最优控制问题
偏微分方程的最优控制问题
偏微分方程的最优控制问题偏微分方程作为数学中最基础的分支之一，在物理、经济、科学、工程等领域发挥着重要的作用。
其中，最优控制问题是偏微分方程中的重要分支，涉及到求解最优控制策略，使得系统在满足某些限制前提下，最大化或最小化某些物理或经济量指标。
最优控制问题广泛应用于航空、航天、交通、水利、电力、环境保护、机器人等众多领域。
在航空与航天领域，最优控制可以用于飞行器航线的优化、轨道设计和导弹制导等方面；在电力领域，最优控制可以用于发电站组合问题的优化和节能调度；在交通领域，最优控制可以用于地铁、高速公路的交通流优化等。
因此，对于最优控制问题的研究，有着重要的现实意义。
最优控制问题可以分为两类：有限时间最优控制问题和终端时间最优控制问题。
其中，有限时间最优控制问题研究的是如何在$t_0$时刻初始状态到$t_f$时刻终止状态的过程中，使得某些物理或经济量指标达到最大或最小值。
该问题可以用如下形式的偏微分方程表示:$$\frac{\partial y}{\partial t}+\mathcal{L}y=f, y(t_0)=y_0, y(t_f)=y_f$$其中$y$表示系统的状态变量，$t$表示时间，$\mathcal{L}$是系统的微分算子，$f$表示控制变量。
终端时间最优控制问题研究的是如何在$t_0$时刻初始状态到$t_f$时刻终止状态的过程中，使得某些物理或经济量指标达到最大或最小值。
该问题可以用如下形式的偏微分方程表示:$$\frac{\partial y}{\partial t}+\mathcal{L}y=f, y(t_0)=y_0, y(t_f)=y_f$$其中，$y$表示系统的状态变量，$t$表示时间，$\mathcal{L}$是系统的微分算子，$f$表示控制变量。
通常情况下，最优控制问题可以转化为泛函极值问题。
泛函极值问题是指在一定范围内，使得某些泛函的值最大或最小。
最优控制问题的泛函通常定义为系统的性能指标，包括能耗、时间、成本等，因此最优控制问题的求解，可以转化为求解泛函的极值问题。
最优控制全部PPT课件
J
（x(t f ),t f）
tf t0
F（x(t),u(t),t)dt
为最小。
这就是最优控制问题。
如果问题有解，记为u*(t), t∈ [t0,tf],则u*(t)叫做最优控制（极值控制），相应的轨 线X*(t)称为最优轨线（极值轨线），而性能指标J*=J（u*(·)）则称为最优性能指标。
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目标质心的位置矢量和速度矢量为： xM xM
F(t)为拦截器的推力
x xL xM v xL xM
则拦截器与目标的相对运动方程为：
x v v a(t) F (t)
m(t)
m F (t) c
其中a(t)是除控制加速度外的固有相对加速度，是已知的。
初始条件为： x(t0 ) x0 v(t0 ) v0 m(t0 ) m0 终端条件为： x(t f ) 0 v(t f )任意 m(t f ) me
至于末态时刻，可以事先规定，也可以是未知的。 有时初态也没有完全给定，这时，初态集合可以类似地用初态约束来表示。
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3：容许控制 在实际控制问题中，大多数控制量受客观条件的限制，只能在一定范围内取 值，这种限制通常可以用如下不等式约束来表示：
0 u(t) umax 或ui i 1,2p
给定一个线性系统，其平衡状态X(0)=0，设计的目的是保持系统处于平衡状态，即 这个系统应能从任何初始状态返回平衡状态。这种系统称为线性调节器。
线性调节器的性能指标为：
J
tf t0
n
xi 2 (t)dt
i 1
加权后的性能指标为：
J
tf t0
n
qi xi 2 (t)dt
i1
对u(t)有约束的性能指标为： J t f 1 [ X T (t)QX (t) uT (t)Ru(t)]dt
庞特里亚金最大化原理求解最优控制问题
