1.2怎样判定三角形相似_图文.ppt
相似三角形的判定课件
A'
△ ABC 和 △ A′B′C′ 中 ， ∠ B ＝ ∠ B′
＝90°，∠A＝∠A′。
求证： △ABC∽△A′B′C′
B'
B
∵ 证明： ∠B＝∠B′＝90°（已知） ∠A＝∠A′（已知）
∴ △ABC∽△A′B′C′（两组对应角分别 相等的两个三角形相似）
C'
C
四、应用新知
下列图形中两个三角形是否相似？
一、回顾旧知
1、回顾：判定三角形全等的方法： 两边一角：SAS. 两角一边： ASA. AAS. 三边：SSS.
2、思考：相似三角形的判定，是否可以借鉴判 定三角形全等的方法？
类比的方法应在经验科学中占很 高的地位，而且科学家也曾按照这 种推论方法获得很重要的结果。
——德.黑格尔
二、探究新知：
1.任意画两个三角形△ABC， △A’B’C’，使其 三对角分别对应相等。
2.用刻度尺量一量两三角形的各边长，看看它 们的对应边是否会成比例?
与同桌交流，看是否有相同结果。
3.你能得出什么结论 ？
如果一个三角形的三个角与另一个三角形 的三个角对应相等，那么这两个三角形相似。
根据三角形内角和定理，我们知道如果两个三角形有 两对角对应相等，那么第三对角也一定对应相等． 于是，我们可以得到识别两个三角形相似的一个较为 简便的方法：
相似三角形的判定定理1：
两角对应相等的两个三角形相似。
用数学符号表示：
A
A'
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
B
C B' C'
尝试探究：
1、试用数学推理的方法来证明这个结论。
相似三角形的判定PPT课件
3.4.1 类似三角形判定的基本定理
复习导入
定义
全等三
角形
三角、三边对应相等
的两个三角形全等
类似三 三角对应相等, 三边对应
角形
成比例的两个三角形类似
判定方法
边
角
边
角
边
角
角
角
边
边
边
边
斜边与直角边
(直角三角形）
探究新知
如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
∴
=
=
∠EAO=∠BAC，
∠AEO=∠B，
∠AOE=∠ACB，
当堂练习
2. 如图，已知点O在四边形ABCD的对角线AC上，OE∥CB，OF∥CD.试判
断四边形AEOF与四边形ABCD是否类似，并说明理由.
∵OF∥CD，∴△AFO∽△ADC，
∴
=
=
∠FAO=∠DAC，
DE至点F，使DE=EF. 求证：△CFE∽△ABC.
证明 ∵DE∥BC，点D为△ABC的边AB的中点，
∴AE=CE.
又∵DE=FE，∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△CEF.
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴△CFE∽△ABC.
知识要点
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原
三角形类似．
求证：只要DE//BC，△ADE与△ABC始终类似.
证明：在△ADE与△ABC中，∠A=∠A.
∵DE∥BC，
分析：根据类似三角形的定
义去证明，三角对应相等，
三边对应成比例。
相似三角形的判定-完整版PPT课件
课程讲授
1 三边成比例的两个三角形相似
A′ A
B
C
B′
C′
AB A'B'
=
BC B'C'
= CA C'A'
△ABC∽△A'B'C'
课程讲授
1 三边成比例的两个三角形相似
问题2：运用所学知识，证明你的结论.
已知：如图，△ABC和△A'B'C'中，AB = BC = CA A'B' B'C' C'A'
BD BC DC 3 A
∴ △ABD∽△BDC， ∴∠ABD=∠BDC，
∴AB∥DC.
14 B
D
31.5 21
42
C
课堂小结
判定定理1
三边成比例的两个三角形相似．
相似三角形 的判定
判定定理2
两边成比例且夹角相等的两个三 角形相似．
练一练：如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，
要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ C ）
A. AC AB
AD AE
B. AC BC
AD DE
C. AC AB
AD DE
D. AC BC
AD AE
随堂练习
1.已知△ABC的三边长分别为6 cm,7.5 cm,9 cm，△DEF的一 边长为4 cm，当另两边的长是下列哪一组时，这两个三角形
=
AB AD
=
BC DE
，
∴△ABC∽△ADE.
