北师大版九年级数学下册讲义(新课复习版).doc

第一讲 成比例线段及平行线分线段成比例

一. 知识点荟萃

1、 线段的比： 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别 是ni 、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ，或写成 —=- CD n

2、 四条线段a 、b 、c 、d 屮，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即- = 那么这 b d 四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段.

3、 注意点：

① a:b=k,说明a 是b 的k 倍；

② 由于线段a 、b 的长度都是正数，所以k 是正数；

③ 比与所选线段的长度单位无关，求岀时两条线段的长度单位要一致； ④ 除了 a 二b 之外,a:b7^b:a,兰与？互为倒数; b a

⑤ 比例的基本性质：若—=—,则ad 二be;若ad 二be,则—=—□ b d b d 4、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

,那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比?务牛618.注意：一条线段有两个黄金分割点.

如劉a//b//c,则警等

5、黄金分割：如图，点C 把线段AB 分成两条

BC,如果 AC _ BC AB ~ AC

6、比例性质:

(1) 如果扌疇 那么

,反Z 也成立.其屮日与〃叫做比例外项, o A

方与C 叫做比例内项.特殊地， b c

(2) 比例的合比性质 如果》予 那么宁

(3) 比例的等比性质如果弓=￡=???=々力+〃+…+ /7工0),那么；［：［???］〃=#.

b d n b+ d ----- n b

二、典例精讲

例1、 根据比例性质求解：

(1) 若

7

書吟 例 2、已知 a ： b ： c 二4 ： 3 ： 2,且 a-b+c 二6.

(1) 求 a, b, c 的值。(2)求 4a —3b+c 的值。 例3、?若仝=凹=土“,求k 的值。 __________________

a c b

例4、四条线段a 、b 、c 、d 成比例,其中b=3cm, c=2cm, d=6cm,则线段a 的长度 是多少？如果改成四条线段b 、c 、d 、a 成比例，其中b=3cm, c=2cm, d=6cm,则此 时线段a 的长度是多少？

(2)已哗弓则字二 ---------- a-b

~1T

例5.如图，在AABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且EF〃BC,

求(l)a + " + °的值 h (2) a + 2b — 3c 的值 3、 已知冷

(1) 如果AE = 7, EB=5, FC = 4 ,那么AF 的长是多少？

(2) 如果AB = 10,?AE=6, AF = 5

,那么FC 的长是多少？

三、中考链接

如图，DEllBC, DFllAC, .W = 4cm, 5D = 8cm, DE = 5cm,求线段貯的长.

四、课堂练习

a — c ^2e b_d + 2f 一

2、己知;亏亏冷，且论-“3,则十一八 例 6、已知 L//L//13, AB = 5,

1、 若—二 2, b d f BC = 7

B F C

4、 下列四组线段中，成比例线段的是（

） A 3cm, 4cm, 5cm, 6cm

B 4cm, 8cm, 3cm, 5cm

C 5cm, 15cm, 2cm, 6cm

D 8cm, 4cm, lcm, 3cm

5、 在比例尺是1： 6000000的地图上，量得南京到北京的距离是15厘米，南京 到北京的实际距离是 ___________ 千米。

6、 一条线段的长度是另一条线段长度的5倍，则这两条线段Z 比是 _______

7、 已知 a 、b 、c 、cl 是成比线段,a=4cm, b=6cm, d=9cm,则 c 二 _

84、如果2x = 5y ,那么兰二 y

9、把mn = pq 写成比例式，写错的是（

）

10、 已知 a:b:c=2:3:4,且 a+b+c 二 15,则 a= , b= ______ , c=_ 11、 如图，在AAEC 中，D 、E 分别是AE 和AC 上的点，且DE 〃BC,

