辽宁省沈阳铁路实验中学2015届高三上学期期中考试数学(文)(附答案)
2014-2015学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高二(上)期中数学试卷(文科)
2014-2015学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高二（上）期中数学试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是（）A.对任意x∈R，都有x2＜1B.不存在x∈R，使得x2＜1C.存在x0∈R，使得x02≥1D.存在x0∈R，使得x02＜1【答案】D【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是：存在x0∈R，使得＜．故选：D．利用汽车媒体的否定是特称命题写出结果判断即可．本题考查全称命题的否定，注意量词以及形式的改变，基本知识的考查．2.若△ABC的三边长a，b，c满足（a+b-c）（a+b+c）=ab，则角C的大小是（）A.60°B.90°C.120°D.150°【答案】C【解析】解：∵（a+b-c）（a+b+c）=ab∴（a+b）2-c2=ab即a2+b2-c2=-ab根据余弦定理可知cos C===-∴∠C=120°故选C．首先将已知的式子进行化简得出a2+b2-c2=-ab，然后利用余弦定理求出C的大小．本题考查了余弦定理的运用，解题的关键是利用平方差公式将所给式子进行化简，属于基础题．3.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：∵椭圆的长轴长是短轴长的倍∴2a=•2b，即a=b∴a2=2b2c2=a2-b2=2b2-b2=b2∴e2===∴e=故选B先根据椭圆的长轴长是短轴长的2倍得a=2b，进而根据c2=a2-b2用b表示c，进而代入e2=求得e．本题主要考查椭圆的性质．属基础题．4.在△ABC中，已知2sin A cos B=sin C，那么△ABC一定是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形【答案】B【解析】解：由2sin A cos B=sin C知2sin A cos B=sin（A+B），∴2sin A cos B=sin A cos B+cos A sin B．∴cos A sin B-sin A cos B=0．∴sin（B-A）=0，∵A和B是三角形的内角，∴B=A．故选B根据三角形三个内角和为180°，把角C变化为A+B，用两角和的正弦公式展开移项合并，公式逆用，得sin（B-A）=0，因为角是三角形的内角，所以两角相等，得到三角形是等腰三角形．在三角形内会有一大部分题目出现，应用时要抓住三角形内角和是180°，就有一部分题目用诱导公式变形，对于题目中正用、逆用两角和的正弦和余弦公式，必须在复杂的式子中学会辨认公式应用公式．5.如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A.＜B.ab＜b2C.-ab＜-a2D.＜【答案】D【解析】解：由于a＜b＜0，不妨令a=-2，b=-1，可得=-1，∴＞，故A不正确．可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确．可得-ab=-2，-a2=-4，∴-ab＞-a2，故C不正确．故选D．由于a＜b＜0，不妨令a=-2，b=-1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论．本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题．6.目标函数z=2x+y，变量x，y满足＜，则有（）A.z max=12，z min=3B.z max=12，z无最小值C.z min=3，z无最大值D.z既无最大值，也无最小值【答案】C【解析】解：先根据约束条件画出可行域，由得A（5，2），由得B（1，1）．当直线z=2x+y过点A（5，2）时，z最大是12，当直线z=2x+y过点B（1，1）时，z最小是3，但可行域不包括A点，故取不到最大值．故选C．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值情况即可．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．7.下列有关命题的说法正确的是（）A.命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B.命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“γx∈R，均有x2+x+1＜0”C.在△ABC中，“A＞B”是“cos2A＜cos2B”的充要条件D.“x≠2或y≠1”是“x+y≠3”的非充分非必要条件【答案】C【解析】解：A不正确∵不符合否命题的定义；B不正确没有否定结论；C、∵A、B是三角形内角，∴0＜A＜B＜1800⇔cos2A＜cos2B正确D、“x≠2或y≠1”有三种情况：一是x≠2且y=1；二是x=2且y≠1；三是x≠2且y≠1∴是必要不充分条件．故选C．A不符合否命题的定义；B没有否定结论；C、0＜A＜B＜1800⇔cos2A＜cos2B；D、“x≠2或y≠1”有三种情况：一是x≠2且y=1二是x=2且y≠1三是x≠2且y≠1本题主要通过常用逻辑用语来考查多个知识点．8.等比数列{a n}中，已知对任意自然数n，a1+a2+a3+…+a n=2n-1，则a12+a22+a32+…+a n2=（）A.（2n-1）2B.C.4n-1D.【答案】D【解析】解：设等比数列的公比为q，则由等比数列的性质可知数列{}是以q2为公比的等比数列S n=a1+a2+…+a n=2n-1∵a1=S1=1，a n=S n-S n-1=2n-1-（2n-1-1）=2n-1适合n=1∴，则由等比数列的性质可知数列{}是以q2=4为公比，以1为首项的等比数列∴==故选D由于S n=a1+a2+…+a n=2n-1，则可得a1=S1=1，a n=S n-S n-1可求a n，然后由等比数列的性质可知数列{}是以q2为公比，以为首项的等比数列，利用等比数列的求和公式可求本题主要考查了利用数列的递推公式，等比数列的性质的应用，等比数列的求和公式的应用9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=-11，a5+a6=-4，S n取得最小值时n的值为（）A.6B.7C.8D.9【答案】A【解析】解：【解法一】在等差数列{a n}中，设公差为d，∵a1=-11，a5+a6=-4，∴（a1+4d）+（a1+5d）=-22+9d=-4；∴d=2，∴a n=a1+（n-1）d=-11+2（n-1）=2n-13，由2n-13≤0，得n≤，∴当n=6时，S n取得最小值；【解法二】在等差数列{a n}中，设公差为d，∵a1=-11，a5+a6=-4，∴（a1+4d）+（a1+5d）=-22+9d=-4，∴d=2，∴前n项和S n=na1+=-11n+=n2-12n，∴当n=6时，S n取得最小值；故选：A．【解法一】求出{a n}的通项公式a n，在a n≤0时，前n项和S n取得最小值，可以求出此时的n；【解法二】求出{a n}的前n项和S n的表达式，利用表达式是二次函数，有最小值时求对应n的值．本题考查了等差数列的通项公式与前n项和综合应用问题，是基础题．10.已知椭圆+=1（a＞b＞0）与双曲线-=1有相同的焦点，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：∵椭圆方程为+=1（a＞b＞0）∴椭圆焦点坐标为F（±c，0）其中c满足：c2=2a2-2b2…①又∵双曲线方程为-=1且与已知椭圆有相同的焦点∴双曲线焦点坐标也为F（±c，0），满足c2=a2+b2…②．对照①②，得2a2-2b2=a2+b2，∴a2=3b2⇒a=，可得椭圆的长半轴m=a=b短半轴n=b∴半焦距c==2b离心率e=，即则椭圆的离心率为．故选D．根据椭圆与双曲线有相同的焦点，结合它们的方程得出关于a，b的等式，找到a=，再根据这个关系得到椭圆的长半轴m=a=b，而短半轴n=b，从而得到c用b表示的关系式，用离心率的公式可得到此椭圆的离心率．本小题考查双曲线与椭圆的关系，考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．11.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A.2B.3C.6D.8【答案】C【解析】解：由题意，F（-1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-2，因为-2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，故选C．先求出左焦点坐标F，设P（x0，y0），根据P（x0，y0）在椭圆上可得到x0、y0的关系式，表示出向量、，根据数量积的运算将x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力．12.设x，y满足约束条件，，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（）A. B. C. D.4【答案】A【解析】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=，故选A．已知2a+3b=6，求的最小值，可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本不等式解答．本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．二、填空题(本大题共1小题，共5.0分)13.不等式ax2+bx+2＞0的解集是（-，），则a+b的值是______ ．【答案】-14【解析】解：∵不等式ax2+bx+2＞0的解集是（-，），∴＜，解得：a=-12，b=-2；故答案为：-14．由不等式ax2+bx+2＞0的解集是（-，），可得a＜0且方程ax2+bx+2=0的解为-，；从而求解．本题考查了二次不等式与二次方程及二次函数的关系，属于基础题．三、解答题(本大题共1小题，共5.0分)14.已知双曲线两条渐近线的夹角为60°，求该双曲线的离心率是多少．【答案】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），由题意得=或，∴e2=1+=4或e2=，∴e=2或e=．【解析】先由双曲线的两条渐近线的夹角为60°，得=或，利用e2=1+，即可得到结论．本题主要考查了双曲线的性质．当涉及两直线的夹角问题时要注意考虑两个方面．四、填空题(本大题共2小题，共10.0分)15.若实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是______ ．【答案】【解析】解：∵x2+y2+xy=1∴（x+y）2=1+xy∵xy≤∴（x+y）2-1≤，整理求得-≤x+y≤∴x+y的最大值是故答案为：利用基本不等式，根据xy≤把题设等式整理成关于x+y的不等式，求得其范围，则x+y的最大值可得．本题主要考查了基本不等式．应熟练掌握如均值不等式，柯西不等式等性质．16.已知数列{a n}满足a1=33，a n+1-a n=2n，则的最小值为______ ．【答案】【解析】解：a n=（a n-a n-1）+（a n-1-a n-2）+…+（a2-a1）+a1=2[1+2+…+（n-1）]+33=33+n2-n 所以设f（n）=，令f′（n）=＞，则f（n）在，上是单调递增，在，上是递减的，因为n∈N+，所以当n=5或6时f（n）有最小值．又因为，，所以的最小值为由累加法求出a n=33+n2-n，所以，设f（n）=，由此能导出n=5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力．五、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对于一切x∈R恒成立，命题q：∀x∈[1，2]，x2-a≥0，若p∨q为真，p∧q为假．求实数a的取值范围．【答案】解：设g（x）=x2+2ax+4，由于关于x的不等式x2+2ax+4＞0对于一切x∈R恒成立，所以函数g（x）的图象开口向上且与x轴没有交点，故△=4a2-16＜0，∴-2＜a＜2．…（2分）若q为真命题，a≤x2恒成立，即a≤1．…（4分）由于p或q为真，p且q为假，可知p、q一真一假．…（5分）①若p真q假，则∴1＜a＜2；…（7分）②若p假q真，则∴a≤-2；…（9分）综上可知，所求实数a的取值范围是{a|1＜a＜2或a≤-2}…（10分）【解析】根据二次函数的图象和性质我们可以求出命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对于一切x∈R恒成立时，及命题q：∀x∈[1，2]，x2-a≥0时，a的取值范围，根据p∨q为真，p∧q为假，结合复合命题的真值表，可得p、q一真一假，分类讨论后可得实数a的取值范围．本题以复合命题的真假判断为载体考查了二次不等式恒成立问题，其中根据二次函数的图象和性质，分别求出对应的a值，是解答本题的关键．18.已知椭圆C的焦点F1（-2，0）和F2（2，0），长轴长6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线y=x+2交椭圆C于A，B两点，求线段AB的长．【答案】解：（1）∵椭圆C的焦点F1（-2，0）和F2（2，0），长轴长6，∴椭圆的焦点在x轴上，c=2，a=3，∴b=1，∴椭圆C的标准方程为；（2）直线y=x+2代入椭圆方程可得10x2+36x+27=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，∴|AB|=•=【解析】（1）根据焦点坐标得出椭圆的焦点在x轴上，由椭圆的焦点坐标得出c的值，再由长轴的值求出a的值，进而利用椭圆的性质求出b的值，确定出椭圆的标准方程；（2）与直线y=x+2联立，消去y得到关于x的一元二次方程，设出两交点A与B的坐标，利用根与系数的关系、弦长公式，即可求线段AB的长．本题考查椭圆方程的求法，考查弦长公式的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．19.在△ABC中，A、B、C的对边分别是a，b，c，且bcos B是acos C，ccos A的等差中项．（1）求∠B的大小；（2）若a+c=，，求△ABC的面积．【答案】解：（1）∵bcos B是acos C，ccos A的等差中项，∴acos C+ccos A=2bcos B，由正弦定理，得sin A cos C+cos A sin C=2sin B cos B，即sin（A+C）=2sin B cos B，∵A+C=π-B，0＜B＜π，∴sin（A+C）=sin B≠0，∴cos B=，B=．（2）由B=，得=，即，∴ac=2，∴．【解析】（1）利用等差中项的性质，知acos C+ccos A=2bcos B，由正弦定理，得sin A cos C+cos A sin C=2sin B cos B，由此结合三角函数的性质能够求出∠B．（2）由（1）知B=，利用余弦定理得到=，再利用三角形面积公式，能求出△ABC的面积．本题考查等差中项，正弦定理、余弦定理、三角形面积等公式的应用，解题时要认真审题，注意三角函数恒等变换的灵活运用．20.在公差不为零的等差数列{a n}中，a2=3，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，记b n=．求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解：（1）设{a n}的公差为d，依题意得，…（3分）解得a1=2，d=1…（5分）∴a n=2+（n-1）×1即a n=n+1．…（6分）（2）．…（9分）故T n=．…（12分）【解析】（1）由等差数列及等比数列的定义，列出方程组求解；（2）利用裂项相消法求数列的和．本题主要考查等差数列、等比数列的性质的应用及裂项相消法求数列和的知识，考查学生的运算能力及方程思想的运用能力，属中档题．21.