第2节 空间几何体的表面积和体积
空间几何体的表面积与体积
V柱 = pR2·2R
面积, 再减去渗水孔的面积.
组合体的体积怎样计算?
柱体、锥体、台体 京沪铁路全长1462 km,
球的表面积公式是怎样的? 是用什么方法得到的?
京沪高铁全长1318 km. 0230568 (kg),
的表面积与体积
∴ h(a+c)>bh,
≈1197 (cm2).
球的体积和表面积
柱体、锥体、台体 的表面积与体积
12
解: 这个零件的表面积为
S = S棱柱表+S圆柱侧
p = 2 [ 6 3 ( 2 + 1 4 )+ 6 2 ] 1 5 + 2 6 25
≈1579.485 (mm2),
10000个零件的表面积约为15794850 mm2,
约合15.795平方米.
2. 如图是一种机器零件, 零件
下面是六棱柱 (底面是正六边形, 侧
种零件需要用锌, 已知每平方米用锌 0.
某街心花园有许多钢球(钢的密度是7.
在△SBC中, 边长为 a,
五棱台的上、下底面均是正五边形, 边长分别是 8 cm 和 18 cm, 侧面是全等的等腰梯形, 侧棱长是 13 cm, 求它的侧面面积.
≈2956 (mm3)
圆柱、圆锥、圆台的表面积
当半球切得的片数无限多,
2. 圆柱、圆锥、圆台的表面积 底面积加侧面积.
底面积: S底=p r2. 圆柱侧面积: S柱侧=2p rh. 圆锥侧面积: S锥侧=p rl. 圆台侧面积: S台侧=p l (r+r).
【课时小结】
3. 柱体、锥体、台体体积
柱体体积: V柱 = Sh.
锥体体积:
V锥
=
9.2空间几何体的表面积与体积(教师版)
科 目 数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 9.2空间几何体的表面积与体积考纲定位 了解求、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式；培养学生的空间想象力、逻辑推理能力和计算能力，会利用所学公式进行必要的计算；注意提高认识图、理解图、应用图的能力.一、考点梳理1．柱、锥、台、球的侧面积和体积（1）棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积是指： ；（2）棱柱的体积公式： ；棱锥的体积公式： ；球的体积： .2. 旋转体的面积和体积公式名称 圆柱圆锥 圆台 球 S 侧S 表V二、典型例题例1、已知几何体的三视图如图所示,它的表面积是( ).42.22.32.6A B C D +++例2、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( )A ．4B ．6C ．8D ．12例3、已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是____．三、高考真题 1．（2012·安徽）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是.922．（2012·江西）若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）D(A)112 (B)5 (C)92(D)43．（2012·新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）B(A)6 (B)9 (C)12 (D)184．（2012·全国）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为（ ）A 2.6A (B) 36 (C)23 (D)225．（2012·全国）平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（ ） B（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π6．（2012·广东）某几何的三视图如图所示，它的体积为( )C(A)72π (B)48π (C)30π (D)24π【课后反思】。
空间几何体的表面积及体积计算公式
空间几何体的表面积及体积计算公式空间几何体是指在三维坐标系中存在的几何图形，包括立方体、圆锥体、圆柱体、球体等等。
对于这些几何体来说，求其表面积和体积是我们在学习空间几何时需要掌握的核心内容。
下面我们将详细介绍各种空间几何体的表面积及体积的计算公式。
一、立方体立方体是一种六个面都是正方形的几何体，其表面积和体积计算公式如下：表面积 = 6 × a²体积 = a³其中，a为立方体的边长。
二、正方体正方体是一种所有面都是正方形的几何体，其表面积和体积计算公式如下：表面积 = 6 × a²体积 = a³其中，a为正方体的边长。
三、圆锥体圆锥体是一种由一个圆锥顶点和一个底面为圆形的仿射锥面构成的几何体，其表面积和体积计算公式如下：表面积= πr²+πrl体积= 1/3πr²h其中，r为底面圆半径，l为母线长度，h为圆锥体的高。
四、圆柱体圆柱体是一种由平行于固定轴的两个相等且共面的圆面和它们之间的圆柱面所围成的几何体，其表面积和体积计算公式如下：表面积= 2πrh+2πr²体积= πr²h其中，r为底面圆半径，h为圆柱体的高。
五、球体球体是一种由所有到球心的距离等于固定半径的点所组成的几何体，其表面积和体积计算公式如下：表面积= 4πr²体积= 4/3πr³其中，r为球体的半径。
以上就是五种常见空间几何体的表面积及体积计算公式，希望能够对大家在学习空间几何时有所帮助。
同时，我们也需要关注其实际应用，在工程建设和生活中经常会涉及到这些几何体的计算，因此深化这些知识点的学习，将对我们未来的发展产生积极的影响。
