2018届高中数学必修(人版)定积分的概念课件
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高中定积分概念课件
高中定积分的概念课件学习目标1知识与技能目标理解并掌握定积分的概念和定积分的几何意义。
2过程与方法目标通过学生自主探究合作交流，培养学生分析比较概括等思维能力,形成良好的思维品质。
情感态度与价值观目标通过学生积极参与课堂活动，让学生体验创造的激情和成功的喜悦，教学过程中及时地表扬鼓励学生，让学生领会到实实在在的成就感。
教学重点定积分的概念，定积分的几何意义。
教学难点定积分的概念。
一创设情境，引入新课创设情境：请大家闭上双眼，回忆曲边图形面积的求法，求与直线=1，=0所围成的平面图形的面积。
教师口述：分割→近似代替→求和→取极限引入新课：定积分的概念如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为，在每个小区间上取一点，作和式：如果时，上述和式无限趋近于一个常数，那么称该常数为___________________________，记为：___________________________，即：___________________________。
注意：①称为______________，叫做_____________，为_____________，与分别叫做________________与________________。
②定积分是一个常数，只与积分上下限的大小有关，与积分变量的字母无关，。
二自主探究合作交流探究一：在求积分时要把等分成个小区间，是否一定等分探究二：在每个小区间上取一点，是否一定选左端点探究三：分组讨论定积分的几何意义是什么探究四：分组讨论根据定积分的几何意义，用定积分表示图中阴影部分的面三例题剖析，初步应用例1利用定积分的定义，计算的值引导：怎样用定积分法求简单的定积分呢解：令定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1(定积分的线性性质)性质2(定积分的线性性质)思考(用定积分的概念解释)：性质3(其中)(定积分对积分区间的可加性)思考(用定积分的几何意义解释)：四课堂练习巩固提高1从几何上解释：表示什么2计算的值。
高中数学 定积分定义 PPT 课件
DSiv(i)Dti ( ti1< i<ti );
(3)求和: 物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程近似为
n
S v ( i ) D t i ; i 1
(4)取极限: 记max{Dt1, Dt2,, Dtn}, 物体所经过的路程为
n
S l 0 i 1 v ( i ) D t i i . m
(i1,
2,, Nhomakorabean). 于是 1exd x lim nen i 1li1 m (e1 n en 2 en n)
0
n i 1 nn n
1
1
1
lim 1en[1(en)n]lim en[1e]e1
n n
1
1en
n
1
n(1en)
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二、定积分定义
x ❖定积分的定义
设函数f(x)在区间[a, b]上有界.
•在区间[a, b]内插入分点: ax0<x1<x2< <xn1<xnb;
记Dxixixi1 (i1, 2,, n), max{Dx1, Dx2,,Dxn};
•在小区间[xi1,
这是因为g(x)f(x)0, 从而
所以
a b g ( x ) d a b f ( x ) d x a b [ g ( x ) x f ( x ) d 0 ] , x a b f ( x ) d a b g ( x ) d . x x
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•性质5 如果在区间[a, b]上 f (x)0, 则
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三、定积分的性质
•性 性质 质1 1 a b [ f ( x ) g ( x ) d ] a b f ( x x ) d a b g ( x x ) d . x 性 •性质 质2 2 a b k ( x ) d k f a b f ( x ) d x . >>> x 性 •性质 质3 3 a b f ( x ) d a c f ( x ) x d c b f ( x ) x d . >>> x
(3)求和: 物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程近似为
n
S v ( i ) D t i ; i 1
(4)取极限: 记max{Dt1, Dt2,, Dtn}, 物体所经过的路程为
n
S l 0 i 1 v ( i ) D t i i . m
(i1,
2,, Nhomakorabean). 于是 1exd x lim nen i 1li1 m (e1 n en 2 en n)
0
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1
1
1
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n n
1
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n
1
n(1en)
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二、定积分定义
x ❖定积分的定义
设函数f(x)在区间[a, b]上有界.
•在区间[a, b]内插入分点: ax0<x1<x2< <xn1<xnb;
记Dxixixi1 (i1, 2,, n), max{Dx1, Dx2,,Dxn};
•在小区间[xi1,
这是因为g(x)f(x)0, 从而
所以
a b g ( x ) d a b f ( x ) d x a b [ g ( x ) x f ( x ) d 0 ] , x a b f ( x ) d a b g ( x ) d . x x
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•性质5 如果在区间[a, b]上 f (x)0, 则
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三、定积分的性质
•性 性质 质1 1 a b [ f ( x ) g ( x ) d ] a b f ( x x ) d a b g ( x x ) d . x 性 •性质 质2 2 a b k ( x ) d k f a b f ( x ) d x . >>> x 性 •性质 质3 3 a b f ( x ) d a c f ( x ) x d c b f ( x ) x d . >>> x
定积分的概念 课件
∴
1－x2dx＝π3－
43＋
23＝π3＋
3 4.
