组合数学作业答案解析

第二章作业答案

7. 证明，对任意给定的52个整数，存在两个整数，要么两者的和能被100整除，要么两者的差能被100整除。

证明 用100分别除这52个整数，得到的余数必为0, 1,…, 99这100个数之一。将余数是0的数分为一组，余数是1和99的数分为一组，…，余数是49和51的数分为一组，将余数是50的数分为一组。这样，将这52个整数分成了51组。由鸽巢原理知道，存在两个整数分在了同一组，设它们是a 和b 。若a 和b 被100除余数相同，则b a -能被100整除。若a 和b 被100除余数之和是100，则b a +能被100整除。

11. 一个学生有37天用来准备考试。根据过去的经验，她知道她需要不超过60小时的学习时间。她还希望每天至少学习1小时。证明，无论她如何安排她的学习时间（不过，每天都是整数个小时），都存在连续的若干天，在此期间她恰好学习了13小时。 证明 设从第一天到第i 天她共学习了i a 小时。因为她每天至少学习1小时，所以

3721,,,a a a 和13,,13,133721+++a a a 都是严格单调递增序列。因为总的学习时间

不超过

60

小时，所以6037≤a ，731337≤+a 。3721,,,a a a ,

13,,13,133721+++a a a 是1和73之间的74个整数，由鸽巢原理知道，它们中存在相

同的整数，有i a 和13+j a 使得13+=j i a a ，13=-j i a a ，从第1+j 天到第i 天她恰好学习了13小时。

14. 一只袋子装了100个苹果、100个香蕉、100个桔子和100个梨。如果我每分钟从袋子里取出一个水果，那么需要多少时间我就能肯定至少已拿出了1打相同种类的水果？ 解 由加强形式的鸽巢原理知道，如果从袋子中取出451)112(4=+-⨯个水果，则能肯定至少已拿出12个相同种类的水果。因此，需要45分钟。

17. 证明：在一群1>n 个人中，存在两个人，他们在这群人中有相同数目的熟人（假设没有人与他/她自己是熟人）。 证明 因为每个人都不是自己的熟人，所以每个人的熟人的数目是从0到1-n 的整数。若有两个人的熟人的数目分别是0和1-n ，则有人谁都不认识，有人认识所有的人，这是不可能的。因此，这n 个人的熟人的数目是1-n 个整数之一，必有两个人有相同数目的熟人。

第三章作业答案

6. 有多少使下列性质同时成立的大于5400的整数？ (a) 各位数字互异。 (b) 数字2和7不出现。

解 因为只能出现数字0, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9，所以整数的位数至多为8。

① 考虑8位整数。最高位不能为0，因此8位整数有)7,7(7P ⨯个。 ② 考虑7位整数。最高位不能为0，因此8位整数有)6,7(7P ⨯个。 ③ 考虑6位整数。最高位不能为0，因此8位整数有)5,7(7P ⨯个。 ④ 考虑5位整数。最高位不能为0，因此8位整数有)4,7(7P ⨯个。

⑤ 考虑4位整数。若千位数字大于5，有)3,7(3P ⨯个。若千位数字等于5，则百位数字必须大于等于4，有)2,6(4P ⨯个。 根据加法原理，符合条件的整数的个数为

94830)2,6(4)3,7(3)4,7(7)5,7(7)6,7(7)7,7(7=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯P P P P P P

8. 15人围坐一个圆桌。如果B 拒绝挨着A 坐，有多少种围坐方式？如果B 只拒绝坐在A 的右侧，又有多少种围坐方式？

解 15人围坐一个圆桌，有!14种围坐方式。若B 固定坐在A 的左侧，则可将BA 看作一个整体，有!13种围坐方式。若B 固定坐在A 的右侧，则可将AB 看作一个整体，有!13种围坐方式。因此，B 不挨着A 坐的围坐方式有!1312!132!14⨯=⨯-种，B 不坐在A 的右侧的围坐方式有!1313!13!14⨯=-种。

11. 从15个球员的集合中选人组成11个球员的足球队，其中5人只能踢后卫，8人只能踢边卫，2人既能踢后卫又能踢边卫。假设足球队有7个人踢边卫4个人踢后卫，确定足球队可能的组队方法数。

解 设甲和乙既能踢后卫又能踢边卫。

若甲和乙均不入选，组队方法数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛78⎪⎪⎭⎫

⎝⎛45。

若甲和乙均入选，组队方法数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛78⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛25+⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛68⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛35+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛58⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛45。 若甲入选且乙不入选，组队方法数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛78⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛35+⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛68⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛45。 若乙入选且甲不入选，组队方法数也为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛78⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛35+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛68⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛45。

因此，组队方法数总共为

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛78⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛45+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛78⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛25+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛68⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛35+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛58⎪⎪⎭⎫

⎝⎛45+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯456835782=1120

21. 一位秘书在距离家以东9个街区、以北7个街区的一座大楼里工作。每天他都要步行

16个街区去上班。

(a) 对他来说可能有多少不同的路线？ (b) 如果在他家以东4个街区、以北3个街区开始向东方向的街区在水下（而他又不会游泳），则有多少条不同的路线？

解 (a) 用E 表示向东步行1个街区，用N 表示向北步行1个街区。因为该秘书需要向东步行9个街区，向北步行7个街区，总共步行16个街区，因此他的上班路线是多重集

}7,9{N E ∙∙的排列。这样的排列的个数为

=!

7!9!

1611440。 (b) 若他从水下的街区走过，则他先要走到离家以东4个街区、以北3个街区的地方，再

向东走一个街区，最后走到工作的大楼。他从家走到离家以东4个街区、以北3个街区的地方的路线的数目是多重集}3,4{N E ∙∙的排列数，即

=!

3!4!

735。他从离家以东5个街区、以北3个街区的地方走到工作的大楼的路线的数目是多重集}4,4{N E ∙∙的排列数，即

=!

4!4!

870。所以，如果他从水下的街区走过，则他可能有的路线数是24507035=⨯。因此，如果他不从水下的街区走过，则他可能有的路线数是8990245011440=-。 26. 确定多重集}5,4,3{c b a S ∙∙∙=的10-排列的个数。 解 S 的有1个a ，4个b ， 5个c 的10-排列的个数为

1260!

5!4!1!

10=。

S 的有3个a ，2个b ， 5个c 的10-排列的个数为

2520!

5!2!3!

10=。

S 的有3个a ，4个b ，3个c 的10-排列的个数为

4200!

3!4!3!

10=。

S 的有2个a ， 3个b ， 5个c 的10-排列的个数为

2520!

5!2!3!

10=。

S 的有2个a ， 4个b ， 4个c 的10-排列的个数为

3150!

4!4!2!

10=。