课时作业35

课时作业(三十五) 1．由下列各表达式给出的数列{an}： ①Sn＝a1＋a2＋…＋an＝n2； ②Sn＝a1＋a2＋…＋an＝n2－1； ③a2n＋1＝an·an＋2； ④2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)． 其中表示等差数列的是 ( ) A．①④ B．②④ C．①②④ D．①③④ 答案 A 2．(2012·福建)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B 解析 在等差数列{an}中，∵a1＋a5＝10，∴2a3＝10， ∴a3＝5.又a4＝7，∴所求的公差为2.

3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差是 ( ) A.12 B．1 C．2 D．3 答案 C

解析 因为Sn＝na1＋an2，所以Snn＝a1＋an2.由S33－S22＝1，得a32－a22＝1，即a3－a2＝2，所以数列{an}的公差为2. 4．(2011·江西文)设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10

＝S11，则a1＝ ( )

A．18 B．20 C．22 D．24 答案 B 解析 由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20. 5．设{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝9，a6＝9，则这个数列的前6项和等于 ( ) A．12 B．24 C．36 D．48 答案 B

解析 由 a1＋a3＋a5＝9，a6＝9⇒ a3＝3，a6＝9⇒ a1＋2d＝3，a1＋5d＝9⇒

 a1＝－1，

d＝2.

所以S6＝6×(－1)＋6×52×2＝24，故选B. 6．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－2a2m＝0，S2m－1＝39，则m＝ ( ) A．38 B．39 C．20 D．19 答案 C 解析 ∵am－1＋am＋1＝2a2m， 又∵am－1＋am＋1＝2am， ∴am＝1或0(舍去)．

∵S2m－1＝2m－1a1＋a2m－12＝(2m－1)am， ∴(2m－1)am＝39，∴2m－1＝39. ∴m＝20. 7．(2013·湖南师大附中)若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于 ( ) A．12 B．13 C．14 D．15 答案 B 解析 由S5＝a2＋a4·52⇒25＝3＋a4·52⇒a4＝7，所以7＝3＋2d⇒d＝2，所以a7＝a4＋3d＝7＋3×2＝13，故选B. 8．已知数列{an}中，a3＝2，a5＝1，若11＋an是等差数列，则a11等于( ) A．0 B.16 C.13 D.12 答案 A 解析 记bn＝11＋an，则b3＝13，b5＝12，数列{bn}的公差为12×(12－13)＝112，

b1＝16，∴bn＝n＋112，即11＋an＝n＋112.∴an＝11－nn＋1，故a11＝0. 9．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，已知SnTn＝7nn＋3，则a5

b5

等于 ( )

A．7 B.23 C.278 D.214 答案 D

解析 a5b5＝2a52b5＝a1＋a9b1＋b9＝92a1＋a992b1＋b9＝S9T9＝214. 10．已知{an}为等差数列，若a11a10<－1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n＝ ( ) A．11 B．20 C．19 D．21 答案 C

解析 由a11a10<－1，得a11＋a10a10<0，又它的前n项和Sn有最大值，则a10>0，a11<0，a11＋a10<0，S19>0，S20<0，那么当Sn取得最小正值时，n＝19，故选C. 11．已知An＝{x|2n( ) A．792 B．890 C．891 D．990 答案 C 解析 ∵A6＝{x|26∴A6的元素x＝71,78,85,92,99,106，…，127， m＝9 各数成一首项为71，公差为7的等差数列．

∴71＋78＋…＋127＝71×9＋9×82×7＝891. 12．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于________． 答案 42

解析 方法一 设公差为d，则由 a1＝2，a2＋a3＝13，

即 a1＝2，2a1＋3d＝13，得 a1＝2，d＝3. 故a4＋a5＋a6＝3a1＋(3＋4＋5)d＝6＋12d＝42. 方法二 利用等差中项，a1＋a2＋a3＝15. ∴3a2＝15，∴a2＝5，∴d＝a2－a1＝3. ∴a5＝a2＋3d＝5＋9＝14. ∴a4＋a5＋a6＝3a5＝42. 13．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)、Q(4，a4)的直线的斜率是________． 答案 4

解析 设数列{an}的公差为d，则依题意，得

 a4＝a1＋3d＝15，

S5＝5a1＋10d＝55⇒

 a1＝3，d＝4.故直线PQ的斜率为a4－a34－3＝d1＝4.