随堂练习
5.如图，已知AD·AC=AB·AE. （1）求证：△ADE∽△ABC;
证明：∵AD·AC=AB·AE，
1.2怎样判定三角形相似(第2课时)
‹# ›
时，
A D
●
E
C
A D
A
D
E
C B C B (3).已知如图， ∠ABD=∠C AD=2 AC=8，求AB 解： ∵ ∠ A= ∠ A ∠ABD=∠C ∴ △ABD ∽ △ACB
∴ AB : AC=AD : AB
∴ AB2 = AD · AC
∵ AD=2 AC=8
A G D O B E C
△AＤＥ
△ＧＦＣ △ＧＯＥ
F
‹# ›
例1.如图：已知点B,D分别是∠A 的
两边AC,AE上的点，连接BE,CD,相交 于点O，如果∠1 = ∠2，
1、图中有哪几对相似三角形？ 说明理由 2、试说明AB· AC=AD· AE D 1
A
O
2
B C
E
‹# ›
例2、求证： 直角三角形被斜边上的高分成 的两个直角三角形和原三角形 相似。
D
(1)图中的△ABC与△ ADE相似 吗？为什么？
(2)你能算出水塔的高度DE吗？
A B
C
E
‹# ›
（1）图中的△ABC与△ ADE相似吗？ 为什么？
解 : (1) ABC ∽ADE .
在ABC和ADE中，
D
BC AE, DE AE, 0 BCA DEA 90 .
又 BAC DAE
‹# ›
5.如果△ ABC∽ △ADE,那么你能找出哪些角的关 系？ 边呢？
∠A = ∠A,∠B = ∠ADE,∠C = ∠AED.
AB AD
=
AC AE
=
BC DE
D B
A E C
DE ∥ BC
相似三角形的判定定理.ppt
探索：如果一个三角形的两条边与另一 个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相 等，那么这两个三角形一定相似吗？
做一做：利用刻度尺和量角器画两个三
角形 △ABC 与△ABC ，使 A A,
AB AB
和 AC
AC
都等于给定的值 k
.设法比较
B 与 B的大小（或 C 与 C 的大小），
你能得出什么结论？
AB 16，AC 30.
（1）相似； （2）相似； （3）相似.
2.下面每组的两个三角形是否相似？为什么？
A 4cm
B
7cm
A
1
3
E
1
B
5cm
D 2cm 2.5cm
C
1
E
F
3.5cm
（1）相似；
F
2
3 C
（2）相似.
3.如图所示，如果有一点 E 在边AC 上， 那么点 E应该在什么位置才能使 △ADE 与 △ABC 相似呢？
与你的同伴交流，你画的三角形相似吗？
改变 k 值的大小，再试一试. △ABC 与 △ABC 还相似吗？
请大家按照上面的步骤进行，同时还要 采取不同的组取不同的 k 值法.
相似三角形的判定方法：如果一个三角形 的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例， 并且夹角相等，那么这两个三角形相似.
想一想：两边对应成比例，其中一边的 对角对应相等，这两个三角形相似吗？
FE 36 CE 30
FE CE
AEB FEC,△AEB∽△FEC（如果一个
三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比
例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似）.
例2. △ABC 和△ABC 中，AB 6cm,
1.2.2怎样判定三角形相似(1)
∴∠ADC=90°
∵∠A=∠A
A D ∴∆ABC∽∆ACD（相似三角形的判定定理1）
（2）△ABC∽△CDB，△ACD ∽△CBD
B
结论：直角三角形被斜边上的高分成的两 个直角三角形和原三角形相似.
巩固练习二
已知等腰三角形△ABC 和△A´B´C´中， ∠A、∠A´分别是顶角，求证： （1）如果∠A=∠A´，那么ΔABC∽△A´B´C´ （2）如果∠B=∠B´，那么ΔABC∽△A´B´C´
(2)所有的直角三角形都相似. (3)所有的等腰三角形都相似.
(×) ( ×)
(4)所有的等腰直角三角形都相似.( √ )
(5)所有含1000角的等腰三角形都相似.（ √ ）
(6)所有含700角的等腰三角形都相似. （× ）
2、在△ ABC和△A′B′C′中,已知
∠A=∠A′=70°, ∠B=50°,当∠C′=_6__0_0_
实验与探究
如图，在△ABC和△A´B ´C ´中，∠A=∠A´ ， ∠B=∠B´ .试猜想：△ABC与△A´B´C´ 是否相 似？证明你猜的结论.