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最优控制问题的稳定性分析
最优控制问题的稳定性分析在控制理论中，最优控制是指在给定系统和目标函数的情况下，通过选择最佳的控制策略以最小化或最大化目标函数。
而稳定性分析则是对系统的动态行为进行评估，以确定系统是否趋向于稳定状态。
因此，最优控制问题的稳定性分析是对最优控制理论与稳定性理论的结合应用。
为了进行最优控制问题的稳定性分析，我们可以采用如下的模型和方法。
模型建立：首先，需要建立最优控制问题的动力学模型和目标函数。
动力学模型可以是基于物理方程、差分方程或微分方程等。
而目标函数则是描述系统优化目标的数学表达式，可以是最小化误差、最大化效能等。
线性系统稳定性分析：在稳定性分析中，线性系统是最常见的研究对象。
我们可以通过线性化的方法，将非线性系统转化为线性系统，然后利用线性系统稳定性分析的方法来判断最优控制问题的稳定性。
常用的线性系统稳定性分析方法包括根轨迹法、频率响应法和状态空间法等。
非线性系统稳定性分析：对于非线性系统的稳定性分析，可以通过利用李雅普诺夫方法进行评估。
李雅普诺夫方法基于函数的变化率来衡量系统的稳定性。
通过构造适当的李雅普诺夫函数，可以判断系统在某种条件下是否稳定。
Lyapunov稳定性分析方法可以进一步细分为解析法和数值法两种。
解析法是通过数学推导，构造出合适的Lyapunov函数和不等式，利用解析解进行稳定性分析。
数值法则是通过数值计算，利用差分方程或微分方程的数值解进行稳定性分析。
鲁棒稳定性分析：除了对最优控制问题进行基本稳定性分析外，还需要考虑外界扰动或系统参数变化对系统稳定性的影响。
因此，鲁棒稳定性分析方法被广泛应用于最优控制问题的研究。
鲁棒稳定性分析方法可以通过系统的特性不变集、边界Lyapunov函数等进行评估。
实例分析：为了更好地理解最优控制问题的稳定性分析，我们可以通过一个具体的实例进行分析。
以经典的倒立摆问题为例，我们可以建立摆杆的动力学模型，并定义目标函数为使摆杆保持垂直的控制策略。
然后，我们可以利用线性化方法将系统转化为线性系统，并利用线性系统稳定性分析的方法来评估最优控制问题的稳定性。
最优控制问题的数值方法比较
最优控制问题的数值方法比较最优控制问题是应用数学中的一个重要问题，涉及如何选择参数或变量的变化方式，以最优化某种性能指标。
在实际应用中，通过求解最优控制问题可以优化系统的运行效果和性能。
针对最优控制问题，有多种数值方法可供选择。
本文将比较几种常见的数值方法，并从精度、复杂度和应用范围等方面进行评估。
一、直接方法直接方法是最优控制问题求解的一种常用数值方法，其基本思想是将最优控制问题转化为一个非线性规划问题，并应用数值优化算法进行求解。
直接方法的优点是灵活性强，可以适用于各种类型的最优控制问题。
然而，直接方法的主要缺点是计算复杂度高，尤其是对于高维系统和复杂的约束条件，往往需要更长的计算时间。
二、间接方法间接方法是最优控制问题求解的另一种常见数值方法，其基本思想是将最优控制问题转化为一个边界值问题，然后通过求解该边界值问题得到最优解。
间接方法的优点是计算过程相对简单，且可以提供最优解的一些数学特性。
然而，间接方法的缺点是对于复杂系统和非线性约束条件的求解效果有限。
三、迭代法迭代法是最优控制问题求解的另一种常用数值方法，其基本思想是通过不断迭代来逼近最优解。
迭代法的优点是计算过程相对简单，且可以提供解的逼近序列。
然而，迭代法的缺点是收敛速度较慢，有时需要大量的迭代次数才能达到满意的精度。
四、动态规划法动态规划法是最优控制问题求解的一种经典数值方法，其基本思想是将整个最优控制问题划分为一系列子问题，并利用子问题的最优性质进行递推求解。
动态规划法的优点是可以处理具有重复子结构的最优控制问题，且计算精度较高。
然而，动态规划法的缺点是对于高维系统和复杂的约束条件，计算复杂度较高。
五、边界元法边界元法是最优控制问题求解的一种数值方法，其基本思想是将最优控制问题转化为一个边界值问题，并通过边界元技术进行求解。
边界元法的优点是可以应对各种类型的最优控制问题，计算效率高，适用于大规模系统。
