带电粒子在有界匀强磁场中的问题1

带电粒子在有界匀强磁场中运动的问题1

教学重点：带电粒子在匀强磁场中运动轨迹半径的确定

教学难点：带电粒子在匀强磁场中运动轨迹半径及圆心的确定；有界磁场边界的确定。

教学过程

一、确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法

方法指导：1、一个基本思路：定圆心、找半径、画轨迹、求时间

（1）圆心的确定：在实际问题中，圆心位置的确定极为重要，通常有两个方法 （如图1） a 、如果已知入射点、入射方向和出射点、出射方向时，可

能通过入射点和出射点作出垂直入射方向和出射方向的垂线，两条垂线交点就是圆弧轨道的圆心。

B 、已知入射点、出射点的位置和入射方向，可以通过入射

点作出入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其线段的

中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧的圆心。

（2）半径的确定和计算：qvB=m R

v 2

， R=Bq mv 或是利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角）。

并注意以下两个重要几何特点：

①粒子速度的偏向角（φ）等于回旋角（α），并等于AB 弦与切线的夹角（弦切

角θ）的2倍（如图所示），即φ=α=2θ=ωt 。

②相对的弦切角（θ）相等，与相邻的弦切角（θ′）互补，即θ+θ′=180°。

（3）粒子在磁场中运动时间的确定：利用回旋角（即圆心角α）与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，由公式qB m T π2=，T t πα2=或v R t θ=。可求出粒子在磁场中的运动时间。 2、一个重要结论 如右图， 带电粒子以速度v 指向圆形磁场的圆心入射，出磁场时速度方向的反向

延长线肯定经过圆形磁场的圆心

例1 如图10-12所示，带负电的粒子垂直磁场方向进入圆形匀强磁场区域，出磁

场时速度偏离原方向60°角，已知带电粒子质量m=3×10-20kg ，电量q=10-13C ，速度v 0=105m/s ，磁场区域的半径R=3×10-1m ，不计重力，求磁场的磁感应强度。

解析：做进、出磁场速度的垂线得交点O ′，O ′点即为粒

子作圆周运动的圆心，据此作出运动轨迹AB ，如图10-13所

示。此圆半径记为r 。连接O 'A, O 'A/OA=tan60°，

。

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动

【小结】由于洛伦兹力总是垂直

于速度方向，若已知带电粒子的任意两个速度方向，

就可以通过作出两速度的垂线，找出两垂线的交点

即为带电粒子做圆周运动的圆心。

v

二：有界匀强磁场是指在局部空间内存在着匀强磁场。

对磁场边界约束时，可以使磁场有着多种多样的边界形状，如：单直线边界、平行直线边界、矩形边界、圆形边界、三角形边界等。在研究带电粒子在有界磁场中运动的问题时，要注意以下几点： a 、刚好穿出磁场的边界的条件是带电粒子在磁场中的运动轨迹与磁场边界相切。

b 、当速度v 一定时，弧长越长，轨迹对应的圆心角越大；带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。这类问题中一般设计为：带电粒子在磁场外以垂直磁场方向的速度进入磁场

