实变函数证明题大全(期末复习)东北师大
实变函数期末复习 试卷
nn
n→∞
An
= _________。
2 、 设 P 为 Cantor 集 ， 则 P =
， mP = _____ ，
得分 阅卷人
o
P = ________。
复查人
∑ 3、设 {Si } 是一列可测集，则
m
⎛ ⎜⎝
∞
∪
i=1
S
i
⎞ ⎟⎠
______
∞ i=1
mSi
4、鲁津定理：______________________________________________________
(B) mP = 0
(C) P' = P
�
(D) P = P
此 3、下列说法不正确的是（
）
(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测
(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测
4、设{ fn (x)} 是 E 上的 a.e.有限的可测函数列,则下面不成立的是(
)
线
（第 1页，共 24页）
_________________________________，则称 E 是 L可测的
4、叶果洛夫定理：
_________________________________________________________
5、设 f (x) 在 E 上可测，则 f (x) 在 E 上可积的
条件是| f (x) |在 E 上可
（C） f (x) 在[a, b] 上 L 可积
(D) f (x) 是有界变差函数
得分
二. 填空题(3 分×5=15 分)
1、设集合 N ⊂ M ，则 M − ( M − N) =
实变函数练习题
实变函数练习题一、填空题1. 若()=[,)1,2,...n A n n +∞=，则lim n n A →∞=__________.2. 设集合B A ?，则cc B A .(),,??=填符号 3. 若222{(,)1},E x y x y =∈+4. 离散集的Lebesgue 测度为___________.5. 设C 为[0,1]上的Cantor 集，,,()0,[0,1],x x C f x x C ∈?=?∈-?计算[0,1]()f x dx =?___. 二、单项选择题1.下列说法正确的是 __________.A ．自然数集与无理数集对等；B ．任何无穷集都有一个可数子集；C ．与实数集对等的集合为可数集；D ．无理数集与有理数集对等.2.下列关于[0,1]上狄利克雷函数D(x)的说法错误的是 __________.A ．D(x)是黎曼可积的；B ．D(x)的Lebesgue 积分为0；C ．D(x)是一个可测函数；D ．D(x)=0a.e.[0,1].3.下列说法错误的是 __________.A ．若AB ?，则m A m B **≤；B ．若()1,2,3,...i S i =均为Lebesgue 可测集，则1i i S ∞= 为Lebesgue 可测集；C ．设n E ? ，若E 为Lebesgue 可测集，则E 的余集C E 也是Lebesgue 可测集；D ．设nE ? ，如果0m E *=，则E 为Lebesgue 可数集.4. 若(){}n f x 在E 上依测度收敛于()f x ，则下面说法正确的是（）。
.A 对任意0>δ，存在可测集δδδ<-?)(,E E m E E 满足，使得)(x fn 在δE 上一致收敛到()f x ;.B )(x f n 在E 上逐点收敛到()f x ;.C 存在)(x f n 的子序列)(x f k n 几乎处处收敛到()f x ;.D 以上说法都不对.5. 下述命题中不成立的是__________________.A. Lebesgue 可积函数几乎处处有限；B. 若()f x 是E 上的有界函数，则()f x 在E 上Lebesgue 可积；C. 两个可积的可测函数几乎处处相等，则它们的Lebesgue 积分相等；D. 设()f x 是E 上的Lebesgue 可测函数，则()f x 为E 上的Lebesgue 可积函数当且仅当正部f +和负部f -都是E 上的Lebesgue 可积函数.三、判断题，对的打“√”，错误的打“×”1.可数个可数集的并还是可数集. （）2. 任意一簇闭集之交仍为闭集. （）3.f 是E 上的Lebesgue 可测函数，则f 是E 上的Lebesgue 可测函数.4.零测集上的可测函数Lebesgue 积分为0. （）5.有界变差函数满足牛顿—莱布尼兹公式. （）四、叙述题请写出叶戈罗夫定理，并举例说明条件mE <∞不能改为.mE =∞五、证明题对两个集合A 和B ，证明下列结论是等价的：()()()123.A B A B B A B A ?== ；；六、证明题如果一个复数是一个非零整系数多项式的根，则称之为一个代数数.证明所有代数数构成的集合是可数集七、证明题利用Lebesgue 积分的绝对连续性证明：设()f x 是有界可测集E 上的可积函数，1k k E E ∞== ，其中()1,2,k E k = 为可测集且两两不相交，则()()1.k E k E f x dx f x dx ∞==∑??八、计算题计算()2222[,)lim 00.1n x a n n xe dx a x -∞→∞=>+?，。
实变函数04级期末考试题(A)(解答)
4、非空开集的Lebesgue测度必大于零。敛定理（即Levi定理）
、叙述题（共5小题,每题3分，共5×3=15分）
错）
答：设E是Lebesgue可测集，fn（x） （n 1，2，L ）为E上的非负可测函数，若{fn（ x）}是单调递
增的
EE
2、Rn中开集的结构定理
答：Rn中的任一非空开集总可表示成Rn中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。
(或Rn中的任一开集或为空集或可表示成Rn中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。)
3、Rn中的集合E是Lebesgue可测集的卡氏定义(即C.Caratheodory定义)
