人教数学必修四 2.5平面向量应用举例

2.5 平面向量应用举例

问题导学

一、向量在平面几何中的应用

活动与探究1

如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2=DB2－DC2．

求证：AD⊥BC．

迁移与应用

如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB=2AD=2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：

(1)DE∥BC；

(2)D，M，B三点共线．

(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．

(2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等则对应坐标相等．

二、向量在物理中的应用

活动与探究2

在风速为75(6－2)km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．

迁移与应用

如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1．

求：(1)|F 1|，|F 2|随角θ的变化而变化的情况； (2)当|F 1|≤2|G |时，角θ的取值范围．

向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解，充分借助向量平行四边形法则把物理问题抽象转化为数学问题．同时该类题目往往涉及三角形问题，能够正确作图是解决问题的关键．

当堂检测

1．若向量1OF ＝(2,2)，2OF ＝(－2,3)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( ) A ．(0,5) B ．(4，－1) C ．2 2 D ．5

2．在四边形ABCD 中，若AB ＋CD ＝0，AC ·BD ＝0，则四边形为( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．等腰梯形 D ．菱形

3．坐标平面内一只小蚂蚁以速度ν＝(1,2)从点A (4,6)处移动到点B (7,12)处，其所用时间长短为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．8

4．在△ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，则BA ·

BC ＝__________． 5．已知力F ＝(2,3)作用于一物体，使物体从A (2,0)移动到B (－2,3)，则力F 对物体所做的功为________．

课前预习导学

【预习导引】

1．向量

2．加

3．向量向量问题数量积

预习交流提示：所选择基向量的长度和夹角应该是已知的．

课堂合作探究

【问题导学】

活动与探究1思路分析：解答本题可先表示出图中线段对应的向量，找出所给等式所蕴含的等量关系，再利用它计算所需向量的数量积．

证明：设AB＝a，AC＝b，AD＝e，DB＝c，DC＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d．∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2．

由已知a2－b2＝c2－d2，

∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即e·(c－d)＝0．

∵BC＝BD＋DC＝d－c，

∴AD·BC＝e·(d－c)＝0．

∴AD⊥BC，即AD⊥BC．

迁移与应用证明：以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系．令|AD|=1，则|DC|=1，|AB|=2．

∵CE⊥AB，而AD=DC，

∴四边形AECD为正方形．

∴可求得各点坐标分别为：E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．

(1)∵ED=(－1,1)－(0,0)=(－1,1)，

BC=(0,1)－(1,0)=(－1,1)，

∴ED=BC，

∴ED∥BC，即DE∥BC．

(2)连接MB，MD，∵M为EC的中点，

∴M 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭

，

∴MD =(－1,1)－10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭=11,

2⎛⎫- ⎪⎝⎭

， MB =(1,0)－10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭=11,2⎛

⎫- ⎪⎝

⎭．

∴MD =－MB ，∴MD ∥MB ． 又MD 与MB 有公共点M ， ∴D ，M ，B 三点共线．

活动与探究2 思路分析：解本题首先根据题意作图，再把物理问题转化为向量的有关运算求解．

解：设ω=风速，v a =有风时飞机的航行速度，νb =无风时飞机的航行速度，νb =νa －ω．如图所示．

设|AB |=|νa |，|CB |=|ω|，|AC |=|νb |， 作AD ∥BC ，CD ⊥AD 于D ，BE ⊥AD 于E ， 则∠BAD =45°．

设|AB |=150，则|CB |=．

∴|CD |=|BE |=|EA |=，|DA |=

从而|AC |=CAD =30°．

∴|νb |=，方向为北偏西60°．

迁移与应用 解：(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则得G =F 1+F 2，|F 1|=cos θ

G

，|F 2|=|G |tan θ，当θ从0°趋向于90°时，|F 1|，|F 2|都逐渐增大．

(2)令|F 1|=

cos G ，由|F 1|≤2|G |得 cos θ≥1

2

． 又因为0°≤θ＜90°，所以0°≤θ≤60°． 【当堂检测】

1．D 解析：|F 1＋F 2|＝|1OF ＋2OF | ＝|(2,2)＋(－2,3)|＝|(0,5)|＝5．

2．D 解析：∵AB ∥CD ，|AB |＝|CD |，且AC ⊥BD ， 故四边形为菱形．

3．B 解析：|ν|＝12＋22＝5， 又|AB |＝(7－4)2＋(12－6)2＝45， ∴时间t ＝

45

5

＝3． 4．16 解析：由∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，知△ABC 是等腰直角三角形， ∴BA ＝42，∠ABC ＝45°，

∴BA ·BC ＝42×4×cos 45°＝16．

5．1 解析：W ＝F·s ＝F ·AB ＝(2,3)·(－4,3)＝