2021高三统考数学一轮学案：第8章第2讲空间几何体的表面积和体积含解析
2021高三统考北师大版数学一轮学案：第8章第2讲空间几何体的表面积和体积含解析第2讲空间几何体的表面积和体积基础知识整合1．多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是01侧面展开图的面积,表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝错误!2πrlS圆锥侧＝错误!πrlS圆台侧＝错误!π（r1＋r2）l3．柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体（棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝错误!Sh锥体S表面积＝S侧＋S底V＝错误!错误!Sh（棱锥和圆锥)台体(棱台和圆台）S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝错误!（S上＋S下＋S上S下）h球S＝错误!4πr2V＝错误!错误!πr31．与体积有关的几个结论（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．（2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．2．几个与球有关的切、接常用结论（1）正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝错误!a;②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝错误!a.（2）若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.(3)直棱柱的外接球半径可利用棱柱的上下底面平行,借助球的对称性，可知球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径．（4)设正四面体的棱长为a,则它的高为错误!a,内切球半径r＝错误!a，外接球半径R＝错误!a.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1。
1．(2019·福州二模)设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3,则该西瓜的体积为() A．100π B.错误! C.错误! D.错误!答案D解析由题意知切面圆的半径r＝4，球心到切面的距离d＝3，所以球的半径R＝r2＋d2＝错误!＝5，故球的体积V＝错误!πR3＝错误!π×53＝错误!,即该西瓜的体积为错误!。
空间几何体的表面积与体积
第2节空间几何体的表面积与体积课时训练练题感提知能【选题明细表】一、选择题1.(2013湖北黄冈4月调研)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积为( B )(A)20 (B)(C)56 (D)60解析:空间几何体是底面为直角三角形的三棱锥,底面直角三角形的直角边边长分别为4,5,三棱锥的高为4,故其体积为××4×5×4=.故选B.2.(2013山东枣庄一模)一个几何体的三视图如图所示,其中长度单位为cm,则该几何体的体积为( D )(A)18 cm3(B)48 cm3(C)45 cm3(D)54 cm3解析:由题中三视图可知,该几何体是四棱柱,底面为直角梯形其上底为4,下底为5,高为3.棱柱的高为4,所以四棱柱的体积为×3×4=54(cm3),故选D.3.(2013河南省十所名校三联)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( B )(A)π (B)2π(C)(2+1)π(D)(2+2)π解析:由题中三视图可知该几何体是两个底面半径为1,高为1的圆锥的组合体,圆锥的母线长度为,故其表面积是2×π×1×=2π.故选B.4.(2013成都市模拟)一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( B )(A)(B)(C)(D)(4+π)解析:此几何体是由半圆锥和一个四棱锥构成,则几何体体积V=××π×12×+×22×=.故选B.5.(2014山东烟台高三期末)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( C )(A)6+8 (B)12+7(C)12+8(D)18+2解析:该空间几何体是一个三棱柱.底面等腰三角形的高是1,两腰长为2,所以其底边长是2,两个底面三角形的面积之和是2,侧面积是(2+2+2)×3=12+6,故其表面积是12+8.故选C.6.(2013河南开封二检)已知三棱锥O ABC,A,B,C三点均在球心为O的球表面上,AB=BC=1,∠ABC=120°,三棱锥O ABC的体积为,则球O 的表面积是( A )(A)64π(B)16π(C)π(D)544π解析:△ABC的面积是,设球心O到平面ABC的距离为h,则××h=,所以h=.△ABC外接圆的直径2r==2,所以r=1.球的半径R==4,故所求的球的表面积是4π×42=64π.故选A.7.(2013江西南昌一模)已知正三角形ABC三个顶点都在半径为2的球面上,球心O到平面ABC的距离为1,点E是线段AB的中点,过点E作球O的截面,则截面面积的最小值是( C )(A)π(B)2π(C)π(D)3π解析:所作的截面与OE垂直时,截面圆的面积最小.