答：设E Rn，如果对任意T Rn，总有
kkk
5、有界闭区间[a,b]上绝对连续函数的定义
答：设f (x)是定义在有界闭区间[ a, b]上实函数，如果0，存在0，使得对[a, b]内任意有限
n
个互不相交的开区间(i,i)i 1，2，L，n，只要它们的总长(i i)，总有
i1
n
f(
i1
则称f (x)是有界闭区间[a, b]上绝对连续函数。
得分
评阅人
三、计算题（共1题，共1×10 =10分）
设D0为［0, ］中的零测集，
f(x)
sin x, x
e
D0
，
D[0, ]D0
m
则称E为Rn中的Lebesgue可测集，或称E是Lebesgue可测的。
4、F.Riesz定理(黎斯定理)
答：设E为Lebesgue可测集，fn(x) (n 1，2，L )和f (x)都是E上的几乎处处有限的可测函数，如果fn(x) f(x)x E，则存在｛fn( x)｝的一个子列｛fnk(x)｝，使得lim fnk(x) f(x)a.e.于E。
实变与泛函期末试题答案
实变与泛函期末试题答案06－07第二学期《实变函数与泛函分析》期末考试参考答案1. 设()f x 是),(+∞-∞上的实值连续函数, 则对于任意常数a , })(|{a x f x E >=是一开集, 而})(|{a x f x E ≥=总是一闭集. (15分) 证明 (1) 先证})(|{a x f x E >=为开集. (8分)证明一设E x ∈0,则a x f >)(0,由)(x f 在),(+∞-∞上连续,知0>?δ,使得),(00δδ+-∈x x x 时,a x f >)(, 即E x U ?),(0δ,故0x 为E 的内点. 由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E >=是一开集.证明二 })(|{a x f x E >=可表为至多可数的开区间的并(由证明一前半部分), 由定理可知E 为开集.(2) 再证})(|{a x f x E ≥=是一闭集. (7分)证明一设0x E '∈, 则0x 是E 的一个聚点, 则E ?中互异点列},{n x 使得)(0∞→→n x x n . ………………………..2分由E x n ∈知a x f n ≥)(, 因为f 连续, 所以a x f x f x f n n n n ≥==∞→∞→)(lim )lim ()(0,即 E x ∈0.……………………………………………………………………………………6分由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E ≥=是一闭集. …………………………………7分证明二对})(|{a x f x E ≥=, {|()}E x f x a E ??=?,……………………… 5分知 E E E E =?= ,E 为闭集. …………………………………………………… 7分证明三由(1)知,})(|{a x f x E >=为开集, 同理})(|{a x f x E <=也为开集, 所以})(|{a x f x CE ≥=闭集, 得证.2. 证明Egorov 定理：设,{()}n m E f x <∞是E 上一列..e a 收敛于一个..e a 有限的函数)(x f 的可测函数, 则对0>?δ, 存在子集E E ?δ, 使)}({x f n 在δE 上一致收敛, 且.)\(δδ<="" e="" m="" p="">证明任选一列自然数}{i n ,与此相应作E 的子集1111[{}][,][||,],i i k i i i E n E n E f f k n i i ∞∞====-<≥则)(x f n 必在}][{i n E 上一致收敛于)(x f .事实上,对0ε?>,选0,i 使01,i ε<则当0i n n >时,对一切00101[{}][,][,],o i i k i i x E n E n E f f k n i ∈?=-<≥都有 01()()n f x f x i ε-<<. ……………………… 6分所以, 0>?δ, 若能适当的选取}{i n , 使(\[{}])i m E E n δ<, 则令[{}]i E E n δ=即可.利用引理, 0,(\[,])0()m E E n n εε?>→→∞. 故对任给的0δ>, 对1,i ε=1,2,3,i =, i n ?,使得1(\[,])2i i m E E n i δ<,取}],[{i n E E =δ所以)}({x f n 在δE 上一致收敛.且……………………………………… 12分1111(\)(\[{}])(\[,])(\[,])i i i i i i i m E E m E E n m E E n mE E n δ∞∞=====111(\[,]),2i i i i m E E n i δδ∞∞==≤<=∑∑……………………………. 15分结论得证.3．证明勒贝格控制收敛定理：设(1) {})(x f n 是可测集E 上的可测函数列；(2) a.e.)()(x F x f n ≤于E ,n =1,2,…,)(x F 在E 上可积分； (3) )()(xf x f n ?, 则)(x f 在E 上可积分,且 ?=EEn ndx x f dx x f )()(lim. (15分)证明证明一由于)()(x f x f n ?,根据Rieze 定理,存在子列{})(x f i n a.e.收敛于)(x f .由于()()a.e.n f x F x ≤于E ,从而a.e.)()(x F x f i n ≤于E ,得 a.e.)()(x F x f ≤于E .因为)(x F 可积,可得到)(x f 在E 上是可积的,且每个)(x f n 在E 上是可积的. …………… ..2分下证lim ()()n Enf x dx f x dx =??.我们分两步证明：(1) 先设mE <+∞.对任何0ε>,因为()F x 在E 上可积,由勒贝格积分的绝对连续性,知存在0δ>,使当e E ?且me δ<时有()4eF x dx ε,使当n N ≥时有[]n mE f f σδ-≥<,其中02mEεσ=>.