数论基础(六讲)
数论是什么
数论是什么数论是数学的一个分支，研究整数之间的性质和相互关系。
它是数学中最古老和最基础的领域之一，起源可以追溯到古希腊。
数论的研究对象主要是整数集合，包括自然数、负整数和零。
数论包括了许多重要的概念和定理，如素数、因子、最大公约数、互质数、同余、欧拉函数、费马大定理等。
通过研究这些概念和定理，数论提供了解决实际问题和推导其他数学领域的工具和方法。
素数是数论中的基本概念之一，指只能被1和自身整除的正整数。
例如，2、3、5、7、11都是素数，而4、6、8、9、10都不是素数。
素数的研究至少可以追溯到古希腊数学家欧几里得。
素数在密码学、数据加密以及计算机科学等领域起着重要作用。
因子是一个数能够整除的整数。
例如，12的因子有1、2、3、4、6和12。
最大公约数是两个或多个数中能够整除它们的最大正整数。
例如，12和18的最大公约数是6。
互质数是最大公约数为1的两个数。
例如，5和7是互质数。
同余是指两个数除以同一个正整数得到的余数相等。
例如，对于任意整数a和正整数n，如果a除以n的余数和b除以n的余数相等，则称a和b在模n意义下同余。
同余关系在密码学、密码破解和随机数生成等方面有广泛应用。
欧拉函数是衡量小于某个正整数n的数中与n互质的数的个数。
例如，欧拉函数ϕ(10)等于4，因为小于10且与10互质的数有1、3、7、9。
欧拉函数在数论和密码学中起着重要作用。
费马大定理是数论中的一个重要定理，由法国数学家费马在17世纪提出。
该定理表明当n大于2时，方程x^n + y^n = z^n没有正整数解。
费马大定理在数论的发展中具有深远影响，为其他数学领域的研究提供了启示。
数论不仅仅是一个研究整数之间关系的领域，它也是数学的基础和重要组成部分。
许多数学领域，如代数、几何、概率论等都与数论有密切联系。
例如，在代数中，数论提供了解决方程组和寻找整数解的方法；在几何中，数论研究了整数点在平面上的分布规律。
数论的应用也不仅仅局限于数学领域。
数论的基本概念了解数论的基本概念和数学证明方法
数论的基本概念了解数论的基本概念和数学证明方法数论的基本概念与数学证明方法数论是研究自然数及其性质的数学分支，它运用数学方法和证明技巧来研究数字的性质和关系。
本文将介绍数论的基本概念以及数学证明方法。
一、基本概念1. 自然数：自然数（N）是指大于或等于零的正整数，即N={0, 1, 2, 3, ...}。
自然数是数论中最基本的对象。
2. 整除：若整数a能够整除整数b（或称b能够被a整除），即a | b，表示b是a的倍数。
例如，4能够整除12，记作4 | 12。
3. 最大公约数和最小公倍数：给定两个自然数a和b，最大公约数（GCD）表示能够同时整除a和b的最大正整数，最小公倍数（LCM）表示能够同时被a和b整除的最小正整数。
4. 质数和合数：质数是指大于1且只能被1和自身整除的整数，例如2、3、5、7等。
合数则是大于1且不是质数的整数，例如4、6、8等。
5. 素数定理：素数定理是指当n趋向于无穷大时，小于等于n的质数的数量约为n/ln(n)，其中ln(n)表示自然对数。
6. 同余：给定整数a、b和正整数n，如果n能够整除(a-b)，则称a 与b模n同余，记作a≡b (mod n)。
同余关系在密码学等领域具有重要应用。
二、数学证明方法数论中常用的证明方法包括直接证明、反证法、数学归纳法和递归等。
以下介绍其中几种常见的证明方法：1. 直接证明：直接证明是一种常见的证明方法，它通过逻辑推理和数学推导来证明一个命题的真实性。
首先列出所要证明的命题，然后根据已知条件和已有的数学定理，逐步推导出结论，最终得证。
2. 反证法：反证法是一种证明方法，它假设要证明的命题为假，然后通过逻辑推理和推导，得出矛盾的结论，从而推断所假设的命题是错误的，即反设的命题为真。
3. 数学归纳法：数学归纳法用于证明一个命题对自然数的所有情况都成立。
它分为两个步骤：基础步骤和归纳步骤。
首先证明当n=1时命题成立（基础步骤），然后假设当n=k时命题成立，通过推理证明当n=k+1时命题也成立（归纳步骤），最终得证。
初中数论30讲
初中数论30讲
初中数论30讲是一个针对初中学生的数论课程，它涵盖了数论中的基础知识和重要概念。
以下是初中数论30讲的大致内容：
第1讲：整数的概念和性质
整数的定义和表示
整数的性质和运算规则
第2讲：整除与因数
整除的概念和性质
因数和质因数的概念及求法
第3讲：最大公因数与最小公倍数
最大公因数的概念及求法
最小公倍数的概念及求法
第4讲：分数与小数的互化
分数和小数的关系及互化方法
第5讲：同余与余数
同余的概念和性质
余数的概念及求法
第6讲：中国剩余定理及其应用中国剩余定理的原理及应用
第7讲：完全平方数与平方根
