第四节矩阵分块法

1 2
31;
所以
A1
A11 O
O
A21
1 5
0
0 0
1 1.
0
2
3
三、小结
在矩阵理论的研究中, 矩阵的分块是一种最基本, 最重要的计算技巧与方法.
分块矩阵之间的运算
分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似:
(1) 加法: 同型矩阵, 采用相同的分块法. (2) 数乘: 数k乘矩阵A, 需k乘A的每个子块.
0 0 b 1
00 b1
A E
O B
,
其中
OEBA
ab01 10
00b1a1
A
a 0 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 1 b
A1
A2
A3
a01
A4 ,
其中
A1423
0a 10b1b0
二、分块矩阵的运算规则
(1) 分块矩阵的加法: 设矩阵A与B是同型的, 按相
同的分块法, 有
1 1
20
1 1
01
3 0
24
1 1
01
2 1
14,
A1
B22
1 1
21
4 2
10
3 3
13,
于是
AB
1 1 2 1
0 2 4 1
1 0 3 3
3011.
(4)
设
A
A11 As1
A1r Asr
,
则
AT
A1T1
A1T1Trr
AsT1 . AsTr
(5) 设A为n阶方阵, 若A的分块矩阵除对角线上的
子块外, 其余子块均为零矩阵, 且对角线上的子块均为
方阵, 即
A1 A
A2
O
O
, As
则称A为分块对角矩阵, 或准对角矩阵.
分块对角矩阵具有下述性质:
1.
| A | = | A1 | | A2 | ···| As |.
2. 设分块对角矩阵A, 若| Ai | 0 (i=1,2,···,s),
§2.4 矩阵分块法
一、矩阵的分块
对于行数和列数较高的矩阵A, 为了简化运算, 经 常采用分块法, 使大矩阵的运算化成小矩阵的运算. 具 体做法是: 用若干条纵线和横线将矩阵A分成许多个 小矩阵, 每一个小矩阵称为矩阵A的子块, 以子块为元 素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
例如: A
a 0 1 0
(3) 乘法: 矩阵A, B相乘, A的列的分块与B的行分
块相一致.
(4) 转置
A
A11 As1
A1r
Asr
AT
A1T1 A1Tr
AsT1 AsTr
(5) 分块对角阵的行列式与逆阵
A1 A
A2
O
O
, As
1. | A | = | A1 | | A2 | ···| As |.
1b00 ,
B
a 1 0 0
0 a 0 0
0 0 b 1
0 0 0 b
,
求A+B, ABA.
解: 将A, B分块
a 1 0 0
a 0 0 0
A
0 0 0
a 0 0
0 b 1
0 1 b
A1 O
O A2
,
B
1
0 0
a 0 0
0 b 1
0 0 b
B1 O
O B2
,
其中
A1
a 0
1 a
则| A | 0, 且,
A11 A1
A21
O
,
O
As1
3.
A1 O
O A2
O O
B1 O
O B2
O O
O O As O O Bs
A1B1 O
O
O
A2 B2 O
O
O
As Bs
.
例2:
设
A
a 0
0 0
1 a 0 0
0 0 b 1
解: 把A, B分块成
A
1 0 1 1
0 1 2 1
0 0 1 0
00
0 1
E A1
O E
,
B
1 1 1 1
0 2 0 1
1 0 4 2
01 01
B11 B21
E B22
则
AB
E A1
O E
B11 B21
E B22
B11 A1B11
B21
A1
E B22
.
而
A1 B11
B21
1 1
21
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0
1 b
B1 B2 B3
.
B231 (0a00
1a1
1010
b0b0)).,,
a 1 0 0
A
0 1 0
a 0 1
0 b 1
0 b1
C1 C3
C C
2 4
,
0 0a C4123 (a01b10 101b10),.,
A
a 0 1 0
1 a 0 1
数, 则
AB
C11
C1r
,
t
Cs1 Csr
其中 Cij Aik Bkj ( i=1, 2, ···, s ; j=1, 2, ···, r ).
k 1
1 0 0 0 1 0 1 0
例1:
设
A
0 1 1
1 2 1
0 1 0
001,
B
1 1 1
2 0 1
0 4 2
011,
求AB.
.
ABA
A1 O
O A2
B1 O
O B2
A1 O
O A2
A1
B1 O
A1
A2
O B2
A2
,
而
A1B1 A1
a 0
1 a
a 1
0 a
a 0
1 a
a
3 a2
a
2aa32a1,
A2 B2 A2
b 1
1 b
b 1
b0
b 1
b1
b
3 3b
2b
2
2b b3
2 1 2b
,
所以
a3 a 2a2 1 0
A
A11
As1
A1r ,
B
B11
Asr
Bs1
B1r Bsr
其中子块Aij与Bij是同型的( i=1,2,···, s ; j=1,2,···, r ), 则
A
B
A11
B11
As1 Bs1
A1r
B1r
.
Asr Bsr
(2) 分块矩阵的数乘: 设为数, 矩阵
A
0
ABA
a2 0 0
a3 a 0 0
0 b3 2b
3b2
0 2b2 1 b3 2b
.
5 0 0
例3: 设
A
0 0
3 2
11,
求A-1.
5
解: 将A分块
A
0 0
0 3 2
0 1 1
A1 O
O A2
,
形成分块对角矩阵.
其中
A1
5, A2
3 2
11,
则 A11
1 5
;
A21
2. A可逆 Ai可逆( i=1,2,···,s ), 且 A-1=diag(A1-1, A2-1, ···, As-1).
思考题
设A
=
B O
CD, 其中B和C都是可逆方阵, 证明A可
逆, 并求A-1.
思考题解答
证: 由于B和C都是可逆方阵, 并有|A|=|B||C|0,
所以A可逆. 设
A1 WX
,
A2
b 1
1 b
;
B1
a 1
0 a
,
B2
Байду номын сангаас
b 1
0 b
.
所以
A
B
A1 O
O A2
B1 O
O
B2
A1
O
B1
A2
O
B2
,
其中
A1
B1
a 0
1 a
a 1
0 a
2a 1
1 2a
,
A2
B2
b 1
b1
b 1
0 b
2b 2
1 2b
,
所以
A
B
2a 1 0 0
1 2a 0 0
0 0 2b 2
0 0 1 2b
Z Y
,
则由
B O
D C
WX
Z Y
E O
O E
,
BX DW E
X B1
得
BZ DY O
CW O
,
即
CY E
Y C 1
Z
B1 DC 1
.
W O
因此
A1
B 1 O
B 1 C
DC
1
1
.
A11
As1
A1r
Asr
,
则
A
A11
As1
A1r
Asr
.
(3) 分块矩阵的乘法:设A为ml 矩阵, B为l n矩阵,
分块为
A
A11
As1
A1t , Ast
B
B11
Bt1
B1r
Btr
,
其中Ai1, Ai2, ···, Ait的列数分别等于B1j, B2j, ···, Btj的行