研究生《数值分析》复习题

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1 1 1 ⩽ ∵ ∗ < ∗ S S − x∗ M i ( 3 ) 1 4 ∑ ∗ ∗ ∴ εr (A ) ⩽ · |xi − xi | 4 M i=1 ( 3 ) 1 ∑ ∗ ∗ ∴ εr (A ) ⩽ |xi − xi | M i=1
(k = 0, 1, · ·· , n − 2)
类似地，由 (n − 1) 次多项式 y = xn−1 可证明
′
求三次样条插值 M0 , M1 , M2 , M3 满足的方程组 M x = b. 第一种边界条件的三弯矩方程 x0 ̸= x2 2 1 M0 0 x0 + x2 x1 ̸= 2 0.5 2 0.5 M1 = −3 0.5 2 0.5 M2 −3 3、设 xi = i + 1 (i = 0, 1, · · · , n − 1)，f (x) 为首项系数为一的 1 2 M3 18 n 次多项式，Rn−1 (x) 为其在上述结点上的 (n − 1) 次插值多 项式的余项，求证：|Rn−1 (0)| = |Rn−1 (n + 1)| = n! 7、利用表中数据求方程 x − e−x = 0 的根： |Rn−1 (x)| = f (n) (ξ ) n! ωn (x) = ωn (x) = |ωn (x)| n! n! |Rn−1 (0)| = |ωn (0)| = n! |Rn−1 (n + 1)| = |ωn (n + 1)| = n! 4、令 Vn (x) = Vn (x0 , x1 , · · · , xn−1 , x) 1 1 . = . . 1 1 x0 x1 . . . xn−1 x x2 0 x2 1 . . . x2 n−1 x2 ··· ··· .. . ··· ··· xn 0 xn 1 . . . xn n−1 xn x e
6、设 Y0 = 28，按递推公式 Yn = Yn−1 −
√ π 计算到 Y100 . 若取 783 ≈ 27.982（五位有效数字） ，试问计算 14、三角形面积 s = 1 2 ab sin c，c 为弧度且 0 < c < 2 ，a, b, c Y100 将有多大误差? 测量误差分别为 ∆a, ∆b, ∆c，证明面积误差 ∆s 满足 1 ∗ ∗ ∆s ∆a ∆b ∆c ε(Yn ) = ε(Yn × 10−5 −1 ) + ⩽ + + 2 s a b c ε(Y0∗ ) = 0 1 1 × 10−5 = × 10−3 ∵ tan c > c 2 2 2 7、求方程 x − 56x + 1 = 0 的两个根，至少具有四位有效数 ∆s b sin c∆a + a sin c∆b + ab cos c∆c √ ∴ ≈ 字（ 783 ≈ 27.982）. s ab sin c √ ∆a ∆b ∆c x1 = 28 + 783 ≈ 55.982 ⩽ + + a b c √ 1 1 √ x2 = 28 − 783 = ≈ ≈ 0.017863 55.982 28 + 783 15、设 xi > 0 (i = 1, 2, 3) 分别代表三角形三边边长， A为 √ ∏ ∑3 3 1 三角形面积，S = 2 ( i=1 xi )，A = S · i=1 (S − xi )，x∗ 都具有 5 位有效数字 i 9、正方形的边长大约为 100 cm，应怎样测量才能使其面积误 是 xi 近似值，S ∗ 是 S 的近似值，A∗ 是 A 的近似值，M = ∗ ∗ ∗ 差不超过 1 cm2 . min3 i=1 {|S − xi |}，求证：xi 很接近 xi 时，A∗ 满足 ( 3 ) ε(S ) = 2|x|ε(x) ≈ 200ε(x) ⩽ 1 1 ∑ ∗ ∗ εr (A ) ⩽ |xi − xi | ε(x) ⩽ 0.005 cm M i=1 故
′ ε(f1 ) = |f1 |ε(u1 ) =
= 0.5 × 10−4 + 0.5 × 10−3 + 0.5 × 10−3 = 1.05 × 10−3
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ε(x∗ 1 x2 x3 ) = |x1 x2 |ε(x3 ) + |x2 x3 |ε(x1 ) + |x1 x3 |ε(x2 )
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第一章（误差）
ε(x∗ ) ε(ln x) ≈ = εr (x∗ ) = δ |x∗ |
2 10、设 s = 1 2 gt ，假定 g 是准确的，对 t 的测量有 ±0.1 s 误 差，证明当 t 增加时 s 的绝对误差增加而相对误差减小.
