倍长中线巧解题

倍长中线法

中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．下面举例说明．

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线

△ABC中方法：延长AD到E，

AD是BC边中线使DE=AD，

连接BE

思考：倍长中线后，能推出什么结论？

例1. 如图：AD为△ABC的中线，求证：AB+AC>2AD 例2.△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围

A

B C

D

E

1

5

图

D

A

E D

A

A B

C

D E

F

M 例3. CB ，CD 分别是钝角△AEC 和锐角△ABC 的中线，且AC=AB ．求证：CE=2CD 。

例4.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD+BC ，M 是CD 的中点，求证：AM 、BM 分别平分∠DAB 和∠CBA 。

例5.（提高题）如图5-2， 已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直

角边各向外作等腰直角三角形，求证EF=2AD

例6.（提高题）在正方形ABCD 中,点E 、F 分别为BC 和AB 的中点求证：AM=AD

A B C D E F

25 图

在RT △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，点O 是AC 边上的一点，连接BO ，交AD 于F ，CE ⊥OB 交BC 边于点E 。（1）求证：△ABF ∽△COE

（2）若O 是AC 边中点，2AC

AB =，如图，求

OF

OE

的值。

（3）当O 是AC 边中点，AC n AB =，请直接写出OF OE

的值。 E

D

A

C

B

E

D

A

C

B

O

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线

△ABC 中 方式1： 延长AD 到E ，

AD 是BC 边中线 使DE=AD ，

连接BE 方式2：间接倍长

作CF ⊥AD 于F ， 延长MD 到N ，

作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ， 连接BE 连接CD

【经典例题】

例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围

提示：画出图形，倍长中线AD ，利用三角形两边之和大于第三边

D

A E D A F E D

B A N

D B A M

例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE

方法1：过D作DG∥AE交BC于G，证明ΔDGF≌ΔCEF

方法2：过E作EG∥AB交BC的延长线于G，证明ΔEFG≌ΔDFB

方法3：过D作DG⊥BC于G，过E作EH⊥BC的延长线于H

证明ΔBDG≌ΔECH

F C

A D