初三数学解直角三角形的应用(经典)
初中数学九年级2 解直角三角形 应用举例课件
≈80×0.91
=72.505
34°
在Rt△BPC中，∠B＝34°
Q sin B = PC
PB
\
PB
=
PC sin B
=
si7n23.540o 5
72.505 0.559
130
B
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130海里．
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略
解直角三角形—应用举例
例题
例3： 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞
行器成功实现交会对接． ，“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的
圆形轨道上运行．如图，当组合体运行到地球表面上P点的正上方时，从中
能直接看到地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少？
（分地析球：半从径组约为合6体40中0k能m，最π取远3.1直42，结果取整数） 接看到的地球上的点，应是 视线与地球相切时的切点．
如图，⊙O表示地球，点F是组合
F
P
Q
Oα·
体的位置，FQ是⊙O的切线，PQ切点Q
是从组P合Q 体观测地球时的最远
点．
的长就是地PQ面上P、Q
两点间的距离，为计算 的长需
解得x=6
tan 30 = 3x 12 + x
30°
AF = 6x = 6 3 10.4
10.4 > 8没有触礁危险
2. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高 度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：
（1）坡角a和β;
解（：2（）1坝）顶在宽RtA△DA和F斜B中坡，AB∠的A长FB（=精90确°到A0.1m）D
中考数学专题复习 解直角三角形的应用
解：如图，
由题意可知CE∥AD，∠ECA＝37°，
E
∠ADB＝53°，
∴∠A＝37°，∠ABD＝90°.
在Rt△CBD中，CD＝90，
∠BDC＝90°－∠ADB＝37°，
∴BD＝CD·cos 37°≈90×0.8＝72，
在Rt△ABD中，∠A＝37°，BD＝72，
∴AB＝ BD
tan 37
≈
72 0.75
特点 难度 难点
已知线段不是直角三角 形边长
★★★☆☆
想到设未知数列方程求解
例3. (2020安徽18题)如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝ 15米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔顶A的仰角 ∠ABD＝42.0°，求山高CD(点A，C，D在同一条竖直线上).(参考数据： tan 36.9°≈0.75， sin 36.9°≈0.60，tan 42.0°≈0.90) 解：由题意得，在Rt△ABD与Rt△CBD中， AD＝BD·tan ∠ABD≈0.9BD， CD＝BD·tan ∠CBD≈0.75BD， ∴AC＝AD－CD＝0.9BD－0.75BD＝0.15BD，
∵AC＝15米， ∴BD＝100米， ∴CD＝0.75BD＝75米． 答：山高CD约为75米．
练习3.2023安徽省合肥市庐阳区三模
D
2
∵在Rt△BCD中，∠B＝45°，
∴BD＝CD＝ 3，
∴AB＝AD＋BD＝3＋ 3 .
练习2. 如图，在△ABC中，sinB＝
4 5
，∠C＝45°，AC＝4
2 ，求AB的
长度．
设未知数求解的技巧
考情分析
2020安徽中考题
例3.如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高 AC＝15米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角 ∠CBD＝36.9°，塔顶A的仰角∠ABD＝42.0°，求 山高CD(点A，C，D在同一条竖直线上). (参考数据：tan 36.9°≈0.75，sin 36.9°≈0.60， tan 42.0°≈0.90)
[全]中考数学必考：解直角三角形的应用详解