1、设 x > 0，x 的相对误差为 δ ，求 ln x 的误差. ε(s) = gtε(t) = 0.1gt εr (s) = ε(s) 2ε(t) 0.2 = = |s| t t
( ε
x∗ 2 x∗ 4
)
= 0.214791 = ε(x∗ x∗ 2) 2 −6 − ∗ ε(x∗ 4 ) = 8.8557 × 10 ∗ x4 x42
5、计算球体积要使相对误差限为 1%，问度量半径 R 时允许 的相对误差限是多少. 条件数 Cp = 故 εr (R∗ ) = 1 1 εr (V ∗ ) = × 1% ≈ 0.00333 Cp 3 1 √ 783, (n = 1, 2, · · · ) 100 RV ′ R · 4πR2 = =3 4 3 V πR 3
n ∑ i=1
xn dx 0 4x+c
in−1 =1 n ∏ (i − j )
j =1 j ̸=i
4xn + cxn−1 1 dx = 4x + c n
类似地，由 (n − 1) 次多项式 y = xn −
n ∑ i=1 n ∏
∏n
j =1 (x
− j ) 可证明
in (i − j )
j =1 j ̸=i
x∗ i|
li (x)ik ≡ xk (k = 0, 1, · · · , n − 1) ik ≡0 (i − 1) · · · (i − i + 1)(i − i − 1) · · · (i − n)
(1) 在 n 个相异的插值节点 xi = i 上建立不超过 (n − 1) 次的 插值多项式，由插值多项式存在唯一性得证。也可用余项证 ∑n f (n ) ( ξ ) ∫1 明：Rn−1 (x) = xk − i=1 xk i li (x) = n! ωn (x) = 0. 9、对 In = 0 (arccos x)n dx 建立稳定的递推公式（不需要给 (2) 将 y = xk 视作 n 个相异插值节点 xi = i 上不超过 (n − 1) 初值）. 次的插值多项式，根据插值多项式的存在唯一性可得 ∫1 1 n d x ∏ In = x(arccos x)n + n x(arccos x)n−1 √ (x − j ) 2 1−x 0 0 j =1 n ∑ ∫1 j ̸=i xdx ik · ∏ = xk n = n (arccos x)n−1 √ i=1 (i − j ) 1 − x2 0 j =1 1 √ j ̸=i = −n 1 − x2 (arccos x)n−1 0 考虑其中 xn−1 项的系数并注意到 k ⩽ (n − 2) ∫1 √ d x n ∑ − n(n − 1) 1 − x2 (arccos x)n−2 √ ik 1 − x2 =0 0 n ∏ ( π )n−1 i=1 (i − j ) =n − n(n − 1)In−2 j =1 2 j ̸=i 递推公式为 In−2 = 10、对 In = ∫1 1 ( π )n−1 1 − In n−1 2 n(n − 1) 建立稳定的递推公式. ∫1 4In + cIn−1 =
2、设 x 的相对误差为 2%, 求 xn 的相对误差. εr (xn ) = ε(xn ) n|x∗ |n−1 ε(x∗ ) nε(x∗ ) = = 0.02n ≈ ∗ n ∗ |x | |x | |x∗ |
11、序列 √yn 满足递推关系 yn = 10yn−1 − 1 (n = 1, 2, · · · )， ，计算到 y10 时误差有多 若 y0 = 2 ≈ 1.41（三位有效数字） 大? 这个计算过程稳定吗? ε(y10 ) = 1010 ε(y0 ) = 1 × 108 2
∗ ∗ ∗ 4、利用公式 (3.3) 求下列各近似值误差限，其中 x∗ 1 , x2 , x3 , x4 均为第 3 题所给的数. ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ε(x∗ 1 + x2 + x4 ) = ε(x1 ) + ε(x2 ) + ε(x4 )
计算过程不稳定 √ √ 12、计算 y = ( 2 − 1)6 ，取 2 ≈ 1.4，下列等式哪个得到的 结果最好 √? 取 x = 2，x∗ ≈ 1.4，则 ε(x∗ ) = 0.5 × 10−1 1 : ε(y ∗ ) ≈|f ′ (x∗ )|ε(x∗ ) (x + 1)6 6y ∗ = ∗ ε(x∗ ) = 2.5y ∗ ε(x∗ ) x +1 √ (3 − 2 2)3 : ε(y ∗ ) ≈|f ′ (x∗ )|ε(x∗ ) 6y ∗ = ε(x∗ ) = 30y ∗ ε(x∗ ) 3 − 2x∗ 1 √ : ε(y ∗ ) ≈|f ′ (x∗ )|ε(x∗ ) (3 + 2 2)3 6y ∗ = ε(x∗ ) = 1.035y ∗ ε(x∗ ) 3 + 2x∗ √ 99 − 70 2 : ε(y ∗ ) ≈|f ′ (x∗ )|ε(x∗ ) = 70ε(x∗ ) √ 13、f (x) = ln(x − x2 − 1)，求 f (30) 的值. 若开平方用六 位函数表，问求对数时误差有多大 ? 若改用等价公式 ln(x − √ √ x2 − 1) = − ln(x + x2 − 1) 计算，求对数时误差有多大 ? √ 2 用六位函数表开方，则自变量 u1 = x − x − 1 和 u2 = √ x + x2 − 1 误差为 ε = 0.5 × 10−4