完全平方数的概念及性质
平方根的概念及求法
第8讲：一次方程的解法及应用一元一次方程的解法及实际应用题
第9讲：一元二次方程的解法及应用
一元二次方程的解法及实际应用题
第10讲：不等式与不等式组
不等式的概念及性质
不等式组的解法及实际应用题
……以此类推，直至第30讲。
每一讲都涵盖了该主题的基础知识和重要概念，并通过例题和练习题帮助学生加深理解和掌握。
初中数论30讲是一个全面、系统的数论课程，通过学习这门课程，学生可以建立起坚实的数论基础，为进一步学习数学和其他学科打下良好的基础。
数学知识点归纳数论与密码学的基础
数学知识点归纳数论与密码学的基础数学知识点归纳：数论与密码学的基础数论是数学的一个分支，研究的是整数及其性质。
而密码学是应用数论的一个领域，研究的是信息保密和安全通信的方法。
本文将就数论和密码学的基础知识进行归纳和总结。
一、数论的基础知识1. 整数和整除性质：整数是自然数、0和负整数的集合。
整除是指一个数能够整除另一个数，也可以说是被整除的那个数是另一个数的倍数。
2. 最大公约数和最小公倍数：最大公约数是两个数中最大的能够同时整除它们的数；最小公倍数是能够同时被两个数整除的最小的非零自然数。
3. 模运算：模运算是指将一个数对另一个数取余得到的结果，表示为a mod b。
常用于解决循环问题、计算机编程和密码学等领域。
4. 素数和合数：素数是指只能被1和自身整除的数，大于1的非素数称为合数。
二、RSA公钥密码体制RSA密码体制是一种基于数论的非对称加密算法，由三位数学家Rivest、Shamir和Adleman共同发明。
它利用了大数分解的困难性来提供安全性。
1. 密钥生成：RSA算法需要生成一对公私密钥。
首先选择两个不同的素数p和q，计算它们的乘积n=p*q。
选择一个与(p-1)*(q-1)互质的整数e作为公钥，计算私钥d使e*d ≡ 1(mod (p-1)*(q-1))。
2. 加密过程：将明文M转换为整数m，然后使用公钥(e,n)对明文进行加密，得到密文C ≡ m^e(mod n)。
3. 解密过程：使用私钥(d,n)对密文进行解密，得到明文M ≡C^d(mod n)。
三、素性测试素性测试是判断一个大数是否为素数的方法，其中最著名的是费马素性测试和米勒-拉宾素性测试。
1. 费马素性测试：根据费马小定理，如果p是素数且a是p的一个互质整数，那么 a^p-1 ≡ 1(mod p)。
因此，对于一个给定的大数n，若不等式a^n-1 ≡ 1(mod n)成立，那么n一定是合数。
费马素性测试虽然简单，但在实际应用中效果较差。
数论的基本概念与方法
代数数论的发展
代数数论的起源可以追溯到古希腊时期，当时数学家开始研究整数和有理数的基本性质。
在中世纪，阿拉伯数学家对代数数论做出了重要贡献，他们研究了二次方程的解法，并 探讨了数论中的一些基本问题。
19世纪，数学家开始深入研究代数数论，其中最著名的数学家是费马和欧拉。他们的 工作为代数数论的发展奠定了基础。
20世纪来，代数数论得到了更广泛的应用和发展，特别是在计算机科学和密码学等领域。
现代数论的进展
计算机技术的 引入：计算机 在数论研究中 的应用，如寻 找大数因子分 解等。
0 1
代数数论的进 展：代数数论 在理论物理学、 工程学等领域 的应用和最新 研究成果。
0 2
解析数论的进 展：解析数论 在密码学、计 算机科学等领 域的应用和最 新研究成果。
量子计算：数论在量子计算机算法设计中的应用 密码学：基于数论的公钥密码体系和数字签名技术 网络安全：数论在网络安全协议设计和分析中的应用 数据加密：数论在数据加密算法中的应用和优化
数论在其他领域的新应用
量子计算：数论在量子计算中有着重要的应用，例如Shor算法。
密码学：数论是现代密码学的基础，许多加密算法都基于数论中的理论。 计算机科学：数论在计算机科学中有着广泛的应用，例如数据加密、网络安全、图像处 理等。 物理学：数论在物理学中也有着重要的应用，例如在弦理论和量子引力等领域。
0 1
定理应用：中国剩余 定理在数论、代数和 密码学等领域有着广 泛的应用，例如在模 线性方程组的求解、 多项式模的因式分解 以及公钥密码体制的 构建等方面。
0 2
定理证明：中国剩余 定理的证明方法有多 种，其中一种常用的 证明方法是基于欧拉 定理和费马小定理等 数论中的基本定理。
数论基础知识
1. 倍数规律末位系：2的倍数规律是末位数是偶数（即末位数是2的倍数），5的倍数规律是末位数是0或5（也即末位数是5的倍数）；4的倍数规律是末两位数是4的倍数（例如：28是4的倍数，则128、1128、23574335435328都是4的倍数），同样，25的倍数规律也是末两位是25的倍数；8的倍数规律是末三位是8的倍数，125的倍数规律是末三位是125的倍数。