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中考数学必考：解直角三角形的应用详解典型例题分析1：小强从自己家的阳台上，看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，小强家与这栋楼的水平距离为42m，这栋楼有多高？考点分析：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．题干分析：求这栋楼的高度，即BC的长度，根据BC=BD+DC，在Rt△ABD和Rt△ACD 中分别求出BD，CD即可．典型例题分析2：为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度，一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域．如图所示，AB=60（√6+√2）海里，在B处测得C在北偏东45°的方向上，A处测得C在北偏西30°的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD=120（√6-√2）海里．（1）分别求出A与C及B与C的距离AC、BC（结果保留根号）（2）已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，我在A处海监船沿AC前往C处盘查，图中有无触礁的危险？（参考数据：√2=1.41，√3=1.73，√6=2.45）考点分析：解直角三角形的应用﹣方向角问题．题干分析：（1）如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，可求得∠CBD=45°，∠CAD=60°，设CE=x，在Rt△CBE与Rt△CAE中，分别表示出BE、AE的长度，然后根据AB=60（√6+√2）海里，代入BE、AE的式子，求出x的值，继而可求出AC、BC的长度；（2）如图所示，过点D作DF⊥AC于点F，在△ADF中，根据AD的值，利用三角函数的知识求出DF的长度，然后与100比较，进行判断．典型例题分析3：某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳OB的长为3m，静止时，踏板到地面距离BD的长为0.6m（踏板厚度忽略不计）．为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为hm，成人的“安全高度”为2m（计算结果精确到0.1m）（1）当摆绳OA与OB成45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则h= m （2）某成人在玩秋千时，摆绳OC与OB的最大夹角为55°，问此人是否安全？（参考数据：√2≈1.41，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）考点分析：解直角三角形的应用．题干分析：（1）根据余弦函数先求出OE，再根据AF=OB+BD，求出DE，即可得出h的值；（2）过C点作CM⊥DF，交DF于点M，根据已知条件和余弦定理求出OE，再根据CM=OB+DE﹣OE，求出CM，再与成人的“安全高度”进行比较，即可得出答案．。
解直角三角形的应用秀(数学湘教版九年级)
解直角三角形的应用秀一、与仰角、俯角有关的应用例1 如图1，在电线杆CD 上的C 处引拉线CE ，CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪AB 的高为1.5米，求拉线CE 的长.（结果保留根号）解析：如图1，过点A 作AH ⊥CD 于点H.易得四边形ABDH 为矩形，所以AB=DH=1.5，AH=BD=6.在Rt △ACH 中，tan ∠CAH=CH AH ，所以CH=AH·tan ∠CAH= 6×tan30°=23.所以CD=CH+DH=23+1.5. 在Rt △CDE 中，sin ∠CED=CD CE，所以CE=23 1.5sin sin 60CD CED +=∠=（4+3）米. 答：拉线CE 的长为（4+3）米.二、与方位角有关的应用例2 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l （如图2）.救生员甲在A 处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B 处有人发出求救信号，他立即沿AB 方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙，乙马上从C 处入海，径直向B 处游去，甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D 处，再向B 处游去.若CD=40米，B 在C 的北偏东35°方向，甲、乙的游泳速度都是2米/秒.问：谁先到达B 处？请说明理由.（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）解析：由题意，得∠BCD=55°，∠BDC=90°. 在Rt △BDC 中，tan ∠BCD=BD CD，所以BD=CD·tan ∠BCD=40×tan55°≈57.2. 因为cos ∠BCD=CD BC ，所以BC=40cos cos55CD BCD =∠≈70.2. 所以t 甲=57.22+10=38.6（秒），t 乙=70.22=35.1（秒）. 因为t 甲＞t 乙，所以乙先到达B 处.三、与坡度、坡角有关的应用例3 某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯，如图3所示.