、①② B、①②③④ C、①②④ D、①②③ 9．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F 在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形， 则AE的长是（） A．2 B．3 C．5 D．6 10．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交 PA，PB于C，D．若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB 的值是（） A．B．C．D． 二、填空题 11、在圆O中，弦AB的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半 径OA= . 12、根据下面物体的三视图，填出该几何体的名称：__ __． 13、如图，已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为 直线x=-1，P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3) 是直线l上的点，且-1 数学九年级上册 期末试卷（培优篇）（Word 版 含解析） 一、选择题 1．已知圆锥的底面半径为5cm ，母线长为13cm ，则这个圆锥的全面积是（ ） A ．265cm π B ．290cm π C ．2130cm π D ．2155cm π 2．一元二次方程x 2＝9的根是（ ） A ．3 B ．±3 C ．9 D ．±9 3．如图，点P 为⊙O 外一点，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B ，∠P=30°，OB=3，则线段BP 的长为（ ） A ．3 B ．33 C ．6 D ．9 4．关于2,6,1,10,6这组数据，下列说法正确的是（ ） A ．这组数据的平均数是6 B ．这组数据的中位数是1 C ．这组数据的众数是6 D ．这组数据的方差是10.2 5．将二次函数2 2y x =的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得新的图象的函数表达式为( ) A ．()2 241y x =-- B ．()2 241y x =+- C ．()2241y x =-+ D ．()2 241y x =++ 6．已知一组数据2，3，4，x ，1，4，3有唯一的众数4，则这组数据的中位数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 8．将二次函数y ＝x 2的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，再沿x 轴向左平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（ ） A ．y ＝（x +3）2+2 B ．y ＝（x ﹣3）2+2 C ．y ＝（x +2）2+3 D ．y ＝（x ﹣2）2+3 9．下列说法正确的是（ ） A ．所有等边三角形都相似 B ．有一个角相等的两个等腰三角形相似 C ．所有直角三角形都相似 D ．所有矩形都相似 10．如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A(﹣3，0)，对称轴为直线x ＝﹣1，下列结论：①b 2＞4ac ；②2a+b ＝0；③a+b+c ＞0；④若B(﹣5，y 1)、C(﹣1，y 2)为函数图象上的两点，则y 1＜y 2．其中正确结论是（ ） 2018年九年级数学上册圆-与圆有关的性质同步培优卷 一、选择题: 1.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=42°，则∠A的度数是（） A．42°B．48°C．52°D．58° 2.如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC等于（） A．150°B．120°C．100°D．130° 3.如图，A．B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（） A．40°B．45°C．50°D．55° 4.如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（） A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5 5.如图，⊙O的圆心角∠BOC=112°，点D在弦BA的延长线上且AD=AC，则∠D的度数为（） A．28°B．56°C．30°D．41° 6.如图，AC是⊙O的直径，∠BAC=20°，P是弧AB的中点，则∠PAB等于（） A．35°B．40°C．60°D．70° 7.AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ABD=42°，则∠BCD的度数是( ) A．122°B．128°C．132°D．138° 8.如图,Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,B点与0刻度线的一端重合, ∠ABC=40°,射线CD绕点C转动,与量角器外沿交于点D,若射线CD将△ABC分割出以BC 为边的等腰三角形,则点D在量角器上对应的度数是（） A．40°B．70°C．70°或80°D．80°或140° 9.如图,⊙O的半径为2,点A为⊙O上一点,半径OD⊥弦BC于D,如果∠BAC=60°,那么OD的长是（） 九上考点复习专题 1、 如图，△ABC 的高CF 、BG 相交于点H ，分别延长CF 、BG 与△ABC 外接圆交于D 、 E 两点，则下列结论：①AD=AE ；②AH=AE ；③若DE 为△ABC 的外接圆的直径，则BC=AE.