孟道骥《高等代数与解析几何》(第3版)(下册) 线性变换 5.2 课后习题详解【圣才出品】
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5.2
课后习题详解
第1节线性变换的定义
判断下面习题1到习题12中定义的变换A 是否为线性变换．
1．在线性空间V 中，，其中
为V 的一固定向量．
解：当
时，A 是线性变换；
时，A 不是线性变换．
2．在线性空间V 中，其中为V 的一固定向量．
解：当
时，A 是线性变换；
时，A 不是线性变换．
3．在
．
解：因为对k∈C，k≠0，1时
所以A 不是线性变换．
4．
在
．
解：因为
所以A是线性变换．
5．在P[x]中，Af(x)＝f(x＋1）．
解：设k∈P，f(x)，g(x)∈P[x]．再令f(x)＋g(x)＝h(x)，kf(x)＝m(x)，于是由h(x＋1）＝f(x＋1）＋g(x＋1），m(x＋1）＝kf(x＋1）可知A是线性变换．
6．在P[x]中，Af(x)＝f(x０)，其中x0是P中一固定的数．
解：设k∈P，f(x)，g(x)∈P[x]．再令f(x)＋g(x)＝h(x)，kf(x０)＝m(x０)，于是由h(x０)＝f(x０)＋g（(x０)，m(x０)＝kf(x０)知A是线性变换．
7．把复数域作为复数域上的线性空间，为的共轭数．
解：因为对k∈C，k∉R时，，所以A不是线性变换．
8．把复数域作为实数域上的线性空间，．
解：因为对任意的，且对
所以A是线性变换．
9．在中，A(X)＝BXC，其中B，C是中两个固定矩阵．
解：对，有
所以A是线性变换．
10．中，
．解：对
，可得到
所以A是线性变换．
11．在中，
．
解：因为
所以A不是线性变换．
12．在C[a，b]中，．其中K（x）是C[a，b]的一固定函数．
解：因为对于，且有
所以A是线性变换．
13．求P[x]的线性变换的像及核：，
．
解：因为，所以
．又因为，当且仅当f(x)∈P，所以可得．
14．求P[x]的线性变换的像
及核．
解：因为，所以有
又因为，当且仅当f(x)＝0，因此可得
．
第2节线性变换的运算
1．在空间取定直角坐标系OXYZ，以A表示空间绕OX轴由OY向OZ方向旋转90°的变换，以B表示绕OY轴由OZ向OX方向旋转90°的变换，以C表示绕OZ轴由OX向
OY方向旋转90°的变换，证明；
；并验证是否成立．
证：设，则有
于是，又因为
故AB≠BA．又可得
因此．再注意到
所以．
2．，其中
，证明
．
证：直接进行计算，可得
因此结论成立．
3．设，且，试证
．
证：运用数学归纳法，当k＝2时，有