已知原阶梯式自动扶梯AB 长为10 m ，扶梯AB 的坡度i 为1:3，若改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB 为15°，则改造后的斜坡式自动扶梯AC 的长为多少？（结果精确到0.1 m ；参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27） 解析：因为扶梯AB 的坡度i 为1:3，所以AD:BD=1:3，即BD=3AD.图1图2图3在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2，即AD2+3AD2=102.解得AD=5.在Rt△ACD中，sin∠ACD=ADAC，所以AC=5sin sin15ADACD∠≈19.2（m）.答：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长约为19.2 m.四、其他应用例4 如图4是在写字台FG上放置一本数学书和一个折叠式台灯时的截面示意图，已知数学书AB的长为25 cm，台灯上半节DE的长为40 cm，下半节CD的长为50 cm.当台灯灯泡E恰好在数学书AB的中点O的正上方时，台灯上、下半节的夹角（∠EDC）为105°，下半节CD与写字台FG的夹角（∠DCG）为75°，求BC的长.（书的厚度和台灯底座的宽度、高度都忽略不计，点F，A，O，B，C，G在同一条直线上；参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，2≈1.41，3≈1.73；结果精确到0.1 cm）解析：如图4，过点D作DM⊥FG于点M，DN⊥EO于点N.在Rt△CMD中，cos∠DCM=CMCD，所以CM=CD·cos∠DCM=50×cos75°≈13.易得DN∥FG，所以∠CDN=∠DCG=75°.在Rt△DNE中，∠EDN=∠EDC-∠CDN=30°，cos∠EDN=DN DE，所以DN=DE·cos∠EDN=40×cos30°=203≈34.6.易得四边形DNOM是矩形，所以OM=DN≈34.6.因为O为AB的中点，所以OB=12AB=12.5.所以BC=OM-CM-OB≈34.6-13-12.5=9.1（cm）.答：BC的长约为9.1 cm.点评：解直角三角形的前提是在直角三角形中进行，对于非直角三角形问题，要注意观察图形特点，作恰当的辅助线，将其转化为直角三角形来解.图4。
数学人教版九年级下册解三角函数的应用.2.3解直角三角形的应用
X 0 . 732 ＞0.7
∴ 不会穿过公园。
X 31
小结：无斜边时，设最短边为X,利用两直角边的关系列方程比较简单
2.如图，要测河的宽度AB，在河边一座高度为300米的山 顶观测点D测得点A，点B的俯角分别为a=30°，β=60°． 求河的宽度AB． 设 AE X , 则 AE 3 X , BE 3 X 解：
∵ PBA=90°， BPA=30°， PA=160米 ∴AB=80米〈100米 ∴受影响. 以A为圆心，100米为半径作圆弧，与 B PN交于点C、D. 连接AC，AD。 C ∵AC=100米，AB=80米 30° ∴BC=60米 160 P ∴CD=2BC =120米 M ∵v=18千米/小时=5米/秒 ∴t=s/v=120/5=24（秒） 答：学校受影响，时间为24秒. N
（目标3）四 探索题
450
A
600
B
湖 面上有一塔,其高为h在塔上测得空中一气球的仰角α 又测得气球在湖中的俯角为β试求气球距湖面的高度h.
2 1 ∴ AE DE 2 ， tanB FB 2
E
F
∴ AB 2 10 4 16
V SH
1 ( 10 16 )× 2 × 1000 2
∴ FB 4
26000
如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC=6米，坝 高3.2米，为提高水坝的拦水能力，需将水坝加高2米，并 且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡 的坡度由原来的i=1：2变成i′=1：2.5（有关数据在图上已注 明），求加高后的坝底HD的长为多少？ 坝高 MN EF 3 . 2 2 5 . 2 解：
2 1 5 .2 1 ∵ tanH tan D FB 2 HN 2 .5
数学人教版九年级下册解直角三角形及其应用——方位角
解直角三角形及其应用——方位角和坡度问题在前面我们学习了直角三角形及其应用关于仰角和俯角的问题，我们在解决这类实际问题的时候，首先是要画出平面图形，然后转化为解直角三角形。
那我们今天继续进行解直角三角形及其应用的学习。
现在请看问题1：问题1：一艘轮船在大海上航行，当航行到A处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B处观测到轮船在什么方向？若轮船从A处继续往正西方向航行到C处，此时，C 处位于小岛B 的南偏西40°方向，你能确定C的位置吗？试画图说明．1当航行到A处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°。
