2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(课标全国卷)

课标全国(理)

1.(2012课标全国,理1)已知集合A ={1,2,3,4,5},B ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈A ,x -y ∈A },则B 中所含元素的个数为( ).

A .3

B .6

C .8

D .10

D 由x ∈A ,y ∈A 得x -y ∈A ,得(x ,y )可取如下:(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4),故集合B 中所含元素的个数为10.

2.(2012课标全国,理2)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( ). A .12种 B .10种 C .9种 D .8种

A 将4名学生均分为2个小组共有2

24

2

22

C C A =3种分法,

将2个小组的同学分给两名教师带有22

A =2种分法, 最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有22

A =2种分法, 故不同的安排方案共有3×2×2=12种.

3.(2012课标全国,理3)下面是关于复数z =21i

-+的四个命题:

p 1:|z |=2, p 2:z 2

=2i ,

p 3:z 的共轭复数为1+i , p 4:z 的虚部为-1, 其中的真命题为( ). A .p 2,p 3 B .p 1,p 2

C .p 2,p 4

D .p 3,p 4

C z =

2(-1i)(-1i)(-1i)

-+-=-1-i ,故|z

p 1错误;z 2=(-1-i )2=(1+i )2=2i ,p 2正确;z 的共轭复数为-1+i ,p 3错误;p 4

正确.

4.(2012课标全国,理4)设F 1,F 2是椭圆E :22x a +2

2

y b =1(a >b >0)的左、右焦点,P 为直线x =32a 上一点,△F 2PF 1是底

角为30°的等腰三角形,则E 的离心率为( ).

A .12

B .23

C .34

D .45

C 设直线x =32a 与x 轴交于点M ,则∠PF 2M =60°,在Rt △PF 2M 中,PF 2=F 1F 2=2c ,F 2M =32

a -c ,

故cos 60°=22

M F PF =3

a c 22c -=1

2,

解得c a =34,故离心率e =34

.

5.(2012课标全国,理5)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( ).

A .7

B .5

C .-5

D .-7 D ∵{a n }为等比数列,

∴a 5a 6=a 4a 7=-8,

联立47472,8a a a a +=??=-?可解得474,2a a =??

=-?或472,4,

a a =-??=? 当47

4,2a a =??=-?时,q 3=-12,故a 1+a 10=43

a q +a 7q 3=-7;

当47

2,4a a =-??

=?时,q 3=-2,同理,有a 1+a 10=-7. 6.(2012课标全国,理6)如果执行下边的程序框图,输入正整数N (N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ,输出A ,B ,则( )

.

A .A +

B 为a 1,a 2,…,a N 的和

B .2

A B +为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数

C .A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数

D .A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数

C 随着k 的取值不同,x 可以取遍实数a 1,a 2,…,a N ,依次与A ,B 比较,A 始终取较大的那个数,B 始终取较小的那个数,直到比较完为止,故最终输出的A ,B 分别是这N 个数中的最大数与最小数.

7.(2012课标全国,理7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )

.

A .6

B .9

C .12

D .18

B 由三视图可推知,几何体的直观图如下图所示,可知AB =6,CD =3,P

C =3,C

D 垂直平分AB ,且PC ⊥平面ACB ,故所求几何体的体积为13×1632???? ???

×3=9

.

8.(2012课标全国,理8)等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ,B 两点,|AB |=

则C 的实轴长为( ). A

B .

C .4

D .8

C 设双曲线的方程为22x a -2

2

y a =1,抛物线的准线为x =-4,且|AB |=

故可得A (-4,

B (-4,-

将点A 坐

标代入双曲线方程得a 2=4,故a =2,故实轴长为4.

9.(2012课标全国,理9)已知ω>0,函数f (x )=sin π4x ω??+ ???在π,π2?? ???

单调递减,则ω的取值范围是( ).

A .15,24??????

B .13,24??????

C .10,2?? ???

D .(0,2]

A 结合y =sin ωx 的图像可知y =sin ωx 在π3π,22ωω????

??单调递减,而y =sin π4x ω??+ ???=sin π4x ωω????+ ????

???,可知y =sin

ωx 的图像向左平移π4ω个单位之后可得y =sin π4x ω??+ ???的图像,故y =sin π4x ω??+ ???在π5π,44ωω??????

单调递减,故应

有π,π2???????π5π,44ωω??????