所以当n N ≥时,[]()4n E f f F x dx σε-≥<,………….………………… ..6分因此-EE n dx x f dx x f )()(＝(()())n Ef x f x dx -?()()n Ef x f x dx ≤-?=[][]()()()()n n n n E f f E f f f x f x dx f x f x dx σσ-≥-<-+-?≤[][](()())()()n n n n E f f E f f f x f x dx f x f x dx σσ-≥-<++-?[]2()[]n n E f f F x dx mE f f σσσ-≥≤+-<?24mE εσ<?+?=22εεε+= ………………………….……….………………… ..9分这就证明了当mE <+∞时,成立lim ()()n EEnf x dx f x dx =??.(2)设mE =+∞.因()F x 在E 上可积,由非负可测函数L 积分的定义[](lim ()(),kk E E k F x dx F x dx →∞=?[]()()),kk E E F x dx F x dx ≤?? 知对任何0ε>,存在,k E E ?k mE <+∞,使得[]()()4kk EEF x dx F x dx ε<+?,所以dx x F kE E ?-)(=??-EE dx xF dx x F k)()(≤()[()]kk EE F x dx F x dx -?4ε<..……………… .11分另一方面,在k E 上的可测函数列{}n f f -满足：()()2()..n f x f x F x a e -≤于,1,2,k E n =,()()0n f x f x -?（从)()(x f x f n ?）,故在k E 上利用(1)的结论（从(1)有lim ()()n EEnf x dx f x dx =??,所以由()()0n f x f x -?,得lim ()()0n Enf x f x dx -=?）,知存在正整数N ,使当n N ≥时,()()2kn E f x f x dx ε-<, (13)(注意: 上一步若直接由(1)得到亦正确) 因此()()n EEf x dx f x dx -≤?-En dx x f x f )()(()()()()kkn n E E E f x f x dx f x f x dx -=-+-?2()2kE EF x dx ε-≤+242εεε证毕.证明二由)()(x f x f n ?及黎斯定理 ,存在子列{} )(x f i n a.e.收敛于)(x f . 因为a.e.)()(x F x f n ≤于E ,所以a.e.)()(x F x f i n ≤于E ,因此a.e.)()(x F x f ≤于E .由)(x F 可积,得到每个)(x f n 和)(x f 都是L 可积的. (2) 因为)(x F 在E 上可积,即[]?∞→=EE k k dx xF dx x F k)(lim )(,所以0>?ε,存在0>k ,使得[]?+<e< p="">E k dx xF dx x F k5)()(ε,因此dx x F kE E ?-)(=??-EE dx xF dx x F k)()())()()](([x F x F x F k k ≤=()()5kk E E F x dx F x dx ε≤-<.…………………6分由绝对连续性,0>?δ,使得E e ?,δ<=""><edx x F 5)(ε,对此δ,由)()(x f x f n ?（在E 上,从而在k E 上）,所以存在0>N ,使得当N n ≥时,δε<??+≥-)1(5k n k mE f f mE ,……………………10分当N n ≥时,记n H =+≥-)1(5k n k mE f f E ε,所以从δ<n<="" mh="" p="">H dx x F 5)(ε. 因为)()()(n k k n n n H E E E H H E H E --=-= ,所以当N n ≥时-EEn dx x f dx x f )()(=[]?-En dx x f x f )()(≤-En dx x f x f )()(＝?--nk H E n dx x f x f )()(＋--kE E n dx x f x f )()(＋?-nH n dx x f x f )()(([]5(1)k n k n k E H E f f mE ε-=-<+)≤k k mE mE )1(5+ε＋2?-k E E dx x F )(＋2?n H dx x F )(＜εεε52525++ ＝ε.…………………………………………………………………………...................15分这证明了?=EEn ndx x f dx x f )()(lim.4．证明康托尔(Cantor)集合的测度为零. (10分) 证明证明一 Cantor 集[]??-= )98,97()92,91()32,31(1,0P ,………....................4分所以[]?+++-=?+++-= 3223232311 27492311,0m mP …………………................8分.0 3211311 3232321311 3322=-?-=++++-= …………………..............10分证明二去掉过程进行到第n 步时，剩下2n个长度为3n -的闭区间,n I 这些区间的总长为22()033n nn =→ (当n →∞时),……………….....4分故,0)32(*→≤n P m ………………………….............8分因此*0,m P = 即0.mP =……………………………………………….……….............10分 5.证明1(0,)lim 11nnndtt t n ∞=??+. (15分)证明当)1,0(∈t 时,2,11111≥≤+n tt n t nn ；……………………………..........2分当),1[+∞∈t 时,1121111112nnn n t t t t t nn =-??+++??