由这句话知谁是坐标原点？怎样建立直角坐标系？生：A是坐标原点。
上北下南左西又东。
2那么同时从B处观测到轮船在什么方向？由这句话你想到什么呢？谁是坐标原点？B还需满足什么条件？在同一图形中怎样建立直角坐标系？生：需另建立直角坐标系。
以B是坐标原点。
在A的北偏西35°3若轮船从A处继续往正西方向航行到C处，此时，C 处位于小岛 B 的南偏西40°方向，师：由这句话知轮船现在的航行路线？你能确定C的方向吗？你能确定C的具体位置吗？你是怎样想到的？生：往正西方向航行。
B是坐标原点。
正西方向与小岛B的南偏西40方向的交点，就是C点的位置。
我们经过这几个步骤，就把图形画出来了，也把这个问题解决了。
我们回过头来看看，从这个问题中我们学到了什么？生：将实际问题抽象为数学问题：画出平面图形，转化为解直角三角形的问题。
师：解决这个问题的关键就是能画出平面图形。
平面图形一经画出，所有问题就迎刃而解了。
如何画出这样的平面图形呢？生：1 找准坐标原点。
2 能准确地确定问题中提出的各个方位。
刚才同学们总结得很好，这就是今天我们要研究的第一个问题：解直角三角形的应用——方位角的问题。
出示课题。
刚才同学们都表现得非常不错，那我们再来继续下一个问题，看能不能解决呢？问题2 一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的 B 处，这时， B 处距离灯塔P 有多远（结果取整数）？（1）根据题意，你能画出示意图吗？画出图形后，你想到什么呢？（用哪个知识点解决这个问题呢？）生：可以用解直角三角形的知识解决问题（2）结合题目的条件，你能确定图中哪些线段和角？求什么？怎样求？师：在图上标出已知条件，需要求的量.怎样求？抽学生回答解题思路生：AP=80n mile; ∠APC=90-65=25; ∠A=65 ; ∠B=34;AB⊥PC。
2023年中考数学高频考点突破——解直角三角形的实际应用
2023年中考数学高频考点突破——解直角三角形的实际应用1．在修建某高速公路的线路中需要经过一座小山．如图，施工方计划从小山的一侧C处沿AC方向开挖隧道到小山的另一侧D（A，C，D三点在同一直线上）处．为了计算隧道CD的长，现另取一点B，测得∠CAB＝30°，∠ABD＝105°，AC＝1km，AB＝4km．求隧道CD的长．2．如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路．现新修一条路AC到公路l．小明测量出∠ACD＝31°，∠ABD＝45°，BC＝50m．请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度？（精确到0.1m；参考数据tan31°≈0.60，sin31°≈0.51，cos31°≈0.86）．3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD＝30m，两楼间的距离AC＝24m，现需了解甲楼对乙楼采光的影响情况．当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？4．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，点D到地面的垂直距离DE＝3米．求点B到地面的垂直距离BC．5．如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高大约高多少米？（结果精确到0.1m，其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）6．如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度．小宇同学在A处观测对岸点C，测得∠CAD＝45°，小英同学在距点A处60米远的B点测得∠CBD＝30°，请根据这些数据算出河宽（精确到0.01米，≈1.414，≈1.732）．7．小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好在C处且与地面成60°角，小明拿起绳子末端，后退至E处，并拉直绳子，此时绳子末端D距离地面1.6m且绳子与水平方向成45°角．求旗杆AB 的高度和小明后退的距离EC．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果精确到0.1m）8．给窗户装遮阳棚，其目的为最大限度的遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度的使冬天温暖的阳光射入室内，现请你为我校新建成的高中部教学楼朝南的窗户设计一个直角形遮阳篷BCD，如图，已知窗户AB高度为h＝2米，本地冬至日正午时刻太阳光与地面的最小夹角α＝32°，夏至日正午时刻太阳光与地面的最大夹角β＝79°，请分别计算直角形遮阳篷BCD中BC、CD的长（结果精确到0.1米，tan32°≈0.62，tan79°≈5.14）9．