2018年高考文科数学分类汇编：专题十一复数
2018届高考数学热点难点突破—熟记概念巧解复数问题
2018届高考数学热点难点突破—熟记概念巧解复数问题考纲要求:1．理解复数的基本概念．理解复数相等的充要条件．2.了解复数的代数表示形式及其几何意义．会进行复数代数形式的四则运算．3.了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义．基础知识回顾:一、复数的有关概念 1．复数的概念形如a ＋bi (a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋bi 为实数；若b ≠0，则a ＋bi 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋bi 为纯虚数． 2．复数相等a ＋bi ＝c ＋di ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． 3共轭复数a ＋bi 与c ＋di 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． 4．复数的模向量OZ的模r 叫做复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋bi |，即|z |＝|a ＋bi |＝a 2＋b 2.二、复数的几何表示及意义(1)复数z ＝a ＋bi ←−−−→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R ) ←−−−→一一对应平面向量 OZ .三、复数的运算1．复数的乘、除运算法则设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di (a ，b ，c ，d ∈R )，则(1)乘法：z 1·z 2＝(a ＋bi )·(c ＋di )＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；(2)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ a ＋b i c －d i c ＋d i c －d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i (c ＋di ≠0)．2．复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．应用举例:类型一复数的概念例1．【2017-2018学年辽宁省沈阳市四校协作体高三年级联合考试】若复数z 满足()()325z i --=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为（） A . 2i +B . 2i -C . 5i +D . 5i - 【答案】D点睛：复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式，复数z a b i =+实部为a ，虚部为b ，共轭复数OP 实部为()1O P t O A t O B =-+，虚部为()1O P t O A t O B=-+，在复平面内对应的点关于是轴对称。
专题33 复数-2018年高考数学文热点题型和提分秘籍 含
1.理解复数的基本概念2.理解复数相等的充要条件3.了解复数的代数表示法及其几何意义4.会进行复数代数形式的四则运算5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义热点题型一 复数的有关概念例1、【2017课标1，文3】下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．i(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．(1+i)2D ．i(1+i)【答案】C【解析】由2(1)2i i +=为纯虚数知选C ．【变式探究】(1)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( ) A ．2＋i B ． 2－i C ．5＋i D ．5－i (2)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R)是纯虚数，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 【答案】（1）D （2）D【提分秘籍】处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理。
【举一反三】设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】ab ＝0⇒a ＝0或b ＝0，这时a ＋b i ＝a －b i 不一定为纯虚数，但如果a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，则有a ＝0且b ≠0，这时有ab ＝0，由此知选B 。
热点题型二 复数的几何意义例2、【2017课标3，文2】复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【解析】由题意：12z i =--，在第三象限. 所以选C.【变式探究】(1)复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 (2)复数z ＝－2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( )A ．25B .41C ．5 D. 5【答案】（1）B （2）C【提分秘籍】(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)⇔Z (a ，b )⇔OZ →。
2011—2018年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——2.复数