然而，边界元法的缺点是在某些情况下难以适应非线性约束条件。
最优控制问题的鲁棒H∞控制
最优控制问题的鲁棒H∞控制最优控制问题是控制理论中的一个重要研究领域，其目标是设计最优的控制策略，使得系统在给定的性能指标下达到最佳的控制效果。
然而，在实际应用中，系统参数的不确定性以及外部干扰等因素往往会对控制系统产生严重影响，导致传统最优控制策略难以在这些不确定因素下取得令人满意的控制效果。
为了解决上述问题，鲁棒控制方法被引入到最优控制问题中。
鲁棒控制的主要思想是设计一个能够对系统参数不确定性和外部干扰具有抗扰能力的控制策略，以保证系统在面临这些不确定性因素时仍能保持良好的控制性能。
其中，H∞控制是鲁棒控制的一种重要方法。
H∞控制是一种基于H∞优化理论的控制方法，其目标是设计一个稳定的控制器，使得系统输出对于外部干扰和参数不确定性具有最大的衰减能力。
H∞控制方法能够针对不确定性系统进行鲁棒性分析，并在饱和脉冲干扰和噪声扰动等情况下仍能保持系统的稳定性和性能。
在具体的系统应用中，鲁棒H∞控制方法常常需要进行控制器的设计和参数调整。
控制器的设计一般采用线性矩阵不等式(LMI)方法，在满足一定约束条件的前提下求解最优的控制器参数。
参数调整则可以采用各种数学优化算法，如内点法、遗传算法等，以达到使系统的H∞控制性能最优化的目标。
鲁棒H∞控制方法在许多领域中得到了广泛应用。
例如，在机器人控制、飞行器控制、电力系统控制等领域中，鲁棒H∞控制方法能够有效地抑制参数不确定性和外部干扰，提高系统的鲁棒性和控制性能。
此外，鲁棒H∞控制方法还能够应用于网络控制系统、混合控制系统等复杂系统中，具有广泛的应用前景。
总之，最优控制问题的鲁棒H∞控制方法在解决系统参数不确定性和外部干扰等问题时具有重要的研究意义和实际应用价值。
通过设计稳定的控制器并考虑系统的鲁棒性，能够有效提高控制系统的性能和稳定性，为实际工程应用提供了可靠的控制方案。
最优控制问题的鲁棒性分析
最优控制问题的鲁棒性分析最优控制问题一直以来都是控制理论研究中的重要方向。
在实际应用中，由于存在各种不确定性因素，控制系统的鲁棒性分析变得尤为关键。
本文将就最优控制问题的鲁棒性进行分析，探讨常见的鲁棒控制设计方法，并探讨其优劣势。
1. 引言最优控制问题旨在找到满足给定性能指标的最优控制器，使得系统在约束条件下达到最佳性能。
然而，在实际应用中，控制系统通常受到各种不确定性的干扰，如参数变化、外部扰动等，这些因素可能导致控制系统性能下降甚至失效。
因此，研究最优控制问题的鲁棒性，即控制器对系统的鲁棒性能，对于实际应用具有重要意义。
2. 最优控制问题的建模最优控制问题通常可以通过数学建模进行求解。
常见的建模方法包括最小二乘法、动态规划、线性二次型控制等。
在建模过程中，需要准确地描述系统的动态特性和性能指标，以便得到准确的最优控制器设计。
3. 鲁棒控制设计方法为了提高控制系统的鲁棒性，研究人员提出了许多鲁棒控制设计方法。
常见的方法包括H∞控制、μ合成控制、鲁棒最小二乘法等。
这些方法各有特点，旨在通过优化控制器的设计，使系统对于各种不确定性因素具有较好的适应性。
3.1 H∞控制H∞控制是一种基于无穷范数的优化方法，主要用于线性系统的鲁棒性设计。
它通过优化系统的输出反馈控制器，使系统对于所有可能的不确定性因素都具有较好的鲁棒性。
H∞控制方法在理论上具有较好的性能保证，但在实际应用中往往需要较高的计算复杂度。
3.2 μ合成控制μ合成控制是一种基于复杂变量的优化方法，可以用于非线性系统的鲁棒性设计。
它通过优化控制器的频域响应特性，使系统对于不确定性因素具有较好的鲁棒性。
μ合成控制方法在非线性系统的鲁棒性设计上具有较好的适用性，但在实际应用中需要较为复杂的数学运算。
3.3 鲁棒最小二乘法鲁棒最小二乘法是一种基于统计学的优化方法，主要用于控制系统中存在参数不确定性的情况。
它通过优化系统的参数估计方法，使系统对于参数变化具有较好的鲁棒性。
最优控制问题的鲁棒H∞控制设计
最优控制问题的鲁棒H∞控制设计最优控制理论在工程系统控制中具有重要的应用价值。