设正三角形ABC的高为3a,则4a2+1=4,即a=,此时OE2=12+=,截面圆半径r2=22-=,故截面面积为.故选C.8.(2014绵阳南山中学高三月考)有一个几何体的三视图及其尺寸如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积为( C )(A)12π cm2(B)15π cm2(C)24π cm2(D)36π cm2解析:由三视图可知,该几何体为底面半径为3 cm的圆锥,∴S表=π×32+π×3×5=24π cm2.故选C.二、填空题9.有一根长为3π cm,底面直径为2 cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为cm.解析:把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开,在平面上得到矩形ABCD(如图),由题意知BC=3π cm,AB=4π cm,点A与点C分别是铁丝的起、止位置,故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.AC==5π(cm),故铁丝的最短长度为5π cm.答案:5π10.(2013年高考江苏卷)如图,在三棱柱A1B1C1ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点.设三棱锥F ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2,则V1∶V2= .解析:==··=×××=.答案:1∶2411.(2013吉林省吉林市二模)已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥外接球的表面积等于cm2.解析:由题中三视图知该几何体为三棱锥C1ABC,可补成长方体如图所示,其外接球的直径AC1=,其中AB=3,BC=1,CC故其外接球的表面积为14π cm2.答案:14π12.(2013成都外国语学校高三月考)已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面边长都相等且为1,A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心O,则三棱柱ABC A1B1C1体积等于.解析:∵△ABC为正三角形,且边长为1,∴AO=×=,∴A1O===,∴=×12×=.答案:13.如图在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱,则圆柱的表面积为.解析:由圆锥的底面半径为2,母线长为4,得圆锥的高h==2,由圆柱高为,则圆柱的底面半径r=1.S 表面=2S底面+S侧面=2π+2π×=(2+2)π.答案:(2+2)π三、解答题14.如图所示,在边长为5+的正方形ABCD中,以A为圆心画一个扇形,以O为圆心画一个圆,M,N,K为切点,以扇形为圆锥的侧面,以圆O 为圆锥底面,围成一个圆锥,求圆锥的表面积与体积.解:设圆锥的母线长为l,底面半径为r,高为h,由已知条件解得r=,l=4,S=πrl+πr2=10π,h==,V=πr2h=.15.一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为1的平行四边形,侧视图是一个长为,宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的表面积S.解:(1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图),其底面是边长为1的正方形,高为,所以V=1×1×=.(2)由题中三视图可知,该平行六面体中,A1D⊥平面ABCD,CD⊥平面BCC1B1,所以AA1=2,侧面ABB1A1,CDD1C1均为矩形,S=2×(1×1+1×+1×2)=6+2.16.(2013安徽黄山三校联考)如图(1)所示,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,E、F分别为AC、AB的中点,将△AEF沿EF折起,使A′在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点,得到图(2).(1)求证:EF⊥A′C;(2)求三棱锥F A′BC的体积.(1)证明:在△ABC中,EF是等腰直角△ABC的中位线,∴EF⊥AC,在四棱锥A′BCEF中,EF⊥A′E,EF⊥EC,又EC∩A′E=E,∴EF⊥平面A′EC,又A′C⊂平面A′EC,∴EF⊥A′C.(2)解:在直角梯形BCEF中,EC=2,BC=4,∴S△FBC=BC·EC=4,∵A′O⊥平面BCEF,∴A′O⊥EC,又∵O为EC的中点,∴△A′EC为正三角形,边长为2,∴A′O=,A′O=×4×=.∴==S。
1.3.1空间几何体的表面积与体积
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2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积有如下关系：
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已知棱长为5，底面为正方形的各侧面均为正三角形的 四棱锥S－ABCD，如图所示，求它的表面积．
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＝2×5×
52－522＝25 3.