2．复数一、选择题(2018·1)()23i i +=（ ） A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+（2017·2）(1)(2)i i ++=（ ）A. 1i -B. 13i +C. 3i +D. 33i + （2016·2）设复数z 满足i 3i z +=-，则z =（ ）A ．12i -+B ．12i -C ．32i +D ．32i -（2015·2）若a 为实数，且i iai+=++312，则=a （ ） A. -4B. -3C. 3D. 4（2014·2）131ii+=-（ ） A ．1+2iB ．-1+2iC ．1-2iD ．-1-2i（2013·2）21i=+（ ）A ．B ．2CD ．1 （2012·2）复数32iz i-+=+的共轭复数是（ ） A ．2+iB ．2-iC ．-1+iD ．-1-i（2011·2）复数512ii=-（ ） A ．2i -B ．12i -C ．2i -+D ．12i -+2．复数一、选择题(2018·新课标Ⅱ，文1)()23i i +=（ ） A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+【答案】D 解析：()2232332i i i i +=+=-+. （2017·新课标Ⅱ，文2）(1)(2)i i ++=（ ）A. 1i -B. 13i +C. 3i +D. 33i +【答案】B 解析：由题意(1+i )(2+i )=2+3i +i 2=1+3i ，故选B .（2016·新课标Ⅱ，文2）设复数z 满足i 3i z +=-，则z =（ ） A ．12i -+B ．12i -C ．32i +D ．32i - 【答案】C 解析：由3z i i +=-得，32z i =-，故3+2z i =，故选C.（2015·新课标Ⅱ，文2）若a 为实数，且i iai+=++312，则=a （ ） A. -4 B. -3 C. 3 D. 4【答案】D 解析：由题意可得2(1)(3)244ai i i i a +=++=+⇒=，故选D. （2014·新课标Ⅱ，文2）131ii+=-（ ） A ．1+2iB ．-1+2iC ．1-2iD ．-1-2i【答案】B 解析：13(13)(1)2412.122i i i ii i +++-+===-+-故选B. （2013·新课标Ⅱ，文2）21i=+（ ）A ．B ．2CD ．1【答案】C 解析：22(1)2(1)11(1)(1)2i i i i i i --===-+-+，所以21i=+ C. （2012·新课标Ⅱ，文2）复数32iz i-+=+的共轭复数是（ ） A ．2+iB ．2-iC ．-1+iD ．-1-i【答案】D 解析：∵z =32ii-++=1i -+，∴z 的共轭复数为1i --，故选D. （2011·新课标Ⅱ，文2）复数512ii=-（ ） A ．2i -B ．12i -C ．2i -+D ．12i -+【答案】C 解析：()()()51252121212=i i ii i i i +=-+--+，故选C.2．复数(解析版)一、选择题(2018·1)D 解析：()2232332i i i i +=+=-+.（2017·2）B 解析：由题意(1+i )(2+i )=2+3i +i 2=1+3i ，故选B .（2016·2）C 解析：由3z i i +=-得，32z i =-，故3+2z i =，故选C. （2015·2）D 解析：由题意可得2(1)(3)244ai i i i a +=++=+⇒=，故选D.（2014·2）B 解析：13(13)(1)2412.122i i i ii i +++-+===-+-故选B.（2013·2）C 解析：22(1)2(1)11(1)(1)2i i i i i i --===-+-+，所以21i=+ C.（2012·2）D 解析：∵z =32ii-++=1i -+，∴z 的共轭复数为1i --，故选D.（2011·2）C 解析：()()()51252121212=i i ii i i i +=-+--+，故选C.。
2018届高考数学(全国通用)二轮复习基础小题精品讲义 第3讲 复数
第3讲 复 数[明考情]复数是高考必考题，以选择题形式出现，题目难度为低档，多数在第一题或第二题的位置.[知考向]1.复数的概念.2.复数的运算.3.复数的几何意义.考点一 复数的概念 要点重组 (1)复数：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部，i 为虚数单位.若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数.(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R ).(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R ).(4)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R ).1.设复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数z ＋1z的虚部是( ) A.12B.12iC.32D.32i 答案 A解析 因为z ＝1＋i ，所以z ＋1z ＝1＋i ＋11＋i＝1＋i ＋1－i 2＝32＋i 2，所以虚部为12，故选A. 2.(2017·全国Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |等于( )A.12B.22C. 2D.2 答案 C解析 方法一 由(1＋i)z ＝2i ，得z ＝2i 1＋i＝1＋i ， ∴|z |＝ 2.故选C.方法二 ∵2i ＝(1＋i)2，∴由(1＋i)z ＝2i ＝(1＋i)2，得z ＝1＋i ，∴|z |＝ 2.故选C.3.设复数z 满足1＋z 1－z＝i ，则|z |等于( ) A.1 B. 2 C. 3D.2答案 A解析 由1＋z 1－z ＝i ，得1＋z ＝i －z i ，∴z ＝－1＋i 1＋i＝i ， ∴|z |＝|i|＝1.4.已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反过来(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝2i ，则a 2－b 2＝0，2ab ＝2，解得a ＝1，b ＝1或a ＝－1，b ＝－1，故“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件，故选A.5.(2016·江苏)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________.答案 5解析 z ＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i.故z 的实部为5.6.复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是虚数，则实数m 的取值范围是__________.