(3)函数 y＝sin x 在区间[－π，π]上是一个奇函数，图象关于
原点成中心对称，由在 x 轴上方和下方面积相等的两部分构成，
故该区间上定积分的值为面积的代数和，这个代数和为 0，即 f
π－πsin xdx＝0.
点评：定积分
b a
f(x)dx 的几何意义是：介于
点评：用定义法求定积分的四个步骤：①分割；② 近似代替；③求和；④取极限．其中分割通常都是对积 分区间进行等分，近似代替时通常取区间的端点，求和 时要注意一些公式的灵活应用．
题型2 用几何意义求定积分
例2 用定积分的意义求下列各式的值： (1) －3 1(Байду номын сангаасx＋1)dx；
(2)
1－x2dx；
(3) π－πsin xdx.
解析：(1)分割． 将区间[0,1]分成 n 等份，0＜n1＜n2＜…＜n－n 1＜nn＝1，分割后的 区间长为 Δx＝ni －i－n 1＝n1. (2)近似代替． 第 i 个小曲边梯形的面积可近似为 ΔSi≈ΔSi′＝f i－n 1·Δx＝i－n 12·n1(i＝1,2，…，n)．
(3)求和．
10x2dx≈Sn＝i＝n1ΔSi′＝i＝n1fi－n 1·Δx
(2)由 y＝ 1－x2可知，x2＋y2＝1(y≥0)的图象如下图所示，
由定积分的几何意义知，
1－x2dx 等于圆心角为 120°的
弓形 CED 的面积与矩形 ABCD 的面积之和．
S 弓形＝12×23π×12－21×1×1×sin 23π＝π3－ 43，S 矩形＝|AB|·|BC| ＝2× 23×12＝ 23，
定积分的概念
2018版高考数学(人教A版理)一轮复习课件：第2章 第13节 定积分与微积分基本定理
高三一轮总复习
8 25 C [由 v(t)＝7－3t＋ ＝0，可得 t＝4t＝－3舍去，因此汽车从刹车到停止 1＋t
一共行驶了 4 s，此期间行驶的距离为
32 7t－ t ＋25ln1＋t|4 0＝4＋25ln 2
4
v(t)dt ＝
0
4
x＝0， 得 y＝0
x＝k， 或 2 y ＝ k ，
则曲线 y＝x2 与直线 y＝kx(k＞0)所围成的曲边梯形的面积为
k 0
(kx－x
2
k 2 1 3 )dx＝2x －3x |k 0
k3 1 3 4 ＝ 2 －3k ＝3， 即 k3＝8，∴k＝2.]
－1
2 x ，x∈[0，1]， (2) 设 f(x) ＝ 1 ，x∈1，e x
e (e 为 自然 对 数 的 底 数 ) ， 则 f(x)dx 的值 为
0
________. π 2 (1)2＋3
4 (2)3
1 2 1 [(1)原式＝ x d x ＋
a
＝ F(b)－F(a) ，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式． 其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数．
b F ( x )| a 为了方便，常把 F(b)－F(a)记作
，
b b 即 f(x)dx＝F(x)|a＝F(b)－F(a)．
a
高三一轮总复习
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
高三一轮总复习
2．(教材改编)已知质点的速率 v＝10t，则从 t＝0 到 t＝t0 质点所经过的路程是 ( A．10t2 0 10 2 C. 3 t0 B.5t2 0 52 D.3t0 )
1.5.3 定积分的概念
到曲边梯形的曲边,然后通过求曲边梯形的面积得到相应的定积分
的值,但要注意,当f(x)≥0时,
������ ������
f(x)dx=S;当
f(x)<0
时,
������ ������
f(x)dx=-S.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法 当堂检测
变式训练 2 利用定积分的几何意义计算:
(1)
2 0
(1)
1 0
2dx;(2)
2 1
xdx;(3)
1 -1
1-������2dx.
分析:画出被积函数的图象以及相应的区间,根据定积分的几何 意义,通过平面图形的面积得到相应的积分值.
探究一
探究二
探究三
思想方法 当堂检测
课堂篇探究学习
解:(1)
1 0
2dx
表示的是图①中阴影所示长方形的面积,由于这个
长方形的面积为
f(x)dx
的几何意义.