已知各项均为正数的数列{a n}前n项和为S n，首项为2，且2，a n，S n成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=log2a n，c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【答案】解：（Ⅰ）由题意知2a n=S n+2，a n＞0，a1=2，（1分）当n≥2时，S n=2a n-2，S n-1=2a n-1-2，两式相减得a n=2a n-2a n-1整理得：=2，（4分）∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列．∴=2×2n-1=2n．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴b n=n，，（7分）T n=，…①=，…②①-②得=，（10分）∴=1-，（11分）∴T n=2-．（12分）【解析】（Ⅰ）由已知条件推导出=2，从而数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而b n=n，，由此利用错位相减法能求出数列{c n}的前n项和T n．本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．22.在直角坐标系xoy上取两个定点A1（-2，0），A2（2，0），再取两个动点N1（0，m），N2（0，n）且mn=3．（1）求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程；（2）已知F2（1，0）设直线l：y=kx+m与（1）中的轨迹M交于P，Q两点，直线F2P，F2Q的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，求证：直线L过定点，并求该定点的坐标．【答案】解：（I）依题意知直线A1N1的方程为：y=（x+2）…①；直线A2N2的方程为：y=-（x-2）…②设Q（x，y）是直线A1N1与A2N2交点，①、②相乘，得y2=-（x2-4）由mn=3整理得：，∵N1、N2不与原点重合，可得点A1（-2，0），A2（2，0）不在轨迹M上，∴轨迹M的方程为，（x≠±2）．（II）由题意，可得直线l的斜率存在且不为零由消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得x1+x2=且x1x2=，∵α+β=π，=，=，∴+==0，化简得2kx1x2+（m-k）（x1+x2）-2m=0．即2k+（m-k）•-2m=0，整理得m=-4k因此，直线l：y=kx+m即y=k（x-4），经过定点（4，0）．综上所述，直线l过定点，该点的坐标为（4，0）．【解析】（I）由直线方程的点斜式列出A1N1和A2N2的方程，联解并结合mn=3化简整理得，（x≠±2），再由N1、N2不与原点重合，可得直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程；（II）由直线l方程与（Ⅰ）中求出的方程消去y，得到关于x的一元二次方程．利用根与系数的关系和直线的斜率公式，结合α+β=π化简整理，解出m=-4k，所以直线l：y=kx+m即y=k（x-4），可得直线l过定点（4，0）．本题着重考查了动点轨迹的求法、椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系和一元二次方程根与系数的关系等知识，属于中档题．。
辽宁省沈阳铁路实验中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(文)试题
辽宁省沈阳铁路实验中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学（文）试题一、选择题：（每题5分共60分）1命题“对任意x R ∈都有21x ≥”的否定是（ ）A ． 对任意x R ∈，都有21x <B ．不存在x R ∈，使得21x <C ．存在0x R ∈，使得201x ≥D ．存在0x R ∈，使得201x <2 .已知a ，b ，c 是△ABC 三边之长，若满足等式(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C 的大小为 ( ) A ．60° B ．90° C ．120° D ．150°3.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 ( )A.12B.22C. 2D.324 .在△ABC 中，已知sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形5 .如果0a b <<,那么下列不等式成立的是 （ ） A ．11a b < B ．2ab b < C ．2ab a -<- D ．11a b-<- 6 .目标函数y x z +=2，变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ，则有 （ ）A ．3,12min max ==z zB ．,12max =z z 无最小值C ．z z ,3min =无最大值D ．z 既无最大值，也无最小值7 .下列有关命题的说法正确的是 A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”；B ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”；C ．在ABC ∆中，“B A >”是“B A 22cos cos <”的充要条件；D ．“2x ≠或1y ≠”是“3x y +≠”的非充分非必要条件.8.等比数列{}n a 中，已知对任意自然数n ，12321n n a a a a ++++=-，则2222123n a a a a +++等于( ) A ．()221n - B ．()1213n - C ．41n - D ．()1413n - 9 .已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，111a =-，564a a +=-，n S 取得最小值时n 的值为（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．910．已知椭圆222a x ＋222b y ＝1（a ＞b ＞0）与双曲线22a x －22by ＝1有相同的焦点，则椭圆的离心率为 A ．22 B ．21 C ．36 D ．66二.填空题（每题5分共20分）[来13.不等式022>++bx ax 的解集是)31,21(-，则a ＋b 的值是 14．若双曲线的两条渐进线的夹角为 60，则该双曲线的离心率为________15．若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值___________；16.已知数列{}n a 满足133a =，12n n a a n +-=，则n a n的最小值为____. 三、解答题(每题12分) 17.命题P ：关于x 的不等式0422>++ax x 对于一切R x ∈恒成立，命题Q ：[],0,2,12≥-∈∀a x x 若pVq 为真，q p Λ为假，求实数a 的取值范围。
辽宁省沈阳铁路实验中学高三数学上学期期中试题 理
沈阳铁路实验中学2016-2017学年度上学期期中考试高三数学（理）时间：120分钟 分数：150分 第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知复数21iz i=-，z 为z 的共轭复数，则z z ⋅的值为（ ） A ．2- B ． 0 C ．2 D ． 2 2．已知集合}023|{2≥+-=x x x A ,}01|{≥-=x xx B ，则集合=B A I （ ） A ．}1|{≤x x B ．2|{≥x x 或}0≤x C ．}21|{≤<x x D ．}21|{≤≤x x 3．已知命题xxR x p 32,:<∈∀，命题231,:x x R x q -=∈∃，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．q p ∧ B ．q p ∧⌝ C ．q p ⌝∧ D ．q p ⌝∧⌝ 4．函数()sin 6f x x πω⎛⎫=A +⎪⎝⎭（0ω>）的图象与x 轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，若要得到函数()sin g x x ω=A 的图象，只要将()f x 的图象（ ）个单位A ．向左平移6π B ．向右平移6πC ．向左平移12πD ．向右平移12π5．某校高考数学成绩ξ近似地服从正态分布2(100,5)N ，且(110)0.98P ξ<=，则(90100)P ξ<<的值为（ ）A ．0.49B ．0.52C ．0.51D ．0.48 6．如图给出的是计算1111124640304032+++++…的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ）A ．4030i ≤B ．4030i ≥C ．4032i ≤D ．4032i ≥ 7．设()0cos sin a x x dx π=-⎰，则二项式62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的3x 项的系数为（ ）A ．160-B ．20C ．20-D ．1608．已知函数f （x ）=a ﹣x 2（1≤x ≤2）与g （x ）=x+2的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[﹣，+∞）B ．[﹣，0]C ．[﹣2，0]D ．[2，4] 9．已知锐角θ满足2sin 263θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ） A ．19- B ．45 C ．45- D ．1910．将一颗骰子抛掷两次，所得向上点数分别为n m ,，则函数1323+-=nx mx y 在[)∞+,1上为增函数的概率是（ ） A ．21 B ．65 C ．43 D ．32 11．把座位编号为6,5,4,3,2,1的6张电影票分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少分一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同分法种数为（ ）A.240B. 144C.196D. 28812．设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且有'22()()f x xf x x +>，则不等式2(2016)(2016)4(2)0x f x f ++-->的解集为（ ）A ．(,2016)-∞-B ．(,2018)-∞-C ．(2018,0)-D ．(2016,0)-第Ⅱ卷 (共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.)13．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()12f x f x +=-，当12x ≤≤时，()f x x =，则112f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭____________． 14．曲线xy 2=与直线1-=x y 及4=x 所围成的封闭图形的面积为_________. 15．设函数()(0)22xf x x x =>+，观察： 1()()22xf x f x x ==+， 21()(())64xf x f f x x ==+， 32()(())148xf x f f x x ==+， 43()(())3016xf x f f x x ==+， ……，根据以上事实，当*n N ∈时，由归纳推理可得：(1)n f = .16．已知()()()2,1xf x xeg x x a ==-++,若[]12,2,0x x ∃∈-,使得()()21f x g x ≤成立, 则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：（满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．(本小题满分12分)已知函数21cos 2()sin sin()42sin()2x f x x a x x ππ+=+++-（Ⅰ）求函数y = f （x ）的单调递增区间； （Ⅱ）当x ∈ ［0，512π］ 时，函数 y = f （x ）的最小值为 212+，试确定常数a 的值．18．(本小题满分12分)2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾， 5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元，距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000]五组，并作出如下频率分布直方图（图1）：（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民损款，现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，投抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（3）台风后区委会号召该小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如下表，在图2表格空白外填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30损款不超过500元 6合计附：临界值参考公式：22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.2()P K k≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82819．(本小题满分12分)已知函数()ln a f x x x=-. （1）若a>0,试判断()f x 在定义域内的单调性; （2）若()f x 在[]1,e 上的最小值为32,求a 的值;20．(本小题满分12分)已知向量(cos ,1)2x m =-u r ，2(3sin ,cos )22x x n =r ，函数()1f x m n =⋅+u r r ．（1）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，11()10f x =，求cos x 的值； （2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足2cos 23b A c a ≤-，求角B 的取值范围．21．(满分12分)已知函数()()()()()222220,6xf x exx a a g x x x c c R =-+->=++∈.（1）若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为42y x =--,求a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）当1a =时, 对[][]122,2,2,2x x ∀∈-∃∈-,使得()()12f x g x <成立, 求实数c 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.在答题卡选答区域．．．．．．．．指定位置答题．．．．．．，并用．．2B ．．铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．．．．．．．．．．．．．．．．．.注意所做题目的题号必须与所涂题．．．．．．．．．．．．．．．目的题号一致．．．．．．.22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程式21222tx t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 是参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为22)4πρθ=+．（1）求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于A 、B 两点，若P 点的直角坐标为(1,0)，求||||PA PB +的值．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数()|1|||f x x x a =+-+．（1）若0a =，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若方程()f x x =有三个不同的解，求a 的取值范围。