S 表面积＝S 侧＋S 底＝25 3＋25＝25( 3＋1)．
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【 题 后 总 结 】(1) 本 题 属 求 棱 锥 的 表 面 积 ， 可 以 先 求 侧 面 积，再求底面积．求侧面积，要清楚各侧面三角形的形状，并 找出求面积的条件；求底面积要清楚底面多边形的形状及求其 面积的条件．
(2)求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的 柱体、锥体、台体，再通过这些基本柱体、锥体、台体的表面 积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积．另外，有时也 会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．
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1．已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得 几何体的表面积．
第一章 空间几何体
1.3 空间几何体的表面积与体积 1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
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2021届高考数学一轮总复习第8章立体几何第2节空间几何体的表面积与体积跟踪检测文含解析
第八章 立体几何第二节 空间几何体的表面积与体积A 级·基础过关|固根基|1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( ) A ．4π B ．3π C ．2πD ．π解析：选C 由几何体的形成过程知，所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C.2．(2020届惠州市高三第二次调研)某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成的，俯视图由圆与内接三角形构成，则该几何体的体积为( )A.2π3＋16 B.2π6＋12 C.2π6＋16D.2π3＋12解析：选C 由三视图可知该几何体是一个半球上面有一个三棱锥，其体积V ＝13×12×1×1×1＋12×4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝2π6＋16，故选C. 3．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )A ．2B ．4＋2 2C ．4＋4 2D ．4＋6 2解析：选C 由三视图知，该几何体是直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，其中AB ＝AA 1＝2，BC ＝AC ＝2，∠ACB ＝90°，其直观图如图所示，侧面为三个矩形，故该“堑堵”的侧面积S ＝(2＋22)×2＝4＋42，故选C.4.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A.500π3 cm 3B.866π3cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 3解析：选A 设球的半径为R ，则由题意知，球被正方体上底面截得的圆的半径为4 cm ，球心到截面圆的距离为(R －2)cm ，则R 2＝(R －2)2＋42，解得R ＝5，所以球的体积为4π×533＝500π3(cm 3)．5．(2019届辽宁五校协作体联考)一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．36B ．48C ．64D ．72解析：选B由几何体的三视图可得，几何体如图所示，将几何体分割为两个三棱柱，所以该几何体的体积为12×3×4×4＋12×3×4×4＝48，故选B.6.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________．解析：三棱锥D 1－EDF 的体积即为三棱锥F －DD 1E 的体积．因为E ，F 分别为AA 1，B 1C 上的点，所以在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，△EDD 1的面积为定值12，F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值1，所以V D 1－EDF ＝V F －DD 1E ＝13×12×1＝16.答案：167．(2019届福建市第一学期高三期末)已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积为________．解析：如图，由题意知圆柱的中心O 为这个球的球心，于是，球的半径r ＝OB ＝OA 2＋AB 2＝12＋（3）2＝2.故这个球的表面积S ＝4πr 2＝16π.答案：16π8．已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，沿AD 进行折叠，使折叠后的∠BDC＝π2，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为________．解析：连接BC ，由题知几何体ABCD 为三棱锥，BD ＝CD ＝1，AD ＝3，BD⊥AD，CD⊥AD，BD⊥CD，将折叠后的图形补成一个长、宽、高分别是 3，1，1的长方体，其体对角线长即为外接球的直径，2R ＝1＋1＋3＝5，故该三棱锥外接球的半径是R ＝52，其表面积为4πR 2＝5π. 答案：5π9.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍，若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？解：由PO 1＝2 m ，知O 1O ＝4PO 1＝8 m ．因为A 1B 1＝AB ＝6 m ，所以正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)； 正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积 V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)，所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)． 故仓库的容积是312 m 3.10．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示．(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝16－4＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝ EH 2－EM 2＝6，则AH ＝10，HB ＝6. 故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56，S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱， 所以其体积的比值为97⎝ ⎛⎭⎪⎫79也正确. B 级·素养提升|练能力|11.已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．3π＋6B ．6π＋6C ．3π＋12D ．