练习：23400是上面提到的哪些数的倍数？（提示：0是任何数的倍数。
）数位和系：3或9的倍数规律是各个数位相加之和是3或9的倍数（例如：1+2+3=6是3的倍数但不是9的倍数，则123、321、213等等都是3的倍数而不是9的倍数；3+6=9既是3的倍数也是9的倍数，所以36、63也既是3的倍数也是9的倍数。
） 练习：[ ]里能填哪些数可以使12[ ]34是3的倍数？9的倍数呢？数位差系：11的倍数规律是从后往前数奇数位上的数之和减去偶数位上的数之和是11的倍数。
（若不够减则可通过加上11的倍数使其够减。
）例：231，从后往前数，第1位是1，第2位3，第3位是2，所以奇数位的和是1+2=3，偶数位的和是3，所以奇数位和减偶数位和等于3-3=0是11的倍数，因此231就是11的倍数。
6160，奇数位和等于1+0=1，偶数位和等于6+6=12，奇数位和减偶数位和不够减，但加上一个11以后就够减了，变成了1+11-12=0是11的倍数，所以6160是11的倍数。
7、11、13的倍数有个公共的规律，即将末3位与之前断开，形成两个新的数之差是7、11、13的倍数。
例如：1012，把末三位断开后刚好变成了1与014（也就是12），于是这两数的差是11，因此是13的倍数，因此1014就是13的倍数。
练习：判断下列各数是不是7、11或13的倍数。
1131、25795、34177、123452. 分解质因数把一个整数拆成成若干个质数（质数即只有1和本身作为因数的大于一的整数，如2、3、5、7……）相乘的形式。
数论基础及应用
1．欧几里德转辗相除法
利用gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)求a，b的最 大公约数： Function gcd(a,b:longint):longint; begin if b=0 then gcd:=a Else gcd:=gcd(b,a mod b); end; 思考：如何把上述算法写成迭代形式？
3 5
4 1 1 13 19
4 4
1 4 0 15 22
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递推法求二元一次不定方程ax+by=c一组整数解（x0,y0）(续）
关键算法是x[k]，y[k]的递推计算公式： x[0]=0，x[1]=1； x[i+1]=x[i]*q[i]+x[i-1]， 当i>1时。 y[0]=1，y[1]=q[0]； y[i+1]=y[i]*q[i]+y[i-1]，当i>1时。 当 t[k]≠0 且 r[k]=s[k]%t[k]=0 时，k就 是最后一轮计算，这时，x[k]=15， y[k]=22 就是所要的结果，但要加上适 当的符号后，才能得到原方程的解(x,y)： x=(-1)k-1x[k]，y=(-1)ky[k]。
17
应用3.素数的快速测试---Miller-Rabbin 算法
同余 若a mod c=b mod c,称a和b关于模c同余，记作 a≡b(mod c). 伪素数 对正整数n，如果an-1≡1（mod n） ,则称n是基于a的伪素 数。如果一个数是伪素数，它几乎肯定是 素数。另一方面，如 果一个数不是伪素数，它一定不是素数。
i:=0; bl:=tuue; while (i<s) and bl do begin int(i); a:=random(n-2)+2; if f2(a,n-1,n)<>1 then bl:=false; end; miller_rabbin:=bl end;
初中数论知识点
初中数论知识点数学是一门让人爱恨交加的学科，有的同学因为它不断地困扰着自己而产生了抵触情绪，有的同学则因为其丰富的内在逻辑和玩味性而彻底地沉迷其中。
无论怎么样，数学都是一门至关重要的学科，它贯穿于我们的生活中，体现在每一个敢于思考的人的心中。
其中数论作为数学的一个分支，是研究纯粹数学的基础性问题的学科，是数学中的重要领域之一。
今天我们就来一起探讨初中数论部分的知识点，了解数论这个困扰我们的古老学科。
一、素数素数是数论中最基本、最重要的概念之一，也是最重要的研究对象之一。
素数又叫质数，是指除了1和它本身以外没有其他的因数的整数，比如2、3、5、7、11、13等等都是素数，而4、6、8、9、10等等不是素数。
素数之所以重要，是因为它是构成其他整数的基石，可以用来分解其他整数。
一般来讲，每一个大于1的自然数，要么是一个素数，要么可以被唯一分解成多个素数的积。
而且设某个数为n，则如果2~n-1之间的整数都不能整除n，则n是素数。
这个结论也被称作“质数的判别法”。