14．(2012·衡水调研卷)在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________. 答案 13 解析 ∵{an}是等差数列，设公差为d，∴3d＝a5－a2＝6.则a6＝a3＋3d＝7＋6＝13. 15．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________. 答案 24 解析 由等差数列的性质得S9＝9a5＝72，∴a5＝8，则a2＋a4＋a9＝a1＋a5

＋a9＝3a5＝24，故填24.

16．在编号为1～9的九个盒子中，共放有351粒米，已知每个盒子都比前一号盒子多放同样粒数的米． (1)如果1号盒子内放了11粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几粒米？ (2)如果3号盒子内放了23粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几粒米？ 答案 (1)7 (2)8 解析 从1～9号的九个盒子中米的粒数依次组成等差数列{an}．(1)a1＝11，S9＝351，求得d＝7. (2)a3＝23，S9＝351，求得d＝8. 17．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0. (1)若S5＝5，求S6及a1； (2)求d的取值范围． 答案 (1)S6＝－3，a1＝7 (2)d≤－22或d≥22

解析 (1)由题意知S6＝－15S5＝－3，a6＝S6－S5＝－8，

所以 5a1＋10d＝5，a1＋5d＝－8.解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7. (2)因为S5S6＋15＝0， 所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0. 即2a21＋9da1＋10d2＋1＝0. 故(4a1＋9d)2＝d2－8，所以d2≥8. 故d的取值范围为d≤－22或d≥22. 18．已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn

＝1an－1(n∈N*)． (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．

解析 (1)证明 因为an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，bn＝1an－1.

所以当n≥2时，bn－bn－1＝1an－1－1an－1－1 ＝12－1an－1－1－1an－1－1＝an－1an－1－1－1an－1－1＝1.

又b1＝1a1－1＝－52， 所以，数列{bn}是以－52为首项，以1为公差的等差数列． (2)解 由(1)知，bn＝n－72，则an＝1＋1bn＝1＋22n－7. 设函数f(x)＝1＋22x－7，易知f(x)在区间－∞，72和72，＋∞内为减函数． 所以，当n＝3时，an取得最小值－1； 当n＝4时，an取得最大值3.

1．(2011·大纲全国)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝ ( ) A．8 B．7 C．6 D．5 答案 D 解析 依题意得Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝2a1＋(2k＋1)d＝2(2k＋1)＋2＝24，解得k＝5，选D. 2．(2013·郑州第一次质测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4S8＝13，则S8

S16

等于 ( )

A.18 B.13 C.19 D.310 答案 D

解析 设a1＋a2＋a3＋a4＝A1，a5＋a6＋a7＋a8＝A2，a9＋a10＋a11＋a12＝A3，a13＋a14＋a15＋a16＝A4， ∵{an}为等差数列，

∴A1、A2、A3、A4也成等差数列，S4S8＝A1A1＋A2＝13.不妨设A1＝1，则A2＝2，

A3＝3，A4＝4，S8S16＝A1＋A2A1＋A2＋A3＋A4＝1＋21＋2＋3＋4＝310，故选D. 3．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11

＋a12＋a13＝ ( )

A．120 B．105 C．90 D．75 答案 B 解析 设公差为d且d>0.

由已知 a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，得 a1＋d＝5，a1a1＋da1＋2d＝80. 解得a1＝2，d＝3(∵d>0)． ∴a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a1＋11d)＝105. 4．已知数列{an}是等差数列，且a1＋a2＋…＋a10＝10，a11＋a12＋…＋a20

＝20，则a41＋a42＋…＋a50＝________.

答案 50 解析 方法一 (方程组法)设数列{an}的公差为d， 则a1＋a2＋…＋a10＝10a1＋45d，a11＋a12＋…＋a20＝10a1＋145d.