+222124,2112n t t n n n t n--≤=<>--.………………............4分+∞∈∈=),,1[,4),1,0(,1t t t tt F 令则当2>n 时,有,)(111t F tn t nn ≤??? ?+………………………………..............6分且+∞∞=+=),0(12164)(dt tt dtdt t F , 即)(t F 在()∞,0上Lebesgue 可积. ……………………….…………………………..........8分又因为tn n ne t n t -∞→??→+111,所以由Lebesgue 控制收敛定理得………...........12分原式=+∞+∞-+∞→==,0(),0(111limdt e t n t dt t n n n .………………............15分6. 证明Banach 不动点定理：设X 是完备的度量空间, T 是X 上的压缩映射, 那么T 有且只有一个不动点. (15分) 证明设0x 为X 中的任一点,令,,,,01021201x T Tx x x T Tx x Tx x n n n =====-. (3)分下面证明点列{}∞=1n n x 是X 中的柯西点列.因为11(,)(,)m m m m d x x d Tx Tx +-=112(,)(,)m m m m d x x d Tx Tx αα---≤= 21210(,)(,),m m m d x x d x x αα--≤≤≤所以当m n >时,1121(,)(,)(,)(,)m n m m m m n n d x x d x x d x x d x x +++-≤+++1101()(,)m m n d x x ααα+-≤+++011(,),1n mmd x x ααα--=-又因为,10<<α所以,11<--mn α从而 )(),(1),(10m n x x d x x d m n m >-≤，αα.,0),(,,→∞→∞→n m x x d n m 时所以当即{}∞=1n n x 是X 中的柯西点列, …………...8分由X 的完备性知,存在x X ∈,使x x m →.因为…………..................................................10分(,)(,)(,)m m d x Tx d x x d x Tx ≤+1(,)(,)0,m m m d x x d x x α→∞-≤+→ 故(,)0d x Tx =,即x Tx =,所以x 为T 的不动点. ………..................................................12分下证其唯一性.如果又有X x ∈~,使x x T ~~=,则)~,()~,()~,(x x d x T Tx d x x d α≤=,因1<α,故0)~,(=x x d ,即x x ~=,得证. ………....................................................................15分7. 设0mE >, 又设E 上可积函数(),()f x g x 满足()()f x g x <, 试证:()d ()d EEf x xg x x <?. (5分)证明因为()()0g x f x ->, 所以[()()]d 0Eg x f x x -≥?…………………………………3分若[()()]d 0Eg x f x x -=?,则()()0g x f x -=, a.e. …………………………………………….…………………………5分与题设矛盾, 故得()d ()d EEf x xg x x <?.8. 设()f x 在[,]a b 上可导, 证明: ()f x 的导函数()f x '在[,]a b 上可测. (10分) 证明补充定义()()f x f b =(x b >时), 则()f x 在[,)a b 上可导, 对任意N n ∈, 令1()()(),[,)1n f x f x n g x x a b n+-=?∈..………………3分由f 连续, 知每个n g 连续，故可测. …………………………….…………………………5分由f 的可导性知()lim (),[,)n n f x g x x a b →∞'=?∈…….………………7分因此()f x '作为一列可测函数的极限在[,)a b 上必可测, 故在[,]a b 上亦可测….………10分</e<>。
(完整版)实变函数期末考试卷A及参考答卷
2011—2012学年第1学期数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班)《实变函数》期末考试卷（A）考生考试诚信承诺书在我填写考生信息后，表示我已阅读和理解《龙岩学院考试纪律与违纪处分办法》的有关规定，承诺在考试中自觉遵规守纪，如有违反将接受处理；我保证在本科目考试中，本人所提供的个人信息是真实、准确的。
考生签名：实变函数期末考试卷(A )2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日一 填空题（每小题3分，满分24分） 1 我们将定义在可测集qE ⊂上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数：()()()(),0,0,0.f x x E f fx x E f +∈>⎧=⎨∈≤⎩当时当时 和()()()()0,0,,0.x E f fx f x x E f -∈>⎧=⎨-∈≤⎩当时当时分别称为f 的正部和负部。
请你写出()()(),,f x fx f x +-和()f x 之间的关系：()f x =，()f x =。
2 上题()M E 中有些元素ϕ被称为非负简单函数，指的是：12k E E E E =是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ϕ≡（非负常数）（1,2,,i k =）.ϕ在E 上的L 积分定义为：()Ex dx ϕ=⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说ϕ是L 可积的。