辽宁省沈阳铁路实验中学2014-2015学年高二数学上学期期中试题 文
辽宁省沈阳铁路实验中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学〔文〕试题一、选择题：〔每题5分共60分〕1命题“对任意x R ∈都有21x ≥〞的否认是〔 〕A ． 对任意x R ∈，都有21x <B ．不存在x R ∈，使得21x <C ．存在0x R ∈，使得201x ≥D ．存在0x R ∈，使得201x <2 .a ，b ，c 是△ABC 三边之长，假设满足等式(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， 如此角C 的大小为( )A ．60° B．90° C．120° D．150°3.椭圆的长轴长是短轴长的2倍，如此椭圆的离心率等于( ) A.12B.22C.2D.324 .在△ABC 中，sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形 D ．正三角形5 .如果0a b <<,那么如下不等式成立的是〔 〕A ．11a b< B ．2ab b <C ．2ab a -<-D ．11a b-<- 6 .目标函数y x z +=2，变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ，如此有 〔 〕A ．3,12min max ==z zB ．,12max =z z 无最小值C ．z z ,3min =无最大值D ．z 既无最大值，也无最小值7 .如下有关命题的说法正确的答案是A ．命题“假设21x =，如此1=x 〞的否命题为：“假设21x =，如此1x ≠〞； B ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<〞的否认是：“x R ∀∈，均有210x x ++<〞； C ．在ABC ∆中，“B A >〞是“B A 22cos cos <〞的充要条件；D ．“2x ≠或1y ≠〞是“3x y +≠〞的非充分非必要条件. 8.等比数列{}n a 中，对任意自然数n ，12321n n a a a a ++++=-，如此2222123na a a a +++等于( ) A ．()221n -B ．()1213n -C ．41n -D ．()1413n - 9 .等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，111a =-，564a a +=-，n S 取得最小值时n 的值为〔〕A ．6B ．7C ．8D ．910．椭圆222a x ＋222b y ＝1〔a ＞b ＞0〕与双曲线22a x －22by ＝1有一样的焦点，如此椭圆的离心率为A ．22B ．21C ．36 D ．66二.填空题〔每题5分共20分〕 13.不等式022>++bx ax 的解集是)31,21(-，如此a ＋b 的值是 14．假设双曲线的两条渐进线的夹角为 60，如此该双曲线的离心率为________15．假设实数,x y 满足221x y xy ++=，如此x y +的最大值___________；16.数列{}n a 满足133a =，12n n a a n +-=，如此na n的最小值为____. 三、解答题(每题12分)17.命题P ：关于x 的不等式0422>++ax x 对于一切R x ∈恒成立，命题Q ：[],0,2,12≥-∈∀a x x 假设pVq为真，q p Λ为假，求实数a 的取值范围。
2015-2016年辽宁省沈阳二中高三(上)期中数学试卷及参考答案(文科)
2015-2016学年辽宁省沈阳二中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜1}2．（5分）设复数z=1+i（i是虚数单位），则复数z+的虚部是（）A．B．i C．D．i3．（5分）设a=2﹣0.5，b=log20152016，c=sin1830°，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c4．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣15．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a7=9a3，则=（）A．9 B．5 C．D．7．（5分）将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．x=C．x=D．x=﹣8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．8 D．49．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且c＞b＞a，若向量=（a﹣b，1），=（b﹣c，1）平行，且sinB=，则当△ABC的面积为时，B=（）A．B．2 C．4 D．2+11．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．3a﹣1 B．1﹣3a C．3﹣a﹣1 D．1﹣3﹣a12．（5分）如图，正五边形ABCDE的边长为2，甲同学在△ABC中用余弦定理解得，乙同学在Rt△ACH中解得，据此可得cos72°的值所在区间为（）A．（0.1，0.2）B．（0.2，0.3）C．（0.3，0.4）D．（0.4，0.5）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tanα的值是．14．（5分）已知变量x，y满足，则的取值范围是．15．（5分）如图数表，为一组等式：某学生根据上表猜测S2n﹣1=（2n﹣1）（an2+bn+c），老师回答正确，则a﹣b+c=．16．（5分）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分别为AB、BC的中点．点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示），若=λ+μ，其中λ，μ∈R．则2λ﹣μ的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x（x∈R）．（I）求函数f（x）的单调递增区间；（II）△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b．，c，若f（）=﹣，b=1，c=且a＞b，求B和C．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且2a n=S n+2n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3；（Ⅱ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅲ）求数列{n•a n}的前n项和T n．20．（12分）“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题．近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.2．为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C（单位：万元）与安装的这种净水设备的占地面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）=（x≥0，k为常数）．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．（Ⅰ）试解释C（0）的实际意义，请建立y关于x的函数关系式并化简；（Ⅱ）当x为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？21．（12分）设函数的图象在点（x，f（x））处的切线的斜率为k（x），且函数为偶函数．若函数k（x）满足下列条件：①k（﹣1）=0；②对一切实数x，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数k（x）的表达式；（Ⅱ）求证：（n∈N*）．22．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，（i）求实数a的值；（ii）若对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．2015-2016学年辽宁省沈阳二中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜1}【解答】解：由题意A={y|y=2x+1}={y|y＞1}，B={x|lnx＜0}={x|0＜x＜1}，故C U A={y|y≤1}∴（C U A）∩B={x|0＜x＜1}故选：D．2．（5分）设复数z=1+i（i是虚数单位），则复数z+的虚部是（）A．B．i C．D．i【解答】解：复数z=1+i（i是虚数单位），则复数z+=1+i+=1+i+=．复数z+的虚部是：．故选：A．3．（5分）设a=2﹣0.5，b=log20152016，c=sin1830°，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c【解答】解：∵1＞a=2﹣0.5=，b=log20152016＞1，c=sin1830°=sin30°=，∴b＞a＞c，故选：D．4．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【解答】解：∵，．∴=（2λ+3，3），．∵，∴=0，∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．故选：B．5．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选：B．6．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a7=9a3，则=（）A．9 B．5 C．D．【解答】解：∵等差数列{a n}，a7=9a3，∴a1+6d=9（a1+2d），∴a1=﹣d，∴==9，7．（5分）将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．x=C．x=D．x=﹣【解答】解：将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数解析式为：g（x）=sin（2x﹣），再将g（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位（纵坐标不变）得到y=g （x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+﹣）=sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z），得：x=+，k∈Z．∴当k=0时，x=，即x=是变化后的函数图象的一条对称轴的方程，故选：A．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．8 D．4【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体的直观图如下图所示：该几何体是一个四棱锥A﹣CDEF和一个三棱锥组F﹣ABC成的组合体，四棱锥A﹣CDEF的底面面积为4，高为4，故体积为：，三棱锥组F﹣ABC的底面面积为2，高为2，故体积为：，故这个几何体的体积V=+=，故选：A．9．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数∴函数的零点呈周期性出现，且法自变量趋向于正无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越小，而当自变量趋向于负无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越大，A选项符合题意；B选项振幅变化规律与函数的性质相悖，不正确；C选项是一个偶函数的图象，而已知的函数不是一个偶函数故不正确；D选项最高点离开原点的距离的变化趋势不符合题意，故不对．综上，A选项符合题意故选：A．10．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且c＞b＞a，若向量=（a﹣b，1），=（b﹣c，1）平行，且sinB=，则当△ABC的面积为时，B=（）A．B．2 C．4 D．2+【解答】解：由向量和共线知a+c=2b①，由②，由c＞b＞a知角B为锐角，③，联立①②③得b=2．故选：B．11．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．3a﹣1 B．1﹣3a C．3﹣a﹣1 D．1﹣3﹣a【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x），∴f（﹣x）=﹣f（x），∵当x≥0时，f（x）=，∴当x≥0时，f（x）=，得出x＜0时，f（x）=画出图象得出：如图从左向右零点为x1，x2，x3，x4，x5，根据对称性得出：x1+x2=﹣4×2=﹣8，x 4+x5=2×4=8，﹣log（﹣x3+1）=a，x3=1﹣3a，故x1+x2+x3+x4+x5=﹣8+1﹣3a+8=1﹣3a，故选：B．12．（5分）如图，正五边形ABCDE的边长为2，甲同学在△ABC中用余弦定理解得，乙同学在Rt△ACH中解得，据此可得cos72°的值所在区间为（）A．（0.1，0.2）B．（0.2，0.3）C．（0.3，0.4）D．（0.4，0.5）【解答】解：根据题意可得∴构造函数﹣1∵，∴x所在区间为（0.3，0.4）即cos72°的值所在区间为（0.3，0.4）故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tanα的值是﹣．【解答】解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，∴cosα=﹣，又α∈（，π），∴α=，∴tanα=﹣．故答案为：﹣．14．（5分）已知变量x，y满足，则的取值范围是[，] ．【解答】解：作出所对应的区域（如图阴影），变形目标函数可得==1+，表示可行域内的点与A（﹣2，﹣1）连线的斜率与1的和，由图象可知当直线经过点B（2，0）时，目标函数取最小值1+=；当直线经过点C（0，2）时，目标函数取最大值1+=；故答案为：[，]15．（5分）如图数表，为一组等式：某学生根据上表猜测S2n﹣1=（2n﹣1）（an2+bn+c），老师回答正确，则a﹣b+c=5．【解答】解：由题意，，∴，∴a﹣b+c=5，故答案为：516．（5分）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分别为AB、BC的中点．点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示），若=λ+μ，其中λ，μ∈R．则2λ﹣μ的取值范围是[﹣1，1] ．【解答】解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E（1，0），D（0，1），F （1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），∵=λ+μ，∴（cosα，sinα）=λ（﹣1，1）+μ（1.5，0.5），∴cosα=﹣λ+1.5μ，sinα=λ+0.5μ，∴λ=（3sinα﹣cosα），μ=（cosα+sinα），∴2λ﹣μ=sinα﹣cosα=sin（α﹣45°）∵0°≤α≤90°，∴﹣45°≤α﹣45°≤45°，∴﹣≤sin（α﹣45°）≤，∴﹣1≤sin（α﹣45°）≤1∴2λ﹣μ的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x（x∈R）．