其中正确的是（ ） A 、① B 、①② C 、②③ D 、①②③ 2、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O 、H 分别为边AB 、AC 的中点，将△ABC 绕点B 逆时针旋转120°到△A 1BC 1的位置，则整个旋转过程中OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为___________. 3、如图，已知点E 在Rt △ABC 的斜边AB 上，以AE 为直径的⊙O 与直角边BC 相切于点D 。 （1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）若BD=2BE=4，求AC 。 4、如图，已知AB=4为⊙O 的直径，弦C D ⊥AB 且CD 过AO 的中点。 （1）如图1，求线段CD 的长度； （2）如图2，P 为优弧CD 上一动点，Q 为△ACP 的内心，当Q 点恰好在线段CD 上时，求DQ 的长度； （3）如图3，点M 与点O 关于直线AC 对称，当点P 在优弧AC 上运动时，试求 2 2 2PM PC PA 的值。 A H C B C 1 B 1 A 1 O 1 A B C D E H F G A B C D O E B C D O A B C D O A B C D O A P Q M P 5、如图，AB 为直径，PB 为切线，点C 在⊙O 上，PO 交⊙O 于D ，AC∥OP。 （1）求证：PC 为⊙O 的切线。 （2）过D 点作DE⊥AB，E 为垂足，连AD 交BC 于G ，CG=3，DE=4 （3）在（2）下，求半径。 6、如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，AC=2，AD=1，F 为BE 的中点。 （1）如图1，当边AD 与边AB 重合时，连接DF ，求证：DF ⊥CF ； （2）如图2，若∠BAE=135°，求CF 的长； （3）将△ADE 绕点A 旋转一周，求点F 运动路径的长。 7、在直角坐标系中，M 为x 轴正半轴上一点，⊙M 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，P 为AB 延长线上一点（不含B 点），连接PC 交⊙M 于Q 点，连接DQ ，若A （-1,0） ，C （0，3）。 （1） 如图，求圆心M 的坐标； （2） 如图，过B 点作B H ⊥DQ 于H 点，当P 点运动时，线段CQ 、QH 、DH 有何数量关系， 证明你的结论； （3） 如图，R 为⊙M 的直径DF 延长线上一个动点（不包括F 点），过B 、F 、R 三点作 ⊙N ，CF 交⊙N 于T ，当R 点在DF 的延长线上运动时，FT-FR 的值是否变化？请 说明理由。 D C B A F E D C B A F E 一元二次方程 概念、解法、根的判别式（讲义） 一、知识点睛 1. 只含有___________________的整式方程，并且都可以化成 _______________（____________________）的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 思考次序：______________、__________、_______________． 2. 我们把____________________（____________________）称为一元二次方程 的_______形式，其中____，____，____分别称为二次项、一次项和常数项，_____，_____分别称为二次项系数和一次项系数． 3. 解一元二次方程的思路是设法将其转化成________________来处理．主要 解法有：________________，________________，_____________，_____________等． 4. 配方法是配成_______公式；公式法的公式是_____________； 分解因式法是先把方程化为___________________________的形式，然后把方程左边进行____________________，根据_________________________，解出方程的根． 5. 通过分析求根公式，我们发现___________决定了根的个数，因此 _________被称作根的判别式，用符号记作_________；当__________时，方程有两个不相等的实数根（有两个解）；当__________时，方程有两个相等的实数根（有一个解）； 当__________时，方程没有实数根（无根或无解）． 二、精讲精练 1. 下列方程：①3157x x +=+；② 21 10x x +-=； ③2 5ax bx -=（a ，b 为常数）；④322 =-m m ；⑤2 02 y =；⑥2(1)3x x x +=-；⑦22250x xy y -+=．其中为一元二次方程的是____________． 2. 方程221x =-的二次项是________，一次项系数是____，常数项是 ______． 3. 若关于x 的方程2 1(1)230m m x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为 ___________． 