3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为：()Ef x dx =⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说f 是L 可积的。
4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f -， 即()Efx dx +⎰和()E f x dx -⎰的值；但只有当时才能说f 是L 可积的，这时将它的积分定义为：()Ef x dx =⎰。
5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ，则法图引理的结论是不等式：；如果再添上条件和就试卷 共 8 页 第 2 页得到列维定理的结论：。
(完整)实变与泛函期末试题答案
06－07第二学期《实变函数与泛函分析》期末考试参考答案1. 设()f x 是),(+∞-∞上的实值连续函数， 则对于任意常数a ， })(|{a x f x E >=是一开集, 而})(|{a x f x E ≥=总是一闭集. (15分)证明 (1) 先证})(|{a x f x E >=为开集. (8分)证明一 设E x ∈0，则a x f >)(0，由)(x f 在),(+∞-∞上连续，知0>∃δ，使得),(00δδ+-∈x x x 时,a x f >)(， 即E x U ⊂),(0δ,故0x 为E 的内点。
由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E >=是一开集.证明二 })(|{a x f x E >=可表为至多可数的开区间的并（由证明一前半部分)， 由定理可知E 为开集.(2) 再证})(|{a x f x E ≥=是一闭集。
（7分)证明一 设0x E '∈, 则0x 是E 的一个聚点， 则E ∃中互异点列},{n x 使得)(0∞→→n x x n . ………………………..2分由E x n ∈知a x f n ≥)(， 因为f 连续, 所以a x f x f x f n n n n ≥==∞→∞→)(lim )lim ()(0，即E x ∈0.……………………………………………………………………………………6分由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E ≥=是一闭集. …………………………………7分 证明二 对})(|{a x f x E ≥=, {|()}E x f x a E ∂⊂=⊂，……………………… 5分 知E E E E =∂= ,E 为闭集。
…………………………………………………… 7分 证明三 由(1）知，})(|{a x f x E >=为开集， 同理})(|{a x f x E <=也为开集, 所以})(|{a x f x CE ≥=闭集， 得证。
实变函数习题解答(2)
第二章 习题解答1、证明0P ∈E '的充要条件是对任意含有0P 的邻域U(P ，δ)（不一定以0P 为中心）中，恒有异于0P 的点1P 属于E （事实上，这样的1P 还有无穷多个）。
而0P ∈0E 的充要条件则是有含0P 的邻域U(P ，δ)（同样，不一定以0P 为中心）存在，使U(P ，δ)⊂E 。
证明：（1）充分性，用反证法，若0P ∈E '，则0P 的某一邻域U(0P ，0δ)中至多有有限个异于0P 的点1X ，2X ，…，n X 属于E ，令ni ≤≤1min d(0P ，i x )=δ'，在U(0P ，δ')中不含异于0P 的点属于E ，这与条件矛盾。
必要性，设U(P ，δ)是任意一个含有0P 的邻域，则d(0P ，E )<δ，令1δ=δ- d(0P ，P )>0，则U(0P ，1δ)⊂U(P ，δ)。
因为0P ∈E '，所以，在U(0P ，1δ)中含于无穷多个属于E 的点，其中必有异于0P 的点1P ，即U(P ，δ)中有异于0P 的点1P 。
（2）必要性是显然的，下面证明充分性，设含有0P 的邻域U(P ，δ)⊂E ，则d(0P ，P )<δ，令1δ=δ- d(0P ，P )，01)⊂U(P ，δ)，从而U(0P ，1δ)⊂E ，故0P ∈0E 。
2、设nR =R '是全体实数，1E 是[0，1]上的全部有理点，求1E '，01E ，1E 。
解：1E '=[0，1]，01E =φ，1E =[0，1] 。
3、设nR =2R 是普通的x o y 平面，2E ={(x ，y )|2x +2y <1}，求2E '，02E ，2E 。
解：2E '={(x ，y )|2x +2y ≤1}， 02E ={(x ，y )|2x +2y <1}， 2E ={(x ，y )|2x +2y ≤1}。
《实变函数》考试试卷(B卷)及参考答案
2014年《实变函数》考试试卷（B 卷）班别：学号： 姓名： 成绩：一、填空题（每空3分，共21分）1.设{n A }是一个集列，且...321⊂⊂⊂A A A ，则=∞→n n A lim ∞=1m n A 。
2.设A=（0，1），B 为全体实数R ，则A 与B 的大小关系是B A = 。
3. n R E ⊂，则E 为可测集的卡氏条件是：n R T ⊂∀，有=T m *)()(** C E T m E T m +。
4.设{i S }是一列互不相交的可测集，则 ∞=1i i S 也是可测集，且有 ∞==1)(i i S m ∑i S m *。
5.直线上的闭集F 或是全直线，或者是从直线上挖掉有限个或可数个互不交的开集所得到的集。
6.设E 是[0，1]中所有无理数点组成的集合，则=mE 0 。
7.设]2,1[nA n =（n=1,2,…），则=∞→n n A lim ]2,0(。
二、计算题（每题15分，共45分）1．设2121(0,),(0,)n n A A n n-== （n=1,2,3,…），求出集列{n A }的上限集和下限集。
解：当∞→n 时，φ→-12n A ，),0(2∞→n A 。