12解析：选A 由三视图还原几何体如图，该几何体为组合体，左半部分是四分之一圆锥，右半部分是三棱锥， 则其体积V ＝14×13×π×32×4＋13×12×3×3×4＝3π＋6.故选A.12．体积为3的三棱锥P －ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA⊥平面ABC ，PA ＝2，∠ABC＝120°，则球O 的体积的最小值为( )A.773π B.2873π C.19193π D.76193π 解析：选B 设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，由题可得，3＝13×S △ABC ×2，解得S △ABC ＝332，因为∠ABC＝120°，S △ABC ＝332＝12acsin 120°，所以ac ＝6，由余弦定理可得，b 2＝a 2＋c 2－2accos 120°＝a 2＋c2＋ac≥2ac＋ac ＝3ac ＝18，当且仅当a ＝c 时取等号，此时b min ＝32，设△ABC 外接圆的半径为r ，则b sin 120°＝2r(b 最小，则外接圆半径最小)，故3232＝2r min ，所以r min ＝6，如图，设O 1为△ABC 外接圆的圆心，过O 作OD⊥PA，垂足为D ，R 为球O 的半径，连接O 1A ，O 1O ，OA ，OD ，PO ，设OO 1＝h ，在Rt △OO 1A 中，R 2＝r 2＋OO 21＝r 2＋h 2，在Rt △OPD 中，R 2＝r 2＋(2－h)2，联立得h ＝1.当r min ＝6时，R 2min ＝6＋1＝7，R min ＝7，故球O 体积的最小值为43πR 3min ＝43π×(7)3＝287π3，故选B. 13．榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部分相结合的一种连接方式．我国的北京紫禁城、山西悬空寺、福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构．图中网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图，则其体积为________，表面积为________．解析：由三视图可知，榫卯构件中的榫由一个长方体和一个圆柱拼接而成，故其体积V＝4×2×3＋π×32×6＝24＋54π，表面积S＝2×π×32＋2×π×3×6＋4×3×2＋2×2×3＝54π＋36.答案：24＋54π54π＋3614．(2020届合肥调研)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1，M为棱AB上一点，BC1∥平面A1MC.(1)求证：AM＝BM；(2)若△ABC是等边三角形，AB＝AA1，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，△A1MC的面积为42，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．解：(1)证明：如图，连接AC1交A1C于N，连接MN.∵BC1∥平面A1MC，BC1⊂平面ABC1，平面ABC1∩平面A1MC＝MN，∴BC1∥MN.由三棱柱ABC－A1B1C1知，四边形ACC1A1为平行四边形，∴N为AC1的中点．∴M为AB的中点，即AM＝BM.(2)连接A1B，∵△ABC是等边三角形，AB＝AA1，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∴△ABC，△AA1B，△AA1C是全等的等边三角形，由(1)知，M为AB的中点，∴A1M⊥AB，CM⊥AB.∵A1M∩CM＝M，∴AB⊥平面A1MC.设AB ＝2a ，则A 1M ＝CM ＝3a ，A 1C ＝2a ，∴△A 1MC 的面积为12·2a ·2a ＝2a 2＝42，解得a ＝2，即AM ＝2，∴V 三棱锥A －A 1MC ＝13·S △A 1MC ·AM ＝823，从而V 三棱柱ABC －A 1B 1C 1＝6·V 三棱锥A －A 1MC ＝16 2.。
【精品复习】立体几何篇-第2讲 空间几何体的表面积与体积
第2讲空间几何体的表面积与体积【2014年高考会这样考】考查柱、锥、台、球的体积和表面积，由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，难度有所增大．【复习指导】本讲复习时，熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式，运用这些公式解决一些简单的问题．基础梳理1．柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝13Sh＝13πr2h＝13πr2l2－r2圆台S侧＝π(r1＋r2)lV＝13(S上＋S下＋S上S下)h＝13π(r21＋r22＋r1r2)h直棱柱S侧＝Ch V＝Sh正棱锥S侧＝12Ch′V＝13Sh正棱台S侧＝12(C＋C′)h′V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S球面＝4πR2V＝43πR32.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．两种方法(1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图．(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．双基自测1．(人教A版教材习题改编)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是()．A．4πS B．2πSC．πS D.23 3πS解析设圆柱底面圆的半径为r，高为h，则r＝S π，又h＝2πr＝2πS，∴S圆柱侧＝(2πS)2＝4πS.答案 A2．(2012·东北三校联考)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()．A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2解析由于长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，则长方体的体对角线长为(2a)2＋a2＋a2＝6a.又长方体外接球的直径2R等于长方体的体对角线，∴2R＝6a.∴S球＝4πR2＝6πa2.答案 B3．(2011·北京)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )．A ．8B ．6 2C ．10D ．8 2解析 由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6,62，8,10，所以面积最大的是10，故选择C. 答案 C 4．(2011·湖南)设右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )． A.92π＋12 B.92π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18解析 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，长方体的底面是边长为3的正方形，高为2，故所求体积为2×32＋43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝92π＋18.答案 B5．若一个球的体积为43π，则它的表面积为________． 解析 V ＝4π3R 3＝43π，∴R ＝3，S ＝4πR 2＝4π·3＝12π. 答案 12π考向一几何体的表面积【例1】►(2011·安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()．