2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(江西卷·理科)(附答案,完全word版)
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷)(附答案,完全word版)
绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式: 样本数据1x ,2x ,,n x 的标准差(n s x x =++-其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh =其中S 为底面积，h 为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ▲ ． 【解析】本小题考查三角函数的周期公式.2105T ππωω==⇒=【答案】102．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ．【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故316612P ==⨯ 【答案】1123.11i i+-表示为a bi +(),a b R ∈，则a b +== ▲ ． 锥体体积公式 13V Sh =其中S S 为底面积，h 为高 球的表面积、体积公式24S R π=，343V R π=【解析】本小题考查复数的除法运算．∵()21112i i i i ++==- ，∴a ＝0，b ＝1，因此1a b += 【答案】14.A={()}2137x x x -<-，则AZ 的元素的个数 ▲ ．【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由()}2137x x -<-得2580x x -+<,∵Δ＜0，∴集合A 为∅ ，因此A Z 的元素不存在．【答案】05.a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 则5a b -= ▲ ． 【解析】本小题考查向量的线性运算．()2222552510a b a b a a b b -=-=-+=22125110133492⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，5a b -=7 【答案】76.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ▲ ． 【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此．214416P ππ⨯==⨯【答案】16π7.算法与统计的题目8.直线12y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝ ▲ ． 【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．'1y x = ，令112x =得2x =，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b ＝ln2－1．【答案】ln2－19在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE 的方程：11110x y c b p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF 的方程： （ ▲ ）110x y p a ⎛⎫+-=⎪⎝⎭. 【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填11c b-．事实上，由截距式可得直线AB ：1x y b a +=，直线CP ：1x y c p += ，两式相减得11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程． 【答案】11b c- 10．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10． ． ． ． ． ． ．按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ▲ ．【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n －1 行共有正整数1＋2＋…＋（n －1）个，即22n n -个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第22n n -＋3个，即为262n n -+．【答案】262n n -+11.已知,,x y z R +∈，230x y z -+=，则2y xz的最小值 ▲ ．【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由230x y z -+=得32x zy +=，代入2y xz 得229666344x z xz xz xzxz xz+++≥=，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．【答案】312.在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ▲ ． ? ? 【解析】设切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，所以△OAP 是等腰直角三角形，故2a c=，解得c e a ==．【答案】213．若BC ，则ABC S ∆的最大值 ▲ ． ?【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC ＝x ，则AC， 根据面积公式得ABC S ∆=1sin 2AB BC B = 2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==244xx-=，代入上式得ABC S∆==由三角形三边关系有22x x+>+>⎪⎩解得22x <<，故当x =ABC S∆最大值【答案】14.()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ▲ ．【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x≥- 设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭，从而a ≥4； 当x ＜0 即[)1,0-时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x-，()()'4312x g x x -=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4【答案】4二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的横坐标分别为105．（Ⅰ）求tan(αβ+)的值； （Ⅱ）求2αβ+的值．【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．由条件的cos 105αβ==，因为α,β为锐角，所以sin α=,sin 105β= 因此1tan 7,tan 2αβ== （Ⅰ）tan(αβ+)=tan tan 31tan tan αβαβ+=--（Ⅱ） 22tan 4tan 21tan 3βββ==-，所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==-- ∵,αβ为锐角，∴3022παβ<+<，∴2αβ+=34π16．在四面体ABCD 中，CB= CD, AD ⊥BD ，且E ,F 分别是AB,BD 的中点，求证：（Ⅰ）直线EF ∥面ACD ；（Ⅱ）面EFC ⊥面BCD ．【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定． （Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，∵EF ⊄面ACD ，AD ⊂ 面ACD ，∴直线EF ∥面ACD ． （Ⅱ）∵ AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴ EF ⊥BD. ∵CB=CD, F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD.又EF CF=F ，∴BD ⊥面EFC ．∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD ．17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km, CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为y km ．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP x =(km) ，将y 表示成x x 的函数关系式． （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短． 【解析】本小题主要考查函数最值的应用．（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则10cos cos AQ OA θθ==, 故 CBPOAD10cos OB θ=，又OP ＝1010tan θ-10－10ta θ， 所以10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-，所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=+04πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以=所求函数关系式为)010y x x =+<< （Ⅱ）选择函数模型①，()()()'2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ-----== 令'y =0 得sin 12θ=，因为04πθ<<，所以θ=6π，当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y < ，y 是θ的减函数；当,64ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，'0y > ，y 是θ的增函数，所以当θ=6π时，min 10y =+。