,解得12≤ω≤54. 10.(2012课标全国,理10)已知函数f (x )=1ln(1)-x x

+,则y =f (x )的图像大致为( )

.

B 当x =1时,y =1ln21-<0,排除A ;当x =0时,y 不存在,排除D ;f '(x )=1ln(1)-x x ????+??'=21[ln(1)-]x

x x x ++,因定义中要求

x >-1,故-1

11.(2012课标全国,理11)已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,△ABC 是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且SC =2,则此棱锥的体积为( ). A

B

C

D

A ∵SC 是球O 的直径,

∴∠CAS =∠CBS =90°.

∵BA =BC =AC =1,SC =2,∴AS =BS

取AB 的中点D ,显然AB ⊥CD ,AB ⊥SD , ∴AB ⊥平面SCD .

在△CDS 中,CD

DS

,SC =2,利用余弦定理可得cos ∠CDS =222

S S 2 CD D C CD SD +-

故sin ∠CDS

∴S △CDS =12

∴V =V B -CDS +V A -CDS =13×S △CDS ×BD +13S △CDS ×AD =13S △CDS ×BA =13

1

12.(2012课标全国,理12)设点P 在曲线y =12

e x 上,点Q 在曲线y =ln (2x )上,则|PQ |的最小值为( ).

A .1-ln 2 B

1-ln 2)

C .1+ln 2

D .2(1+ln 2)

B 由题意知函数y =12

e x 与y =ln (2x )互为反函数,其图像关于直线y =x 对称,两曲线上点之间的最小距离就是

y =x 与y =12e x 最小距离的2倍,设y =12e x 上点(x 0,y 0)处的切线与y =x 平行,有01e 2x =1,x 0=ln 2,y 0=1,∴y =x 与

y =12e x 的最小距离是2(1-ln 2),

∴|PQ |的最小值为2(1-ln 2)×2=2(1-ln 2).

13.(2012课标全国,理13)已知向量a ,b 夹角为45°,且|a |=1,|2a -b |=10,则|b |= . 32 ∵a ,b 的夹角为45°,|a |=1,

∴a ·b =|a |×|b |cos 45°=2|b |,

|2a -b |2=4-4×2|b |+|b |2=10,

∴|b |=32.

14.(2012课标全国,理14)设x ,y 满足约束条件1,3,0,0,

x y x y x y -≥-??

+≤??

≥??≥?则z =x -2y 的取值范围为 .

[-3,3] 作出不等式组的可行域,如图阴影部分,作直线l 0:x -2y =0,在可行域内平移知过点A 时,z =x -2y 取得最大值,过点B 时,z =x -2y 取最小值.

由10,30,

x y x y -+=??+-=?得B 点坐标为(1,2), 由0,30,

y x y =??

+-=?得A 点坐标为(3,0). ∴z max =3-2×0=3,z min =1-2×2=-3.

∴z ∈[-3,3].

15.(2012课标全国,理15)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N (1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为 .

38 设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ,B ,C ,显然P (A )=P (B )=P (C )=12

, ∴该部件的使用寿命超过1 000的事件为(A B +A B +AB )C .

∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为P =12? ?×12+12×12+12×12???×12=38.

16.(2012课标全国,理16)数列{a n }满足a n +1+(-1)n a n =2n -1,则{a n }的前60项和为 . 1 830 ∵a n +1+(-1)n a n =2n -1,

∴a 2=1+a 1,a 3=2-a 1,a 4=7-a 1,a 5=a 1,a 6=9+a 1,a 7=2-a 1,a 8=15-a 1,a 9=a 1,a 10=17+a 1,a 11=2-a 1,a 12=23-a 1,…,a 57=a 1,a 58=113+a 1,a 59=2-a 1,a 60=119-a 1,

∴a 1+a 2+…+a 60=(a 1+a 2+a 3+a 4)+(a 5+a 6+a 7+a 8)+…+(a 57+a 58+a 59+a 60) =10+26+42+…+234=15(10234)2

?+=1 830.

17.(2012课标全国,理17)已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,a cos C sin C -b -c =0. (1)求A ;

(2)若a =2,△ABC 求b ,c .

解:(1)由a cos C sin C -b -c =0及正弦定理得

sin A cos C A sin C -sin B -sin C =0. 因为B =π-A -C ,

A sin C -cos A sin C -sin C =0. 由于sin C ≠0,所以sin π6A ??- ?

?

?=12.

又0

.