A．48 B．32＋817C．48＋817 D．80[审题视点] 由三视图还原几何体，把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面积．解析换个视角看问题，该几何体可以看成是底面为等腰梯形，高为4的直棱柱，且等腰梯形的两底分别为2,4，高为4，故腰长为17，所以该几何体的表面积为48＋817.答案 C以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．【训练1】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于()．A. 3 B．2C．2 3 D．6解析由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2的正三角形、侧棱为1的直三棱柱，则此三棱柱的侧面积为2×1×3＝6.答案 D考向二 几何体的体积【例2】►(2011·广东)如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )．A ．18 3B ．12 3C ．9 3D ．6 3[审题视点] 根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公式求解．解析 该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高为3，故V ＝3×3×3＝9 3. 答案 C以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．【训练2】 (2012·东莞模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )．A.283πB.163π C.43π＋8 D ．12 π解析 由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为2的圆柱和半径为1的球的组合体，则该几何体的体积为π×22×2＋43π＝283π.答案 A考向三 几何体的展开与折叠【例3】►(2012·广州模拟)如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体DABC ，如图2所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体DABC 的体积．[审题视点] (1)利用线面垂直的判定定理，证明BC 垂直于平面ACD 内的两条相交线即可；(2)利用体积公式及等体积法证明． (1)证明 在图中，可得AC ＝BC ＝22，从而AC 2＋BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC ， 取AC 的中点O ，连接DO ，则DO ⊥AC ，又平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，DO ⊂平面ADC ，从而DO ⊥平面ABC ，∴DO ⊥BC ， 又AC ⊥BC ，AC ∩DO ＝O ，∴BC ⊥平面ACD .(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥BACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2，∴V BACD ＝ 13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423，由等体积性可知，几何体DABC 的体积为423.(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．【训练3】已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝2，P是BC1上一动点，如图所示，则CP＋P A1的最小值为________．解析P A1在平面A1BC1内，PC在平面BCC1内，将其铺平后转化为平面上的问题解决．计算A1B＝AB1＝40，BC1＝2，又A1C1＝6，故△A1BC1是∠A1C1B＝90°的直角三角形．铺平平面A1BC1、平面BCC1，如图所示．CP＋P A1≥A1C.在△AC1C中，由余弦定理得A1C＝62＋(2)2－2·6·2·cos 135°＝50＝52，故(CP＋P A1)min＝5 2.答案5 2难点突破17——空间几何体的表面积和体积的求解空间几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧、把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧、对旋转体作其轴截面的技巧、通过方程或方程组求解的技巧等，这是化解空间几何体面积和体积计算难点的关键．【示例1】►(2010·安徽)一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为()．A ．280B ．292C ．360D ．372【示例2】► (2011·全国新课标)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．。
2012届高三数学复习课件(广东文)第8章第2节__空间几何体的表面积和体积
反思小结： 若直接用公式求三棱锥A′ — EFD的体积，就 必须求A′到底面EFD的距离(即高)，显然这是比较困难 的．一般来说，当直接求距离甚至底面积遇到较大阻 力时，往往可以轮换三棱锥中的两个顶点，将底面和 高转化为题目已知或容易求解的问题．这是解决求高 或体积问题时常用的思路．
拓展练习：将棱长为1的正方体ABCD —A1 B1C1 D1中 截去一角B1 — A1 BC1，求三棱锥B1 —A1 BC1的体积， 并求三棱锥B1 — A1 BC1的高．
)
D． 4
4.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何 体的体积是 18 cm3 .
解析：该几何体是由两个长方体组成．下面的长方体 的体积为1× 3 × 3 = 9 ( cm3 )，上面的长方体的体积为 3 × 3 × 1 = 9 ( cm3 )，因此该几何体的体积为18 cm3 .
6 5.若一个底面边长为 ,侧棱长为 6的正六棱柱的所有点 2 都在一个球面上，则此球的体积是 4 3 π .
( 2 ) 方法1：在Rt∆ADE中，AE = 3，AD = 6，
所以DE = AD 2 − AE 2 = 3.过点E作EF ⊥ AD于点F . 因为AB ⊥ 平面ADE，EF ⊂ 平面ADE，所以EF ⊥ AB. 因为AD I AB = A，所以EF ⊥ 平面ABCD. 因为AD EF = AE DE， AE DE 3 × 3 3 3 3 所以EF = = = . AD 6 2 又正方形ABCD的面积S正方形 ABCD = 36， 所以VABCDE = VE − ABCD 1 1 3 3 = 18 3. = S正方形 ABCD × EF = × 36 × 2 3 3
反思小结： 圆锥的内接问题，一般都要借助于三角形的 相似找到变量之间的比例关系，将未知的变量转化为 已知变量来解决．圆柱、圆锥的表面积和体积关键是 求出底面半径、母线长和高，再准确运用公式进行计 算．而求最大、最小值的问题，往往都是转化为某个 变量的函数，再运用相关函数的图象和性质求解即可．
2014年人教A版必修二课件 1.3 空间几何体的表面积与体积
6 25 5 12
= 2[6 3 (24 + 12)]+ 612 5 + 6p 25 ≈1579.485 (mm2), 10000个零件的表面积约为15794850 mm2, 约合15.795平方米.