答案 {m |m ≠6且m ≠－1}考点二 复数的运算 方法技巧 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.7.(2017·山东)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2等于( )A.－2iB.2iC.－2D.2 答案 A解析 方法一 ∵z ＝1＋i i ＝(1＋i )(－i )i (－i )＝1－i ， ∴z 2＝(1－i)2＝－2i.方法二 ∵(z i)2＝(1＋i)2，即－z 2＝2i ，∴z 2＝－2i.故选A.8.已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z 等于( )A.3－4iB.3＋4iC.－3－4iD.－3＋4i答案 A解析 由题意得z ＝253＋4i ＝25(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝25(3－4i )25＝3－4i ，故选A. 9.设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数.若z ＝1＋i ，则z i＋i·z 等于( ) A.－2B.－2iC.2D.2i答案 C解析 由题意知，z i ＋i·z ＝1＋i i＋i(1－i) ＝(1＋i )i i 2＋1＋i ＝1－i ＋1＋i ＝2，故选C. 10.复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝________. 答案 －1解析 1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i 2＝i ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝i 2＝－1. 11.已知i 为虚数单位，若复数z ＝1－a i 1＋i(a ∈R )的虚部为－3，则|z |＝________. 答案 13解析 因为z ＝1－a i 1＋i＝(1－a i )(1－i )2＝1－a －(a ＋1)i 2＝1－a 2－a ＋12i ， 所以－a ＋12＝－3，解得a ＝5，所以z ＝－2－3i ， 所以|z |＝(－2)2＋(－3)2＝13.考点三 复数的几何意义 要点重组 (1)复数z ＝a ＋b i 一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ).(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 一一对应平面向量OZ →.12.复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案 A解析 因为复数z ＝i(1－2i)＝i －2i 2＝2＋i ，它在复平面内对应点的坐标为(2，1)，位于第一象限.13.设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2等于( )A.－5B.5C.－4＋iD.－4－i 答案 A解析 由题意知，z 2＝－2＋i ，所以z 1z 2＝－5，故选A.14.(2016·全国Ⅱ)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A.(－3，1)B.(－1，3)C.(1，＋∞)D.(－∞，－3) 答案 A解析 由复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0， 解得－3<m <1，故选A.15.已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0171＋i，则复数z 在复平面内对应的点位于第_______象限. 答案 一解析 因为i 4n ＋k ＝i k (n ∈Z )，且i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0， 所以i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 017＝i ，所以z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2，对应的点为⎝⎛⎭⎫12，12，在第一象限. 16.如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则|z 1＋z 2|＝_________.答案 2解析 由题意知，z 1＝－2－i ，z 2＝i ，∴z 1＋z 2＝－2，∴|z 1＋z 2|＝2.1.设z 1，z 2∈C ，则“z 1，z 2中至少有一个数是虚数”是“z 1－z 2是虚数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B解析 若虚数z 1，z 2的虚部相等，则z 1－z 2是实数，故充分性不成立；又若z 1，z 2全是实数，则z 1－z 2不是虚数，故必要性成立.故选B.2.设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i，则x ＋y ＝______. 答案 4解析 由题意得x 2(1＋i)＋y 5(1＋2i)＝510(1＋3i)， ∴(5x ＋2y )＋(5x ＋4y )i ＝5＋15i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋2y ＝5，5x ＋4y ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5， ∴x ＋y ＝4. 解题秘籍 (1)复数的概念是考查的重点，虚数及纯虚数的意义要把握准确.(2)复数的运算中除法运算是高考的热点，运算时要分母实数化(分子分母同乘以分母的共轭复数)，两个复数相等的条件在复数运算中经常用到.1.(2017·全国Ⅱ)3＋i 1＋i等于( ) A.1＋2i B.1－2iC.2＋i D.2－i答案 D解析 3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－3i ＋i ＋12＝2－i. 2.复数z ＝1＋i 1－2i的虚部为( ) A.－15 B.15 C.－35 D.35答案 D解析 z ＝1＋i 1－2i ＝(1＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝－15＋35i ， 所以其虚部为35.3.