2008年高考试题——数学文(江西卷)(有答案解析及评分标准)
绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。
第Ⅰ卷考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。
若在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
参考公式如果事件,A B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件,A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)kkn kn n P k C p p -=-一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．“x y =”是“x y =”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．定义集合运算:{},,A B z z xy x A y B *==∈∈.设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B * 的所有元素之和为 A ．0 B ．2 C ．3 D ．6 3．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是A ．[0,1]B ．[0,1)C ． [0,1)(1,4]D ．(0,1)4．若01x y <<<，则 A ．33y x< B ．log 3log 3x y < C ．44log log x y < D ．11()()44x y <5．在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++ 6．函数sin ()sin 2sin2x f x x x =+是A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数7．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120M F M F ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 A ．(0,1) B ．1(0,]2C．(0,2D．[28．10101(1)(1)x x++展开式中的常数项为A ．1B ．1210()C C ．120CD ．1020C9．设直线m 与平面α相交但不．垂直，则下列说法中正确的是 A ．在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直B ．过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直 C ．与直线m 垂直的直线不．可能与平面α平行D ．与直线m 平行的平面不．可能与平面α垂直 10．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象是11．电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为A ．1180B ．1288C ．1360D ．148012．已知函数2()2(4)4f x x m x m =+-+-，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是A ． [4,4]-B ．(4,4)-C ． (,4)-∞D ．(,4)-∞- 绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学第Ⅱ卷注意事项： 第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷)(附答案,完全word版) (2)
绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式: 样本数据1x ,2x , ,n x 的标准差s =其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh =其中S 为底面积，h 为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ▲ ． 【解析】本小题考查三角函数的周期公式.2105T ππωω==⇒=【答案】102．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ．【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故316612P ==⨯ 【答案】1123.11i i+-表示为a bi +(),a b R ∈，则a b +== ▲ ． 锥体体积公式 13V Sh =其中S S 为底面积，h 为高 球的表面积、体积公式24S R π=，343V R π=【解析】本小题考查复数的除法运算．∵()21112i i i i ++==- ，∴a ＝0，b ＝1，因此1a b += 【答案】14.A={()}2137x x x -<-，则A Z 的元素的个数 ▲ ．【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由()}2137x x -<-得2580x x -+<,∵Δ＜0，∴集合A 为∅ ，因此A Z 的元素不存在． 【答案】05.a ，b的夹角为120︒，1a = ，3b = 则5a b -= ▲ ．【解析】本小题考查向量的线性运算．()2222552510a b a ba ab b -=-=-+=22125110133492⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，5a b -= 7【答案】76.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ▲ ． 【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此．214416P ππ⨯==⨯【答案】16π7.算法与统计的题目8.直线12y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝ ▲ ． 【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．'1y x = ，令112x =得2x =，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b ＝ln2－1．【答案】ln2－19在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE 的方程：11110x y c b p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF 的方程： （ ▲ ）110x y p a ⎛⎫+-=⎪⎝⎭. 【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填11c b-．事实上，由截距式可得直线AB ：1x y b a +=，直线CP ：1x y c p += ，两式相减得11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程． 【答案】11b c- 10．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10． ． ． ． ． ． ．按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ▲ ．【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n －1 行共有正整数1＋2＋…＋（n －1）个，即22n n -个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第22n n -＋3个，即为262n n -+．【答案】262n n -+11.已知,,x y z R +∈，230x y z -+=，则2y xz的最小值 ▲ ．【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由230x y z -+=得32x zy +=，代入2y xz 得229666344x z xz xz xzxz xz+++≥=，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．【答案】312.在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b +=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ▲ ． ? ? 【解析】设切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，所以△OAP 是等腰直角三角形，故2a c=，解得c e a ==【答案】213．若BC ，则ABC S ∆的最大值 ▲ ． ?