如图，秋千链子AB的长度为3m，静止时的秋千踏板（厚度忽略不计）距地面DE为0.5m，秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为53°，求秋千踏板与地面的最大距离．（sin53°≈0.80，cos53°≈0.60）10．如图分别是某型号跑步机的实物图和示意图，已知踏板CD长为2米，支架AC长为0.8米，CD与地面的夹角为12°，∠ACD＝80°，（AB∥ED），求手柄的一端A离地的高度h．（精确到0.1米，参考数据：sin12°＝cos78°≈0.21，sin68°＝cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）11．如图，厂房屋顶人字架的跨度BC＝10m．D为BC的中点，上弦AB＝AC，∠B＝36°，求中柱AD和上弦AB的长（结果保留小数点后一位）．参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73．12．如图，一条河的两岸l1，l2互相平行，在一次综合实践活动中，小颖去测量这条河的宽度，先在对岸l1上选取一个点，然后在河岸l2时选择点B，使得AB与河岸垂直，接着沿河岸l2走到点C处，测得BC＝60米，∠BCA＝62°，请你帮小颖算出河宽AB （结果精确到1米）．（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）13．为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥，建桥过程中需测量河的宽度（即两平行河岸AB与MN之间的距离）．在测量时，选定河对岸MN上的点C处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAB＝30°，沿河岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA＝60°，请你根据以上测量数据求出河的宽度．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果保留整数）14．2015年4月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级地震，震源深度20千米．中国救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象．在废墟一侧某面上选两探测点A、B，AB相距2米，探测线与该面的夹角分别是30°和45°（如图）．试确定生命所在点C与探测面的距离．（参考数据≈1.41，≈1.73）15CD的高度为2米，支架BC的长为4米，且与地面成30°角，吊绳AB与支架BC的夹角为80°，吊臂AC与地面成70°角，求吊车的吊臂顶端A点距地面的高度是多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin10°＝cos80°＝0.17，cos10°＝sin80°＝0.98，sin20°＝cos70°＝0.34，tan70°＝2.75，sin70°＝0.94）16．如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC＝4米，AB＝6米，中间平台宽度DE＝1米，EN、DM、CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB＝31°，DF⊥BC于F，∠CDF＝45°．求DM和BC的水平距离BM的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）17．如图1，滨海广场装有风能、太阳能发电的风光互补环保路灯，灯杆顶端装有风力发电机，中间装有太阳能板，下端装有路灯．该系统工作过程中某一时刻的截面图如图2，已知太阳能板的支架BC垂直于灯杆OF，路灯顶端E距离地面6米，DE＝1.8米，∠CDE＝60°．且根据我市的地理位置设定太阳能板AB的倾斜角为43°．AB＝1.5米，CD＝1米，为保证长为1米的风力发电机叶片无障碍安全旋转，对叶片与太阳能板顶端A的最近距离不得少于0.5米，求灯杆OF至少要多高？（利用科学计算器可求得sin43°≈0.6820，cos43°≈0.7314，tan43°≈0.9325，结果保留两位小数）18．北京时间2015年04月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB＝4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）19．如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）20．