2019-2020学年苏教版必修2第2章 2.1 2.1.3 两条直线的平行与垂直课件(43张)

第2章 平面解析几何初步
2.1 直线与方程 2.1.3 两条直线的平行与垂直
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学习目标 1．理解两条直线平行与垂直的判
核心素养
断条件．(重点) 通过学习本节内容来提升学生的
2．能根据斜率判定两条直线平行 逻辑推理和数学运算核心素养.
与垂直，体会用代数方法研究几
何问题的思想．(重点、难点)
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[解]
(1)直线l1的斜率k1＝
2－（－2） 1－（－1）
＝2，直线l2的斜率k2＝
12－ －（ （－ －12） ）＝12，k1k2＝1，故l1与l2不垂直．
(2)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝230－ －210＝110，k1k2＝
－1，故l1⊥l2. (3)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴． 直线l2的斜率k2＝10－4（ 0－－4100）＝0，则l2∥x轴．故l1⊥l2.
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(2)如图②，若l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则 l1与l2的位置关系是 垂直 ．
①
②
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思考：两直线垂直，则两直线斜率乘积是否一定为－1? 提示：两直线斜率存在的前提下，斜率乘积为－1.
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1.思考辨析
(1)若直线l1与l2斜率相等，则l1∥l2.
()
(2)若直线l1∥l2(两条直线的斜率存在，分别为k1，k2)，则k1＝k2.
2
[直线x＋2y＋7＝0的斜率k＝－
1 2
，故与其垂直的一条直线的
斜率k＝2.]
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4．过点(0，1)且与直线2x－y＝0垂直的直线的一般式方程是 ________．
x＋2y－2＝0 [直线2x－y＝0的斜率是k＝2，故所求直线的方 程是y＝－12x＋1，即x＋2y－2＝0.]
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合作探究 提素养
[提示] 四边形ABCD为直角梯形，理由如下： 如图，由斜率公式得 kAB＝2－5（－－34）＝13， kCD＝－0－3－36＝13，
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kAD＝－3－0－（－3 4）＝－3， kBC＝36－ －52＝－12， ∵kAB＝kCD，AB与CD不重合． ∴AB∥CD，又kAD≠kBC，∴AD与BC不平行． 又∵kAB·kAD＝13×(－3)＝－1， ∴AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．
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课时分层 作 业
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自主预习 探新知
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1．两条直线平行 (1)若直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔ __k_1＝__k_2_且__b_1_≠__b_2 ___(k1，k2均存在)． (2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔ A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)
两直线垂直的判定 【例2】 判断下列各题中直线l1与l2是否垂直． (1)直线l1：2x－4y＋7＝0，直线l2：2x＋y－5＝0； (2)直线l1：y－2＝0，直线l2：x－ay＋1＝0； (3)直线l1经过点0，54，53，0，l2经过点0，－78，76，0. 思路探究：利用两直线垂直的斜率关系判定．
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【例3】 已知点A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求： (1)过点A和直线l平行的直线方程； (2)过点A和直线l垂直的直线方程． 思路探究：利用两直线平行和垂直的条件求解或利用与已知直 线平行与垂直的直线系方程求解．
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[解] 法一：∵3x＋4y－20＝0，∴kl＝－34. (1)设过点A与l平行的直线为l1. ∵kl1＝kl＝－34，∴l1的方程为y－2＝－34(x－2)， 即3x＋4y－14＝0.
0－3 2－（－1）
＝－1，k1＝k2，数形结合知
l1∥l2.
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(4)l1的方程可变形为y＝13x＋23；l2的方程可变形为y＝13x＋112. ∵k＝13，b1＝23，k2＝13，b2＝112，∵k1＝k2且b1≠b2， ∴l1∥l2.
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判断两条直线平行的方法
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1．根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系． (1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)， D(8，－7)； (2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3，2 3)，N(－2，－3 3)．
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两直线平行的判定
【例1】 判断下列各题中直线l1与l2是否平行． (1)l1的斜率为1，l2经过点P(1，1)，Q(3，3)； (2)l1经过点A(－3，2)，B(－3，10)，l2经过点C(5，－2)，D(5， 5)； (3)l1经过点A(0，1)，B(1，0)，l2经过点C(－1，3)，D(2，0)； (4)l1：x－3y＋2＝0，l2：4x－12y＋1＝0.