2. 如图是一种机器零件, 零件 下面是六棱柱 (底面是正六边形, 侧 面是全等的矩形) 形, 上面是圆柱 (尺寸如图, 单位: mm) 形, 电镀这 种零件需要用锌, 已知每平方米用 锌 0.11 kg, 问电镀 10000个零件需 要锌多少千克? (结果精确到 0.01 kg) 解: 这个零件的表面积为 S = S棱柱表+S圆柱侧
2. 柱体、锥体与台体的体积 问题 1. 还记得正方体、长方体、圆柱和圆锥的 体积公式吗? 由此类推柱体和锥体的体积公式如何? 你想想台体的体积怎样求? 柱体体积: V柱 = Sh (S 为底面面积, h为柱体高). 锥体体积: V锥 = 1 Sh (S 为底面面积, h为柱体高). 3 台体体积: V台 = V大锥体-V小锥体 (S为下底面积, S为上底面积, = 1 ( Sh大 - Sh小 ), 3 h 为台高). h S = ( 小 )2 , h大 - h小 = h, S h大 1 V台 = h( S + SS + S). 3
例 1. 已知棱长为 a, 各面均为等边三角形的四面 体 S-ABC, 求它的表面积. 解: 这四面体的表面是由 4 个全等 的等边三角形组成, A 所以它的表面积 S = 4S△SBC B D 在△SBC中, 边长为 a, SD为BC边上的高. a 2 2 = 3 a, 2 2 则 SD = SB - BD = a - ( ) 2 2 3 a2, 1 3 于是得 S△SBC= 1 BC SD = a a = 4 2 2 2 所以, 这个四面体的表面积为 3 S = 4 a 2= 3a 2 . 4
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第2节 空间几何体的表面积和体积
课时训练 练题感 提知能
【选题明细表】
知识点、方法 题号
几何体的表面积 6、9、11、12、14、15
几何体的体积 1、2、3、4、5、7、8、11
与球有关的问题 5、15
折叠与展开问题 10、13、16
A组
一、选择题
1.一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所
示,则该四棱锥体积是( B )
(A)8 (B)
(C)4 (D)
解析:由题意可以得到原四棱锥的底面正方形的边长为2,四棱锥的
高为2,
体积为V=×4×2=,
故选B.
2.(2013陕西宝鸡市模拟)若一个底面是等腰直角三角形(C为直角顶
点)的三棱柱的正视图如图所示,则该三棱柱的体积等于( A )
(A)1 (B) (C) (D)
解析:由正视图知,该三棱柱的底面两直角边的长为,高为1,所以该
三棱柱的体积V=×××1=1.故选A.
3.(2013西安联考)某个容器的三视图中正视图与侧视图相同,如图
所示,则这个容器的容积(不计容器材料的厚度)为( B )
(A)π (B)π (C)π (D)π
解析:由三视图知,原几何体为圆锥和圆柱的组合体,其中圆锥和圆柱
的底面半径为1,圆柱的高为2,圆锥的高为1,
所以这个容器的容积为
V=π×12×2+×π×12×1=,
故选B.
4.(2013兰州市诊断测试)某几何体的三视图如图所示,则它的体积
是( C )
(A) (B)8-
(C)8- (D)8-2π
解析:由三视图知,几何体为一个正方体里面挖去一个圆锥,正方体的
棱长为2,圆锥的底面半径为1,高为2,
所以该几何体的体积为V=23-×π×12×2=8-,
故选C.
5.(2012年高考广东卷)某几何体的三视图如图所示,它的体积为
( C )
(A)72π (B)48π (C)30π (D)24π
解析:由三视图可知该几何体是半个球体和一个倒立圆锥体的组合体,
球的半径为3,圆锥的底面半径为3、高为4,那么根据体积公式可得
组合体的体积为30π,故选C.
6.(2013梅州市高三质检)一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,
如图所示,则该三棱锥的外接球表面积为( A )
(A)29π (B)30π
(C)π (D)216π
解析:如图,
由题中三视图知三棱锥直观图为D1ACD.其中D1D,AD,DC两两垂直,则
其外接球直径2R==.则外接球表面积为S=4π·2=29
π,故选A.