二、最大公约数和最小公倍数最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）是数学中经常使用的一个概念，指的是两个或多个整数共有约数中最大的一个，最大公约数的概念对于帮助我们进行分数的化简、求得多项式的约分式等等都是非常必要的。
最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是指两个或多个整数公有倍数中最小的一个，最小公倍数的概念对于多数区间问题和解初等数论方程都是非常必要的。
可以通过最大公约数和最小公倍数这两个概念来判别一些常见的数字问题，比如乘积为整数等问题。
三、同余同余（Congruence）是数学中经常使用的一个概念，指的是两个整数除以一个数所得到的余数相等。
例如，若a除以n的余数为r，那么a就被记作a≡r(mod n)，其中n称为模数，r称为余数。
同余在数论上被广泛应用，特别是在RSA加密算法中，就有非常重要的应用。
数论基础知识归纳
数论基础知识归纳Introduction to Basic Concepts in Number TheoryNumber theory, also known as arithmetic or the theory of numbers, is a branch of mathematics that deals with the properties and structures of integers. It explores concepts such as primality, divisibility, congruences, and other arithmetic functions. Here is a summary of some fundamental concepts in number theory:Natural Numbers: The natural numbers, denoted by ℕ, are the positive integers starting from 1. They are used as the basic building blocks for counting and arithmetic operations. Integers: The integers, denoted by ℤ, include all positive and negative whole numbers, as well as zero. They form a closed set under addition and subtraction.Rational Numbers: Rational numbers, denoted by ℚ, are numbers that can be expressed as a ratio of two integers, where the denominator is not zero. They include all integers, fractions, and decimal numbers that terminate or repeat.Prime Numbers: A prime number is a natural number greater than 1 that has no positive divisors other than 1 and itself. For example, 2, 3, 5, 7, and 11 are prime numbers. Composite Numbers: A composite number is a natural number greater than 1 that is not prime. It has at least one divisor other than 1 and itself. For example, 4, 6, 8, and 9 are composite numbers.Divisibility: If an integer a can be divided by another integer b without a remainder, we say that b divides a, or a is divisible by b. This relationship is denoted as b | a.Greatest Common Divisor (GCD): The greatest common divisor of two or more integers is the largest positive integer that divides each of them without