若复数z 满足z 1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i答案 A解析 ∵z 1－i＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i. 4.设i 是虚数单位，则复数2i 1－i在复平面内所对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案 B解析 2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝2i (i ＋1)2＝－1＋i ，由复数的几何意义知，－1＋i 在复平面内的对应点为(－1，1)，该点位于第二象限，故选B.5.(1＋i )3(1－i )2等于( ) A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i答案 D解析 由已知得(1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )2(1＋i )(1－i )2＝2i (1＋i )－2i＝－1－i. 6.若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a 等于( )A.－1B.0C.1D.2答案 B解析 因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B.7.z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z 等于( )A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i 答案 D解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.由z ＋z ＝2，得a ＝1，由(z －z )i ＝2，得b ＝－1，所以z ＝1－i ，故选D.8.“复数z ＝3＋a i i在复平面内对应的点在第三象限”是“a ≥0”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 D解析 由题意得z ＝a －3i ，若z 在复平面内对应的点在第三象限，则a ＜0，故选D.9.已知a ＞0，⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a 等于( ) A.2 B. 3 C. 2D.1 答案 B解析 ⎪⎪⎪a ＋i i ＝⎪⎪⎪－a i ＋11＝(－a )2＋1＝2， 即a 2＝3.又∵a ＞0，∴a ＝ 3.10.已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的实部是____________.答案 21解析 由题意知z ＝(5＋2i)2＝25＋2×5×2i ＋(2i)2＝21＋20i ，其实部为21.11.(2016·天津)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b的值为________. 答案 2解析 因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，所以a b＝2. 12.已知z ＝1＋i ，则2z－z 2的共轭复数是__________. 答案 1＋3i解析 ∵z ＝1＋i ，∴2z －z 2＝21＋i －(1＋i)2＝2(1－i )(1＋i )(1－i )－2i ＝1－i －2i ＝1－3i ， ∴2z －z 2的共轭复数是1＋3i.。
2018高考数学总复习复数
2018高考复习专题复数2【三年高考】1. 【2017江苏】复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是 . 【答案】5 【解析】试题分析：(12i)(3i)55i z =+-=+．故答案应填：5 【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()()a b c d a c b d a d b c a b c d +=-++∈R +i i i ,，其次要熟悉复数的相关概念，如复数i(,)a b a b +∈R 的实部为a ，虚部为b i a b -2.【2017课标1，理3】设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B【考点】复数的运算与性质.【名师点睛】分式形式的复数，分子分母同乘分母的共轭复数，化简成(,)z a bi a b R =+∈的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.3.【2017课标II ，理1】31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 【答案】D 【解析】试题分析：由复数除法的运算法则有：()()3+13212i i i i i -+==-+，故选D 。
【考点】 复数的除法【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除。
除法实际上是分母实数化的过程。
在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z 1，z 2互为共轭复数，则z 1·z 2＝|z 1|2＝|z 2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化。
2018年高考数学(文)(江苏专用)总复习教师用书第五章平面向量与复数第5讲复数Word版含答案
第5讲 复数考试要求 1.复数的基本概念，复数相等的充要条件，B 级要求；2.复数代数形式的四则运算，B 级要求；3.复数的几何意义，复数代数形式的加、减运算的几何意义，A 级要求．知 识 梳 理1．复数的有关概念2．复数的几何意义复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ →.3．复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 (1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；(2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； (4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd ＋(bc －ad )ic 2＋d 2(c ＋d i ≠0)．诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点．( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )解析 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小． 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2．(2016·全国Ⅰ卷改编)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝________.解析 因为(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(2a ＋1)i ，所以a －2＝2a ＋1，解得a ＝－3. 答案 －33．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是________．解析 ∵A (6,5)，B (－2,3)，∴线段AB 的中点C (2,4)，则点C 对应的复数为z ＝2＋4i. 答案 2＋4i4．(2015·全国Ⅱ卷)若a 为实数，且2＋a i1＋i＝3＋i ，则a ＝________. 解析 由2＋a i1＋i＝3＋i ，得2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，即a i ＝4i ，因为a 为实数，所以a ＝4. 答案 45．(选修1－2P63练习4(2)改编)已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________.解析 ∵z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝10－5i5＝2－i ， ∴z ＝2＋i. 答案 2＋i考点一 复数的有关概念【例1】 (1)(2017·南京模拟)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z 的虚部为________．(2)(2017·苏北四市联考)设i 是虚数单位，复数a ＋i2－i是纯虚数，则实数a ＝________. 解析 (1)由于z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，则其虚部为3.(2)∵a ＋i 2－i ＝(a ＋i )(2＋i )5＝(2a －1)＋(a ＋2)i 5是纯虚数，∴2a －1＝0且a ＋2≠0，∴a ＝12.答案 (1)3 (2)12规律方法 (1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部． 【训练1】 (1)(2016·全国Ⅲ卷改编)若z ＝4＋3i ，则z|z |＝________.(2)(2017·盐城模拟)若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝a ＋i ，且z 1·z 2是实数(其中z 2为z 2的共轭复数)，则实数a ＝________. 解析 (1)z ＝4－3i ，|z |＝5，z|z |＝45－35i.(2)由题可得z 2＝a －i ，因为z 1·z 2＝(3＋4i)(a －i)＝(3a ＋4)＋(4a －3)i 是实数，所以4a －3＝0，解得a ＝34. 答案 (1)45－35i (2)34考点二 复数的几何意义【例2】 (1)(2014·全国Ⅱ卷)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝________.(2)(2016·全国Ⅱ卷改编)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 ________.解析 (1)由题意得z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5.(2)由复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限得⎩⎨⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1.答案 (1)－5 (2)(－3,1)规律方法 因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．【训练2】 (1)(2017·无锡期末)复数z ＝i(1＋i)在复平面内所对应点的坐标为________．(2)(2016·北京卷)设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________.解析 (1)因为z ＝i(1＋i)＝－1＋i ，故复数z ＝i(1＋i)在复平面内所对应点的坐标为(－1,1)．(2)(1＋i)(a ＋i)＝(a －1)＋(a ＋1)i ，由已知得a ＋1＝0，解得a ＝－1. 答案 (1)(－1,1) (2)－1 考点三 复数的运算【例3】 (1)(2016·全国Ⅲ卷改编)若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝________.(2)(2015·湖北卷改编)i 为虚数单位，i 607＝________. 解析 (1)4iz z －1＝4i(1＋2i )(1－2i )－1＝i. (2)法一 i 607＝i 4×151＋3＝i 3＝－i.法二 i607＝i 608i ＝i 4×152i ＝1i ＝－i.答案 (1)i (2)－i规律方法 (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式． (2)记住以下结论，可提高运算速度：①(1±i)2＝±2i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i＝－i ；④a ＋b ii ＝b －a i ；⑤i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N )．【训练3】 (1)(2016·北京卷改编)复数1＋2i2－i＝________. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________. 解析 (1)1＋2i 2－i ＝(1＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2＋i ＋4i ＋2i 24－i 2＝5i 5＝i.