(1) 如果 AD = 3. 2cm, DB = 1.2cm , AE=2. 4cm,那么 EC 的长是多少？

(2) 如果AB = 5cm, AD=3cm, AC = 4cm ,那么EC 的长是多少？

B ?3

m q

m p

五、课后作业

1、如果口二，那么纟二 ________

2、若㈠，则警的值为

h 5 b

—纟，则「2

。+

3幺二

b d f 5 cl - 2b + 3/

9、如图口4位以/在Q延长线匕AB=Z,DE=5,EF=J则〃尸的长为（）

10、如图：P是四边形0ACB对角线的任意一点，且PM〃CB, PN〃CA, 求证：OA ? MB=OB ? NA

3、已知A = 2,则兰二上=

7 4 y

°、已知能斗则严 ----------------------

6、（1）、如果,则ab二

2 4b

（3）、如果2c二15b,则-=_ c

?（2）、如果3a=7b,则纟二h

（4）、如果a2=bc,则±=—c

7、如图，在中, DE//BC交初于〃，交AC于E,下列不能成立的比例式一

定是（）

人AD AE n AB AC

A. ——=——

B. ——=——

DB EC AD AE

8、如图，E是口ABCD的边CD上一点、,

AC EC

~AB~~DB

n AD DE

1J ? =

DB BC

那么6F的长为（）

A. 4

B. 6

C. 3

D. 12

A. 3 D. 16

10题

第二讲相似多边形及三角形相似的条件

一、知识点荟萃

1、相似多边形：形状相同，大小不一定相同的多边形叫相似多边形.相似符号为“S” ?相似多边形对应角相等对应边的比相等。相似多边形对应边的比叫做相似比.

2、相似三角形的相关概念

(1)三个角对应相等、三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形

(2)相似三角形的对应角相等，各对应边成比例.

(3)相似比等于1的两个三角形全等.

3、三角形相似的条件：

(1)如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形相似。

(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不相似。

二、典例精讲

例1、把一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是()

A. 2 ： 1

B. 4 ： 1

C. V2 ： 1

D. 1 ： V2

例2、如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN,矩形DMNC与矩形ABCD相似，己知AB二4 (1)求AD的长:(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比。

A M

B N

例3：如图：D、E分别是ZkABC的边AB、AC上的点，

A

DE//BC, AB=7, AD=5, DE=10,求BC 的长。

E

例4、如图，A,〃两点被池塘隔开，为测量力，〃两点间的距离，在池塘边任选一点C,连接必必并延长化到〃, 使CD二丄AC,延长处到龙使血

丄BC,连接殆如果测

2 2

量DE=20m,那么AB=2X20=40m o你知道这是为什么吗？

例5、如果AABC与AA' B' C'两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？由此你能得到什么结论？

例6：如图，D、E分别是AABC的边AC、AB上的点。

AD 3

AE二1.5, AO2, BC二3,且—求DE 的长。

AB 4

三、课堂练习

1. 如果两个多边形形相似，则对应边 __________ ,对应角 ____________ ,对应边 的比就是它们的 ____________ 。

2、 两个相似多边形的对应边的比是2,则这两个多边形的相似比是 ____________ . 3

3?如果六边形ABCDEFs 六边形A' B‘ C‘ D' E‘ F f , ZB=62° ,那么ZB'等于

()

A. 28°

B. 118° ?

C. 62°

D. 54°

4. 等

边三角形ABC 和三角形A' B z C z 相似，相似比为5： 2,若AB 二10,

C' 等于 ______

5、 判断下列每组中的两个图形是相似多边形吗？并说明理由.

(1 )两个大小不等的矩形；(

) (2)两个大小不等的正五边形；( ) (3)

-个正方形与一个平行四边形；( )(4)两个大小不等的菱形( )

6. 如图,ZA 二52° , AB=2. 5, AC=5. 5, ADEF EDF 是否相似?为什么?

7. 如图，在AABC 中，ZBAC=90° , AD 丄BC,垂足为D 。

(1) 请指出图屮所有的相似三角形;

(2) 你能得出AD 2=BD*DC 吗？

1、如图，DEFAD s□ ABCD,则Z/1的对应角是 ________ ,

中,ZE=52°

, DE=7, EF=3, AABC Ui 课后作业

A

B

C E

D F A

Z 〃的对应角是 ,——=~~-

（）AB

2、 AABC^A/SC ,若对应边AB 与力方‘的长分别为50厘米和40厘米，则厶 ABC 与.△/!%的相似比是（）

A. 5 ： 4

B. 4 ： 5

C. 5 : 2 后

D. 2街：5

3、 如图，已知四边形ABCD 相似于四边形A' W C‘ D/，求出ZA'与x 的值

似吗?