（I）求函数f（x）的单调递增区间；（II）△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b．，c，若f（）=﹣，b=1，c=且a＞b，求B和C．【解答】解：（1）f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x ﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，x∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，x∈Z，则函数f（x）的递增区间为[kπ﹣，kπ+]，x∈Z；（2）∵f（B）=sin（B﹣）=﹣，∴sin（B﹣）=﹣，∵0＜B＜π，∴﹣＜B﹣＜，∴B﹣=﹣，即B=，又b=1，c=，∴由正弦定理=得：sinC==，∵C为三角形的内角，∴C=或，当C=时，A=；当C=时，A=（不合题意，舍去），则B=，C=．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．【解答】证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC．…（2分）因为E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC．…（4分）因为PC⊂平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（6分）（2）因为E为PA中点，PD=AD，所以PA⊥DE．…（8分）因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．因为OE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，OE∩DE=E，所以PA⊥平面BDE．…（12分）因为PA⊂平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．…（14分）19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且2a n=S n+2n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3；（Ⅱ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅲ）求数列{n•a n}的前n项和T n．【解答】（本小题满分13分）（I）解：由题意，当n=1时，得2a1=a1+3，解得a1=3．当n=2时，得2a2=（a1+a2）+5，解得a2=8．当n=3时，得2a3=（a1+a2+a3）+7，解得a3=18．所以a1=3，a2=8，a3=18为所求．…（3分）（Ⅱ）证明：因为2a n=S n+2n+1，所以有2a n+1=S n+1+2n+3成立．两式相减得：2a n﹣2a n=a n+1+2．+1=2a n+2（n∈N*），即a n+1+2=2（a n+2）．…（5分）所以a n+1所以数列{a n+2}是以a1+2=5为首项，公比为2的等比数列．…（7分）（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得：a n+2=5×2n﹣1，即a n=5×2n﹣1﹣2（n∈N*）．则na n=5n•2n﹣1﹣2n（n∈N*）．…（8分）设数列{5n•2n﹣1}的前n项和为P n，则P n=5×1×20+5×2×21+5×3×22+…+5×（n﹣1）•2n﹣2+5×n•2n﹣1，所以2P n=5×1×21+5×2×22+5×3×23+…+5（n﹣1）•2n﹣1+5n•2n，所以﹣P n=5（1+21+22+…+2n﹣1）﹣5n•2n，即P n=（5n﹣5）•2n+5（n∈N*）．…（11分）所以数列{n•a n}的前n项和T n=，整理得，T n=（5n﹣5）•2n﹣n2﹣n+5（n∈N*）．…（13分）20．（12分）“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题．近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.2．为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C（单位：万元）与安装的这种净水设备的占地面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）=（x≥0，k为常数）．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．（Ⅰ）试解释C（0）的实际意义，请建立y关于x的函数关系式并化简；（Ⅱ）当x为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？【解答】解：（Ⅰ）C（0）表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元（2分）∵C（0）==4，∴k=1000；（3分）∴y=0.2x+×4=0.2x+，x≥0﹒（6分）（Ⅱ）y=0.2（x+5+）﹣1≥0.2×40﹣1=7当x+5=，即x=15时，y min=7∴当x为15平方米时，y取得最小值7万元（12分）21．（12分）设函数的图象在点（x，f（x））处的切线的斜率为k（x），且函数为偶函数．若函数k（x）满足下列条件：①k（﹣1）=0；②对一切实数x，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数k（x）的表达式；（Ⅱ）求证：（n∈N*）．【解答】解：（Ⅰ）由已知得：k（x）=f'（x）=ax2+bx+c．…（1分）由为偶函数，得为偶函数，显然有．…（2分）又k（﹣1）=0，所以a﹣b+c=0，即．…（3分）又因为对一切实数x恒成立，即对一切实数x，不等式恒成立．…（4分）显然，当时，不符合题意．…（5分）当时，应满足，注意到，解得．…（7分）所以．…（8分）（Ⅱ）证明：因为，所以．…（9分）要证不等式成立，即证．…（10分）因为，…（12分）所以=．所以成立．…（14分）22．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，（i）求实数a的值；（ii）若对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）求导函数可得：f′（x）=﹣2x+=﹣（x＞0）由f′（x）＞0且x＞0得，0＜x＜1；由f′（x）＜0且x＞0得，x＞1．∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数．∴函数f（x）的最大值为f（1）=﹣1．（Ⅱ）∵g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．（ⅰ）由（Ⅰ）知，x=1是函数f（x）的极值点，又∵函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，∴x=1是函数g（x）的极值点，∴g′（1）=1﹣a=0，解得a=1．（ⅱ）∵f（）=﹣﹣2，f（1）=﹣1，f（3）=﹣9+2ln3，∵﹣9+2ln3＜﹣﹣2＜﹣1，即f（3）＜f（）＜f（1），∴x1∈[[，3]时，f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1由（ⅰ）知g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．当x∈[，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，3]时，g′（x）＞0．故g（x）在[，1）为减函数，在（1，3]上为增函数．∵，g（1）=2，g（3）=，而2＜＜，∴g（1）＜g（）＜g（3）∴x2∈[[，3]时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=①当k﹣1＞0，即k＞1时，对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价于k≥[f（x1）﹣g（x2）]max+1∵f（x1）﹣g（x2）≤f（1）﹣g（1）=﹣1﹣2=﹣3，∴k≥﹣2，又∵k＞1，∴k＞1．②当k﹣1＜0，即k＜1时，对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价于k≤[f（x1）﹣g（x2）]min+1∵f（x1）﹣g（x2）≥f（3）﹣g（3）=﹣，∴k≤．又∵k＜1，∴k≤．综上，所求的实数k的取值范围为（﹣∞，]∪（1，+∞）．。
辽宁省实验中学分校2015届高三数学上学期10月月考试卷文(含解析)
辽宁省实验中学分校2015届高三上学期10月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）图中的阴影表示的集合是（）A．（∁U A）∩B B．（∁U B）∩B C．∁U（A∩B）D．∁U（A∪B）2．（5分）设集合A={x|＜0}，B={x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设复数z=1+i（i是虚数单位），则+z2=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i4．（5分）设a＞0，b＞0若log2a与log2b的等差中项为2，则2a+b的最小值为（）A．8 B．C．D．5．（5分）不等式的解集是（）A．{x|≤x≤2}B．{x|≤x＜2} C．{x|x＞2或x≤} D．{x|x≥}6．（5分）若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣1，0）7．（5分）函数f（x）=a x+log a（x+1）在[0，1]上的最大值与最小值的和为a，则a的值为（）A．B．C．2 D．48．（5分）已知函数，则f（2+log23）的值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知等差数列{a n}的各项均为正数，观察如图所示的程序框图，当k=5，k=10时，分别有S=和S=，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n=2n+1 B．a n=2n+3 C．a n=2n﹣1 D．a n=2n﹣310．（5分）命题：∀x，y∈R，如果xy=0，则x=0．它的否命题为（）A．∃x，y∈R，如果xy≠0，则x≠0B．∃x，y∈R，如果xy=0，则x≠0C．∀x，y∈R，如果xy≠0，则x≠0D．∀x，y∈R，如果xy=0，则x≠011．（5分）定义在R上的函数满足f（x+y）=f（x）+f（y），且在区间（0，+∞）上单调递增，若实数a满足2f（log2a）+f（log a）≤f（1），则a的取值范围是（）A．[1，2] B．（0，] C．（0，2] D．（﹣∞，2] 12．（5分）若方程=x（a∈R）在[﹣1，1]有解，则a的取值范围是（）A．[1，2] B．[] C．[1，3] D．[]二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．（5分）若集合A={a1，a2}，集合B={b1，b2，b3}，则从A到B的子集建立的映射中，构成一一映射的概率是．14．（5分）如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是．15．（5分）函数f（x）=2x||﹣1的零点个数为．16．（5分）已知函数f（x）=4+ln（﹣3x），如果f（lglog310）=5，则f（lglg3）=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知集合A={x|x2﹣（2+4m）x+8m=0}，B={x|x＜0}，若命题“A∩B=∅”是假命题，求实数m的取值范围．18．（12分）设函数f（x）=x3+ax2﹣9x﹣1（a＜0）．若曲线y=f（x）的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）函数f（x）的单调区间．19．（12分）中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q≤80时，为酒后驾车；当Q＞80时，为醉酒驾车．济南市公安局交通管理部门于2011年2月的某天晚上8点至11点在市区设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图，为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q≥140的人数计入120≤Q＜140人数之内）．（1）求此次拦查中醉酒驾车的人数；（2）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数x的分布列和期望．20．（12分）已知函数f（x）满足f（t+2）=f（t﹣2），当﹣1＜x≤1时，f（x）=m（m＞0），当1＜x≤3时，f（x）=1﹣|x﹣2|．（1）当m=2时，画出函数y=f（x）在[﹣1，9]区间上的图象；（2）若方程3f（x）=x恰有5个实数解，求m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=a x﹣x （a＞1）（1）证明：≥f′（）；（2）求函数f（x）的最小值，并求最小值小于0时的a取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选，一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知PA与圆O相切于点A，OB⊥OP，AB交PO与点C．（Ⅰ）求证：PA=PC；（Ⅱ）若圆O的半径为3，|OP|=5，求BC的长．23．（10分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，设直线l的参数方程是（t为参数）．（1）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）设直线l与x轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|的最大值．24．（10分）选修4﹣5；不等式选讲已知f（x）=x|x﹣a|﹣2（1）当a=1时，解不等式f（x）＜|x﹣2|；（2）当x∈（0，1]时，f（x）＜x2﹣1恒成立，求实数a的取值范围．辽宁省实验中学分校2015届高三上学期10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）图中的阴影表示的集合是（）A．（∁U A）∩B B．（∁U B）∩B C．∁U（A∩B）D．∁U（A∪B）考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：规律型．分析：根据阴影部分集合元素的特点确定集合的关系．解答：解：由图象可知，阴影部分的元素是由属于集合B，但不属于集合A的元素构成，则对应的集合为（∁U A）∩B．故选：A．点评：本题主要考查集合关系的判断，利用Venn图是解决此类问题的基本方法，比较基础．2．（5分）设集合A={x|＜0}，B={x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用．分析：由分式不等式的解法，⇒0＜x＜1，分析有A⊊B，由集合间的包含关系与充分条件的关系，可得答案．解答：解：由得0＜x＜1，即A={x|0＜x＜1}，分析可得A⊊B，即可知“m∈A”是“m∈B”的充分而不必要条件，故选A．点评：本日考查集合间的包含关系与充分、必要条件的关系，如果A是B的子集，则x∈A 是x∈B的充分条件，x∈B是x∈A的必要条件．3．