1、基本轨迹。

（1）单直线边界磁场（如图1）。

①如果垂直磁场边界进入，②如果与磁场边界成夹角θ进入，仍以与磁场边界夹角θ飞出（有两种轨迹，图1中若两轨迹共弦，则θ1＝θ2）

【例题】一个负离子，质量为m ，电量大小为q ，以速率V 垂直于屏S 经过小孔O 射入存在着匀强磁场的真空室中(如右

图)。磁感应强度B 的方向与离子的运动方向垂直，并垂直于图中纸面向里。

(1)求离子进入磁场后到达屏S 上时的位置与O 点的距离。

(2)如果离子进入磁场后经过时间t 到达位置P ，证明:直线OP 与

离子入射方向之间的夹角θ跟t 的关系是t m qB 2=θ。 ★解析：(1)离子的初速度与匀强磁场的方向垂直，在洛仑兹力

作用下，做匀速圆周运动。设圆半径为r ，则据牛顿第二定律可得：

r V m BqV 2= ，解得Bq

mV r = 如图12所示，离了回到屏S 上的位置A 与O 点的距离为：AO=2r

所以Bq

mV AO 2= (2)当离子到位置P 时，圆心角(见图12)： t m

Bq r Vt ==α因为θα2=，所以。t m

qB 2=θ （2）平行直线边界磁场（如图

2所示）。

带电粒子垂直磁场边界并垂直磁场进入磁场时，①速度较小时，作半圆运动后从原边界飞出；

②速度增加为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相切；

③速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出。

【例题】如图所示，一束电子(电量为e)以速度V 垂直射入磁感强度为B ，

宽度为d 的匀强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是

30°，则电子的质量是 ，穿过磁场的时间是 。

解析：电子在磁场中运动，只受洛仑兹力作用，故其轨迹是圆弧的一部分，

又因为f ⊥V ，故圆心在电子穿入和穿出磁场时受到洛仑兹力指向交点上，如

图中的O 点，由几何知识知，AB 间圆心角θ＝30°，OB 为半径。∴

r=d/sin30°=2d ，又由r=mV/Be 得m=2dBe/V 又∵AB 圆心角是30°，∴穿透

时间t=T/12， 故t=πd/3V 。 2

（3）带电粒子在圆形磁场区域中做匀速圆周运动的特点。入射速度方向指向匀强磁场区域圆的圆心，则出射速度方向的反向延长线必过该区域圆的圆心。

例1、如图所示，圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，现有一电荷量为q ，质量为m 的正离子从a 点沿圆形区域的直径入射，设正离子射出磁场区域方向与入射方向的夹角为60°，求此离子在磁场区域内飞行的时间。

★解析：设正离子从磁场区域的b 点射出，射出

速度方向的延长线与入射方向的直径交点为O ，如

图，正离子在磁场中运动的轨迹为一段圆弧，该轨

迹圆弧对应的圆心O ′位于初、末速度方向垂线的

交点，也在弦ab 的垂直平分线上，O ′b 与区域圆

相切，弦ab 既是轨迹圆弧对应的弦，也是区域圆的

弦，由此可知，OO ′就是弦ab 的垂直平分线，O 点就是磁场区域圆的圆心。

又因为四边形OabO ′的四个角之和为360︒，可推出︒=∠60 b aO ，因此，正离子在磁场中完成了1/6圆周，即qB

m T t 361π== 巩固练习

1、带电粒子所受洛仑兹力f 、磁感应强度B 和粒子速度v 三者间的关系，说法正确的是（ ）

A 、f 、

B 、v 三者必定均相互垂直 B 、f 必定垂直于B 、v ，但B 不一定垂直v

C 、B 必定垂直于f ，但f 不一定垂直于v

D 、v 必定垂直于f ，但f 不一定垂直于B

2、带电粒子以相同的速度分别垂直进入匀强电场和匀强磁场时，它将（ ）

A 、在匀强电场中做匀速圆周运动

B 、在匀强磁场中做变加速曲线运动

C 、在匀强电场中做抛物线运动

D 、在匀强磁场中做抛物线运动

3一个质子和一个α粒子沿垂直于磁感线方向从同一点射入一个匀强磁场中，

若它们在磁场中的运动轨迹是重合的，如图所示则它们在磁场中（ ）

A ．运动的时间相等

B ．加速度的大小相等

C ．速度的大小相等

D ．动能的大小相等

4. 如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两个电荷量绝对值相

同、质量相同的正、负粒子(不计重力)，从A 点以相同的速度先后射入磁场

中，入射方向与边界成θ角，则正、负粒子在磁场中( )

A ．运动时间相同 C ．重新回到边界时速度大小和方向相同

B ．运动轨迹的半径相同 D ．重新回到边界时与A 点的距离相等

5. 一电子以垂直于匀强磁场的速度v A ，从A 处进入长为d 、宽为h 的

磁场区域如图所示，发生偏移而从B 处离开磁场，若电荷量为e ，磁感应强

度为B ，圆弧AB 的长为L ，则 ( )

A ．电子在磁场中运动的时间为t ＝d v A

B ．电子在磁场中运动的时间为t ＝L v A

C ．洛伦兹力对电子做功是Be v A ·h

D ．电子在A 、B 两处的速度相同

6、边长为a 的正方形处于有界磁场中，如图所示。一束电子以速度v 0水平射

入磁场后，分别从A 处和C 处射出，则V A :V C = ，所经历的时间之比

t A :t B = 。

7、一个负离子，质量为m ，电量大小为q ，以速率v 垂直于屏经过小孔A 射入

存在着匀强磁场的真空室中，如图所示。磁感应强度B 的方向与离子的运动方

向垂直，并垂直于图中纸面向里.

（1）画轨迹、找圆心

（2）求半径