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[解] (1)由题意知k1＝－5－3－12＝－45， k2＝－7－8（－－3 3）＝－45. 因为k1＝k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2. (2)由题意知k1＝tan 60°＝ 3，k2＝－3－32－ －23 3＝ 3. 因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合．
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3．(1)已知四点A(5，3)，B(10，6)，C(3，－4)，D(－6，11)，
求证：AB⊥CD；
(2)已知直线l1的斜率k1＝
3 4
，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2
＋1)，且l1⊥l2，求实数a的值．
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[解] (1)证明：由斜率公式得： kAB＝160－－35＝35， kCD＝11－－（6－－34）＝－53， 则kAB·kCD＝－1，∴AB⊥CD. (2)∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1， 即34×a2＋10－－（3a－2）＝－1， 解得a＝1或a＝3.
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两直线平行与垂直的应用 [探究问题] 1．如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，且α1<α2，斜率 分别为k1，k2，若l1⊥l2，α1与α2之间有什么关系？为什么？
[提示] α2＝90°＋α1.因为三角形任意 一外角等于不相邻两内角之和．
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2．已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺 次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状．
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思路探究：依据斜率公式，求出斜率，利用l1∥l2或l1，l2重合⇔ k1＝k2或k1，k2不存在判断．
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[解] (1)k1＝1，k2＝33－－11＝1，k1＝k2，∴l1与l2重合或l1∥l2.
(2)l1与l2都与x轴垂直，通过数形结合知l1∥l2.
(3)k1＝
0－1 1－0
＝－1，k2＝
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(2)设过点A与l垂直的直线为l2. ∵klkl2＝－1，∴－34×kl2＝－1，∴kl2＝43. ∴l2的方程为y－2＝43(x－2)，即4x－3y－2＝0.
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法二：(1)设与直线l平行的直线方程为3x＋4y＋m＝0， 则6＋8＋m＝0， ∴m＝－14，∴3x＋4y－14＝0为所求． (2)设与直线l垂直的直线方程为4x－3y＋n＝0， 则8－6＋n＝0，∴n＝－2， ∴4x－3y－2＝0为所求．
()
(3)若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行．
()
[答案] (1)× (2)√ (3)√
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2．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k＝ ________．
3 [kAB＝33－－02＝3，kl＝kAB＝3.]
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3．与直线x＋2y＋7＝0垂直的一条直线的斜率k＝______．
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[解] (1)k1＝12，k2＝－2，
∵k1·k2＝12×(－2)＝－1，∴l1与l2垂直．
(2)当a＝0时，直线l2方程为x＝－1，即l2斜率不存在，又直线l1 的斜率为0，故两直线垂直．
当a≠0时，直线l2的斜率为
1 a
，又直线l1的斜率为0，故两直线相
交但不垂直．
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(3)k1＝053－－540＝－34， k2＝0－76－－078＝34. ∵k1·k2≠－1，∴两条直线不垂直．
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当堂达标 固双基
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1．下列说法正确的有( ) A．若两直线斜率相等，则两直线平行 B．若l1∥l2，则k1＝k2 C．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率 存在，则两直线相交 D．若两直线斜率都不存在，则两直线平行
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C [A中，当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，错误；B中，若l1∥ l2，则k1＝k2或两直线的斜率都不存在，错误；D中两直线可能重 合．]
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2．过点( 3， 6)，(0，3)的直线与过点( 6， 2)，(2，0)的直
线的位置关系为________．
垂直
[过点(
3，
6 )，(0，3)的直线的斜率k1＝
6－3 3－0
＝ 2)，(2，0)的直线的斜率
k2＝ 26－－02＝ 3＋ 2.
因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．]
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3．已知直线(a－1)x＋y－1＝0与直线2x＋ay＋1＝0平行，则实 数a＝________．
2 [由已知，得(a－1)a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，当a＝－1 时，两直线重合，故a＝2.]
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4．已知直线l1：ax＋3y＝3，l2：x＋2ay＝5，若l1⊥l2，求a的 值．
[解] 直线l1：ax＋3y－3＝0，直线l2：x＋2ay－5＝0. ∵l1⊥l2，∴a×1＋3×2a＝0，即a＝0.
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1.判断两直线是否垂直的依据是：当这两条直线都有斜率的前 提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直 线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行时，两直线也垂直．