(2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i )226＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.答案 (1)i (2)－1＋i[思想方法]1．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．2．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法．对于一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体；又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识． [易错防范]1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．两个虚数不能比较大小．3．注意复数的虚部是指在a ＋b i(a ，b ∈R )中的实数b ，即虚部是一个实数.基础巩固题组(建议用时：20分钟)1．(2016·四川卷改编)设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2＝________. 解析 (1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i. 答案 2i2．(2016·江苏卷)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 解析 (1＋2i)(3－i)＝3＋5i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部为5. 答案 53．(2016·山东卷改编)若复数z ＝21－i ，其中i 为虚数单位，则z ＝________.解析 ∵z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，∴z ＝1－i. 答案 1－i4．(2017·徐州测试)若复数(m 2－m )＋m i 为纯虚数，则实数m 的值为________．解析 因为复数(m 2－m )＋m i 为纯虚数，所以⎩⎨⎧m 2－m ＝0，m ≠0，解得m ＝1.答案 15．(2016·全国Ⅰ卷改编)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝________. 解析 由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ⇒⎩⎨⎧ x ＝1，x ＝y ⇒⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝ 2. 答案26．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 解析 由(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，得a ＋(1＋a )i －1＝b i ， ∴⎩⎨⎧ a －1＝0，1＋a ＝b ，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，∴a ＋b i ＝1＋2i. 答案 1＋2i7.(2017·泰州模拟)如图，在复平面内，点A 对应的复数为z 1，若z 2z 1＝i(i 为虚数单位)，则z 2＝________.解析 由题图可知复数z 1＝－1＋2i ，则z 2＝i z 1＝i(－1＋2i)＝－2－i. 答案 －2－i8．(2015·江苏卷)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________． 解析 设复数z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，a ，b ∈R ，则⎩⎨⎧ a 2－b 2＝3，2ab ＝4(a ，b ∈R )，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－1，则z ＝±(2＋i)，故|z |＝ 5. 答案 59．(2017·苏北四市联考)如果复数2－b i 1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于________． 解析 由2－b i 1＋2i＝(2－b i )(1－2i )5＝2－2b －(b ＋4)i 5，由2－2b ＝b ＋4，得b ＝－23. 答案 －23 10．若3＋b i1－i＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________. 解析3＋b i 1－i ＝(3＋b i )(1＋i )2＝12[(3－b )＋(3＋b )i]＝3－b 2＋3＋b2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3－b 2，b ＝3＋b2，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝3.∴a ＋b ＝3.答案 3能力提升题组 (建议用时：10分钟)11．(2017·南京师大附中模拟)在复平面内，复数2i1＋i(i 为虚数单位)对应的点到原点的距离为________． 解析 复数2i1＋i＝i(1－i)＝1＋i 对应的点(1,1)到原点的距离为 2.答案 212．(2017·苏州调研)若复数z 满足i·z ＝－12(1＋i)，则z 的共轭复数的虚部是________．解析 i·z ＝－12(1＋i)⇒z ＝－12(1＋i )i ＝－12(1＋i )·ii·i ＝12(－1＋i)，则z 的共轭复数z ＝12(－1－i)，其虚部是－12. 答案 －1213．(2017·广州综合测试)若1－i(i 是虚数单位)是关于x 的方程x 2＋2px ＋q ＝0(p ，q ∈R )的一个解，则p ＋q ＝________.解析 依题意得(1－i)2＋2p (1－i)＋q ＝(2p ＋q )－2(p ＋1)i ＝0，即⎩⎨⎧2p ＋q ＝0，p ＋1＝0，解得p ＝－1，q ＝2，所以p ＋q ＝1. 答案 114．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________． 解析∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3.答案3。
2018年高考数学热门考点与解题技巧：考点5-复数及其运算(含解析)