相似三角形，并说明理由。

4、下列图形中一定相似的是（）

A.有一个角相等的两个平行四边形

B.有一个角相等的两个等腰梯形

C.有一个角相等的两个菱形

D.有一组邻边对应成比例的两平行四边形 5. 在AABC 与 ADEF 中，ZA=ZD=70°

ZB 二60° , ZE=50° ,这两个三角形相 6?如图:在四边形ABCD 中,AB 〃CD, 对角线AC 与BD 相交于点0。找出图屮的 B 1

D

第三讲相似三角形的判定及性质

一.知识点荟萃

1、相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

2、相似三角形的判定：

①两角对应相等，两个三角形相似

②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

③三边对应成比例，两三角形相似

④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似

⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

3、相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等

②相似三角形的对应边成比例

③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比

④相似三角形周长的比等于相似比

4、三角形相似的基本图形：

（1）平行型：①如图“A型”即公共角所对应的边平行，则厶ADE-AABC

②“X型”，即对顶角对的边平行，则厶AOB-ADOC

（2）相交型：①“共角型”，即其公共角的对边不平行，且有另一对角相等，则有厶ABC^AADE

②“共角共线型”，即公共角的对边不平行，且有另一对角相等，两个三角形有一条公共边，则厶ABC^AACD

③“蝴蝶型”，即对顶角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ ABC-AADE

（3）母子型：直角三角形被斜边上的高分成两个直角

三角形与原三角形相似,

即厶 ADC^ACDB^AACB

二、典例精讲

例1?根据下列条件，判断37与?是否相似，并说明理由:

例2?要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为 4、5、6,另一个三角形的一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似？

例3.已知：MBGshDBF,如、谢分别是两个三角形的角平分线.

lit M

求证：而■斎

.

“共角型”

“共角共线型” 仃）厶?120\ M ?7on, AC-!4an. Zjf-iar ,

6cm ⑵ 朋?4cm, BC-

A'lT-llan, BV-lSan , I-11 A A

“共角型” “蝴蝶型”

例 4.如图，在凶咤和 AMF 中，AC-2W, Z4-ZZ>, 的周 长是24,面积是48,求的周长和面积.

例5?如图，在AABC 中，D 为AC 边上的中点，AE 〃BC, ED 交AB 于G,交BC 延 长线于F.若BG ： GA=3： 1, BC=10,求AE 的长.

例6、如图，D 是AABC 的边AB 上一点，连接CD,若AD=2, BD=4, ZACD 二ZB,

例7、如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连接CP 并延长，交AD 于E, 交BA 的延长线于F.

求AC 的长.

(1)求证：ZDCP=ZDAP；

(2)若AB二2, DP： PB=1： 2,且PA丄BF,求对角线BD的长.

c D

例8、在Z\ABC 中，ZC = 90°, BC = 8 cm, AC : AC = 3 ： 5,点P 从点B 出发，沿BC向点C以2 cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1 cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发：

(1)过多少秒厶CPQ^ACBA?

三、中考链接

1、(2014-乌鲁木齐)如图，等边三角形ABC的边长为3,

点P为BC边上一点，且BP二1,点D为AC边上一点，若Z

APD=60°,则CD的长为（）

A.丄

B.丄

C.鱼

D. 1

2 3 4

2、(2015-威海)在口ABCD中，点E为AD的中点，连接

BE, 交AC于点F,则AF： CF二( )

A. 1: 2 B? 1： 3 C. 2: 3 D. 2： 5

四、课堂练习

1、在Z1ABC中，AD是ZBAC的外角平分线，CE〃AB,求证力3 ? DE = 40?/C

2、如图，CD 是RtZABC 的斜边AB 上的高，BD 二16 cm, AD 二9 cm, CE 是Z ACB的平分线，求CE的长；

C

D E

3、如图⑴，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点0, BC=18, E为0D的中点，连

结CE并延长交AD于点F,求DF的长。

4、如图，在AABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC, DE丄BC, DE与AB相交

于点E, EC与AD相交于点F。(1)说明:AABC^AFCD (2)若S△血=5, BC=10,求DE的长。

A

五、课后作业

1、如图，在四边形ABCD申,F是对角线加上的一点，EF//AB, CD,求竺+空

AB CD

的值。

3、如图，在/ABC 中，AD 是角平分线，E 是AD 上的一点，且CE = CD,求证: /1B ?4E = AC ?AD

4、如图，在△外比中，AB=AG 外〃是中线，P 是/1D 上一点,过点C 作

CF//AB.延 &BP 交 AC 于点、E,交 CF 于点、F,说明：BP = PE ? PF 。

5、如图，在AABC 中，E 、F 分别是AC 、BC 的中点，AF 与BE 交于点0, ED 〃AF,

交BC 于点D,求B0 : 0E 的值。

2、如图, 求证：（1） A