（5分）设复数z=1+i（i是虚数单位），则+z2=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把复数z代入表达式化简整理即可．解答：解：对于，故选D．点评：本小题主要考查了复数的运算和复数的概念，以复数的运算为载体，直接考查了对于复数概念和性质的理解程度．4．（5分）设a＞0，b＞0若log2a与log2b的等差中项为2，则2a+b的最小值为（）A．8 B．C．D．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据等差中项的定义，结合对数的性质得到ab=4，然后利用基本不等式的性质即可得到结论．解答：解：∵log2a与log2b的等差中项为2，∴log2a+log2b=2×2=4，所以log2ab=4，ab=24=16，又a＞0，b＞0，所以2a+b≥2=8，当且仅当2a=b时，取等号，所以2a+b的最小值为8．故选：B．点评：本题主要考查基本不等式的应用，利用等差中项的性质，以及对数的运算法则是解决本题的关键．5．（5分）不等式的解集是（）A．{x|≤x≤2}B．{x|≤x＜2} C．{x|x＞2或x≤} D．{x|x≥}考点：一元二次不等式的应用．专题：计算题．分析：把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，然后转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即为原不等式的解集．解答：解：不等式，移项得：，即≤0，可化为：或解得：≤x＜2，则原不等式的解集为：≤x＜2故选B．点评：此题考查了其他不等式的解法，考查了转化及分类讨论的数学思想，是2015届高考中常考的题型．学生进行不等式变形，在不等式两边同时除以﹣1时，注意不等号方向要改变．6．（5分）若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣1，0）考点：导数的加法与减法法则；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：由题意，可先求出函数的定义域及函数的导数，再解出不等式f′（x）＞0的解集与函数的定义域取交集，即可选出正确选项．解答：解：由题，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣2﹣，令2x﹣2﹣＞0，整理得x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1，结合函数的定义域知，f′（x）＞0的解集为（2，+∞）．故选：C．点评：本题考查导数的加法与减法法则，一元二次不等式的解法，计算题，基本题型，属于基础题．7．（5分）函数f（x）=a x+log a（x+1）在[0，1]上的最大值与最小值的和为a，则a的值为（）A．B．C．2 D．4考点：函数单调性的性质．专题：计算题．分析：f（x）在[0，1]上，当a＞1时是增函数；当0＜a＜1时是减函数；由单调性分析可得f（0）+f（1）=a，即可解得a=．解答：解：f（x）是[0，1]上的增函数或减函数，故f（0）+f（1）=a，即1+a+log a2=a⇔log a2=﹣1，∴2=a﹣1⇔a=．故选B点评：可分类讨论做．因为单调性不变，也可合二为一做．8．（5分）已知函数，则f（2+log23）的值为（）A．B．C．D．考点：函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题．分析：先判断出2+log23＜4，代入f（x+1）=f（3+log23），又因3+log23＞4代入f（x）=，利用指数幂的运算性质求解．解答：解：∵1＜log23＜2，∴3＜2+log23＜4，∴f（2+log23）=f（2+log23+1）=f（3+log23），∵4＜3+log23＜5，∴f（3+log23）==×=，故选A．点评：本题的考点是分段函数求函数值，先判断自变量的范围，再代入对应的关系式，根据指数幂的运算性质进行化简求值．9．（5分）已知等差数列{a n}的各项均为正数，观察如图所示的程序框图，当k=5，k=10时，分别有S=和S=，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n=2n+1 B．a n=2n+3 C．a n=2n﹣1 D．a n=2n﹣3考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由程序框图可知其功能为计算输出S=，由于{a n}是等差数列，其公差为d，则有=（﹣），k=5时，S=；k=10时，S=，从而可求其通项公式．解答：解：由程序框图可知，S=，∵{a n}是等差数列，其公差为d，则有=（﹣），∴S=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣），由题意可知，k=5时，S=；k=10时，S=，∴；解得或（舍去），故a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．（n∈N*）故选：C．点评：本题主要考察程序框图和算法以及等差数列通项公式的求法，属于中档题．10．（5分）命题：∀x，y∈R，如果xy=0，则x=0．它的否命题为（）A．∃x，y∈R，如果xy≠0，则x≠0B．∃x，y∈R，如果xy=0，则x≠0C．∀x，y∈R，如果xy≠0，则x≠0D．∀x，y∈R，如果xy=0，则x≠0考点：四种命题．专题：常规题型；简易逻辑．分析：若p，则q的否命题为：若￢p，则￢q．解答：解：由∀x，y∈R，如果xy=0，则x=0，则其否命题为：∀x，y∈R，如果xy≠0，则x≠0．故选C．点评：本题考查了命题的否命题的写法，注意不是命题的否定，属于基础题．11．（5分）定义在R上的函数满足f（x+y）=f（x）+f（y），且在区间（0，+∞）上单调递增，若实数a满足2f（log2a）+f（log a）≤f（1），则a的取值范围是（）A．[1，2] B．（0，] C．（0，2] D．（﹣∞，2]考点：抽象函数及其应用；对数的运算性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由已知条件令x=y有，f（2x）=2f（x），令x=y=0，求得f（0）=0，再令y=﹣x，求出f（x）为奇函数，由于f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，则f（x）在R上是递增函数，将所求不等式化简为f（2log2a﹣log2a）≤f（1）．再由单调性即可求得a的范围．解答：解：由于f（x+y）=f（x）+f（y），则令x=y有，f（2x）=2f（x），令x=y=0，则f（0）=2f（0），即f（0）=0，再令y=﹣x，则f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，即f（x）为奇函数，由于f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，则f（x）在R上是递增函数，故2f（log2a）+f（log a）≤f（1），即为f（2log2a）+f（﹣log2a）≤f（1），即有f（2log2a﹣log2a）≤f（1）．则log2a≤1，解得0＜a≤2．故选C．点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的奇偶性、单调性及运用，考查对数的有关运算，属于中档题．12．（5分）若方程=x（a∈R）在[﹣1，1]有解，则a的取值范围是（）A．[1，2] B．[] C．[1，3] D．[]考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由已知得2x=x2﹣x+a（a∈R）在[﹣1，1]有解，x＜0时，方程=x（a∈R）无解，从而方程=x（a∈R）在[0，1]有解，由此能求出实数a的取值范围．解答：解：∵方程=x（a∈R）在[﹣1，1]有解，∴2x=x2﹣x+a（a∈R）在[﹣1，1]有解，∵x＜0时，方程=x（a∈R）无解，∴方程=x（a∈R）在[0，1]有解，∵x∈[0，1]时，2x∈[1，2]，设t=x2﹣x+a=（x﹣）2+a﹣，∴x=0，t min=a=1，x=1时，t max=（1﹣）2+a﹣=a=2，∴实数a的取值范围是[1，2]．故选：A．点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．（5分）若集合A={a1，a2}，集合B={b1，b2，b3}，则从A到B的子集建立的映射中，构成一一映射的概率是．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；映射．专题：计算题；概率与统计．分析：从A到B的子集建立的映射等价于从A到B建立的映射，共有3×3=9个，构成一一映射，有=6个，即可得出结论．解答：解：从A到B的子集建立的映射等价于从A到B建立的映射，共有3×3=9个，构成一一映射，有=6个∴从A到B的子集建立的映射中，构成一一映射的概率是=，故答案为：．点评：本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，考查学生的计算能力，比较基础．14．（5分）如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是a≤﹣3．考点：函数单调性的性质．专题：计算题；数形结合．分析：求出函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的对称轴x=1﹣a，令1﹣a≥4，即可解出a的取值范围．解答：解：函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的对称轴x=﹣=1﹣a，又函数在区间（﹣∞，4]上是减函数，可得1﹣a≥4，得a≤﹣3．故答案为a≤﹣3点评：考查二次函数图象的性质，二次项系数为正时，对称轴左边为减函数，右边为增函数，本题主要是训练二次函数的性质．15．（5分）函数f（x）=2x||﹣1的零点个数为2．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）=0得||=2﹣x，作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．解答：解：∵f（x）=2x||﹣1，∴由f（x）=0得||=2﹣x，作出y=||，y=2﹣x的图象，由图象可知两个图象的交点个数为2个，故答案为：2点评：本题主要考查根的个数的判断，利用数形结合是解决本题的关键．16．（5分）已知函数f（x）=4+ln（﹣3x），如果f（lglog310）=5，则f（lglg3）=3．考点：对数的运算性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：判定出函数f（x）﹣4为奇函数，根据换底公式得出f（lglog310）=f（lg），得到f（﹣lglg3）﹣4=﹣[f（lglg3）﹣4]，求出值．解答：解：∵f（x）=4+ln（﹣3x），∴f（x）﹣4=ln（﹣3x），∵f（﹣x）﹣4=ln（+3x）=ln（﹣3x），∴f（x）﹣4为奇函数，∵f（lglog310）=5，∴f（lg）=5，∴f（﹣lglg3）=5∴f（﹣lglg3）﹣4=1，∵f（x）﹣4为奇函数，∴f（﹣lglg3）﹣4=﹣[f（lglg3）﹣4]∴1=﹣[f（lglg3）﹣4]∴f（lglg3）=3故答案为3．点评：本题主要考查对数的运算性质，函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知集合A={x|x2﹣（2+4m）x+8m=0}，B={x|x＜0}，若命题“A∩B=∅”是假命题，求实数m的取值范围．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由命题“A∩B=∅”是假命题，得到A∩B≠∅，即方程x2﹣（2+4m）x+8m=0至少有一个负根，然后分方程的两个根均为负值，和一正一负分类求解实数m的取值范围．解答：解：∵A∩B=∅是假命题，∴A∩B≠∅．∵B={x|x＜0}，方程x2﹣（2+4m）x+8m=0的判别式△=（2+4m）2﹣32m=4（2m﹣1）2≥0，若方程x2﹣（2+4m）x+8m=0的两根x1，x2均非负，则有，解得m∈∅；若方程x2﹣（2+4m）x+8m=0的两根x1，x2一正一负，则f（0）=8m＜0，即m＜0．综上，实数m的取值范围是{m|m＜0}．点评：本题考查了交集及其运算，考查了数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，考查了一元二次方程的根与系数的关系，是基础题．18．（12分）设函数f（x）=x3+ax2﹣9x﹣1（a＜0）．若曲线y=f（x）的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）函数f（x）的单调区间．考点：导数的运算；利用导数研究函数的单调性；两条直线平行的判定．专题：计算题．分析：（1）先求出导函数的最小值，最小值与直线12x+y=6的斜率相等建立等式关系，求出a的值即可；（2）先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，解得的区间就是所求．解答：解：（Ⅰ）因f（x）=x3+ax2﹣9x﹣1所以f'（x）=3x2+2ax﹣9=．即当x=时，f'（x）取得最小值．因斜率最小的切线与12x+y=6平行，即该切线的斜率为﹣12，所以．解得a=±3，由题设a＜0，所以a=﹣3．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=﹣3，因此f（x）=x3﹣3x2﹣9x﹣1，f'（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x﹣3）（x+1），令f'（x）=0，解得：x1=﹣1，x2=3．当x∈（﹣∞，﹣1）时，f'（x）＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上为增函数；当x∈（﹣1，3）时，f'（x）＜0，故f（x）在（﹣1，3）上为减函数；当x∈（3，+∞）时，f'（x）＞0，故f（x）在（3，+∞）上为增函数．由此可见，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞）；单调递减区间为（﹣1，3）．点评：本小题主要考查导数的几何意义，及运用导数求函数的单调区间、一元二次不等式的解法等基础知识，属于基础题．19．（12分）中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q≤80时，为酒后驾车；当Q＞80时，为醉酒驾车．济南市公安局交通管理部门于2011年2月的某天晚上8点至11点在市区设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图，为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q≥140的人数计入120≤Q＜140人数之内）．（1）求此次拦查中醉酒驾车的人数；（2）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数x的分布列和期望．考点：频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．专题：应用题；综合题．分析：（1）求出Q＞80时对应的三个矩形的纵坐标和乘以组距求出醉酒驾车的频率；再用频率乘以60求出醉酒驾车的人数．（2）利用分层抽样的特点求出8人中酒后驾车和醉酒驾车的人数；利用古典概型的概率公式求出随机变量取每一个值的概率；列出分布列，利用随机变量的期望公式求出期望．解答：解：（1）（0.0032+0.0043+0.0050）×20=0.25，0.25×60=15，所以此次拦查中醉酒驾车的人数为15人．（2）易知利用分层抽样抽取8人中含有醉酒驾车者为2人；所以x的所有可能取值为0，1，2；P（x=0）==，P（X=1）==，P（x=2）==X的分布列为X 0 1 2P．点评：本题考查频率分布直方图中分布在某范围内的频率等于纵坐标乘以组距、考查频率等于频数除以样本容量、考查分布列的求法及随机变量的期望公式．20．