a remainder. For example, the GCD of 12 and 15 is 3.Least Common Multiple (LCM): The least common multiple of two or more integers is the smallest positive integer that is a multiple of each of them. For example, the LCM of 4 and 6 is 12.Congruence: Congruence is a fundamental concept in number theory that deals with the idea of numbers being "equivalent" modulo a given integer. If two integers a and b give the same remainder when divided by a positive integer m, we say that a is congruent to b modulo m, and it is denoted as a ≡ b (mod m).Modular Arithmetic: Modular arithmetic is the arithmetic of congruences, where the numbers wrap around upon reaching a certain value, as in a clock. It finds applications in computer science, cryptography, and other fields.。
高考数学中的数论基础知识
高考数学中的数论基础知识数论作为数学的一个分支，是研究整数及其性质的学科。
具有很强的理论性和实用性，广泛应用于密码学、编码、数据安全等领域。
数论在高考数学中占有重要地位，因此，了解数论基础知识对于高考数学的学习至关重要。
一、质数与素数质数和素数是数论中的基础概念，也是高考数学中的经典考点。
质数指一个大于1的自然数，只能整除1和本身的数，例如2、3、5、7等。
其中，2是唯一的偶质数。
素数与质数概念相同。
通常称为素数，而非质数。
这是因为在初等数学中定义一个数是否为质数时是根据它是否只能被“1”和“本身”整除。
但在抽象代数中，更多的是将“质”看作是不可以分解的，而“素”则指最简单（不可“再分”）的部分。
所以在这个范畴内素数就等价于质数。
素数是指大于1的自然数，除了1和本身，没有其他因子，例如2、3、5、7等。
二、同余和模数同余和模数是数论中的另一个重要概念。
同余指两个整数除以另一个正整数，得到的余数相等。
例如，如果a和b是两个整数，而n是一个正整数，当a和b除以n得到的余数相等时，我们就可以说a与b同余。
同余关系的表示方法为a≡b（mod n）。
模数是指把一个数按照某个数取模后得到的余数。
例如，如果a和n是两个整数，我们可以定义a mod n为a除以n所得的余数。
模数通常表示为“mod”。
三、最大公因数与最小公倍数最大公因数（Greatest Common Divisor，简称GCD）是指两个或多个整数中，所有公共因数中最大的一个数。
例如，对于两个自然数12和16，它们的公因数有1、2、4，因此最大公因数为4。
公式表示为：gcd(a,b)。
其中，a和b分别为两个整数。
最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是指两个或多个整数中，所有公共倍数中最小的一个数。
例如，对于两个自然数4和6，它们的公倍数有12、24等，因此最小公倍数为12。
公式表示为：lcm(a,b)。
其中，a和b分别为两个整数。
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欢迎来主页下载---精品文档 精品文档 第一讲 因数和倍数(一)
【知识要点】 1．因数和倍数
整数)0(aa乘整数)0(bb得到整数C，那么a和b叫做C的因数，C叫
做ba,的倍数。
2．倍数的特征 2的倍数的特征：个位上是0、2,4、6、8的数都是2的倍数。 5的倍数的特征：个位上是0或5的数都是5的倍数。 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 3.奇数、偶数的意义 自然数中，是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数。
【例题讲解】 例1、48的全部因数有哪几个?20以内3的倍数有哪几个?
