导数与变化率(教案)

变化率与导数

（一）问题提出 问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33

4)(r r V π=

⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3

43)(π

V V r = 分析: 3

43)(π

V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为

)/(62.00

1)

0()1(L dm r r ≈--

⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为

)/(16.01

2)

1()2(L dm r r ≈--

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均 膨胀率逐渐变小了．

思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?

1

212)

()(V V V r V r --

问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v

在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)

0()5.0(s m h h v =--=

；

在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)

1()2(s m h h v -=--=

探究：计算运动员在49

65

0≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

h

t

o

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()49

65

(

h h =， 所以)/(0049

65)

0()49

65

(

m s h h v =--=， 虽然运动员在49

65

0≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可

以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

知 识 梳 理

平均变化率概念:

1．上述问题中的变化率可用式子

1

212)

()(x x x f x f --表示,

称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率

2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样

)()(12x f x f y f -=∆=∆)

3． 则平均变化率为

=

∆∆=∆∆x f

x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111

212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=

∆∆x

f

1212)()(x x x f x f --表示什么?

直线AB 的斜率

x 1

x 2

O

y

y =f (x )

f (x 1) f (x 2) △x = x 2-x 1 △y =f (x 2)-f (x 1)

x

一、情境引入

在前面我们解决的问题：

1、求函数2

)(x x f =在点（2，4）处的切线斜率。

x x

x f x f x y ∆+=∆-∆+=∆∆4)()2(，故斜率为4 2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12-=t V ，求o t t =时的瞬时速度。

t t t

t v t t v t V o o o ∆+=∆-∆+=∆∆2)

()(，故斜率为 o t 2 二、知识点讲解

上述两个函数)(x f 和)(t V 中，当x ∆(t ∆)无限趋近于0时，

t V ∆∆(x

V

∆∆)都无限趋近于一个常数。 归纳：一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ∆无限趋近于0时，

x

x f x x f x y o o ∆-∆+=∆∆)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)('，

上述两个问题中：（1）4)2('=f ，（2）o o t t V 2)('= 三、几何意义：

我们上述过程可以看出

)(x f 在0x x =处的导数就是)(x f 在0x x =处的切线斜率。

例1．已知函数f (x )=x x +-2

的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则

=∆∆x

y

． 解：)1()1(22

x x y ∆+-+∆+--=∆+-，

∴x x

x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2