（12分）已知函数f（x）满足f（t+2）=f（t﹣2），当﹣1＜x≤1时，f（x）=m（m＞0），当1＜x≤3时，f（x）=1﹣|x﹣2|．（1）当m=2时，画出函数y=f（x）在[﹣1，9]区间上的图象；（2）若方程3f（x）=x恰有5个实数解，求m的取值范围．考点：根的存在性及根的个数判断；函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由已知周期为4，当x∈（﹣1，1]时，将函数化为方程x2+=1（y≥0），实质上为一个半椭圆，由此根据周期性能作出函数其它部分的图象．（2）由图知直线y=与第二个椭圆（x﹣4）2+=1（y≥0）相交，而与第三个半椭圆（x﹣4）2+=1（y≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解，由此能求出m的范围．解答：解：（1）∵函数f（x）满足f（t+2）=f（t﹣2），∴由已知周期为4．因为当x∈（﹣1，1]时，将函数化为方程x2+=1（y≥0），实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当x∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由此得到函数y=f（x）在[﹣1，9]区间上的图象．（2）由图知直线y=与第二个椭圆（x﹣4）2+=1（y≥0）相交，而与第三个半椭圆（x﹣4）2+=1（y≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解，将y=代入（x﹣4）2+=1（y≥0）得（9m2+1）x2﹣72m2x+135m2=0，令t=9m2（t＞0），则（t+1）x2﹣8tx+15t=0，由△=（8t）2﹣4×15t（t+1）＞0，得t＞15，由9m2＞15，且m＞0得m，同样由y=与第二个椭圆（x﹣8）2+=1（y≥0），由△＜0，解得m＜．综上知m∈（，）．点评：本题考查函数图象的作法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．21．（12分）已知函数f（x）=a x﹣x （a＞1）（1）证明：≥f′（）；（2）求函数f（x）的最小值，并求最小值小于0时的a取值范围．考点：导数的运算；指数函数综合题．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，进而利用基本不等式，可证得≥f′（）；（2）利用导数法分析函数的单调性，进而得到其最小值，结合最小值小于0和对数的定义，可得a取值范围．解答：证明：（1）∵f（x）=a x﹣x，∴f′（x）=a x lna﹣1，∴=≥===f′（）；即≥f′（）；解：（2）由f′（x）=a x lna﹣1＞0，得：a x lna＞1，又∵a＞1，∴x＞﹣log a lna同理，由f′（x）=a x lna﹣1＜0，得x＜﹣log a lna，故函数f（x）在（﹣∞，﹣log a lna）上递减，在（﹣log a lna，+∞）上递增，故当x=﹣log a lna时，函数f（x）取最小值＜0，即lnlna＜﹣1，即lna＜，即a＜，故a取值范围为（0，）点评：本题考查的知识点是指数函数的综合应用，对数函数的综合应用，导数法求函数的最值，难度中档．请考生在第22、23、24三题中任选，一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知PA与圆O相切于点A，OB⊥OP，AB交PO与点C．（Ⅰ）求证：PA=PC；（Ⅱ）若圆O的半径为3，|OP|=5，求BC的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：（1）由于PA与圆O相切于点A，可得OA⊥AP，于是∠OAC+∠PAC=90°．由于OB⊥OP，可得∠OCB+∠B=90°．利用OA=OB，可得∠OAC=∠OBC．可得∠PAC=∠OCB．利用对顶角相等可得∠OCB=∠PCA，进而得到∠PAC=∠PCA，即可证明PA=PC．（2）在Rt△OAP中，利用勾股定理可得，即可得出PC=4．进而得到OC=OP﹣CP．在Rt△OBC中，利用勾股定理可得BC2=OB2+OC2即可．解答：（1）证明：∵PA与圆O相切于点A，∴OA⊥AP，∴∠OAC+∠PAC=90°．∵OB⊥OP，∴∠OCB+∠B=90°．∵OA=OB，∴∠OAC=∠OBC．∴∠PAC=∠OCB，又∵∠OCB=∠PCA，∴∠PAC=∠PCA，∴PA=PC．（2）解：在Rt△OAP中，=4．∴PC=4．∴OC=OP﹣CP=1．在Rt△OBC中，BC2=OB2+OC2=32+12=10．∴．点评：本题考查了圆的切线的性质、勾股定理、圆的性质、对顶角相等的性质、等角对等边的性质等基础知识，属于基础题．23．（10分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，设直线l的参数方程是（t为参数）．（1）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）设直线l与x轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|的最大值．考点：直线和圆的方程的应用；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．专题：转化思想．分析：（1）极坐标直接化为直角坐标，可求结果．（2）直线的参数方程化为直角坐标方程，求出M，转化为两点的距离来求最值．解答：解：（1）曲C的极坐标方程可化为：ρ2=2ρsinθ，又x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ．所以，曲C的直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0．（2）将直线L的参数方程化为直角坐标方程得：．令y=0得x=2即M点的坐标为（2，0）又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为（0，1）半径，∴．点评：本题考查极坐标和直角坐标的互化，直线的参数方程化为直角坐标方程，转化的数学思想的应用，是中档题．24．（10分）选修4﹣5；不等式选讲已知f（x）=x|x﹣a|﹣2（1）当a=1时，解不等式f（x）＜|x﹣2|；（2）当x∈（0，1]时，f（x）＜x2﹣1恒成立，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：（1）利用a=1，化简不等式，通过x≥2，1≤x＜2，x＜1分别去掉绝对值符号，然后求解不等式即可．（2）当x∈（0，1]时，f（x）＜x2﹣1恒成立，转化为a的表达式，通过函数的单调性以及基本不等式求出表达式的最值，得到a的范围．解答：解：（1）a=1，f（x）＜|x﹣2|，x|x﹣1|﹣2＜|x﹣2|．①当x≥2时，上式化为x（x﹣1）﹣2＜x﹣2，又x≥2，∴x∈∅；②当1≤x＜2时，由x|x﹣1|﹣2＜|x﹣2|．可得x（x﹣1）﹣2＜2﹣x，解得﹣2＜x＜2又1≤x ＜2∴1≤x＜2．③当x＜1时，x|x﹣1|﹣2＜|x﹣2|．可得x（1﹣x）﹣2＜2﹣x，解得x＜1，综上不等式的解集为：{x|x＜2}．（2）当x∈（0，1]时，f（x）＜即x|x﹣a|﹣2＜恒成立，即在x∈（0，1]上恒成立．而g（x）=，在（0，1]上为增函数，所以g（x）max=g（1）=﹣．．h（x）=≥2=．当且仅当，即x=时取等号．故a．点评：本题考查绝对值不等式，函数的恒成立问题的应用，函数的单调性，分类讨论思想．。
【真题】16年辽宁省沈阳市铁路实验中学高三(上)数学期中试卷含答案(理科)
2015-2016学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={0，1，2，3，4，5}，B={x|x2﹣7x+10＜0}，则A∩B的子集可以是（）A．{3，4，5}B．{4，5}C．{3，5}D．{4}2．（5分）若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数3﹣z的共轭复数是（）A．3+i B．3﹣i C．3+2i D．2﹣i3．（5分）已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．4+B．6+C．2+2+D．2+2+4．（5分）已知倾斜角为α的直线l与直线x+2y﹣3=0垂直，则cos（﹣2α）的值为（）A．B．﹣ C．2 D．﹣5．（5分）如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A．c＞x B．x＞a C．c＞b D．b＞c6．（5分）已知向量，满足+=（5，﹣10），﹣=（3，6），则，夹角的余弦值为（）A．﹣B．C．﹣ D．7．（5分）正项等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a m﹣1+a m+1﹣a m2=﹣3，S2m﹣1=57，则m=（）A．38 B．20 C．10 D．98．（5分）函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|在区间内的图象是（）A．B．C．D．9．（5分）不等式组表示的点集记为A，不等式组表示的点集记为B，在A中任取一点P，则P∈B的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）△ABC中，“角A，B，C成等差数列”是“sinC=（cosA+sinA）cosB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）已知函数f（x）=，若函数F（x）=f（x）﹣kx 有且只有两个零点，则k的取值范围为（）A．（0，1） B．（0，）C．（，1）D．（1，+∞）12．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（0，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题纸中的横线上）13．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2n，则a10等于．14．（5分）已知x，y满足，记z=2x﹣y的最大值为m，则函数y=a x﹣1+m（a＞0且a≠1）的图象所过定点坐标为．15．（5分）已知点O为△ABC的外心，且，则=．16．（5分）已知函数f（x）满足：f（1）=，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），则f（2012）=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知向量．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=1，c=，且f（A）恰是f（x）在[0，]上的最大值，求A，b和△ABC的面积．18．（12分）等比数列{a n}的前n项和S n，已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4成等差数列．（1）求数列{a n}的公比q和通项a n；（2）若{a n}是递增数列，令b n=log 2，求|b1|+|b2|+…|b n|．19．（12分）已知函数f（x）=alnx+x2+bx+1在点（1，f（1））处的切线方程为4x ﹣y﹣12=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调区间和极值．20．（12分）微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中n=a+b+c+d．21．（12分）已知函数f（x）=lnx．（1）求函数g（x）=f（x）+mx2﹣4x在定义域内单调递增，求实数m的取值范围；（2）若b＞a＞0，求证：f（b）﹣f（a）＞．请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
辽宁省沈阳铁路实验中学高三数学上学期期中试题理
沈阳铁路实验学2015--2016学年度上学期期中考试高三数学（理）考试时间：120分钟；总分：150 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，）1．已知集合{0,1,2,3,4,5}A =，{}2|7100B x x x =-+<，则AB 的子集可以是A ．{}3,4,5B ．{}4,5C ．{}3,5D ．{}42. 若复数(,1a iz a R i i-=∈-是虚数单位）是纯虚数，则复数3z -的共轭复数是 A ．3i + B ．3i - C ．32i + D ．2i -3. 已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．4．6C ．2+．2+4，已知倾斜角为α的直线l 与直线230x y +-=垂直，则2015cos(2)2πα-的值为 A ．45 B ．45- C ．2 D ．12- 5. .如图的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的A. c x >?B. x c > ?C. c b > ?D. b c >?6．已知向量a ，b 满足(5,10)=-a +b ，(3,6)-=a b ，则a,b 夹角的余弦值为( )A ． C ． D 7，正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3211-=-++-m m m a a a ，5712=-m s ,则m =A.38B.20C.10D.9 8.函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象是： （ ）92-B，在AA10）AC11(f kA．12义x满足2）A分，把答案填在答题纸中的横线上）13．{n a14m（0a>且为则AO16. 已知函数()f x 满足：1(1)4f =，4()()()()f x f y f x y f x y =++- (,x y R ∈)，则(2016)f =________.三,解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17. 已知向量()cos ,1m x →=-，向量1,2n x →⎫=-⎪⎭，函数()f x m n m →→→⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求()f x 的最小正周期T ；Ⅱ)已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，1,a c ==()f A 恰是()f x 在[0，2π]上的最大值，求A ，b 和ABC ∆的面积.18. 等比数列{}n a 的前n 项和n S ，已知73=S ，且31+a ，23a ，43+a 成等差数列． （1）求数列{}n a 的公比q 和通项n a ； （2）若{}n a 是递增数列，令128log 12+=n n a b ，求n b b b +++ 21． 19已知函数()f x =alnx+x 2+bx+1在点（1,f （1））处的切线方程为4x −y −12=0。
2015届辽宁省实验中学分校高三上学期期中考试数学(理)试题