例2、一个数既是40的因数，又是5的倍数。这个数可能是几?
例3、在方框里填上适当的数字,使它是2和3的倍数. （1）38□ （2）945□ 欢迎来主页下载---精品文档 精品文档 例4、观察下面各数： 16 45 50 63 96 191 120 432 115 84 130 75 799 66 2的倍数有 既有因数2,又有因数3的数有 既有因数3，又有因数5的数有 同时是2,3,5的倍数的数是
例5、在下面方格内填上适当的数字。 （1）26□4能被2整除，又能被3整除。 （2）412□能被3整除，又能被5整除。 （3）61□□能同时被2、3、5整除。
【巩固练习】 A组 1、写出下面各数的倍数或因数。 因数 倍数（写出5个） 12 5 18 9 30 10 45 12
2、填一填。 (1)32的因数有（ ）共（ ）个，其中最小因数是（ ），最大因数是（ ）。 (2)一个数的倍数的个数是（ ）的，其中最小倍数是（ ）。 (3)24的全部因数从小到大依次为（ ）。 (4)一个数既是15的倍数，又是15的因数，这个数是（ ）。 (5)如果数a能被数b整除（b:*0）a就叫做b的（ ），b就叫做a的（ ）。
3、连一连。 欢迎来主页下载---精品文档
精品文档 4、猜数。 (1)它是24的最大因数，这个数是_______。
(2)它的最小倍数是45，这个数是________。 (3)它是l2的倍数，又是24的因数，这个数可能是________。 B组 一、填空。 1．自然数按是不是2的倍数，可分为( )和( )。 2．在30、47、28、51、36、41、135、102中是2的倍数的数有( )，是3的倍数的数有( )，是5的倍数的数有( )。 3．23□，□里填( )时，这个数就是2的倍数；□里填( )时，这个数就是3的倍数；□里填( )时，这个数就是5的倍数。 4．是2的倍数的最大两位数是( )，是5的倍数的最小两位数是( )。 5．1234至少加上( )就是3的倍数。 6．用2、9、4三个数字排一个最小的是2的倍数的三位数是( )，排成一个最大的是3的倍数的三位数是( )。 7．在下面的□里填上适当的数，使这个数既是3的倍数，又是5的倍数。 4□5 36□ 43□ 8．100以内既是3的倍数又是5的倍数的最大奇数是( )，最小偶数是( )。
二、仔细观察下面各数特点，按要求填空。 14 30 40 75 120 204 123 205 315、 1．是2的倍数的是（ ） 2.是3的倍数的是（ ） 3.是5的倍数的是（ ） 4.同时是2、3的倍数的是（ ） 5.同时是3、5的倍数的是（ ） 6.同时是2 、3、5的倍数的是（ ）
三、奇数×奇数=( )，奇数十偶数=( )，奇数一奇数=( )。 四、在5□6□7□3这个七位数的□中填上一个相同的数字，使这个七位数能成为9的 倍数。
五、一个两位数加上3是5的倍数，减去l是2的倍数，这个两位数最小是欢迎来主页下载---精品文档 精品文档 ( )。 六、从0、4、5、3四个数字中选出三张组成一个三位数，使组成的数是2和5的倍数，也是3的倍数。
第二讲 因数和倍数(二) 【知识要点】 1、质数：一个数，如果只有1和它本身的两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。 2、合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 3、判断一个数是合数还是质数的方法 先找出这个数的因数，再根据质数和合数的定义去判断。 【课前准备】 1. 找出下面每组数中的质数。 （1）19 、29、 39、 49； (2)5、 15、 25、 35。
2. 用“O”圈出表中所有的质数，用“△”圈出表中所有的偶数。 21 22 23 24 25 26 37 38 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 所有的质数都是奇数吗？所有的偶数都是合数吗？
【例题讲解】 例1、两个质数的和是40，求这两个质数的最大乘积是多少？
例2、你知道[它们各是多少吗?