(2)△ABC 的面积S =12

bc sin A 故bc =4.

而a 2=b 2+c 2

-2bc cos A ,故b 2+c 2=8. 解得b =c =2.

18.(2012课标全国,理18)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.

(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y (单位:元)关于当天需求量n (单位:枝,n ∈N )的函数解析式; (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

①若花店一天购进16枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求X 的分布列、数学期望及方差; ②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由. 解:(1)当日需求量n ≥16时,利润y =80.

当日需求量n <16时,利润y =10n -80. 所以y 关于n 的函数解析式为

y =1080,16,80,16

n n n -

(n ∈N ). (2)①X 可能的取值为60,70,80,并且P (X =60)=0.1,P (X =70)=0.2,P (X =80)=0.7.

X 的数学期望为

EX =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76.

X 的方差为DX =(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44. ②答案一:

花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:

Y 的数学期望为EY =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.

Y 的方差为DY =(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04. 由以上的计算结果可以看出,DX

花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下:

Y

的数学期望为EY =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.

由以上的计算结果可以看出,EX

19.(2012课标全国,理19)如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AC =BC =12

AA 1,D 是棱AA 1的中点,DC 1⊥BD .

(1)证明:DC 1⊥BC ;

(2)求二面角A 1-BD -C 1的大小.

解:(1)证明:由题设知,三棱柱的侧面为矩形.

由于D 为AA 1的中点,故DC =DC 1. 又AC =12

AA 1,可得D 21C +DC 2=C 21C ,

所以DC 1⊥

DC .

而DC 1⊥BD ,DC ∩BD =D ,所以DC 1⊥平面BCD . BC ?平面BCD ,故DC 1⊥BC . (2)由(1)知BC ⊥DC 1,且BC ⊥CC 1,

则BC ⊥平面ACC 1,

所以CA ,CB ,CC 1两两相互垂直.

以C 为坐标原点,CA 的方向为x 轴的正方向,|CA

|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz .

由题意知A 1(1,0,2),B (0,1,0),D (1,0,1),C 1(0,0,2).

则1D A =(0,0,-1),BD =(1,-1,1),1DC

=(-1,0,1). 设n =(x ,y ,z )是平面A 1B 1BD 的法向量,

则1

·BD 0,·A D 0,n n ?=??=??

即0,0.x y z z -+=??=? 可取n =(1,1,0).

同理,设m 是平面C 1BD 的法向量,

则1·BD 0,·

DC 0.m m ?=??

=?? 可取m =(1,2,1). 从而cos =·

||||n m n m

故二面角A 1-BD -C 1的大小为30°.

20.(2012课标全国,理20)设抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ,准线为l ,A 为C 上一点,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于B ,D 两点.

(1)若∠BFD =90°,△ABD 的面积为

求p 的值及圆F 的方程;

(2)若A ,B ,F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到m ,n 距离的比值. 解:(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形,|BD |=2p ,圆F 的半径|FA

.

由抛物线定义可知A 到l 的距离d =|FA

. 因为△ABD 的面积为

所以12

|BD |·d =

即12

·2p

=

解得p =-2(舍去),p =2.

所以F (0,1),圆F 的方程为x 2+(y -1)2=8. (2)因为A ,B ,F 三点在同一直线m 上, 所以AB 为圆F 的直径,∠ADB =90°. 由抛物线定义知|AD |=|FA |=12|AB |,

所以∠ABD =30°,m

当m ,由已知可设n :y

+b ,代入x 2=2py 得x 2-2pb =0.

由于n 与C 只有一个公共点,故Δ=43

p 2+8pb =0.

解得b =-6

p .

因为m 的截距b 1=2p ,

1||||b b =3,所以坐标原点到m ,n 距离的比值为3.

当m 的斜率为,由图形对称性可知,坐标原点到m ,n 距离的比值为3.

21.(2012课标全国,理21)已知函数f (x )满足f (x )=f '(1)e x -1-f (0)x +12

x 2.

(1)求f (x )的解析式及单调区间;

(2)若f (x )≥12

x 2+ax +b ,求(a +1)b 的最大值.

解:(1)由已知得f '(x )=f '(1)e x -1-f (0)+x .

所以f '(1)=f '(1)-f (0)+1,即f (0)=1. 又f (0)=f '(1)e -1,所以f '(1)=e . 从而f (x )=e x -x +12

x 2.