),,0(∞∈∀x 必存在N ，使得,N x <因此，当N n >时，n N x <<<0，即n A x 2∈，n n A x ∞→∈lim ，所以),0(lim ∞=∞→A n φ=∞→n n A lim ，若有n n A x ∞→∈lim ，则存在N ，使任意N n >时，有n A x ∈,因此若N n >-12时，12-∈n A x ，即nx 10<<，令∞→n 得00<<x ，矛盾。
2．建立一个从[a ，b]到[c ，d]（a<b ，c<d ）的一一映射。
解：c a x ab c d y +---=)(3．设2}0,10|),{(R y x y x A ⊂=<<=，求A A A A ∂',,,0。
实变函数习题与解答
实变函数复习范围1．设1[,2(1)],1,2,n n A n n=+-=，则（ B ）(A) lim [0,1]n n A →∞= （B ）=∞→n n A lim (0,1] (C) lim (0,3]n n A →∞= （D ）lim (0,3)n n A →∞=2、设}1111:{ix i x A i -≤≤+-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( A )A 、(-1, 1)B 、(-1, 0)C 、[0, 1]D 、[-1, 1]3、设}110:{ix x A i +≤≤=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( B )A 、(0, 1)B 、[0, 1]C 、（0, 1]D 、(0, +∞)4、设}1211:{ix i x A i +<<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( C )A 、[1, 2]B 、(1, 2)C 、 (0, 3)D 、(1, 2]5、设}23:{+≤≤=i x i x A i , N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( C )A 、(-1, 1)B 、[0, 1]C 、φD 、{0}6、设}11:{ix i x A i <<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( D )A 、(-1, 1)B 、[0, 1]C 、ΦD 、{0} 7、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈,则=∞→n n A lim ( C )A 、[0, 2]B 、[0, 2)C 、[0, 1]D 、[0, 1) 8、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、[0, 2]B 、[0, 2)C 、[0, 1]D 、[0, 1] 9、设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( C )A 、ΦB 、[0, n]C 、RD 、(0, ∞) 10、设)1,0(nA n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim (D )A 、(0, 1)B 、(0,n1) C 、{0} D 、Φ11、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( A )A 、ΦB 、(0,n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 12、集合E 的全体内点所成的集合称为E 的 ( A ) A 、开核 B 、边界 C 、导集 D 、闭包 13、集合E 的全体聚点所成的集合称为E 的 ( C ) A 、开核 B 、边界 C 、导集 D 、闭包14、集合E 的全体边界点和内点所成的集合是E 的 ( D ) A 、开核 B 、边界 C 、导集 D 、闭包 15、E-E ＇所成的集合是 ( D )A 、开核B 、边界C 、外点D 、{E 的全体孤立点} 16、E 的全体边界点所成的集合称为E 的 ( B ) A 、开核 B 、边界 C 、导集 D 、闭包 17、设点P 是集合E 的边界点, 则 (D )A 、P 是E 的聚点B 、P 是E 的孤立点C 、P 是E 的内点D 、P 是CE 的边界点18、设E 是[]0,1上有理点全体，则下列各式不成立的是（ D ） （A ）'[0,1]E = (B) oE =∅ (C) E =[0，1] (D) 1mE =19、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋃1是：（A ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 20、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋂1是：（ D ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 21、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋃1是：（ D ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 22、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋂1是：（ B ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 23、下列集合不是可数集的是（ C ）A. 1R 中的有理数集QB. 自然数集NC. []0,1中的无理数集D. 1R 中互不相交的开区间族24、P 表示康托尔（cantor ）集，则mP ＝（ A ）A 、0B 、1C 、2D 、325、 集合列1{[0,],1,2,3,}n n=的上限集为 （ C ）A [0, 1]B φC {0}D [0, 1) 26、下列集合不是可数集的是（ C ） A. 1R 中的整数集Z B. 