辽宁省实验中学分校2015届高三上学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1）A.{}0B. D.{}1,22z 的虚部是( ) A 3，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．a b c >> D．b c a >> 4、函数x x x f ln 1)(-=的零点所在区间是（ ）A ．(1,2) D ．(2,3) 5、下列选项叙述错误的是（ ）A ．命题“若1≠x ，则0232≠+-x x ”的逆否命题是“若0232=+-x x ，则1=x ”B ．若q p ∨为真命题，则p ，q 均为真命题C ．若命题01,:2≠++∈∀x x R x p ，则01,:2=++∈∃⌝x x R x pD ．“2>x ”是“0232>+-x x”的充分不必要条件6、要得到函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=652sin πx x f）A. B. C. D.7、若实数,x y 满足条件4200x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2x y +的最大值是（ ）A.8B.7C.4D.28、已知tan 2α=，则2sin sin cos ααα-的值是（ ）A．2- D ．2 9()+∞∈,0,b a 恒成立，则实数x 的取值范围是A ．()0,2- B ．()()+∞⋃-∞-,02, C ．()2,4- D ．()()+∞⋃-∞-,24,10、执行如图所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（ ） A.[]6,2--B.[]5,1--C.[]4,5-D.[]3,6-11、已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数，()01=f ，当0x >时，有则不等式()0>x f 的解集是A ．()()+∞⋃-,10,1 B ．()0,1- C ．()+∞,1 D ．()()+∞⋃-∞-,11,12、已知函数()224|log |02151222x x f x x x x <<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数,,,a b c d 满足()()()()f a f b f c f d ===其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是（ ）A ．()16,21B ．()16,24C ．()17,21D ．()18,24第Ⅱ卷 非选择题（共90分）注意事项：第Ⅱ卷全部是非选择题，必须在答题卡非选择题答题区域内，用黑色钢笔或签字笔作答，不能答在试卷上，否则答案无效。
辽宁省沈阳市铁路实验中学2015_2016学年高二数学上学期期中试卷理(含解析)
2015-2016学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列有关命题的说法错误的是( )A．命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥02．等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于( )A．66 B．99 C．144 D．2973．已知条件p： x＞1，q：，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知命题p：∃x∈R，使得x+＜2，命题q：∀x∈R，x2+x+1＞0，下列命题为真的是( ) A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于( ) A．6 B．7 C．8 D．96．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=( )A．2 B．C．D．37．下列说法正确的是( )A．函数y=x+的最小值为2B．函数y=sinx+（0＜x＜π）的最小值为2C．函数y=|x|+的最小值为2D．函数y=lgx+的最小值为28．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为( ) A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．29．已知数列﹣1，a1，a2，﹣4成等差数列，﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，则的值是( )A．B． C．或D．10．设a＞0，b＞1，若a+b=2，且不等式+＞m2+8m恒成立，则m的取值范围是( ) A．m＞9或m＜﹣1 B．m＞1或m＜﹣9 C．﹣9＜m＜1 D．﹣1＜m＜911．已知变量x，y满足，则u=的值范围是( )A． B． C． D．12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n且满足S17＞0，S18＜0，则中最大的项为( )A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知a＞0，b＞0，ab﹣（a+b）=1，求a+b的最小值为__________．14．变量x、y满足线性约束条件，则使目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无数个，则a的值为__________．15．已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=__________．16．下列命题中：①△ABC中，A＞B⇔sinA＞sinB②数列{a n}的前n项和S n=n2﹣2n+1，则数列{a n}是等差数列．③锐角三角形的三边长分别为3，4，a，则a的取值范围是＜a＜5．④若S n=2﹣2a n，则{a n}是等比数列真命题的序号是__________．三、解答题17．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长．19．已知各项均不相等的等差数列{a n}的前五项和S5=20，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{}的前n项和，若存在n∈N*，使得T n﹣λa n+1≥0成立．求实数λ的取值范围．20．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．21．解关于x的不等式ax2﹣（2a+2）x+4＞0．22．定义：称为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”．已知数列{a n}的前n 项的“均倒数”为，（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=，试判断并说明数列{c n}的单调性；（3）求数列{c n}的前n项和S n．2015-2016学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列有关命题的说法错误的是( )A．命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0【考点】命题的真假判断与应用；四种命题间的逆否关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】综合题．【分析】根据四种命题的定义，我们可以判断A的真假；根据充要条件的定义，我们可以判断B的真假；根据复合命题的真值表，我们可以判断C的真假；根据特称命题的否定方法，我们可以判断D的真假，进而得到答案．【解答】解：命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”故A 为真命题；“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．故B为真命题；若p∧q为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但p、q不一定均为假命题，故C为假命题；命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则非p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，故D为真命题；故选C．【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，四种命题间的逆否关系，充要条件，是对简单逻辑综合的考查，属于简单题型．2．等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于( )A．66 B．99 C．144 D．297【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】根据等差数列的通项公式化简a1+a4+a7=39和a3+a6+a9=27，分别得到①和②，用②﹣①得到d的值，把d的值代入①即可求出a1，根据首项和公差即可求出前9项的和S9的值．【解答】解：由a1+a4+a7=3a1+9d=39，得a1+3d=13①，由a3+a6+a9=3a1+15d=27，得a1+5d=9②，②﹣①得d=﹣2，把d=﹣2代入①得到a1=19，则前9项的和S9=9×19+×（﹣2）=99．故选B．【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道中档题．3．已知条件p：x＞1，q：，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明其充分性和必要性，从而得到答案．【解答】解：由x＞1，推出＜1，p是q的充分条件，由＜1，得＜0，解得：x＜0或x＞1．不是必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查了不等式的解法，是一道基础题．4．已知命题p：∃x∈R，使得x+＜2，命题q：∀x∈R，x2+x+1＞0，下列命题为真的是( ) A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】本题的关键是判定命题p：∃x∈R，使得，命题的真假，在利用复合命题的真假判定．【解答】解：对于命题p：∃x∈R，使得，当x＜0时，命题p成立，命题p为真命题，显然，命题q为真∴根据复合命题的真假判定，p∧q为真，（￢p）∧q为假，p∧（￢q）为假，（￢p）∧（￢q）为假【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于( ) A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，所以，所以当n=6时，S n取最小值．故选A．【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．6．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=( )A．2 B．C．D．3【考点】等比数列的前n项和．【分析】首先由等比数列前n项和公式列方程，并解得q3，然后再次利用等比数列前n项和公式则求得答案．【解答】解：设公比为q，则===1+q3=3，所以q3=2，所以===．故选B．【点评】本题考查等比数列前n项和公式．7．下列说法正确的是( )A．函数y=x+的最小值为2B．函数y=sinx+（0＜x＜π）的最小值为2C．函数y=|x|+的最小值为2D．函数y=lgx+的最小值为2【考点】基本不等式．【专题】导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】A．x＜0时无最小值；B．令sinx=t，由0＜x＜π，可得sinx∈（0，1），即t∈（0，1]，令f（t）=t+，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出；C．令|x|=t＞0，令f（t）=t+，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出；D．当0＜x＜1时，lgx＜0，无最小值．【解答】解：A．x＜0时无最小值；B．令sinx=t，∵0＜x＜π，∴sinx∈（0，1），即t∈（0，1]，令f（t）=t+，f′（t）=1﹣=＜0，∴函数f（t）在t∈（0，1]上单调递减，∴f（t）≥f（1）=3．因此不正确．C．令|x|=t＞0，令f（t）=t+，f′（t）=1﹣==，∴函数f（t）在t∈（0，]上单调递减，在t∈B． C． D．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；不等式的解法及应用；直线与圆．【分析】化简得u=3+，其中k=表示P（x，y）、Q（﹣1，3）两点连线的斜率．画出如图可行域，得到如图所示的△ABC及其内部的区域，运动点P得到PQ斜率的最大、最小值，即可得到u=的值范围．【解答】解：∵u==3+，∴u=3+k，而k=表示直线P、Q连线的斜率，其中P（x，y），Q（﹣1，3）．作出不等式组表示的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部的区域其中A（1，2），B（4，2），C（3，1）设P（x，y）为区域内的动点，运动点P，可得当P与A点重合时，k PQ=﹣达到最小值；当P与B点重合时，k PQ=﹣达到最大值∴u=3+k的最大值为﹣+3=；最小值为﹣+3=因此，u=的值范围是故选：A【点评】本题给出二元一次不等式组，求u=的取值范围．着重考查了直线的斜率公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n且满足S17＞0，S18＜0，则中最大的项为( )A．B．C．D．【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a9＞0，a10＜0，由此可知＞0，＞0，…，＜0，＜0，…，＜0，即可得出答案．【解答】解：∵等差数列{a n}中，S17＞0，且S18＜0即S17=17a9＞0，S18=9（a10+a9）＜0∴a10+a9＜0，a9＞0，∴a10＜0，∴等差数列{a n}为递减数列，故可知a1，a2，…，a9为正，a10，a11…为负；∴S1，S2，…，S17为正，S18，S19，…为负，∴＞0，＞0，…，＜0，＜0，…，＜0，又∵S1＜S2＜…＜S9，a1＞a2＞…＞a9，∴中最大的项为故选D【点评】本题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，掌握等差数列的性质，属中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知a＞0，b＞0，ab﹣（a+b）=1，求a+b的最小值为2+2．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a＞0，b＞0，ab﹣（a+b）=1，∴1+a+b=ab，化为（a+b）2﹣4（a+b）﹣4≥0，解得，当且仅当a=b=1+时取等号．∴a+b的最小值为2+2．故答案为：2+2．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．14．变量x、y满足线性约束条件，则使目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无数个，则a的值为2．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，要使目标函数的最优解有无数个，则目标函数和其中一条直线平行，然后根据条件即可求出a的值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=ax+y（a＞0）得y=﹣ax+z，∵a＞0，∴目标函数的斜率k=﹣a＜0．平移直线y=﹣ax+z，由图象可知当直线y=﹣ax+z和直线2x+y=2平行时，此时目标函数取得最大值时最优解有无数多个，此时﹣a=﹣2，即a=2．故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．15．已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{a n a n+1}每项的特点发现仍是等比数列，根据等比数列求和公式可得出答案．【解答】解：由，解得．数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故答案为．【点评】本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用．应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息．16．下列命题中：①△ABC中，A＞B⇔sinA＞sinB②数列{a n}的前n项和S n=n2﹣2n+1，则数列{a n}是等差数列．③锐角三角形的三边长分别为3，4，a，则a的取值范围是＜a＜5．