然而，传统的最优控制方法在系统模型存在不确定性或外部干扰的情况下可能无法有效应对。
为了克服这一问题，鲁棒控制方法被引入到最优控制中，并且在实际应用中取得了显著的成果。
本文将探讨最优控制问题的鲁棒H∞控制设计方法及其应用领域。
一、鲁棒控制概述鲁棒控制是一种针对不确定性或外部干扰具有克服能力的控制方法。
其目标是在不确定性环境中实现系统稳定性和性能要求。
最常见的鲁棒控制方法之一是H∞控制，该方法通过优化问题来设计控制器，以抑制系统中不确定性的影响。
二、最优控制问题最优控制问题旨在通过选择最佳控制策略来实现系统的最优性能。
在没有不确定性时，可以使用动态规划、变分法等方法求解最优控制问题。
然而，在实际应用中，系统往往存在参数不确定性或外部干扰，导致最优控制问题变得更加复杂。
因此，需要引入鲁棒控制方法来解决这些问题。
三、鲁棒H∞控制设计方法鲁棒H∞控制方法是一种常用的鲁棒控制方法，其基本思想是在保证系统稳定性的前提下，优化系统对外部干扰的抑制能力。
鲁棒H∞控制设计问题可以被描述为一个优化问题，目标是最大化系统的H∞性能指标，并且确保控制器对系统模型不确定性具有鲁棒性。
为了实现鲁棒H∞控制设计，可以采用两种常用的方法：线性矩阵不等式（LMI）方法和基于频域分析的方法。
LMI方法通过求解一组线性矩阵不等式来得到控制器参数，从而实现系统的鲁棒H∞控制设计。
基于频域分析的方法则通过频域特性分析来设计控制器，以实现系统对不确定性的鲁棒性。
四、鲁棒H∞控制设计的应用领域鲁棒H∞控制设计方法在工程领域有广泛的应用。
它可以应用于飞行器姿态控制、机器人控制、智能电网控制等多个领域。
以飞行器姿态控制为例，鲁棒H∞控制设计可以有效提高飞行器对外部干扰的鲁棒性，并且保证姿态跟踪性能。
在机器人控制领域，鲁棒H∞控制设计可以提高机器人对环境不确定性的抑制能力，以实现精确的轨迹跟踪。
最优控制问题的动态规划算法
最优控制问题的动态规划算法动态规划（Dynamic Programming）是一种解决多阶段决策问题的优化方法，对于最优控制问题而言，动态规划算法是一种有效的求解方法。
本文将介绍最优控制问题以及如何使用动态规划算法解决该类问题。
一、最优控制问题简介最优控制问题是在给定系统的一些约束条件下，通过对系统进行控制使得某个性能指标达到最优的问题。
该问题可以形式化地表示为数学模型，通常由状态方程、性能指标和约束条件组成。
二、动态规划算法原理动态规划算法采用自底向上的方法，通过建立递推关系，将原问题分解为若干个子问题，并以自底向上的顺序求解子问题的最优解，最终得到原问题的最优解。
三、最优控制问题的动态规划算法步骤1. 确定阶段数和状态变量：将最优控制问题划分为多个阶段，并定义每个阶段的状态变量。
状态变量可以是系统的状态、控制量或其他相关变量。
2. 建立状态转移方程：根据最优控制问题的约束条件和性能指标，建立各个阶段之间的状态转移方程。
状态转移方程表示了系统在不同阶段之间的演化过程。
3. 定义性能指标：根据最优控制问题的要求，定义系统的性能指标。
性能指标可以是系统的能量消耗、最大收益或其他相关指标。
4. 确定边界条件：确定最优控制问题的边界条件，即初始状态和终止状态。
5. 递推求解最优解：采用动态规划算法的核心步骤，即按照递推关系将问题分解为若干个子问题，并求解子问题的最优解。
6. 反推最优解：根据子问题的最优解，反向推导出原问题的最优解。
四、最优控制问题的应用举例以经典的倒立摆问题为例，倒立摆的目标是通过对摆的控制使其保持垂直。
假设倒立摆由质量为m的杆和质量为M的滑块组成。
其动态方程可以表示为：（这里给出具体的动态方程式，包含各个参数和变量）通过建立状态方程和性能指标，我们可以将倒立摆问题转化为最优控制问题。
然后利用动态规划算法求解。
五、总结最优控制问题是一类常见的优化问题，在实际应用中具有广泛的应用价值。
最优控制问题的稳定性分析
最优控制问题的稳定性分析最优控制问题是一种在工程、经济学和自然科学等领域中经常遇到的重要问题。
稳定性分析是对最优控制问题的解的行为进行研究，探讨其在扰动下的表现和系统的可靠性。
本文将介绍最优控制问题的稳定性分析方法和应用。