名师点拨
������ ������
f(x)dx,
������ ������
|f(x)|dx,|
������ ������
f(x)dx|几何意义的区别:
������ ������
f(x)dx,
������ ������
|f(x)|dx,|
������ ������
f(x)dx|的几何意义是不同的,绝不能等同
(2)
������ ������
������1(������) ±
������2(������)
dx=
������ ������
f1(x)dx±
������ ������
( 人教A版)高中数学选修22：1.5.3定积分的概念课件 (共35张PPT)
)dx＝1，
a
a
所以c2f(x)dx＋b2f(x)dx
a
c
＝2(cf(x)dx＋bf(x)dx)
a
c
＝2bf(x)dx＝4. a
答案：4
3．计算定积分3(2x＋1)dx＝________. 0
解析：3(2x＋1)dx 表示直线 f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3 围成的直角梯形 OABC 的 0
a
＝b，y＝0，再明确被积函数 f(x)，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求 曲边梯形的面积 S 而得到定积分的值： 当 f(x)≥0 时，bf(x)dx＝S；
a
当 f(x)<0 时，bf(x)dx＝－S. a
2．利用定积分的几何意义，求：
3
9－x2dx.
－3
解析：(1)在平面上 y＝ 9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以 3 为半径的上半圆如
2
3552－x2dx＝21×2×1＝1，
∴5f(x)dx＝2xdx＋3(4－x)dx＋
0
0
2
3552－x2dx＝2＋23＋1＝29.
利用定积分的性质计算定积分的步骤： (1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，可以利用定积分的线性性质计 算，可以简化计算． (2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连 续可加性质计算．
dx
1
1
＝32.
(3)
1
1－x2dx 表示的是图(3)中阴影所示半径为 1 的半圆的面积，其值为π2，
-1
所以1
1－x2dx＝π2.
-1
由定积分的几何意义求定积分的步骤： (1)当 f(x)≥0 时，bf(x)dx 等于由直线 x＝a，x＝b，y＝0 与曲线 y＝f(x)围 成曲边
a
a
所以c2f(x)dx＋b2f(x)dx
a
c
＝2(cf(x)dx＋bf(x)dx)
a
c
＝2bf(x)dx＝4. a
答案：4
3．计算定积分3(2x＋1)dx＝________. 0
解析：3(2x＋1)dx 表示直线 f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3 围成的直角梯形 OABC 的 0
a
＝b，y＝0，再明确被积函数 f(x)，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求 曲边梯形的面积 S 而得到定积分的值： 当 f(x)≥0 时，bf(x)dx＝S；
a
当 f(x)<0 时，bf(x)dx＝－S. a
2．利用定积分的几何意义，求：
3
9－x2dx.
－3
解析：(1)在平面上 y＝ 9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以 3 为半径的上半圆如
2
3552－x2dx＝21×2×1＝1，
∴5f(x)dx＝2xdx＋3(4－x)dx＋
0
0
2
3552－x2dx＝2＋23＋1＝29.
利用定积分的性质计算定积分的步骤： (1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，可以利用定积分的线性性质计 算，可以简化计算． (2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连 续可加性质计算．
dx
1
1
＝32.
(3)
1
1－x2dx 表示的是图(3)中阴影所示半径为 1 的半圆的面积，其值为π2，
-1
所以1
1－x2dx＝π2.
-1
由定积分的几何意义求定积分的步骤： (1)当 f(x)≥0 时，bf(x)dx 等于由直线 x＝a，x＝b，y＝0 与曲线 y＝f(x)围 成曲边
人教A版高中数学选修2-2课件《定积分的概念》(第1课时).pptx
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1.5定积分的概念
一.求曲边梯形的面积 1.曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲
线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形
叫做曲边梯形。
y
y=f(x)
x=a
Oa
x=b
，我们可以用这条直线L来代替点P附近的曲线，也就 是说：在点P附近，曲线可以看作直线（即在很小范围内以 直代曲）．
1
n
Ds3 ?
1
n
O
1
t
1 2 3 jn - 1 n
nnn n n n
上图中:所有小矩形的面积之和,其极限就
是由直线x=0,x=1和曲线v(t)=-t2+2所围
成的曲边梯形的面积.