两角分别相等的两个三角形相似。
已知：如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠ A = ∠ A'，∠ B= ∠ B'
求证：△ABC ∽ △A'B'C' . A′
符号语言：
在△ABC 和△A´B´C´中， ∵∠A=∠A´，∠B=∠B´， ∴△ABC ∽△A´B´C´（相似三角形的判定定理1）
例1
如图，已知点B、D分别是∠A的两边AC、AB上的点， 连接BE,CD,相交于点O,如果∠1=∠2,那么图中有那几对 相似三角形?说明理由。
解：△DOE∽△BOC，△ABE∽△ADC,理由如下： 在△DOE和△BOC中， ∵∠1=∠2，∠DOE=∠BOC ∴△DOE∽△BOC（相似三角形的判定定理1）
1.2怎样判定三角形相似(第4课时)
练一练
2、如图已知
AB BC AC ，试说明∠BAD=∠CAE. AD DE AE
A E D
AB BC AC 解 AD DE AE
∴Δ ABC∽Δ ADE B ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC 即∠BAD=∠CAE
C
3、如图在四边形ABCD中，AB=2，BC=3，CD=6，
当堂小测
1、在△ABC和△A′B′C′中，已知：
(1)AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm，
A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm． （2）AB＝5 cm， BC＝6 cm，AC＝7 cm， A′B′＝10cm，B′C′＝12 cm，A′C′＝21cm
试判定△ABC与A′B′C′是否相似，并说明理由．
解：公路AB与CD平行。
∵ D
28 31.5
AB 14 2 BD 21 3
AD 28 2 BC 42 3
A
14
21
B
C
∴
BD 21 2 DC 31.5 3 AB AD BD BD BC DC
B
14 21 28
∴ △ABD∽△BDC,
A D
∴ ∠ABD=∠BDC ∴ AB∥DC
解：在ΔABC和ΔADE 中，
∵
AB BC AC = = AD DE AE
∴
∴
ΔABC∽ΔADE
∠BAC=∠DAE, ∠B= ∠D,
∠C= ∠E
如图，某地四个乡镇A,B,C,D之间建有 公路，已知AB=14千米，AD=28千米， BD=21千米， BC=42千米,DC=31.5千米， 公路AB与CD平行吗？ 说出你的理由。
相似三角形的判定ppt
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两角对应相等，则两三角形相似。
总结相似三角形的判定方法及应用
• 两边对应成比例且夹角相等，则两三角形相似。
总结相似三角形的判定方法及应用
应用
在几何图形中，利用相似三角形可以求解线段长度、角度大小等问题。
在物理、工程等领域，相似三角形的应用也十分广泛，如利用相似三角 形测量高度、距离等。
展望相似三角形在数学领域的发展前景
需要注意的是，必须 是两个对应的角分别 相等，而不是任意两 个角相等。
此判定方法基于角的 相等性，无需考虑三 角形的边长。
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
如果两个三角形的两边成比例，并且 夹角相等，则这两个三角形相似。
需要注意的是，必须是两边成比例且 夹角相等，而不是任意两边和任意夹 角。
此判定方法同时考虑了边长和角度的 因素。
定义上的联系
相似三角形和全等三角形都是基于三角形的形状和大小进行比较的概念。全等 三角形是形状和大小都完全相同的三角形，而相似三角形则是形状相同但大小 不一定相同的三角形。
性质上的联系
相似三角形和全等三角形都具有一些共同的性质。例如，它们都遵循三角形的 内角和为180°的规则，以及对应角相等、对应边成比例等性质。
三边成比例的两个三角形相似
如果两个三角形的三边成比例，则这两 个三角形相似。
此判定方法仅考虑三角形的边长，无需 考虑角度。
需要注意的是，必须是三边成比例，而 不是任意两边或一边。同时，由于浮点 数计算的精度问题，在实际应用中需要 设定一定的误差范围来判断三边是否成
比例。
03 相似三角形的应用
测量高度和距离
求解角度问题
相似三角形的判定PPT课件
B
C
B'
C'
如图:△ABC的边AB,BC,CA 的长度分别为4.2, 3.6, 3;△A'B'C' 的边A'B',B'C',C'A'的长度分别为 2.1, 1.8 ,1.5.
C
C'
A
B
A'
B'
相似三角形的判定定理1: 如果一个三角形的三条边与 另一个三角形的三条边 对应成比例,那么这两个三角 形相似.
简单说成: 三边对应成比例的两个三角形相似.
练习:
已知:在△ABC与△DEF中,AB=2.2cm, BC=1.6cm,CA=3cm;DE=3.3cm, EF=2.4cm,FD=4.5cm. 求证: △ABC～△DEF
作业：
有一个三角形草地，三边的长度分别为 18 m, 30 m, 42 m, 现在画它的平面图， 使最长边的长度为7cm,求其余两边的长 度，并在下图中画出其余两边．
7cm
相似三角形的判定和性质
下图中的三角形A'B'C'是 由左边的三角形ABC的放大得 到的,量一量它们的三个角和三 条边,它们的三个角对应相等吗?
