二次函数动点问题

二次函数动点问题
动点问题是中考中的热点也是难点，这类问题的关键在于不要被动点牵着鼻子走，而是要根据图形的特性先确定要求的点的位置再根据几何关系求出点的坐标。

对于涉及函数的动点问题，还应考虑到借助代数的方法，通过建立方程、构建函数模型等方法来求解。

比较典型的动点问题类型一般有：求等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角（或其三角函数）的存在性、求线段或面积的最值等。

类型一：求线段或面积的最值
要点：求面积或线段的最值时，关键在于将长度或面积用代数式表示出来，构建一个函数关系式，再利用函数关系式求出最值。

例1 如图1，已知抛物线经过坐标原点O 和x 轴上另一点E ，顶点M 的坐标为 (2,4)；矩形ABCD 的顶点
A 与点O 重合，AD 、A
B 分别在x 轴、y 轴上，且AD=2，AB=3. （1）求该抛物线的函数关系式；
（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度
从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P 也以相同的速度．．．．．从点A 出发向B 匀速移动，设它们运动的时间为t 秒（0≤t ≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示） ① 当t=
时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由；
② 设以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为S ，试问S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
2
5
图2
B
C
O
A D E
M
y
x
P
N
· 图1
B
C
O (A )
D
E M
y
x
类型二：等腰三角形或直角三角形的存在性
要点：证明等腰三角形或直角三角形的存在性需要注意分类讨论，即讨论直角顶点或者两腰的情况。

例2 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为Q(2,-1)，且与y轴交于点C(0,3)，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一个动点，从点C沿抛物线向点A 运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．
(1)求该抛物线的函数关系式；
(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标．
例3 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC 在x轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3，过原点O作 AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．
（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
（2）将△EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与
线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为6
5
，那么
EF＝2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在成立，请说明理由．
要点：证明相似三角形的存在性时，本质是要注意三角形的内角的变化情况。

例4 如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
要点：要注意平行四边形的判定，使用较多的是一组对边平行且相等以及两组对边分别相等这两个判定，解题过程中可能需要建立方程来求解。

例5 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、
B、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.
y P (x ，y ) A
B
C
O
N
D
x
y ＝kx ＋4
类型五：求特殊的三角函数值
要点：先求出要求的图形，然后根据三角函数的定义求解。

例6 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过原点O ，与x 轴交于另一点N ，直线y ＝kx ＋4与两坐标轴分别交于A 、D 两点，与抛物线交于点B (1，m )、C (2，2)． (1)求直线与抛物线的解析式．
(2)若抛物线在x 轴上方的部分有一动点P (x ，y )，设∠PON ＝α，求当△PON 的面积最大时tan α的值．
类型六：梯形的存在性
要点：此类问题要注意结合梯形的定义，特别需要注意直角梯形和等腰梯形这两种特殊情况。

例7 如图，二次函数y = -x 2+ax +b 的图像与x 轴交于A (-
2
1
，0)、 B (2，0)两点，且与y 轴交于点C ；
(1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC 的形状； (2) 在x 轴上方的拋物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标；
(3) 在此拋物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

y A B C O x
参考答案
例1
解：（1）（2）①点P 不在直线ME 上②依题意可知：P （,），N （，）
当时，以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形是四边形PNCD ，依题意可得：
=
+=+==
∵抛物线的开口方向：向下，∴当=
，且时，=当时,点P 、N 都重合，此时以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形是三角形.依题意可得，==3综上所述，
以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积S 存在最大值21/4．
例2 解：
x x y 42+-=t t t t t 42
+-30
t PNC PCD S S S +=OD CD ⋅21BC PN ⋅21
2321⨯⨯()
242
12⋅-+-t t t 332++-t t 4
21
)23(2+--t t 233230 =t 最大S 4
21
03或=t ABCD
S S 矩形2
1=322
1
⨯
⨯
例3 解:
例4解：
例5 解：
例6
解：
例7
解：
(1) 根据题意，将A(-
2
1
，0)，B(2，0)代入y= -x2+ax +b 中，得
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
+
-
=
+
-
-
2
4
2
1
4
1
b
a
b
a
，解这个方程，得a=
2
3
，
b=1，∴该拋物线的解析式为y= -x2+
2
3
x+1，当x=0时，y=1，∴点C的坐标为(0，1)。

∴在△AOC中，AC=
2
2OC
OA+=2
21
)
2
1
(+=
2
5。

在△BOC中，BC=2
2OC
OB+=2
21
2+=5。

AB=OA+OB=
2
1
+2=
2
5
，∵AC2+BC2=
4
5
+5=
4
25
=AB2，∴△ABC是直角三角形。

(2) 点D的坐标为(
2
3
，1)。

(3) 存在。

由(1)知，AC⊥BC。

若以BC为底边，则BC//AP，如图1所示，可求得直线BC的解析式为y= -
2
1
x+1，直线AP可以
看作是由直线BC平移得到的，所以设直线AP的解析式为y= -
2
1
x+b，把点A(-
2
1
，0)代入直线
AP的解析式，求得b= -
4
1
，∴直线AP的解析式为y= -
2
1
x-
4
1。

∵点P既在拋物线上，又在直线
AP上，∴点P的纵坐标相等，即-x2+
2
3
x+1= -
2
1
x-
4
1
，解得x1=
2
5
，x2= -
2
1
(舍去)。

当x=
2
5
时，
y
A B
C
O
x
y = -
2
3， ∴点P (25，-23)。

若以AC 为底边，则BP //AC ，如图2所示。

可求得直线AC 的解析式为y =2x +1。

直线BP 可以看作是由直线AC 平移得到的，所以设直线BP 的解析式为y =2x +b ，把点B (2，0)代入直线BP 的解析式，求得b = -4，
∴直线BP 的解析式为y =2x -4。

∵点P 既在拋物线上，又在直线BP 上，∴点P 的纵坐标相等，即-x 2+23x +1=2x -4，解得x 1= -25，x 2=2(舍去)。

当x = -25时，y = -9，∴点P 的坐标为(-2
5，-9)。

综上所述，满足题目条件的点P 为(25，-23)或(-2
5，-9)。