例3、把21，26，34，35，39，85六个数分成两组，使每组三个数的乘积相欢迎来主页下载---精品文档
精品文档 等。
例4、说出下面数各是由哪几个质数相乘得到的？ 33=□×□ 28=□×□×□ 52=□×□×□ 63=□×□×□
例5、四个连续奇数，它们的积为19305，这四个连续奇数分别是多少？
例6、一个正方形的面积是121平方厘米，这个正方形的边长是多少厘米？ 【巩固练习】 1、先找出I1一20各数的所有因数，再把1l一20分别填入圈里。 11的因数有 ；12的因数有 ； 13的因数有 ；14的因数有 ； 15的因数有 ；16的因数有 ； 17的因数有 ；18的因数有 ； 19的因数有 ；20的因数有 . 质数 合数
2、从2至50的数中先划掉2的倍数．再依次划掉3、5、7的倍数（但2、3、5、7本身不划掉）。剩下的数都是什么数？ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 49 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
3、下面各数哪些是质数？哪些是合数？ 欢迎来主页下载---精品文档 精品文档 4、你会在括号里填上合适的质数吗？ 8＝（ ）＋（ ） 10＝（ ）＋（ ） 12＝（ ）＋（ ） 14＝（ ）＋（ ） 30＝（ ）＋（ ）＝（ ）＋（ ）
5、猜一猜。 (1）两个质数的和是18，积是77，这两个数是 。 （2）两个质数的和是30，积是161，这两个数是 。 （3）一个数是最大的两位质数，这个数是 。
【综合练习】 一、选择。 1、13和17都是（ ） ①质数 ②合数 ③偶数 2、如果a和b是两个不相同的质数，那么下列数值中一定不是奇数的是（ ） ①2a＋2b＋1 ② ab ③2a＋2b ④a＋b＋1 3、a是质数，a( ） ①只有2个因数 ②不是2的倍数 ③只有因数 4、如果A＝BC，则B和C都是A的（ ） ①因数 ②倍数 ③质因数
二、解答题。 1、8的因数有4个，9的因数有3个，那么，72的因数有几个？
2、李伟今年的年龄是他4年后的年龄的4倍减去4年前的年龄的4倍，李伟今年几岁？
3、已知甲数是乙数的4倍，这两个数之和是135，求这两个数的最大公因数。 欢迎来主页下载---精品文档
精品文档 三、思考题。 1、有5个连续自然数的和是135，这5个连续自然数是（ ）。 2、有5个连续奇数的和是135，这5个连续奇数是（ ）。 3、有5个连续偶数的和是130，这5个连续偶数是（ ）。 4、 8的因数有1、2、4、8共4个，9的因数有1，3，9共3个。那么72的因数共有多少个？
第三讲 质数、合数与分解质因数 【知识要点】 一个自然数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）。 一个自然数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。 1既不是质数，也不是合数。 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。24＝2×2×2×3 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
【例题讲解】 例1、把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个。共有多少种不同分法?
例2、写出若干个连续自然数，使它的积是15120。 例3、将下面八个数分成两组，使这两组数的乘积相等。 2、5、14、27、55、56、99
例4、老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组，如果老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了539棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？ 欢迎来主页下载---精品文档 精品文档 例5、下面算式中，（ ）里数字各不相同，求这四个数字的和。 （ ）（ ）×（ ）（ ）＝1995
【巩固练习】 1、有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多于15人，有哪几种分法？
2、195个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于1，共有几种排法？ 3、有一个长方体，它的长、宽、高是三个连续的自然数，且体积是39270立方厘米，求这个长方体的表面积。
4、有4个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3024，问这4个孩子中最大的几岁？
5、把40、44、45、63、65、78、99、105这八个数平均分成两组，使两组四个数的乘积相等。 6、小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是391，而且排数比座位号数大6，青买的电影票是几排几座？
7、学校商店出售每支5角的铅笔，没有人买，但降价后，一下子把全部铅笔都卖光了，共计卖得31.93元，问每支降价多少元？共卖了多少支铅笔？