例1（1）（2017天津理9）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i 2ia -+为实数，则a 的值为 . (2)计算：3（1＋i ）2i －1＝________； (3)计算(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i＝________； `(4)计算：－23＋i 1＋23i ＋(21－i )2 018＝________． 【解题技巧】无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚.变式1.（2017全国1卷理科3）设有下面四个命题：1:p 若复数z 满足1z ∈R，则z ∈R ；2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为（ ）.A.13,p pB.14,p pC.23,p pD.24,p p解析1:p 设i z a b =+，则2211i i a b z a b a b -==∈++R ，得到0b =，所以z ∈R .故1p 正确； 2:p 若z 1=-2，满足2z ∈R ，而z i =，不满足2z ∈R ，故2p 不正确；3:p 若1z 1=，2z 2=，则12z z 2=，满足12z z ∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故3p 不正确；4:p 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确.故选B.变式2．（2015广东理2）若复数()i 32i z =-（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．23i -B ．23i +C ．32i +D ．32i -解析 因为()i 32i 23i z =-=+，所以23i z =-．故选A ．变式3．复数z 满足()()25z i i --=，则z 为.A -2-2i .B -2+2i .C 2-2i D 2+2i解析 令(),R,R z a bi a b =+∈∈，则()()()()212z i i a b i i --=+--⎡⎤⎣⎦[]2(1)12b a i b a =--+-+ 5=，所以()210,21 5.b a a b --=⎧⎪⎨+-=⎪⎩解得22a b =⎧⎨=⎩，所以22z i =+.故选D .例2．（2016全国乙理2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（ ）.解析 由()1i 1i x y +=+，得1x y ==，所以i 1i x y +=+=故选B.【解题技巧】若复数i z x y =+，则=z 变式1 已知35(,)44ππθ∈，则复数(cos sin )(sin cos )z i θθθθ=++-在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解法二：，π）π（π）π（π，π，π，π24,234)4543(∈-∈+∈θθθ， 则0)4sin(2sin cos <+=+πθθθ，0)4sin(2cos sin >-=-πθθθ，故 )cos (sin )sin (cos θθθθ-++=i z 在复平面上对应的点在第二象限，故选B 。
数学高考文科复数知识点
数学高考文科复数知识点作为数学高考文科的一部分，复数在解析几何和代数中起着重要的作用。
它作为一个数域的扩张，拓宽了数字的概念。
本文将重点介绍高考文科复数的相关知识点，帮助学生更好地准备高考。
一、复数的定义和表示复数是由实数部分和虚数部分构成的数，通常表示为a + bi，其中a和b分别为实数，i为虚数单位，满足i² = -1。
虚部b取值为0时，复数就变成了实数。
二、复数的加减乘除运算1. 复数的加减运算：将实部和虚部分别相加或相减，得到结果的实部和虚部。
2. 复数的乘法运算：将实部和虚部进行分配律的展开，然后利用i² = -1化简。
3. 复数的除法运算：将除数的共轭复数作为分子和分母的乘法因子，然后进行分子分母的乘法运算和化简。
三、复数的共轭与模1. 复数的共轭：将复数的虚部取相反数，实部不变，所得的新复数称为原复数的共轭复数。
如果复数为a + bi，其共轭复数为a - bi。
2. 复数的模：复数的模是指复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。
对于复数a + bi，它的模是√(a² + b²)。
四、复数的三角形式复数可以通过极坐标表示，即用模长和辐角表示。
对于复数a + bi，可以表示为|r|·e^(iθ)，其中|r|为模长，θ为辐角。
使用欧拉公式e^(iθ) = cosθ + isinθ，可以将复数的三角形式转化为指数形式。
五、复数的指数和对数指数函数和对数函数可以扩展到复数域。
对于复数z = a + bi，指数函数e^z的定义是e^z = e^a * e^(ib) = e^a * [cos(b) + isin(b)]。
复数z = a + bi的对数函数定义为ln(z) = ln|z| + i arg(z)，其中ln|z|是复数的模的自然对数，arg(z)是复数的辐角。
六、复数的方程和不等式1. 复数方程：类似于实数方程的解法，复数方程也可以通过代数运算和方程的性质进行求解。
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《2018年高考文科数学分类汇编》
第十一篇：复数
一、选择题
1.【2018全国一卷2】设1i2i1iz，则||z
A．0 B．12 C．1 D．2
2.【2018全国二卷1】
A． B． C． D．
3.【2018全国三卷2】
A． B． C． D．
4.【2018北京卷2】在复平面内，复数11i的共轭复数对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.【2018浙江卷4】复数
2
1i
(i为虚数单位)的共轭复数是
A．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i
二、填空题
1.【2018天津卷9】i是虚数单位，复数67i12i .
2.【2018江苏卷2】若复数z满足i12iz，其中i是虚数单位，则z的实部为 ．
3.【2018上海卷5】已知复数z满足117izi（）（i是虚数单位），则∣z∣= .
i23i
32i32i32i32i
1i2i
3i3i3i3i
参考答案
一、选择题
1.C 2.D 3.D 4.D 5.B
二、填空题
1.i4 2.2 3.5