1- ____________________________________________________________________________________________________ ____________ 周老师·数学培优 九年级数学培优《圆》专题训练（一） 1 2- ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________ 周老师·数学培优 2 3- ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________ 周老师·数学培优 3 4- ____________________________________________________________________________________________________ ____________ 周老师·数学培优 九年级数学培优《圆》专题训练（二） 4 5- ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________ 周老师·数学培优 5 九年级数学上册全册期末复习试卷培优测试卷 一、选择题 1．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC =8，∠B =∠DAC ，则线段 AC 的长为（ ） A ．43 B ．42 C ．6 D ．4 2．将一副学生常用的三角板如下图摆放在一起，组成一个四边形ABCD ，连接AC ，则tan ACD ∠的值为（ ） A ．3 B ．31+ C ．31- D ．23 3．下列说法中，不正确的是（ ） A ．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B ．圆有无数条对称轴 C ．圆的每一条直径都是它的对称轴 D ．圆的对称中心是它的圆心 4．小华同学某体育项目7次测试成绩如下（单位：分）：9，7，10，8，10，9，10．这 组数据的中位数和众数分别为（ ） A ．8，10 B ．10，9 C ．8，9 D ．9，10 5．方程x 2﹣3x ＝0的根是（ ） A ．x ＝0 B ．x ＝3 C ．10x =，23x =- D ．10x =，23x = 6．在六张卡片上分别写有 1 3 ，π，1.5，5，0，2六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．56 7．如图在△ABC 中，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，不一定能使△ADE 与△ABC 相似的条件是（ ） A ．∠AED=∠ B B ．∠ADE=∠ C C ． AD DE AB BC = D ． AD AE AC AB = 8．一个不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，则（） A．摸出黑球的可能性最小B．不可能摸出白球 C．一定能摸出红球D．摸出红球的可能性最大 9．已知一组数据2，3，4，x，1，4，3有唯一的众数4，则这组数据的中位数是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，BC是O的直径，A，D是O上的两点，连接AB，AD，BD，若 70 ADB? ∠=，则ABC ∠的度数是（） A．20?B．70?C．30?D．90? 11．一组数据0、－1、3、2、1的极差是（） A．4 B．3 C．2 D．1 12．如图，在□ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE、AF分别交BD于点G、H，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD的面积之比为（） A．7 : 12 B．7 : 24 C．13 : 36 D．13 : 72 13．如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，5），底边OB在x轴上．将△AOB 绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（） A．（20 3 ，10 3 ）B．（16 3 ，45 3 ）C．（20 3 ，45 3 ）D．（16 3 ，3 14．二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：x…0134… 1. 3. 4. 5. 6. 九年级数学培优《圆》专题训练（一） 1. ISI 在同一平面内与已知点O的距离尊于3cm的所有点组成的图形是 下列说法正磽的是（h 2直径是弦*弦星直径B过圜心的线段是直控 U圆中最长的弦是立轻 D.直径只有一条 下列说法：①半国是弧宇②飙是半圆*③鬭中的弧分为优弧和劣弧.其中正确的个数有（ A, 0 R 1 D. 3 如图，点C在以AR直径的半圆上，O为画心，ZA = 20\则ZBOC#于（）. A. 20* & 30°U 40" D. 50" 如图，AB是?O的宜否，点GD在0O上，AD//OC,则NAOD的度数为《 A. 70p a 60n C 50* D. 40* 如图，在△ABC中，AB为00的直径,ZB-60% ZC-70fl,则ZBOD的度数是（ 2 80* B L90* C?100a D?120° 如图， 8 ) . &如图, 求证: 第4题图 已知OA、OH是00的两条半径* G D分别为OA.OB上一点, AD=Ha 9.如匪L已知同心岡O*大凰的半径AO、BO分别交小圆于C、D,求证* 10.如图，已知AB为30的直径，C为圆周上一点，求证x ZACB = 90*. 在?0中，为GO 的弦* UD 是直线AE 上两点，AC=BD,求i￡ r OC=OR 14. 期图，AABC 和厶AMD 都为直角△, KZC-ZD=90\求证s A. B. C. D 四点在同一个圆上. D — 心如图，点P 为GO 外一点*卩0及延长线分别交（30于A 、爲 过点P 作一直线交?0于51、N （异于 去B ）. 九年级数学培优《圆》专题训练（二） 同孙3整 严? TT jftWF 徑= 1L 如图， AB. AC 是0O 的两条弦，且= 求证? AO±BC. B 12.如图, 13.如图， 求ZDOE 的度8L CD 是?O 的直径* A 为DC 延长线上一点，AE 交?0 + B t 连OE, ZA-20D , AB^OC, \B f 九年级数学上册培优训练试题 以下是为您推荐的九年级数学上册培优训练试题，希望本篇文章对您学习有所帮助。 