如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A到调节器点O处的距离为80cm，AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处，求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米（结果取整数）？（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）参考答案与试题解析1．【解答】解：过点B作BE⊥AD于点E，如图所示：在Rt△ABE中，AB＝4km，∠CAB＝30°，∠AEB＝90°，∴BE＝AB＝2km，AE＝＝＝2km，∠ABE＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∴∠DBE＝∠ABD﹣∠ABE＝105°﹣60°＝45°．在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠DBE＝45°，∴DE＝BE＝2km，∴AD＝AE+DE＝（2+2）km，∴CD＝AD﹣AC＝2+2﹣1＝（2+1）km．答：隧道CD的长为（2+1）km．2．【解答】解：∵∠2＝45°∠3＝90°∴∠4＝45°∴∠2＝∠4即BD＝AD设BD＝AD＝xm，∵AC＝50m∴CD＝（x+50）m，在Pt△ACD中tan C＝，10x＝6x+3004x＝300x≈75.0．答：AD的长度为75.0m．3．【解答】解：过点B作BF交CD于F，过点F作FE⊥AB于点E，∵太阳光与水平线的夹角为30°，∴∠BFE＝30°，∵AC＝EF＝24m，∴BE＝EF•tan30°＝24×＝8（m），∴CD﹣BE＝（30﹣8）m．答：甲楼的影子在乙楼上的高度约为（30﹣8）m．4．【解答】解：在Rt△DAE中，∵∠DAE＝45°，∴∠ADE＝∠DAE＝45°，AE＝DE＝3．∴AD2＝AE2+DE2＝（3）2+（3）2＝36，∴AD＝6，即梯子的总长为6米．∴AB＝AD＝6．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝3，∴BC2＝AB2﹣AC2＝62﹣32＝27，∴BC＝＝3m，∴点B到地面的垂直距离BC＝3m．5．【解答】解：由题意得：AD＝6m，在Rt△ACD中，tan A＝＝∴CD＝2（m），又AB＝1.6m∴CE＝CD+DE＝CD+AB＝2+1.6≈5.1（m）．答：树的高度约为5.1米．6．【解答】解：过C作CE⊥AB于E，设CE＝x米，在Rt△AEC中：∠CAE＝45°，AE＝CE＝x在Rt△BCE中：∠CBE＝30°，BE＝CE＝x，∴x＝x+60解之得：x＝30+30≈81.96．答：河宽约为81.96米．7．【解答】解：设绳子AC的长为x米；在△ABC中，AB＝AC•sin60°，过D作DF⊥AB于F，如图：∵∠ADF＝45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AF＝DF＝x•sin45°，∵AB﹣AF＝BF＝1.6，则x•°﹣x•sin45°＝1.6，解得：x＝10，∴AB＝10×sin60°≈8.7（m），EC＝EB﹣CB＝x•cos45°﹣x•cos60°＝10×﹣10×≈2.1（m）答：旗杆AB的高度为8.7m，小明后退的距离为2.1m．8．【解答】解：根据内错角相等可知，∠BDC＝α，∠ADC＝β．在Rt△BCD中，tanα＝．①在Rt△ADC中，tanβ＝．②由①、②可得：．把h＝2，tan32°≈0.62，tan79°≈5.14代入上式，得BC≈0.3（米），CD≈0.4（米）．所以直角遮阳篷BCD中BC与CD的长分别是0.3米和0.4米．9．【解答】解：设秋千链子的上端固定于A处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处．过点A，B的铅垂线分别为AD，BE，点D，E在地面上，过B作BC⊥AD于点C．在Rt△ABC中，AB＝3，∠CAB＝53°，∵cos53°＝，∴AC＝3cos53°≈3×0.6＝1.8（），∴CD≈3+0.5﹣1.8＝1.7（m），∴BE＝CD≈1.7（m），答：秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为1.7m．10．【解答】解：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD为80°，∴∠ACF＝∠FCD﹣∠ACD＝∠CGD+∠CDE﹣∠ACD＝90°+12°﹣80°＝22°，∴∠CAF＝68°，在Rt△ACF中，CF＝AC•sin∠CAF≈0.744m，在Rt△CDG中，CG＝CD•sin∠CDE≈0.42m，∴h＝0.42+0.74＝1.156≈1.2（米），答：手柄的一端A离地的高度h约为1.2m．11．【解答】解：∵AB＝AC，D为BC的中点，BC＝10米，∴DC＝BD＝5米，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC．在Rt△ADB中，∠B＝36°，∴tan36°＝，即AD＝BD•tan36°≈3.7（米）．cos36°＝，即AB＝≈6.2（米）．答：中柱AD（D为底边BC的中点）为3.7米和上弦AB的长为6.2米．12．【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝60米，∠BCA＝62°，可得tan∠BCA＝，即AB＝BC•tan∠BCA＝60×1.88≈113（米），则河宽AB为113米．13．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，设CD＝x米．∵在直角△ACD中，∠CAD＝30°，∴AD＝＝x．同理，在直角△BCD中，BD＝＝x．又∵AB＝30米，∴AD+BD＝30米，即x+x＝10．解得x＝13．答：河的宽度的13米．14．【解答】解：过C作CD⊥，设CD＝x米，∵∠ABE＝45°，∴∠CBD＝45°，∴DB＝CD＝x米，∵∠CAD＝30°，∴AD＝CD＝x米，∵AB相距2米，∴x﹣x＝2，解得：x＝+1≈2.73，答：命所在点C与探测面的距离2.73米．15．【解答】解：由题可知：如图，BH⊥HE，AE⊥HE，CD＝2米，BC＝4米，∠BCH＝30°，∠ABC＝80°，∠ACE＝70°∵∠BCH+∠ACB+∠ACE＝180°∴∠ACB＝80°∵∠ABC＝80°∴∠ABC＝∠ACB∴AB＝AC过点A作AM⊥BC于M，∴CM＝BM＝2（米），∵在Rt△ACM中，CM＝2米，∠ACB＝80°∴∠ACB＝cos80°≈0.17∴AC＝＝（米），∵在Rt△ACE中，AC＝米，∠ACE＝70°∴∠ACE＝sin70°≈0.94∴AE＝×0.94＝≈11.1（米），∴AE+CD＝13.1（米），故可得点A到地面的距离为13.1米．16．【解答】解：设BM＝x米．∵∠CDF＝45°，∠CFD＝90°，∴CF＝DF＝x米，∴BF＝BC﹣CF＝（4﹣x）米．∴EN＝DM＝BF＝（4﹣x）米．∵AB＝6米，DE＝1米，BM＝DF＝x米，∴AN＝AB﹣MN﹣BM＝（5﹣x）米．在△AEN中，∠ANE＝90°，∠EAN＝31°，∴EN＝AN•tan31°．即4﹣x＝（5﹣x）×0.6，∴x＝2.5，答：DM和BC的水平距离BM的长度为2.5米．17．【解答】解：过E作EG⊥地面于G，过D作DH⊥EG于H，∴DF＝HG，在R t△ABC中，AC＝AB•sin∠B＝1.5×sin43°＝1.5×0.682≈1.023米，∵∠CDE＝60°，∴∠EDH＝30°，∴EH＝DE＝0.9米，∴DF＝GH＝EG﹣EH＝6﹣0.9＝5.1米，∴OF＝OA+AC+CD+DF＝1.5+1.023+1+5.1＝8.623m．答：灯杆OF至少要8.63m．18．【解答】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD＝x米．Rt△ADC中，∠DAC＝25°，所以tan25°＝＝0.5，所以AD＝＝2x．Rt△BDC中，∠DBC＝60°，由tan60°＝＝，解得：x≈3．所以生命迹象所在位置C的深度约为3米．19．【解答】解：过C作CE⊥AB于E，设CE＝x米，在Rt△AEC中：∠CAE＝45°，AE＝CE＝x在Rt△BCE中：∠CBE＝30°，BE＝CE＝x，∴x＝x+50解之得：x＝25+25≈68.10．答：河宽为68.30米．20．【解答】解：如图，根据题意OA＝OA′＝80cm，∠AOA′＝35°，作A′B⊥AO于B，∴OB＝OA′•cos35°＝80×0.82≈65.6cm，∴AB＝OA﹣OB＝80﹣65.6＝14.4cm．答：调整后点A′比调整前点A的高度降低了14厘米．。
中考专题训练(解直角三角形应用题)—解析版
答：这两座建筑物顶端 C 、 D 间的距离为 20 39m ．
【解答】解：过点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D ，由题意得： BCD = 30 ，设 BC = x ，则：
在 RtBCD 中， BD = BC sin 30 = 1 x ， CD = BC cos 30 = 3 x ；
2
2
AD = 30 + 1 x ， 2
则 AD = AE + EB = 20 3 + 20 = 20( 3 + 1)(m) ，
在 RtADC 中， A = 30 ， DC = AD = (10 + 10 3)m ．
2 答：塔高 CD 为 (10 + 10 3)m ．
测得屋檐 E 点的仰角为 60 ，房屋的顶层横梁 EF = 12m ， EF / /CB ， AB 交 EF 于点 G （点 C ， D ， B 在同一
∴tan30°＝ x ， x+6
解得 x≈8.22， 根据题意可知： DM＝MH＝MN+NH， ∵ MN＝AC＝10， 则 DM＝10+8.22＝18.22， ∴ CD＝DM+MC＝DM+EF＝18.22+1.6＝19.82≈19.8（m）． 答：建筑物 CD 的高度约为 19.8m．