④若S n=2﹣2a n，则{a n}是等比数列真命题的序号是①③④．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】方程思想；转化思想；数学模型法；简易逻辑．【分析】①△ABC中，利用正弦定理与三角形的边角大小关系可得：A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB，即可判断出正误；②由S n=n2﹣2n+1，可得a n=，即可判断出正误；③若a是最大边，则32+42＞a2，解得a；若4是最大边，则32+a2＞42，解得a，即可判断出正误．④由S n=2﹣2a n，可得a n=，即可判断出正误．【解答】解：①△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB，正确；②数列{a n}的前n项和S n=n2﹣2n+1，可得a n=，因此数列{a n}不是等差数列．③锐角三角形的三边长分别为3，4，a，若a是最大边，则32+42＞a2，解得a＜5；若4是最大边，则32+a2＞42，解得，则a的取值范围是＜a＜5，正确．④若S n=2﹣2a n，可得a n=，可知首项与公比都为，因此{a n}是等比数列，正确．真命题的序号是①③④．故答案为：①③④【点评】本题考查了正弦定理、数列的前n项和公式与通项公式、三角形三边大小关系、命题真假的判定方法，考查了推理能力，属于中档题．三、解答题17．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】（1）现将a=1代入命题p，然后解出p和q，又p∧q为真，所以p真且q真，求解实数a的取值范围；（2）先由￢p是￢q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件，然后化简命题，求解实数a的范围．【解答】解：（1）当a=1时，p：{x|1＜x＜3}，q：{x|2＜x≤3}，又p∧q为真，所以p真且q真，由得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又p：{x|a＜x＜3a}（a＞0），q：{x|2＜x≤3}，所以解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2]【点评】充要条件要抓住“大能推小，小不能推大”规律去推导．18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长．【考点】正弦定理的应用；余弦定理．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用正弦定理化简等式的右边，然后整理，利用两角和的正弦函数求出的值．（2）利用（1）可知c=2a，结合余弦定理，三角形的周长，即可求出b的值．【解答】解：（1）因为所以即：cosAsinB﹣2sinBcosC=2sinCcosB﹣cosBsinA所以sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA所以=2（2）由（1）可知c=2a…①a+b+c=5…②b2=a2+c2﹣2accosB…③cosB=…④解①②③④可得a=1，b=c=2；所以b=2【点评】本题是中档题，考查正弦定理、余弦定理的应用、两角和的三角函数的应用，函数与方程的思想，考查计算能力，常考题型．19．已知各项均不相等的等差数列{a n}的前五项和S5=20，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{}的前n项和，若存在n∈N*，使得T n﹣λa n+1≥0成立．求实数λ的取值范围．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）设数列{a n}的公差为d，运用等差数列的求和公式和等比数列的性质，解方程可得a1=2，d=1，再由等差数列的通项即可得到；（2）运用裂项相消求和，求得T n，再由参数分离和基本不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，由已知得即为，即，由d≠0，即有，故a n=2+n﹣1=n+1；（2）==﹣∴=﹣=，∵存在n∈N*，使得T n﹣λa n+1≥0成立，∴存在n∈N*，使得﹣λ（n+2）≥0成立，即λ≤有解，即有λ≤max，而=≤=，n=2时取等号∴．【点评】本题考查等差数列的通项和求和公式的运用，同时考查等比数列的性质，以及数列的求和方法：裂项相消求和，运用参数分离和基本不等式是解题的关键．20．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．【考点】函数模型的选择与应用；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】应用题．【分析】（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=40，进而得到．建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．（II）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为．再由C（0）=8，得k=40，因此．而建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（Ⅱ），令f'（x）=0，即．解得x=5，（舍去）．当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．21．解关于x的不等式ax2﹣（2a+2）x+4＞0．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；分类讨论；分类法；不等式的解法及应用．【分析】已知不等式左边分解因式后，分a=0与a≠0两种情况求出解集即可．【解答】解：不等式ax2﹣（2a+2）x+4＞0，因式分解得：（ax﹣2）（x﹣2）＞0，若a=0，不等式化为﹣2（x﹣2）＞0，则解集为{x|x＜2}；若a≠0时，方程（ax﹣2）（x﹣2）=0的两根分别为，2，①若a＜0，则＜2，此时解集为{x|＜x＜2}；②若0＜a＜1，则＞2，此时解集为{x|x＜2或x＞}；③若a=1，则不等式化为（x﹣2）2＞0，此时解集为{x|x≠2}；④若a＞1，则＜2，此时解集为{x|x＞2或x＜}．【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，利用了分类讨论的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．定义：称为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”．已知数列{a n}的前n 项的“均倒数”为，（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=，试判断并说明数列{c n}的单调性；（3）求数列{c n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列的函数特性；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）易知数列{a n}的前n项S n=n2+2n，利用S n﹣S n﹣1可知当n≥2时的通项公式，进而可得结论；（2）通过a n=2n+1可知c n=，利用作差法计算即得结论；（3）通过c n=，写出S n、3S n的表达式，利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（1）设数列{a n}的前n项为S n，依题意有S n=n2+2n，当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时时，a n=S n﹣S n﹣1=2n+1；综上，a n=2n+1；（2）∵a n=2n+1，∴c n==，c n+1=，∵c n+1﹣c n=﹣=﹣＜0，∴数列{c n}是递减数列；（3）∵c n=，∴S n=3•+5•+7•+…+（2n﹣1）•+（2n+1）•，3S n=3•+5•+7•+…+（2n﹣1）•+（2n+1）•，两式相减得：2S n=3+2（++…++）﹣（2n+1）•=3+﹣（2n+1）•=4﹣，∴S n=2﹣．【点评】本题考查数列的通项及前n项和、数列的单调性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。
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辽宁省沈阳铁路实验中学2015届高三上学期期中考试
数学（文）
第I卷（选择题）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1. 集合2,1M，5,4,3N，NbMabaxxP,,,则集合P的元素个
数为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
2. 已知11mnii，其中,mnR， i为虚数 单位，则mni （ ）
A、12i B、2i
C、12i D、2i
3. 若变量yx,满足约束条件043041yxyxx，则目标函数
yxz3
的最小值为（ ）
A.4 B.0 C.34 D.4
4. 若312cos，则44cossin的值为（ ）
A.1813 B.1811 C.95 D.1
5. 若向量ba,的夹角为3，且1,2ba，则a与ba2
的夹角为（ ）
A.6 B.3 C.32 D.65
6. 若按右侧算法流程图运行后，输出的结果是76,则输入的N
的值为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
7. 直线02yx截圆422yx所得劣弧所对圆心
角为（ ）
A.6 B.3 C.32 D.65
8、在同一个坐标系中画出函数xay，axysin的部分图象，其中0a且1a，则下
列所给图象中可能正确的是（ ）
9、一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积
为（ ）
A 9 B 10 C 11 D 223
10、设定义在R上的奇函数)(xfy，满足对任意Rt都有)1()(tftf，且
]21,0[x时，2)(xxf，则)23()3(ff
的值等于（ ）
A 21 B 31 C 41 D 51
11、已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2．∠ASC=∠BSC=45°则棱锥
S—ABC的体积为
A．35 B．233 C．433 D．533
12、在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数()lnfxxxx的图象上的动点，该图象
在点P处的切线l交y轴于点(0,)MMy，过点P作l的垂线交y轴于点(0,)NNy.
则NMyy的范围是
A．),3[]1,( B. ),1[]3,( C. [3,) D. ]3,(
第II卷（非选择题）
二、填空题（（每小题5分，共20分））
13、从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形
边长的概率为
14在等差数列na中，71a，公差为d，前n项和为nS，当且仅当8n时nS取最大值，
则d的取值范围_________.
15、若不等式0log32xxa对任意)31,0(x恒成立，则实数a的取值范围为
16、已知(0,1),(0,1),(1,0)ABC,动点P满足22||APBPPC,则||APBP的最大
值为_____________
三、解答题（（第17-21每小题12分，选做题10，共70分））
17、ABC中内角,,ABC所对的边分别是,,abc，且sin2sinCB
（1）若60A，求ab；（2）求函数2()cos(2)2cos3fBBB的值域。
18、在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM平
面ABCD，P为DN的中点.
(Ⅰ)求证：MCBD;
(Ⅱ)在线段AB是是否存在点E，使得AP//平面NEC，若存在，说明其位置，并加以证明；
若不存在，请说明理由.
19、某车间20名工人年龄数据如下表：
年龄（岁） 工人数（人）
19
1
28 3
29 3
30 5
31
4
32 3
40
1
合计
20
（1）求这20名工人年龄的众数与极差；
（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；
（3）求这20名工人年龄的方差.
20、设数列}{na的前n项和为nS，点),(nnSa在直线123xy上.
(Ⅰ)求数列}{na的通项公式；
(Ⅱ)在na与1na之间插入n个数，使这2n个数组成公差为nd的等差数列，求数列}1{nd的
前n项和nT.
21、设aR，函数2()(21)lnfxaxaxx．
（I）当1a时，求()fx的极值；
（II）设()1xgxex，若对于任意的Rxx21),,0(，不等式
12
()()fxgx
恒成立，求实数a的取值范围．
请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一
题记分。
22．如图，PA切圆O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA
绕点O逆时针旋转60到O D．
（1）求线段PD的长;
（2）在如图所示的图形中是否有长度为3的线段?若有,指出该线段;若没有,说明理由．
23．已知直线l的参数方程为21222xtyt（t为参数），曲线C的极坐标方程是
2
sin
1sin
，以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点(1,0)M，直线l与
曲线C交于A、B两点．
(1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；
(2) 线段MA，MB长度分别记为|MA|，|MB|，求||||MAMB的值．
24．设函数()|1||2|fxxx
(1)求不等式()3fx的解集；
(2)若不等式||||||||()ababafx（0a，aR，bR）恒成立，求实数x的
范围．
参考答案
19
20．
21.（Ⅰ）当1a时，函数2()3lnfxxxx，则2231(21)(1)()xxxxfxxx.
()0fx
得：121,12xx
当x变化时，()fx，()fx的变化情况如下表：
x
1(0,)2 12 1
(,1)
2
1
(1,)
)('xf
+ 0 － 0 +
)(xf
极大 极小
因此，当12x时，()fx有极大值，并且5()ln24fx极大值；
当1x时，()fx有极小值，并且()2fx极小值.--------------------------4分
（Ⅱ）由()1xgxex，则()1xgxe，
解()0gx得0x；解()0gx得0x
所有()gx在(,0)是减函数，在(0,)是增函数，
即
()=(0)0gxg
最小值
对于任意的12(0,),xxR，不等式12()()fxgx恒成立，则有1()(0)fxg即可.
即不等式()0fx对于任意的(0,)x恒成立.-------------------------------6分
2
2(21)1()axaxfxx
（1）当0a时，1()xfxx，解()0fx得01x；解()0fx得1x
所以()fx在(0,1)是增函数，在(1,)是减函数，()(1)10fxf最大值，
所以0a符合题意.
（2）当0a时，(21)(1)()axxfxx，解()0fx得01x；解
()0fx
得1x
所以()fx在(0,1)是增函数，在(1,)是减函数，()(1)10fxfa最大值，
得10a，所以10a符合题意.
（3）当0a时，(21)(1)()axxfxx，()0fx得121,12xxa
1
2
a
时，101x，
解()0fx得102xa或1x；解()0fx得112xa
所以()fx在(1,)是增函数，
而当x时，()fx，这与对于任意的(0,)x时()0fx矛盾
同理102a时也不成立.
综上所述，a的取值范围为[1,0].---------------------------------------------12分