方差的计算公式

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学科：数学

教学内容：第十四章复习 统计初步

【单元知识总结】

全章的主要内容及其有关知识的相互联系如图所表示：

1．总体和样本

在统计中，我们把所要_____的全体叫做总体．其中每一个考查对象叫做个体．

从总体中抽取的一部分_____叫总体的一个样本；样本中个体的_____叫做样本容量．

2．平均数

总体中所有个体的_______叫做总体平均数，样本中所有个体的_______叫做样本平均数．由于总体中数据的个数较多，通常我们用样本平均数去估计总体平均数．一般地，样本容量越大，这种估计就越精确．

平均数是反映样本（或一组数据）和总体的_______的特征数，平均数反映这组数据的集中趋势．

平均数的计算公式如下：

（1）n 个数据x 1，x 2，…，x n ，平均数x ＝n 1

（x 1＋x 2＋…＋x n ）；

（2）加权平均数：如果在n 个数据中，x 1出现f 1次，x 2出现f 2次，……，x k 出现f k 次（这里f 1＋f 2＋…＋f k

＝n ），则x ＝n 1

（x 1f 1＋x 2f 2＋…＋x k f k ）；

（3）平均数的简化公式：当一组数据x 1，x 2，…，x n 中的各个数值较大，并且

都与常数a 接近时，可将它们同时减去a ．得到一组新数据x 1′，x 2′，…，x n ′，则有x 1＝x 1′＋a ，x 2＝x 2′

[例1]为了考查一块麦田里小麦植株的高度，从中抽取了10株．测得各株的高度如下：（单位： cm ）

83 83 86 84 86 84 83 86 82 85

（1）在这个问题中，总体、个体、样本和样本容量各指什么?

（2）计算样本平均数．

（1）解：总体：这块麦田株高的全体；

个体：每株小麦的高度；

样本：所取10株小麦的高度；样本容量：10．

（2）解法一：x ＝101（83＋83＋86＋84＋86＋84＋83＋86＋82＋85）＝101

×842＝84.2．即所抽取的10株小麦平均高度是84.2 cm ．

解法二：∵这组数据都在85左右波动，取a ＝85，将上面各数据同时减去85，得到一组新数据：1 －2 －1 1 －1 －2 1 －3 0 －2，这组数据的平均数为：

x '＝101

（1－2－1＋1－1－2＋1－3＋0）＝－0.8

所以所求的平均数为x ＝x '＋a ＝84.2；即所抽取的10株小麦平均高度是84.2 cm ．

说明：（1）要理解总体的含义．本题所考查的对象是小麦株高的全体，而不是所有麦株的全体．因此总体是这块麦田小麦株高的全体．

（2）计算平均数要先分析所给数据的特点，并采用较为简单的计算方法．如本例的解法二．

[例2]为了了解某中学初中三年级175名男学生的身高情况，从中抽测了50名男生的身高，下面是数据整理与计算的一部分：

（1）在这个问题中，总体和样本各指什么？

（2）填写频率分布表中未完成的部分．

（3）根据数据整理与计算回答下列问题：

①该校初三年级男生身高在155.5～159.5 （ cm ）范围内的人数约为多少？占多大比例．

②估计该校初三年级男学生的平均身高．

解：（1）总体是指某中学初中三年级175名男学生的身高的全体；所抽取的50名男学生的身高是一个样本．（2）第一列：163.5～167.5；第三列：4；第四列：0.30，1.00．

（3）①该校初中三年级男学生身高在155.5～159.5（ cm）范围内的人数约为14人，占8%．

②根据样本平均数可以估计，该校初中三年级男学生的平均身高约为164 cm．

说明：运用统计思想解决实际问题，要对统计思想有正确的认识，弄懂总体、个体、样本、样本容量等概念，及用样本估计总体的基本思想，并能结合实际需要进行简单的数据整理，解答时要注意：（3）①中问的是该校初中三年级男学生身高在此范围内的人数，而不是样本中的人数；在（3）②中，语言表达要准确，应该是用样本的平均数去估计总体平均数．

图14—4

[例3]育才中学为方便学生中午在校就餐，与某饮食服务公司联系为学生供应价格不等的六种盒饭（每人只限一份）．图14—4是某一天销售情况统计表，条形框上的百分数是销售的该种盒饭占总销售量的百分数．若这一天销售了150份盒饭．

（1）试求出这一天学生购买盒饭所付饭费的平均数和中位数；

（2）若饮食服务公司加工各种盒饭的成本如表二所示，这一天的销售中，饮食服务公司共盈利多少元？

单价（元） 2 3 4 5 6 7

成本（元）1.8 2.4 3 3.8 4.2 4.5

解：（1）将各百分数乘以150，得单价为2～7元，盒饭的份数分别为：12，27，42，39，21，9．

饭费的平均数为x．

x＝150

9

7

21

6

39

5

42

4

27

3

12

2⨯

+

⨯

+

⨯

+

⨯

+

⨯

+

⨯

＝4.38（元）

由于单价为5元、6元、7元的盒饭的份数分别为39，21，9，合计为69份，单价为4元以下的盒饭的份数为12＋27＝39（份）．所以学生购买盒饭所付饭费的中位数为4（元）．

（2）服务公司的利润：

（2－1.8）×12＋（3－2.4）×27＋（4－3）×42＋（5－3.8）×39＋（6－4.2）×21＋（7－4.5）×9＝2.4＋16.2＋42＋46.8＋37.8＋22.5＝167.7（元）．

【单元达纲训练】

1．选择题

（1）若x1＋x2＋…＋x10＝－10，则x1＋a，x2＋a，…，x10＋a的平均数为（）

A．－1－a B．－1＋a

C．－1＋10a D．－10＋a

（2）从鱼塘捕得同时放养的草鱼240尾，从中任选9尾，称得每尾鱼的质量分别是：