组合数学6章作业答案

第6章 容斥原理及应用

6.7 练习题

3、求出从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数个数。

解：∵100001002=,9261213=,10648223=

∴从1到10000，共有100个平方数，21个立方数 又∵409646=，1562556=

∴从1到10000，共有4个6次方数，也就是共有4个数既是平方数又是立方数 计算：10000-100-21+4=9883

∴从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数有9883个

□

4、确定多重集{}d c b a S ⋅⋅⋅⋅=5,4,34，

的12-组合的个数。 解：设T ：{}d c b a S ⋅∞⋅∞⋅∞⋅∞=,,,*的所有12-组合 1A ：a 的个数大于4的12-组合

2A ：b 的个数大于3的12-组合 3A ：c 的个数大于4的12-组合

4A ：d 的个数大于5的12-组合

要求的是：

4321A A A A ⋂⋂⋂ = T )(4321A A A A +++-

)(434232413121A A A A A A A A A A A A ⋂+⋂+⋂+⋂+⋂+⋂+ )(432431421321A A A A A A A A A A A A ⋂⋂+⋂⋂+⋂⋂+⋂⋂- )(4321A A A A ⋂⋂⋂+

T =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+121412=455

1A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+7147=120 2A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+8148=165 3A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+7147=120 4A =⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-+6146=84

21A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3143=20 31A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2142=10 41A A ⋂=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-+1141=4

32A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3143=20 42A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2142=10 43A A ⋂=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-+1141=4

321A A A ⋂⋂=421A A A ⋂⋂=431A A A ⋂⋂=432A A A ⋂⋂=4321A A A A ⋂⋂⋂=0 455-（120+165+120+84）+（20+10+4+20+10+4）=34

∴多重集{}d c b a S ⋅⋅⋅⋅=5,4,34，

的12-组合的个数是34 □

9、确定方程

204321=+++x x x x

满足

611≤≤x ，702≤≤x ，843≤≤x ，624≤≤x

的整数解的个数。

解：设 116x y -=， 227x y -=， 338x y -=， 446x y -=

则原方程等价于 确定方程

74321=+++y y y y

满足

501≤≤y ， 702≤≤y ， 403≤≤y ， 404≤≤y

的整数解的个数。

设S ：74321=+++y y y y 的所有非负整数解的集合

1A ：74321=+++y y y y 的所有满足61≥y 的非负整数解的集合 2A ：74321=+++y y y y 的所有满足82≥y 的非负整数解的集合

3A ：74321=+++y y y y 的所有满足53≥y 的非负整数解的集合 4A ：74321=+++y y y y 的所有满足54≥y 的非负整数解的集合 若j i ≠，则∅=⋂j i A A ,那么要求的是：

||||||||||||43214321A A A A S A A A A ----=⋂⋂⋂

1207147||=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=S 4||1=A 0||2=A 102142||||43=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-+==A A

120-4-0-10-10=96 ∴方程

204321=+++x x x x

满足

611≤≤x ，702≤≤x ，843≤≤x ，624≤≤x

的整数解的个数是96。

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15、在一次聚会上，7位绅士检查他们的帽子。有多少种方法使得这些帽子返还是满足 ⅰ) 没有绅士收到他自己的帽子？ ⅱ) 至少一位绅士收到他自己的帽子？ ⅲ）至少两位绅士收到他们自己的帽子？

解：ⅰ)错排为7D

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ⅱ)也就是问不错排，为7!7D -

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ⅲ）677!7D D --

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21、证明n D 是偶数当且仅当n 是奇数。

证明：已知1D =0，2D =1

且根据性质n n n nD D )1(1-+=-，递推下去有

1D 偶，2D 奇，3D 偶，4D 奇，5D 偶，6D 奇，7D 偶，8D 奇，… 并且这种奇偶变化是有规律的，n D 是偶数当且仅当n 是奇数

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24、把六个非攻击型车放到具有如下所述禁止位置的6行6列棋盘上的方法数是多少？ ⅰ)

ⅱ)

ⅲ）

解：ⅰ)1r =6 2r =3×4=12 3r =2×2×2=8 4r =5r =6r =0 !0!1!2!3!4!5!6654321⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-r r r r r r =720-6×120+12×24-8×6=240 ∴方法数是240

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ⅱ)1r =12 2r =2×3+3×4×4=54 3r =3×2×4×2+4×4×4=112

4r =3×2×2+3×4×4×2=108 5r =3×2×2×4=48 6r =2×2×2=8

!0!1!2!3!4!5!6654321⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-r r r r r r

=720-12×120+54×24-112×6+108×2-48+8=80 ∴方法数是80

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ⅲ）1r =8 2r =6+1+5×3=22 3r =1+5×1+6×3=24 4r =6×1+1×3=9 5r =1 6r =0 !0!1!2!3!4!5!6654321⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-r r r r r r

=720-8×120+22×24-24×6+9×2-1=161 ∴方法数是161

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