9．（2020·四川眉山）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为 20 米的发射塔 AB ，如 图所示，在山脚平地上的 D 处测得塔底 B 的仰角为 30 ，向小山前进 80 米到达点 E 处，测得塔顶 A 的仰角为 60 ，求小山 BC 的高度．
AD2 + CD2 = AC 2 ，即： (30 + 1 x)2 + ( 3 x)2 = 702 ，
中考数学 考点系统复习 第四章 三角形 微专题(一) 解直角三角形的实际应用
得起点 B 的仰角为 40°.斜坡 CD 的坡度为 i＝1∶2.4，底端点 C 与顶端
点 D 的距离为 26 m．参赛运动员们将从点 A 出发乘车沿水平方向行驶 100
m 到达点 C 处，再沿斜坡 CD 行驶至点 D 处，最后乘垂直于水平方向的电
梯到达点 B 处，则电梯 BD 的高度约为(参考数据：sin 40°≈0.64，cos
结
BD＝AB
CD＝EA，BD＋DA＝BA AD＋CE＋FB＝AB
1．(2021·南岸区校级期中)如图，某大楼 AB 正前方有一栋小楼 ED，小
明从大楼顶端 A 测得小楼顶端 E 的俯角为 45°，从大楼底端 B 测得小楼
顶端 E 的仰角为 24°，小楼底端 D 到大楼前梯坎 BC 的底端 C 有 90 m，
在坡比为 5∶12 的山坡上走了 1 300 m，此时小明看山顶的角度为 60°，
则山高为
( B)
A．(600－250 5)m
B．(600 3－250)m
C．(350＋350 3)m
D．500 3 m
6．(2021·重庆一中三模)如图，小欢同学为了测量建筑物 AB 的高度，
从建筑物底端点 B 出发，经过一段坡度 i＝1∶2.4 的斜坡，到达 C 点，
则高楼 AB 的高度为(参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan
22°≈0.40)
(D)
A．60 m
B．70 m
C．80 m
D．90 m
4．如图，斜坡 AB 长 20 m，其坡度 i＝1∶0.75，BC⊥AC，斜坡 AB 正前
方一座建筑物 ME 上悬挂了一幅巨型广告，小明在点 B 测得广告顶部 M 点
梯坎 BC 长 65 m，梯坎 BC 的坡度 i＝1∶2.4，则大楼 AB 的高度为(结果
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初三数学解直角三角形的应用
重点、难点：
1. 仰角、俯角
在进行测量时，视线与水平线所成角中，规定：视线在水平线上方的叫做仰角。
视线在水平线下方的叫做俯角。
2. 坡度
坡面的铅直高度h和水平宽度L的比叫做坡度（或叫坡比），用字母i表示，即ihL。
如果把坡面与水平面的夹角记作（叫做坡角），那么ihLtan。
【典型例题】
例1. 某片绿地的形状如图3所示，其中∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的
长。（精确到1m，31732≈.,）
点拨：其他四边形，如平行四边形，梯形等，常通过作高实现多边形向直角三角形转化。
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例2. 如图4所示，某电视塔AB和楼CD的水平距离为100米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰
角分别为45°和60°，试求塔高和楼高。
点拨：搞清仰角、俯角等概念，同时要找合适的直角三角形。
例3. 如图5，在比水面高2m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为
30°，它在水中的倒影B'C顶部B'的俯角是45°，求树高BC（结果保留根号）
点拨：树与树的倒影长度相等，即BC=B'C，是此题的隐含条件。
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例4. 如图7，水库的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡CD坡度i'=1：1，斜坡AB坡度i13：，
求斜坡AB的长及坡角和坝底宽AD。
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例5. 今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在松花江某水段自西
向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上，前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东
45°方向上，如图9，在以航标C为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是
否有被浅滩阻碍的危险？