作业：Ｐ４７练习，Ｐ５０练习，２
y=f(x) y
A1
Oa
b
x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，
得 A A1.
y=f(x) y
A1 Oa
A2
b
x
用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得 A A1+A2
y=f(x) y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得 AA1+A2+A3+A4
y=f(x) y
o
x
1.5.2汽车行驶的路程
v DS1 DS2
2
g
g
D
g
S3
gD
S
4
v(t )
=
- t2
+
2
DSj
gD S n
g
O
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1.5定积分的概念
一.求曲边梯形的面积 1.曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲
线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形
叫做曲边梯形。
y
y=f(x)
x=a
Oa
x=b
，我们可以用这条直线L来代替点P附近的曲线，也就 是说：在点P附近，曲线可以看作直线（即在很小范围内以 直代曲）．
1
n
Ds3 ?
1
n
O
1
t
1 2 3 jn - 1 n
nnn n n n
上图中:所有小矩形的面积之和,其极限就
是由直线x=0,x=1和曲线v(t)=-t2+2所围
成的曲边梯形的面积.
作业：Ｐ４７练习，Ｐ５０练习，２
y=f(x) y
A1
Oa
b
x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，
得 A A1.
y=f(x) y
A1 Oa
A2
b
x
用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得 A A1+A2
y=f(x) y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得 AA1+A2+A3+A4
y=f(x) y
o
x
1.5.2汽车行驶的路程
v DS1 DS2
2
g
g
D
g
S3
gD
S
4
v(t )
=
- t2
+
2
DSj
gD S n
g
O
高中数学课件 定积分的概念PPT82页
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
高中数学课件 定积分的概念
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
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2017-2018学年高中数学 第一章 导数及其应用 第11课时 定积分的概念课件 新人教A版选修2
目标导航 1．了解定积分的概念； 2．理解定积分的几何意义； 3．掌握定积分的性质．
1 新知识·预习探究
知识点一 定积分的概念
如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜ xi＜…＜xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，
n
n
xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式 f (ξi)·Δx＝
(2)bf(x)dx、b |f(x)|dx与|b f(x)dx|的几何意义是不同的，绝不能等
a
a
a
同看待，由于被积函数f(x)在闭区间[a，b]上可正可负，也就是说它的
图象可以在x轴上方，也可以在x轴下方，还可以在x轴的上下两侧，
所以 b f(x)dx表示由x轴、函数f(x)的曲线及直线x＝a，x＝b之间各部 a
变式探究2 利用定积分的几何意义求：
(1)1 1－x2dx； 0
(2) 3 16＋6x－x2dx. -2
解析：(1)∵被积函数为y＝ 1－x2 ，其表示的曲线为以原点为圆 心，1为半径的四分之一圆．
由定积分的几何意义，可知所求的定积分即为四分之一圆的面
积，
∴1 0
1－x2dx＝14π·12＝14π.
Δx＝3n(i＝1,2，…，n)．
(2)近似代替、求和： 令ξi＝xi＝3ni(i＝1,2，…，n)，于是有和式：
i∑＝n1f(ξi)Δx＝∑ i＝n1 3ni2·3n ＝2n73 ∑i＝n1i2＝2n73 ·16n(n＋1)(2n＋1)
＝921＋1n2＋1n， (3)取极限：
5．用定积分的几何意义求下面式子的值．
3
2
1－x2dx.
3
2
1 新知识·预习探究
知识点一 定积分的概念
如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜ xi＜…＜xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，
n
n
xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式 f (ξi)·Δx＝
(2)bf(x)dx、b |f(x)|dx与|b f(x)dx|的几何意义是不同的，绝不能等
a
a
a
同看待，由于被积函数f(x)在闭区间[a，b]上可正可负，也就是说它的
图象可以在x轴上方，也可以在x轴下方，还可以在x轴的上下两侧，
所以 b f(x)dx表示由x轴、函数f(x)的曲线及直线x＝a，x＝b之间各部 a
变式探究2 利用定积分的几何意义求：
(1)1 1－x2dx； 0
(2) 3 16＋6x－x2dx. -2
解析：(1)∵被积函数为y＝ 1－x2 ，其表示的曲线为以原点为圆 心，1为半径的四分之一圆．
由定积分的几何意义，可知所求的定积分即为四分之一圆的面
积，
∴1 0
1－x2dx＝14π·12＝14π.
Δx＝3n(i＝1,2，…，n)．
(2)近似代替、求和： 令ξi＝xi＝3ni(i＝1,2，…，n)，于是有和式：
i∑＝n1f(ξi)Δx＝∑ i＝n1 3ni2·3n ＝2n73 ∑i＝n1i2＝2n73 ·16n(n＋1)(2n＋1)
＝921＋1n2＋1n， (3)取极限：
5．用定积分的几何意义求下面式子的值．
3
2
1－x2dx.
3
2