一、最优控制问题简介最优控制问题是通过选择合适的控制策略来使某一系统在给定的性能指标下达到最佳状态。
其数学描述为寻找一条控制路径，使得所定义的性能指标（如系统状态、控制信号）最小或最大化。
最优控制问题在实际应用中具有广泛的应用，如导弹制导、飞行器自动驾驶以及经济学中的资源分配等。
二、最优控制问题的数学模型最优控制问题可用数学方法描述为优化问题。
通常采用动态规划、极大极小原理、变分法等方法求解。
其中，动态规划方法更为常用，它将最优控制问题分解为一系列阶段问题，并将最优策略逐个阶段递推得出。
三、稳定性分析方法稳定性分析是评估最优控制问题解的鲁棒性和可靠性的关键部分。
常用的稳定性分析方法包括极限环、李雅普诺夫稳定性和BIBO稳定性等。
1. 极限环稳定性分析极限环稳定性是指在最优控制问题中，控制系统在扰动下的解是否能够收敛到预定的轨迹上。
通过线性化的方法，可以判断控制系统解的极限环是否是稳定的，从而评估最优控制问题的稳定性。
2. 李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析是一种常用的控制系统稳定性分析方法。
通过构建能量函数、Lyapunov函数或李雅普诺夫方程来判断系统解的收敛性和稳定性。
如果能够找到满足李雅普诺夫稳定性条件的函数，则系统的最优控制问题在该函数下稳定。
3. BIBO稳定性分析BIBO稳定性是指在最优控制问题中，控制系统的输出是否有界。
通过对控制系统的输入-输出特性进行分析，可以判断系统的BIBO稳定性。
如果系统具有BIBO稳定性，则其解在扰动下也将保持有界。
四、最优控制问题的应用最优控制问题的研究和应用广泛存在于多个领域。
以下列举几个典型的应用案例：1. 机器人路径规划通过研究最优控制问题，可以实现机器人在给定环境中实现最优路径规划，以提高机器人的运动效率和精确度。
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最优控制问题综述报告
一、最优控制简介
最优控制是现代控制理论的重要组成部分，它研究的主要问题是：在满足一
定约束条件下，寻求最优控制策略，使得性能指标取极大值或极小值。最优控制
是使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。可概括为：对一个
受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方
案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标
值为最优。最优控制是最优化方法的一个应用。从数学意义上说，最优化方法是
一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数
达到极值，即最大值或最小值。
所谓最优控制问题，就是指在给定条件下，对给定系统确定一种控制规律，
使该系统能在规定的性能指标下具有最优值。也就是说最优控制就是要寻找容许
的控制作用（规律）使动态系统（受控系统）从初始状态转移到某种要求的终端
状态，且保证所规定的性能指标（目标函数）达到最大（小）值。其本质是变分
学问题。
二、产生背景及发展
最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学
科，基本内容和常用方法包括动态规划、最大值原理和变分法。这方面的开创性
工作主要是由贝尔曼（R.E.Bellman）提出的“动态规划”和庞特里亚金等人提
出的“极大值原理”，到了60年代，卡尔曼等人又提出了可控制性及可观测性概
念，建立了最优估计理论。
它以20世纪60年代空间飞行器的制导为背景。它最初的研究对象是由导弹、
航天、航海中的制导、导航等自动控制技术、自动控制理论、数字计算技术等领
域所总结出来的一类按某个性能指标达到最大或最小的控制问题。
1948年维纳发表了题为《控制论—关于动物和机器中控制与通讯的科学》
的论文，第一次科学的提出了信息、反馈和控制的概念，为最优控制理论的诞生
和发展奠定了基础。