自然数集N C. []0,1中的Cantor 集 D. 1R 中互不相交的开区间族27、G 表示康托尔（cantor ）集在[0,1]中的余集，则mG=（ B ）A 、0B 、1C 、2D 、328、设E 是[0，1]中的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=Ex E x x f ]1,0[,1,1)( 则下列函数在[0，1]上可测的是（ C ）.A 、)(x fB 、)(x f +C 、|)(|x fD 、)(x f -29、若)(x f 可测，则它必是（ D ）.A 、连续函数B 、单调函数C 、简单函数D 、简单函数列的极限 30、若QE -=]1,0[，则=mE （ B ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 31、下列说法不正确的是（ A ）A 、E 的测度有限，则E 必有界B 、E 的测度无限，则E 必无界C 、有界点集的测度有限D 、nR 的测度无限 32、设⎩⎨⎧-∈-∈=Ex x E x x x f ]1,0[,,)(其中E 是[0,1]的不可测集，则下列函数在[0, 1]可测的是（ A ）.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -33、设E 是[0, 1]上的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=Ex xE x x x f ]1,0[)(22则下列函数在[0, 1]可测的是（ C ）.A 、)(x fB 、)(x f +C 、|)(|x fD 、)(x f -34、设E 为可测集，则下列结论中正确的是（ D ）A 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 一致收敛于)(x fB 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fC 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n ⇒)(x fD 、若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ，则)(x f n a , e 收敛于)(x f35、设⎩⎨⎧-∈∈-=E x x Ex x x f ]1,0[,,)(33，其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（ D ）在[0, 1]可测.A 、)(x f 、B 、)(x f +C 、)(x f -D 、|)(|x f 36、关于连续函数与可测函数，下列论述中正确的是（ C ）A 、它们是同一概念B 、a , e 有限的可测函数是连续函数C 、a , e 有限的可测函数是基本上连续的函数D 、a , e 有限的可测函数是a , e 连续的函数37、设⎩⎨⎧-∈∈-=E x x Ex x x f ]1,0[,,)(22其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（ A ）在[0, 1]上是可测的.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -38、关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是（ C ）A 、简单函数一定是可测函数B 、简单函数列的极限是可测函数C 、简单函数与可测函数是同一概念D 、简单函数列的极限与可测函数是同一概念39、设E 是]2,0[π中的不可测集，⎪⎩⎪⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]2,0[,sin ,sin )(π则下列函数在]2,0[π上可测的是（ B ）.A 、)(x fB 、|)(|x fC 、)(x f +D 、)(x f -40、关于依测度收敛，下列说法中不正确的是（ C ） A 、依测度收敛不一定一致收敛B 、依测度收敛不一定收敛C 、若)}({x f n 在E 上a.e.收敛于a.e.有限的可测函数)(x f ，则)()(x f x f n ⇒D 、若)()(x f x f n ⇒，则存在子列)}({x f i n a. e.收敛于)(x f41、设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数，则)(x f （ C ）A 、必可积B 、必几乎处处有限C 、必积分确定D 、不一定积分确定 42、设)(x f 在可测集E 上可积，则在E 上（ B ）A 、)(x f +与)(x f -只有一个可积 B 、)(x f +与)(x f -皆可积 C 、)(x f +与)(x f -不一定可积 D 、)(x f +与)(x f -至少有一个不可积 43、设0=mE （Φ≠E ），)(x f 是E 上的实函数，则下面叙述正确的是（ C ） A 、)(x f 在E 上不一定可测 B 、)(x f 在E 上可测但不一定可积 C 、)(x f 在E 上可积且积分值为0 D 、)(x f 在E 上不可积 44、)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是，)(x f 为（D ）A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数 45、设)(x D 为狄立克雷函数，则⎰=1)()(dx x D L （ A ）A 、 0B 、 1C 、1/2D 、不存在46、设)(x f 为Cantor 集的特征函数，则⎰=10)()(dx x f L （ A ）A 、 0B 、 1/3C 、2/3D 、 147、 设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ D ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('48、设}{n E 是一列可测集， ⊃⊃⊃⊃n E E E 21，且+∞<1mE ，则有（ A ）（A ）n n n n mE E m ∞→∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂lim 1 (B) n n n n mE E m ∞→∞=≤⎪⎭⎫⎝⎛⋃lim 1（C ）n n n n mE E m ∞→∞=<⎪⎭⎫⎝⎛⋂lim 1;（D ）以上都不对49、设f(x)是],[b a 上绝对连续函数，则下面不成立的是（ B ）(A) )(x f 在],[b a 上的一致连续函数 (B) )(x f 在],[b a 上处处可导 （C ）)(x f 在],[b a 上L 可积 (D) )(x f 是有界变差函数二 填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A =n, 则B = 2n2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集, 则B = c3、若c A =, c B =, 则=⋃B A c4、若c A =, B 是一可数集, 则=⋃B A c5、若c A =, n B =, 则=⋃B A c6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =⋃∞=n n A 1 c7、设}{i S 是一列递增的可测集合，则=∞→)lim (n n S m __n n mS ∞→lim ______。
师范大学实变函数期中期末考试(A)
师范大学期中/期末试卷（A ）(简明答案)课程名称：实变函数学生姓名：___________________ 学 号：___________________ 专 业：___________________ 年级/班级：__________________ 课程性质：专业必修…………………………………………………………………………………………一.判别题(每题2分,共20分)1. 设()f x 在(,)-∞+∞上单调增,则()f x 的不连续点是可数的.2. 不可数个闭集的交集仍是闭集.3. 设{}n E 是一列可测集,且1,1,2,,n n E E n +⊂=L 则1()lim ().n n n n m E m E ∞→∞==I4. 任意多个可测集的交集是可测集.5. 若()f x 在E 上可测,则存在F σ型集,()0F E m E F ⊂-=,()f x 在F 上连续.6. 若,mE <∞{}()n f x 在E 上几乎处处有限,几乎处处收敛于几乎处处有限的(),f x 则0,δ∀>存在闭集,()F E m E F δδδ⊂-<,{}()n f x 在F δ上一致收敛于()f x .7.cos xx是[1,)+∞上勒贝格可积函数. 8. 若()f x 是[,]a b 上单调增连续函数,且()0f x '=几乎处处成立,则()f x 为常值函数. 9. 若()f x 是[0,1]上单调严格增绝对连续函数,()g x 在([0,1])f 满足李普西茨条件,则(())g f x 是[0,1]上绝对连续函数.10. 设(,)f x y 在{}(,):,()()D x y a x b g x y h x =≤≤≤≤上可积,其中(),()g x h x 是[,]a b 上连续函数,则()()()(,).bh x ag x Df P dP dx f x y dy =⎰⎰⎰二.(12分)若在可测集E 上,()()(),()()()n n f x f x n g x g x n ⇒→∞⇒→∞. 求证:在E 上,()()()()().n n f x g x f x g x n +⇒+→∞三. (12分)设()f x 在E 上可积,[],1,2,n E E f n n =≥=L . 求证:(1)lim ()0;n n m E →∞= (2)lim ()0.n n nm E →∞=四. (12分)若{}()n f x 是一列[,]a b 上有界变差函数,[,],lim ()(),n n x a b f x f x →∞∀∈=且0,M ∃>().1,2,.bn af M n ∨≤=L 求证:f 是[,]a b 上有界变差函数.五. (12分)设E 是可测集,{}n E 是E 内的一列可测子集.1,()(),1,2,0,\n nn E nx E f x x n x E E χ∈⎧===⎨∈⎩L求证：(1){}()n f x 在E 上一致收敛于1的充分且必要条件是:,,.n N n N E E ∃∀>= (2)()1n f x ⇒的充分且必要条件是:lim ()0.n n m E E →∞-=六. (12分)设()f x 在E 上可积,(),()(),1,2,0,()n f x f x nf x n f x n ⎧≤⎪==⎨>⎪⎩L求证:(1)()n f x 在E 上可积,1,2,n =L ;(2)lim ()()n EEn f x dx f x dx →∞=⎰⎰.七. (10分)设{}()n g x 是一列可测集E 上可积函数,lim ()()n n g x g x →∞=在E 上几乎处处成立,且lim ()()n EEn g x dx g x dx →∞=⎰⎰.{}()n f x 是一列E 上可测函数,lim ()()n n f x f x →∞=在E 上几乎处处成立,且,()(),1,2,n n x E f x g x n ∀∈≤=L . 求证: lim ()()n EEn f x dx f x dx →∞=⎰⎰.八.(10分)设E 是可测集,{}n E 是E 内的一列可测子集.1,()(),1,0,\n nn E n x E f x x n x E E χ∈⎧===⎨∈⎩L仿第五题(1) 给出lim ()1n n f x →∞=在E 上几乎处处成立的充分且必要条件，并证明;(2) 给出{}()n f x 在E 上“基本上”一致收敛于1的充分且必要条件，并证明.。