二、填空题
7.(2013年高考江苏卷)如图,在三棱柱A1B1C1ABC中,D,E,F分别是
AB,AC,AA1的中点.设三棱锥FADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1ABC的体
积为V2,则V1∶V2= .
解析:=
=··
=×××=.
答案:1∶24
8.(2013天津市一中月考)已知某几何体的三视图如图所示,则该几
何体的体积为 .
解析:由三视图可知几何体是一个圆柱体由平面截后剩余的一部分,
并且可知该几何体是一个高为6,底面半径为1的圆柱体的一半,
则知所求几何体体积为×π×12×6=3π.
答案:3π
9.(2013山西师大附中模拟)如图,一个空间几何体的正视图、侧视图
都是面积为,一个内角为60°的菱形,俯视图为正方形,那么这个几
何体的表面积为 .
解析:由三视图知,该几何体是由两个完全相同的正四棱锥组合在一
起的.
因为正视图、侧视图都是面积为,一个内角为60°的菱形,
所以菱形的边长为1,即正四棱锥的底面边长为1,侧面的斜高为1.
因此,这个几何体的表面积为S=×1×1×8=4.
答案:4
10.(2013广东六校第三次联考)有一个各棱长均为1的正四棱锥,想
用一张正方形包装纸将其完全包住,不能剪裁,可以折叠,那么包装纸
的最小面积为 .
解析:这是一个折叠与展开的问题,将展开平铺后的正四棱锥放在正
方形的纸上,当正四棱锥的顶点和正方形的顶点重合(如图所示)时,
纸的面积最小.此时,设正方形的边长为a,由余弦定理a2=12+12-2cos
150°=2+,
故Smin=a2=2+.
答案:2+
三、解答题
11.如图,已知某几何体的三视图如图(单位:cm):
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);
(2)求这个几何体的表面积及体积.
解:(1)这个几何体的直观图如图所示.
(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1QA1D1P的组合
体.
由PA1=PD1=,
A1D1=AD=2,
可得PA1⊥PD1.
故所求几何体的表面积
S=5×22+2×2×+2××()2
=22+4(cm2),
体积V=23+×()2×2=10(cm3).
12.(2013山东潍坊期末)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图
和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形,若该几何体的所
有顶点在同一球面上,求该球的表面积.
解:如图所示该几何体的直观图是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥
C1ABCD.
其中底面ABCD是边长为4的正方形,高为CC1=4,
该几何体的所有顶点在同一球面上,
则球的直径为AC1=4=2R,
所以球的半径为R=2,
所以球的表面积是4πR2=4π×(2)2=48π.
13.如图所示,在边长为5+的正方形ABCD中,以A为圆心画一个扇
形,以O为圆心画一个圆,M,N,K为切点,以扇形为圆锥的侧面,以圆O
为圆锥底面,围成一个圆锥,求圆锥的表面积与体积.
解:设圆锥的母线长为l,底面半径为r,高为h,
由已知条件
解得r=,l=4,S=πrl+πr2=10π,
h==,V=πr2h=.
B组
14.(2013大连市一模)一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的
表面积为92 m2,则h等于( C )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
解析:由三视图可知该几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱,几何
体的表面积是
2××4+(2+4+5+)h=92,
即16h=64,解得h=4.故选C.
15.(2013潍坊市一模)已知一圆柱内接于球O,且圆柱的底面直径与
母线长均为2,则球O的表面积为 .
解析:圆柱的底面直径与母线长均为2,
所以球的直径===2,
即球半径为,
所以球的表面积为4π×()2=8π.
答案:8π
16.(2013安徽黄山三校联考)如图(1)所示,△ABC是等腰直角三角
形,AC=BC=4,E、F分别为AC、AB的中点,将△AEF沿EF折起,使A′
在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点,得到图(2).
(1)求证:EF⊥A′C;
(2)求三棱锥FA′BC的体积.
(1)证明:在△ABC中,EF是等腰直角△ABC的中位线,
∴EF⊥AC,
在四棱锥A′BCEF中,EF⊥A′E,EF⊥EC,
又EC∩A′E=E,∴EF⊥平面A′EC,
又A′C⊂平面A′EC,∴EF⊥A′C.
(2)解:在直角梯形BCEF中,EC=2,BC=4,
∴S△FBC=BC·EC=4,
∵A′O⊥平面BCEF,∴A′O⊥EC,
又∵O为EC的中点,∴△A′EC为正三角形,边长为2,
∴A′O=,
∴==S△FBC·A′O
=×4×=.