C' C
A
BA'来自B'我们把三个角对应相 等且三条边对应成比例 的两个三角形叫做 相似 三角形
.
如果△A'B'C'与△ABC相似,且A',B',C'分 别与A,B,C对应,那么 记作 △A'B'C'～△ABC 读作:
△A’B'C' 相似于 △ABC
相似三角形对应边的比k叫作相似比
相似三角形判定定理的证明课件(共18张PPT)
课时导入知识讲解随堂小测1.会证明相似三角形判定定理；（重点）2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点）相似三角形的判定方法有哪些？（1）两角分别相等的两个三角形相似（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.（3）三边成比例的两个三角形相似.你能对它们进行证明吗？两角分别相等的两个三角形相似．数学表达：在△ABC与△A′B′C′中，∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′.知识点1 证明相似三角形的判定定理1已知：如图，△ABC 和△ A′B′C′中，∠A =∠A′，∠B =∠B′，求证 ：△ABC ∽△A'B'C'.A BCA′B′C′D E证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD ＝A′B′，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，则∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，.AD AE AB AC （平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）F过点D 作AC 的平行线，交BC 于点F ，已知：如图，△ABC 和△ A′B′C′中，∠A =∠A′，∠B =∠B′，求证 ：△ABC ∽△A'B'C'..AB AD CF CB =则（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）.AE CFAC CB∴=∵DE ∥BC ，DF ∥AC ，∴四边形DFCE 是平行四边形.∴DE ＝CF ..AE DE AC CB ∴=.AD AE DE AB AC BC∴==而∠ADE ＝∠B ，∠DAE ＝∠BAC ，∠AED ＝∠C ∴△ADE ∽△ABC∵∠A ＝∠A′，∠ADE ＝∠B ＝∠B′，AD ＝A′B′.∴△ADE ≌△A′B′C′∴△ABC ∽△A'B'C'A BCA′B′C′DEF两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．数学表达：在△ABC 与△A′B′C′中，∵ ，∠A ＝∠A′，∴△ABC ∽△A′B′C′.==''''AB ACk A B A C知识点2 证明相似三角形的判定定理2ABCA′B′C′D E证明 ：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD ＝A′B′，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，则∠B ＝∠ADE ，∠C ＝∠AED ，已知：如图，△ABC 和△ A′B′C′中，∠A =∠A′，求证 ：△ABC ∽△A'B'C'.AB ACA B A C =''''∴△ABC ∽△ADE.（两角分别相等的两个三角形相似）.AB AC AD AE∴=,,AB AC AD A B A B A C ''==''''.AB ACAD A C ∴=''.AC AC AE A C ∴=''AE A C ''∴=而∠A ＝∠A′，∴△ADE ≌△A′B′C′∴△ABC ∽△A'B'C'知识点3 证明相似三角形的判定定理3三边成比例的两个三角形相似．数学表达：在△ABC 与△A′B′C′中，∵ ，∴△ABC ∽△A′B′C′.''===''''AB BC ACk A B B C ACA BCA′B′C′DE证明 ：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD ＝A′B′，AE ＝A′C′,连接DE .已知：如图，△ABC 和△ A′B′C′中，求证 ：△ABC ∽△A'B'C'=.AB BC ACA B B C A C ='''''',,,AB AC AD A B AE A C A B A C ''''==='''' .AB AC AD AE∴=而∠BAC ＝∠DAE ，∴△ABC ∽△ADE （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）.AB BC AD DE ∴=,,AB BCAD AB A B BC ''==''''又.AB BC AD B C ∴=''.BC BCDE B C ∴=''.DE B C ''∴=∴△ADE ≌△A′B′C′∴△ABC ∽△A'B'C'1.判断（1）所有的等边三角形都相似. ( )（2）所有的直角三角形都相似. ( )（3）所有的等腰三角形都相似. ( )（4）所有的等腰直角三角形都相似. ( )×√×√2. 如图4，AD ⊥BC 于点D ， CE ⊥AB 于点 E ，且交AD 于点F ， 你能从中找出几对相似三角形？BC A ED FB CA E D FBC ED FB AE DF B C A E DF D CF EA3.已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠ACD ， AB =6，BC =4，AC =5，CD = ，求AD 的长. 172A B CD 解: ∵ AB =6，BC =4，AC =5，CD = ∴ 又∠B =∠ACD ,∴△ABC ∽△DCA ，∴ ∴AD =17.2.AB CD BC AC =.BC AC AC AD =.254定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.定理1：两角分别相等的两个三角形相似.定理3：三边成比例的两个三角形相似.定理证明相似三角形判定定理的证明定理的运用1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。