由于f '(x )=e x -1+x , 故当x ∈(-∞,0)时,f '(x )<0;

当x ∈(0,+∞)时,f '(x )>0.

从而,f (x )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. (2)由已知条件得e x -(a +1)x ≥b .①

(ⅰ)若a +1<0,则对任意常数b ,当x <0,且x <11

b a -+时,可得e x -(a +1)x

(ⅱ)若a +1=0,则(a +1)b =0.

(ⅲ)若a +1>0,设g (x )=e x -(a +1)x , 则g '(x )=e x -(a +1).

当x ∈(-∞,ln (a +1))时,g '(x )<0;

当x ∈(ln (a +1),+∞)时,g '(x )>0.

从而g (x )在(-∞,ln (a +1))单调递减,在(ln (a +1),+∞)单调递增. 故g (x )有最小值g (ln (a +1))=a +1-(a +1)ln (a +1). 所以f (x )≥12

x 2+ax +b 等价于

b ≤a +1-(a +1)ln (a +1).②

因此(a +1)b ≤(a +1)2-(a +1)2ln (a +1). 设h (a )=(a +1)2-(a +1)2ln (a +1), 则h '(a )=(a +1)(1-2ln (a +1)). 所以h (a )在(-1,12

e -1)单调递增, 在(12

e -1,+∞)单调递减, 故h (a )在a =12

e -1处取得最大值. 从而h (a )≤e 2,即(a +1)b ≤e 2

.

当a =12

e -1,b =12

e 2

时,②式成立,

故f (x )≥12

x 2+ax +b .

综合得,(a +1)b 的最大值为e 2

.

22.(2012课标全国,理22)选修4—1:几何证明选讲

如图,D ,E 分别为△ABC 边AB ,AC 的中点,直线DE 交△ABC 的外接圆于F ,G 两点.若CF ∥AB ,证明:

(1)CD =BC ;

(2)△BCD ∽△GBD .

证明:(1)因为D ,E 分别为AB ,AC 的中点,所以DE ∥BC .

又已知CF ∥AB ,故四边形BCFD 是平行四边形, 所以CF =BD =AD . 而CF ∥AD ,连结AF ,

所以ADCF 是平行四边形,故CD =AF . 因为CF ∥AB ,所以BC =AF ,故CD =BC . (2)因为FG ∥BC ,故GB =CF . 由(1)可知BD =CF ,所以GB =BD .

而∠DGB =∠EFC =∠DBC ,故△BCD ∽△GBD .

23.(2012课标全国,理23)选修4—4:坐标系与参数方程

已知曲线C 1的参数方程是2cos ,3sin x y ??

=??

=?(φ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上,且A ,B ,C ,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为π2,3??

???

.

(1)求点A ,B ,C ,D 的直角坐标;

(2)设P 为C 1上任意一点,求|PA |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2的取值范围. 解:(1)由已知可得A ππ2cos ,2sin 33?? ?

?

?,

B ππππ2cos ,2sin 3232??????++ ? ?

??????

?,

C ππ2cos π,2sin π33??????++ ? ?

??????

?,

D π3ππ3π2cos ,2sin 3232??????++ ? ? ???????

,

即A (1

B (

1),C (-1,

D

-1).

(2)设P (2cos φ,3sin φ),令S =|PA |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2, 则S =16cos 2φ+36sin 2φ+16=32+20sin 2φ. 因为0≤sin 2φ≤1,所以S 的取值范围是[32,52]. 24.(2012课标全国,理24)选修4—5:不等式选讲 已知函数f (x )=|x +a |+|x -2|. (1)当a =-3时,求不等式f (x )≥3的解集;

(2)若f (x )≤|x -4|的解集包含[1,2],求a 的取值范围.

解:(1)当a =-3时,f (x )=25,2,

1,23,25, 3.x x x x x -+≤??<

?-≥?

当x ≤2时,由f (x )≥3得-2x +5≥3,解得x ≤1; 当2

当x ≥3时,由f (x )≥3得2x -5≥3,解得x ≥4; 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1}∪{x |x ≥4}. (2)f (x )≤|x -4|?|x -4|-|x -2|≥|x +a |. 当x ∈[1,2]时,|x -4|-|x -2|≥|x +a | ?4-x -(2-x )≥|x +a | ?-2-a ≤x ≤2-a .

由条件得-2-a ≤1且2-a ≥2,即-3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[-3,0].