九年级数学上册培优训练试题 一、二次根式的有关概念 1. 二次根式: 形如的式子叫做二次根式,二次根式有意义的条件是被开放数 0. 2. 最简二次根式: (1)被开方数中不含有 . (2)被开方数中不含有开得尽方的因数或因式. 例:二次根式中,是最简二次根式的有 ____________________ ________. 下列各式中是最简二次根式的是 ( ) (A) (B) (C) (D) 3. 同类二次根式: 几个二次根式化成最简二次根式后,如果 ,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 例:下面与是同类二次根式的是 ( ) (A) (B) (C) (D) 下列根式中与是同类二次根式的是 ( ) (A) (B) (C) (D) 二、二次根式的性质 1. 非负性：二次根式中被开方数 0，且 0. 2. ( 0). 3. . 三、二次根式的运算 1. 乘法公式: ( 0). 2. 积的算术平方根: ( 0). 3. 除法公式: ( 0, ﹥0). 4. 商的算术平方根: ( 0, ﹥0). 5. 二次根式的加减:二次根式加减时,先将二次根式化成 ,再将合并. 四、典例研习 【例1】 x取怎样的数时,下列二次根式有意义? 【变式探究】 1. 在实数范围内有意义,则的取值范围是 . 2.使式子无意义的的取值是 . 3.使式子有意义的x的取值范围是 . 4.能使式子有意义的的取值范围是 . 5.若 ,则的值为______________. 6. ,则的值为 ( ) (A) (B) (C) (D) 【例2】若 1,化简等于 ( ) (A) (B) (C) (D) 【变式探究】 7.计算: . 一元二次方程㈠ ★知识点精讲 1.一元二次方程的概念 ⑴ 只含有 个未知数，未知数的最高次数是 且二次项系为_____的整式方程叫一元二次方程. ⑴一元二次方程的一般形式()002≠=++a c bx ax ，其中二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 . 2.一元二次方程的解法 ⑴直接开平方法：针对() ()02 ≥=+an n a m x ⑴配方法：针对()002≠=++a c bx ax ，再通过配方转化成())0(2 ≥=+n n m x a 注： ① 配方法的目的是将方程左边化成含未知数的完全平方，右边是一个非负 常数的形式； ②配方法常用于证明一个式子恒大于0或恒小于0，或者求二次函数的最值. ⑶ 公式法：当0≥?时（=? ），用求根公式 ，求一元二次方程()002≠=++a c bx ax 根的方法. ⑶ 因式分解法：通过因式分解，把方程变形为()()0=--n x m x a ，则有m x =或n x =. 注： ⑴ 因式分解的常用方法（提公因式、公式法、十字相乘法）在这里均可使用，其中十字相乘法是最方便、快捷的方法. ⑵ 此法可拓展应用于求解高次方程. 典型例题讲解及思维拓展 ●例1 ⑴方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m = . ⑴关于x 的一元二次方程()01122=-++-a x x a 有一个根是0，则a = . 拓展变式练习1 1.关于x 的方程03)3(7 2 =+---x x m m 是一元二次方程，则m =__________. 2.已知方程012=-+mx x 的一个根121-=x ，则m 的值为 . 初三数学圆的专项培优练习题含答案 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是?EB 的中点，则下列结论不成立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三 2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F 作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．33C．6 D．23 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 ＝38°.点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小是（） A．19° B．38° C．52° D．76° 图四图五 6．如图五，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，且AE：BE =1：3，则AB= ．7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 人教版九年级数学上册期末培优检测卷 (时间：120分钟满分：120分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1．下列手机软件图标中，是中心对称图形的是() 2．下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是() A．(x－1)2＝0 B．x2＋2x－19＝0 C．x2＋4＝0 D．x2＋x＋1＝0 3．(2018·北部湾)从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数相乘，积为正数的概率是( ) A.2 3B. 1 2C. 1 3D. 1 4 4．在矩形ABCD中，AB＝16，按如图所示裁出一扇形ABE，将扇形围成一个圆锥(AB和AE重合)，则此圆锥的底面圆的半径为（） A ．4 B ．16 C ．4 2 D ．8 第4题图 第5题图 第6题图 5．如图，在?ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AE ＝EB ＝EC ＝a ，且a 是一元二次方程x 2＋2x －3＝0的根，则?ABCD 的周长为（ ） A ．