钱学森1954年所着的《工程控制论》，直接促进了最优控制理论的发展和形
成。
1960年，最大值原理、动态规划方法和最优线性调节器的理论被公认为最
优控制理论的三大里程碑，标志着最优控制理论的诞生。
时至今日，最优控制理论的研究无论在深度上和广度上都有了很大的发展，
例如发展了对分布参数系统、随机系统、大系统的最优控制理论的研究等等；在
生物领域、市场销售和现代医学成像与高维图像分析等实际生活中广泛应用。
最优控制理论的实现离不开最优化技术。控制系统最优化问题，包括性能指
标的合理选择以及最优化控制系统的设计，而性能指标在很大程度上决定了最优
控制性能和最优控制形式。最优化技术就是研究和解决最优化问题，主要包括两
个需要研究和解决的方面：一个是如何将最优化问题表示为数学模型；另一个是
如何根据数学模型尽快求出其最优解。
三、解决最优控制问题的方法
1.古典变分法
研究对泛函求极值的一种数学方法。古典变分法只能用在控制变量的取值范围
不受限制的情况。在许多实际控制问题中，控制函数的取值常常受到封闭性的边
界限制，如方向舵只能在两个极限值范围内转动，电动机的力矩只能在正负的最
大值范围内产生等。因此，古典变分法对于解决许多重要的实际最优控制问题，
是无能为力的。
2. 极大值原理
极大值原理，是分析力学中哈密顿方法的推广。极大值原理的突出优点是可用
于控制变量受限制的情况，能给出问题中最优控制所必须满足的条件。
3.动态规划
动态规划是数学规划的一种，同样可用于控制变量受限制的情况，是一种很适
合于在计算机上进行计算的比较有效的方法。
四、最优控制应用举例
例1 生产计划问题。设 x(t) 表示商品存货量, r(t)>0表示对商品的需求率，是已知
函数, u(t) 表示生产率，它将由计划人员来选取，故是控制变量。 x(t)满足下面的微分方程:
是初始时刻的商品存货量，且 >0 。从 x(t)的实际意义来看，显然必须选取生
产率使得
其次，生产能力应该有限制，即容许控制为
这里 A>0表示最大生产率，另外为了保证满足需求，必须有
假定每单位时间的生产成本是生产率 u(t)的函数，即 h[u(t)] 。设 b>0是单
位时间储存单位商品的费用，于是，单位时间的总成本为：
由 t=0 到 t= 的总成本为
状态方程为
0
)0(xx
)()()(tutrtx
],0[ftt
Atu)(0
],0[ftt
)(trA
],0[ftt
(),(),()()fxtutthutbxt
ftdtttutxfuJ0]),(),([)(
t
f
0
0()((),(),)()|ttxtfxtuttxtx
&
0)(tx
],0[ftt
)),(),((ttutxf
满足一定条件时，方程有唯一解 。
性能指标：
再利用边界条件求解
例2 为t时刻库存量， u(t)为t时刻生产率， 为t时刻
销售率 ，求 使[0,2]时间内有最小生产量
T
(,,)(,,)HLxutfxut
令
哈密顿函数
0
(,,)dTtJLxutt
(,,,)()Hxuttx
&
(())()()xTTxT
令
12
()()xtxt
&
2
()()xtut
&
边界条件
1
(0)1x
2
(0)1x
1
(2)0x
2
(2)0x
2
2
0
1
d2Jut
指标泛函函
哈密顿函数
2
122
1
2
Huxu
伴随方程
1
1
()0Htx
&
21
2
()()Httx
&
11
()ta
212
()tata
其解为
2
0Huu
212
uata
12
xx
&
212
xuata
&
0
u
H
五、总结
最优控制四个关键点分别为受控对象为动态系统、初始与终端条件（时间和
状态）、性能指标、容许控制，最优控制问题的实质就是要找出容许的控制作用
或控制规律，使动态系统从初始状态转移到某种要求的终端状态，并且保证某种
要求的性能指标达到最小值或最大值。
32
11234
11
62
xatatata
2
2123
1
2
xatata
32
1
17
()124xtttt
2
2
37
()122xttt
2
7
3)(ttu
1
3a
2
7
2
a
3
1a
4
1a
利用边界条件，可得：