Black-Litterman资产配置模型实证

通联魔方带你解析Black-Litterman资产配置模型实证

友情提示：本文从B-L模型简介、核心思想及说明和配置实证三个方面进行阐述，中间说明的部分会比较长还有一些比较复杂的公式，不感兴趣的朋友，可以直接跳过看最后的结论。

1.B-L模型简介

B-L模型全称Black-Litterman模型，由Fisher Black和Robert Litterman在1992年首先提出，是基于金融行业对马可威茨（Markowitz）模型数十年研究和应用基础上的优化。

B-L 模型在均衡收益基础上，通过引入投资者观点修正了期望收益，使得Markowitz组合优化中的期望收益更为合理，而且还将投资者观点融入进模型，在一定程度上是对Markowitz组合优化理论的改进。

2.B-L模型核心思想及说明

核心思想：使用贝叶斯方法将投资者的主观观点和市场均衡收益率（先验信息）相结合，从而形成一个资产预期收益率的估计值（后验收益率），这个新形成的收益率向量被看成投资者观点和市场均衡收益率的复杂的加权平均。

市场均衡收益是以市场中性为出发点来估计资产的超额收益率。如果投资者没有特别的观点，那么就可以用这些市场均衡收益率作为资产收益率的估计值；如果投资者对某些资产有特别的观点，那么就可以根据观点的信心水平来调整市场均衡收益率，从而来影响最终的投资组合配置。

图1. 基于B-L模型的资产组合优化框架

具体说明：

1、B-L模型先验分布

将资产组合的真实超额收益率表示为列向量r，服从均值为μ、协方差矩阵为Σ的正态分布，即：r~N(μ,Σ )。

B-L模型从市场投资组合着手，市场投资组合覆盖了所有资产，取各个资产的市值权重作为组合权重，通过逆向优化反推各个资产的隐含收益率，即基于市场均衡状态的预期超额收益率，作为资产预期收益率的一种合理估计。这里，B-L模型假设了期望收益率μ本身为一个正态分布的随机变量，即：μ~N(Π,τΣ )，可表示为：μ=Π+ϵ^e，其中，ϵ^e~N(0,τΣ )。

Π即为在市场均衡状态的各个资产超额收益率向量，参数τ表征模型取市场均衡状态资产预期收益率作为资产收益率估计的确性程度。此时，Π=δΣw mkt，其中，w mkt为资产市值权重，δ=((E(r p)-r f)) ⁄(σp^2 )为市场投资者风险厌恶系数。

2、B-L模型资产观点分布

资产观点表达通过矩阵P、Q和Ω实现。

矩阵P的每一行对应一个观点，反映了该观点涉及到的相关资产以及观点的展现形式，包括绝对观点和相对观点两种表达方式。对于绝对观点，要求该行的加和为1；对于相对观点，要求该行的加和为0。

向量Q与矩阵P对应，反映了每个观点表达的资产收益率高低。对于绝对观点，对应元素指定了观点涉及资产的期望收益率；对于相对观点，对应元素指定了观点涉及的多个资产相对表现的期望收益率差值。

矩阵Ω对应于由矩阵P和向量Q联合构建的资产观点的不确定性。即矩阵Ω的对角元

素表示对应于主观期望收益率的期望方差，其非对角元素表示不同期望收益率之间的期望协方差。

Pμ=Q+ϵ^v，其中ϵ^v~N(0,Ω)

在上述基础上，为了进一步增加B-L模型的完备性，投资者还允许指定其对每个资产主观观点的置信度，形成置信度向量C，与向量Q对应。结合每个主观观点的置信度，对主观期望收益率的期望方差矩阵Ω更新如下：

3、B-L模型后验分布

通过融合市场均衡先验分布和观点分布，可求得期望收益率的后验分布，即B-L模型的Master Formula。B-L模型假设期望收益率μ为正态分布的随机变量，即

4、B-L模型资产配置

B-L模型本身保证了先验分布的不确定性与其对后验分布均值的影响呈反向关系。

例如，若资产观点组合分布的不确定性增加，则后验分布的均值将更靠近市场均衡期望收益率，而远离资产观点组合指定的期望收益率；反之，若市场均衡先验分布的不确定性增加，则后验分布的均值将更加靠近资产观点组合指定的期望收益率，而远离市场均衡期望收益率。采用B-L模型做资产配置，期望超额收益率向量的计算如下：

在B-L模型框架下，期望收益率本身也被假设为随机变量，因此协方差矩阵M仅仅与期望收益率μ拔有关，即与资产未来收益率的期望有关。采用B-L模型做资产配置，估计收益率序列的后验协方差矩阵，不仅要考虑到基于历史收益率序列的协方差矩阵的先验估计，同时也要考虑到期望收益率本身的不确定性，即

5、利用B-L模型资产配置举例

假设解决8类资产的优化配置问题。取定市场投资者的风险厌恶系数δ=3.07，市场均衡收益率的风险系数τ=0.025，并假定无风险资产的收益率r f=0.0%。

根据各类资产的历史收益率，可计算各类资产收益率的协方差矩阵如下：

数据来源：通联魔方

假定已经得到8类资产市值规模数据，对应各类资产的市值权重w mkt如下：

数据来源：通联魔方

通过求解无约束条件的Markowitz均值-方差优化过程，当资产组合权重取为市值权重时，进行逆向优化，求得市场均衡的资产预期超额收益率Π如下：

数据来源：通联魔方

假设投资者根据资产市场分析，具有如下资产表现观点：

o观点1：资产7的预期超额收益率为5.25%（观点具有置信度25%）；

o观点2：资产2的预期超额收益率比资产1高0.25%（观点具有置信度50%）；

o观点3：资产组合A：80%资产3+20%资产5，资产组合B：60%资产4+40%资产6，主观判断资产组合A的预期超额收益率比资产组合B高2.0%（观点具有置信度65%）。

分析上述资产观点，观点1是一个绝对观点，仅涉及到一支资产；观点2和观点3都是相对观点，观点2涉及到2支资产预期超额收益率表现的比较，而观点3涉及2个资产组合、共4支资产的预期超额收益率表现的比较。对应的资产主观观点的关联矩阵P如下：

数据来源：通联魔方

对应的资产主观预期超额收益率向量和资产观点置信度向量分别为：

Q=[5.25%, 0.25%, 5.0% ]^T，

C=[25.0%, 50.0%, 65.0% ]^T。

在运用B-L模型进行资产配置前，先对投资者给出的资产观点进行分析。对比资产表现的主观判断与其在市场均衡先验下的资产预期超额收益率的差异，如下表：

数据来源：通联魔方

分析可见：

o观点1看多资产7的未来表现；