4＋2 2 B ．12＋6 2 C ．2＋2 2 D ．2＋2或12＋6 2 6．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，∠BCA ＝65°，作CD ∥AB ，并与⊙O 相交于点D ，连接BD ，则∠DBC 的大小为( ) A ．15° B ．25° C ．35° D ．45° 7．已知平面直角坐标系中的三个点O (0，0)，A (－1，1)，B (－1，0)，将△ABO 绕点O 按顺时针方向旋转45°，则点A 的对应点A 1的坐标为（ ） A ．(2，0) B.? ????22，0 C.? ????0，22 D ．(0，2) 人教版数学九年级上册圆几何综合（培优篇）（Word版含解 析） 一、初三数学圆易错题压轴题（难） 1．如图，抛物线的对称轴为轴，且经过(0，0)， ()两点，点P在抛物线上运动，以P为圆心的⊙P经过定点A(0，2)， (1)求的值； (2)求证：点P在运动过程中，⊙P始终与轴相交； (3)设⊙P与轴相交于M，N(＜)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标． 【答案】（1）a=，b=c=0；（2）证明见解析；（3）P的纵坐标为0或4+2或4﹣ 2． 【解析】 试题分析：（1）根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出a，b，c的值即可； （2）设P（x，y），表示出⊙P的半径r，进而与x2比较得出答案即可； （3）分别表示出AM，AN的长，进而分别利用当AM=AN时，当AM=MN时，当AN=MN 时，求出a的值，进而得出圆心P的纵坐标即可． 试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过 （0，0）和（，）两点， ∴抛物线的一般式为：y=ax2， ∴=a（）2， 解得：a=±， ∵图象开口向上，∴a=， ∴抛物线解析式为：y=x2， 故a=，b=c=0； （2）设P（x，y），⊙P的半径r=， 又∵y=x2，则r=， 化简得：r=＞x2， ∴点P在运动过程中，⊙P始终与x轴相交； （3）设P（a，a2），∵PA=， 作PH⊥MN于H，则PM=PN=， 又∵PH=a2， 则MH=NH==2， 故MN=4， ∴M（a﹣2，0），N（a+2，0）， 又∵A（0，2），∴AM=，AN=，当AM=AN时，=， 解得：a=0， 当AM=MN时，=4， 解得：a=2±2（负数舍去），则a2=4+2； 当AN=MN时，=4， 解得：a=﹣2±2（负数舍去），则a2=4﹣2； 综上所述，P的纵坐标为0或4+2或4﹣2． 九年级数学上册期末试卷培优测试卷 一、选择题 1．如图，已知AB 为O 的直径，点C ，D 在O 上，若28BCD ∠=?，则ABD ∠= （ ） A ．72? B ．56? C ．62? D ．52? 2．如图，点I 是△ABC 的内心，∠BIC ＝130°，则∠BAC ＝（ ） A ．60° B ．65° C ．70° D ．80° 3．分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（ ） A ． 15 B ． 25 C ． 35 D ． 45 4．如图，P 为平行四边形ABCD 的对称中心，以P 为圆心作圆，过P 的任意直线与圆相交于点M ，N ．则线段BM ，DN 的大小关系是（ ） A ．BM ＞DN B ．BM ＜DN C ．BM=DN D ．无法确定 5．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC =8，∠B =∠DAC ，则线段 AC 的长为（ ） A ．3 B ．2 C ．6 D ．4 6．如图，以AB 为直径的⊙O 上有一点C ，且∠BOC ＝50°，则∠A 的度数为（ ） A ．65° B ．50° C ．30° D ．25° 7．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列说法中不正确．．． 的是( ) A ．1 2 DE BC = B ． AD AE AB AC = C ．△ADE ∽△ABC D ．:1:2ADE ABC S S = 8．若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m≥1 B ．m≤1 C ．m ＞1 D ．m ＜1 9．抛物线y ＝x 2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是( ) A ．y ＝(x+1)2+3 B ．y ＝(x+1)2﹣3 C ．y ＝(x ﹣1)2﹣3 D ．y ＝(x ﹣1)2+3 10．方程2x x =的解是（ ） A ．x=0 B ．x=1 C ．x=0或x=1 D ．x=0或x=-1 11．不透明袋子中有2个红球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球是红球的概率是（ ） A ． 13 B ． 14 C ． 15 D ．16 12．如图,在O 中，AB 是O 的直径,点D 是O 上一点，点C 是弧AD 的中点，弦 CE AB ⊥于点F ，过点D 的切线交EC 的延长线于点G ，连接AD ,分别交CF BC 、于点P Q 、，连接AC ．给出下列结论:①BAD ABC ∠=∠；②GP GD =；③点P 是ACQ 的外心；④AP AD ?CQ CB =?．其中正确的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②③④九年级上册数学 期末试卷(培优篇)(Word版 含解析)
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