雅礼NOIP试题1

模拟一
序列(sequence.exe)
问题描述
有一个非递减的整数序列S1，S2，S3，……，S n+1（S i<=S i+1）。

定义序列m1，m2，…，m n为S的“M序列”，其中m i=(S i+S i+1)/2。

例如，S=(1, 3, 3, 5)，则m=(2, 3, 4)。

现在给你序列m，要你求有多少个S序列的“M序列”是序列m。

输入(sequence.in)
第一行一个整数n，
下接n行，每行一个整数m i
输出(sequence.out)
一个整数，表示有多少个S序列的“M序列”是序列m
样例
2，2，8，10；
1，3，7，11；
0，4，6，12；
-1，5，5，13。

数据范围
50%的数据n<=1000，m i<=20000
100%的数据2<=n<=100000，m i<=109.
连分数(faction.exe)
问题描述
Cindy 新学了无理数，老师教她了一种用有理数逼进无理数的方法：找到这个无理数相应的无限循环连分数。

例如，
我们可以通过分别取出连分数中的一层、两层、三层、……，而忽略其他部分，这样就可以得到一个有理数序列，我们称之为该连分数的渐近分数序列。

黄金分割数
2
1
5-的渐近分数是1/1，1/2，2/3，3/5，5/8，8/13……。

第一行为一个整数n，m，分别表示连分数的循环节长度和需要求的渐近分数的项数。

下接n行每行一个整数p i，描述连分数。

输出(faction.out)
空格分隔的两个整数a m、b m。

样例
数据范围
60%的数据，m<=105
100%的数据，n<=10，m <=109
词链（link.exe）
问题描述
给定一个仅包含小写字母的英文单词表，其中每个单词最多包含50个字母。

如果一张由一个词或多个词组成的表中，每个单词（除了最后一个）都是排在它后面的单词的前缀，则称此表为一个词链。

例如下面的单词组成了一个词链：i
int
integer
而下面的单词不组成词链：
integer
intern
请在给定的单词表中取出一些词，组成最长的词链。

最长的词链就是包含单词数最多的词链。

数据保证给定的单词表中，单词互不相同，并且单词按字典顺序排列。

输入(link.in)
第一行一个整数n，表示单词表中单词数
下接n行每行一个单词。

输出(link.out)
一个整数，表示最长词链长度。

样例
数据范围
50%的数据，n<=1000
100%的数据，n<=10000
Geodetic集合(geo.exe)
问题描述
图G是一个无向连通图，没有自环，并且两点之间至多只有一条边。

我们定义顶点v,u最短路径就是从v到u经过边最少的路径。

所有包含在v-u的最短
路径上的顶点被称为v-u的Geodetic顶点，这些顶点的集合记作
I(v, u)。

我们称集合I(v, u)为一个Geodetic集合。

例如下图中，I(2, 5)={2, 3, 4, 5}，I(1, 5)={1, 3, 5}，I(2, 4)={2, 4}。

给定一个图G和若干点对v,u，请你分别求出I(v, u)。

输入(geo.in)
第一行两个整数n,m，分别表示图G的顶点数和边数（顶点编号1-n）
下接m行，每行两个整数a,b表示顶点a和b之间有一条无向边。

第m+2行有一个整数k，表示给定的点对数。

下接k行，每行两个整数v,u。

输出(geo.out)
共k行，每行对应输入文件中每一个点对v,u，按顶点编号升序输出I(v, u)。

同一行的每个数之间用空格分隔。

样例
数据范围
100%的数据，n<=40
各题简要分析：
sequence 序列：
令S 序列的第一项为k ，那么后面几项就可以写成关于k 的多项式： S1=k
S2=2*m1-k
S3=2*m2-2*m1+k ……
然后根据S 序列的非递减性质，有S1<=S2<=S3<=…. 所以有
k<=2*m1-k
2*m1-k<=2*m2-2*m1+k ……
可以得到n 个关于k 的不等式，而且都是有规律的，可以在O(n)的时间内解出形如 a<=k<=b 的结果。

由于k 的值和S 序列是一一对应的，所以k 的取值的个数(b-a)就是满足要求的S 序列的个数。

faction 连分数：
本题是原创的，重点考察递推和用矩阵乘法优化递推。

由递推式：
1
1
1--+=m m k m
m
y x p y x k = (m-1) mod n + 1
可得
1-=m m y x ; m m k m x y p y +=-1*
直接按照这个递推式计算，复杂度O(m)，预计得分60%。

上面的递推式对应的矩阵运算是：
所以有
⎥⎦
⎥
⎢⎣⎢=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∏n m n k k m m p c y x 11
10
**)1,0(),( 其中c 是(m mod n)部分的余式矩阵的乘积。

由于计算矩阵幂时间复杂度为O(logm)，所以总的算法复杂度是O(n+logm)，预计得分100%。

⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=--k m m m m p y x y x 1
10
*),(),(11
Link词链：
本题用动态规划是容易的，设f(i)表示前i个单词可以构成包含第i个单词的最长词链。

F(i)=max{1，F(j)+1,当word[j]是word[i]的前缀}
Ans=max{F(i)}
这样算法的复杂度是O(n2)，预计得分50%。

其实本题有很简单的贪心算法。

用一个栈存储当前的以第i个单词结尾的最长词链，第i+1个单词加在栈的结尾（通过出栈保持栈所存储的是一个词链）。

例如：
i 栈：i
int 栈：i int
integer 栈：i int interger
intern 栈：i int intern （interger出栈）
internet 栈：i int intern internet
可以证明，在第i个单词插入后，当前在栈中的词链就是包含第i个单词的最长词链。

这样由于每个单词进栈出栈分别一次，所以算法的复杂度是O(n)
贪心算法预计得分100%
Geodetic集合：
本题是由pku上一道试题改编的，考察图的有关知识。

算法就是从每个点出发进行BFS 扩展，按得到的BFS序列进行递推。

设min[i, j]为从i到j的最短路长度
设f[i, j]表示从i到j点的最短路覆盖的节点集合，
f[i, j] = f[i, k] U {j} k={1..n} and (min[i, k]+1=min[i, j]）and (k,j)存在
对于输入的每个v,u对，输出f[v,u]中的所有点就可以了。