【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC ＝x ，则AC， 根据面积公式得ABC S ∆=1sin 2AB BC B = 2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-== 244x x-=，代入上式得 ABC S ∆==由三角形三边关系有22x x +>+>⎪⎩解得22x <<，故当x =ABC S ∆最大值【答案】14.()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ▲ ．【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x≥- 设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭，从而a ≥4； 当x ＜0 即[)1,0-时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x-，()()'4312x g x x -=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4【答案】4二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B的横坐标分别为105．（Ⅰ）求tan(αβ+)的值； （Ⅱ）求2αβ+的值．【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．由条件的cos 105αβ==，因为α,β为锐角，所以sin α=,sin 105β= 因此1tan 7,tan 2αβ== （Ⅰ）tan(αβ+)=tan tan 31tan tan αβαβ+=--（Ⅱ） 22tan 4tan 21tan 3βββ==-，所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==-- ∵,αβ为锐角，∴3022παβ<+<，∴2αβ+=34π16．在四面体ABCD 中，CB= CD, AD ⊥BD ，且E ,F 分别是AB,BD 的中点，求证：（Ⅰ）直线EF ∥面ACD ；（Ⅱ）面EFC ⊥面BCD ．【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定． （Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，∵EF ⊄面ACD ，AD ⊂ 面ACD ，∴直线EF ∥面ACD ． （Ⅱ）∵ AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴ EF ⊥BD. ∵CB=CD, F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD.又EF CF=F ，∴BD ⊥面EFC ．∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD ．17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km, CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为y km ．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP x =(km) ，将y 表示成x x 的函数关系式． （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短． 【解析】本小题主要考查函数最值的应用．（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则10cos cos AQ OA θθ==, 故 CBPOAD10cos OB θ=，又OP ＝1010tan θ-10－10ta θ， 所以10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-，所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=+04πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以=所求函数关系式为)010y x x =+<<（Ⅱ）选择函数模型①，()()()'2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ-----==令'y =0 得sin 12θ=，因为04πθ<<，所以θ=6π，当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y < ，y 是θ的减函数；当,64ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，'0y > ，y 是θ的增函数，所以当θ=6π时，min 10y =+。
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编8.2双曲线
第八章 圆锥曲线方程二 双曲线【考点阐述】双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质． 【考试要求】（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． 【考题分类】（一）选择题（共13题）1.（福建卷理11文12）双曲线22221x y a b==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞解：如图，设2PF m =，12(0)F PF θθπ∠=<≤，当P 在右顶点处θπ=，22ce a ===∵1cos 1θ-<≤，∴(]1,3e ∈另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线. 也可用焦半径公式确定a 与c 的关系。
2.（海南宁夏卷文2）双曲线221102x y -=的焦距为（ ）【标准答案】Ｄ【试题解析】由双曲线方程得22210,212==∴=a b c ，于是2==c c 【高考考点】双曲线的标准方程及几何性质【易错提醒】将双曲线中三个量,,a b c 的关系与椭圆混淆，而错选Ｂ【备考提示】在新课标中双曲线的要求已经降低，考查也是一些基础知识，不要盲目拔高3.（湖南卷理8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2) B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)【答案】B【解析】2033,22a ex a e a a a c -=⨯->+ 23520,e e ⇒-->2e ∴>或13e <-(舍去),(2,],e ∴∈+∞故选B.4.（湖南卷文10）．双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( )A． B．)+∞ C．1] D．1,)+∞ 【答案】C【解析】200a ex a x c -=+ 20(1)a e x a c ⇒-=+2(1),a a e a c⇒+≥-1111,a e c e∴-≤+=+2210,e e ⇒--≤11e ⇒≤≤ 而双曲线的离心率1,e>1],e ∴∈故选Ｃ.5.（辽宁卷文11）已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：D解析：本小题主要考查双曲线的知识。
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(辽宁卷·理科)(附答案,完全word版)
2008年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(012)k kn k n n P k C P p k n -=-=，，，，其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}3|0|31x M x x N x x x +⎧⎫==<=-⎨⎬-⎩⎭，≤，则集合{}|1x x ≥＝（ ） A ．M N B ．M NC ．()M MN ðD ．()M MN ð2．135(21)lim(21)x n n n →∞++++-=+（ ）A ．14B ．12C ．1D ．23．圆221x y +=与直线2y kx =+没有公共点的充要条件是（ ）A ．(k ∈B ．((2)k ∈--+∞，，∞C ．(k ∈D ．((3)k ∈--+∞，，∞4．复数11212i i +-+-的虚部是（ ） A ．15i B ．15 C ．15i - D ．15-5．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC =（ ） A ．2OA OB -B ．2OA OB -+C ．2133OA OB - D ．1233OA OB -+6．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ） A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．348．将函数21xy =+的图象按向量a 平移得到函数12x y +=的图象，则（ ）A ．(11)=--，aB ．(11)=-，aC ．(11)=，aD ．(11)=-，a9．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ ） A ．24种 B ．36种 C ．48种 D ．72种 10．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） A．2B ．3CD ．9211．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线（ ） A ．不存在 B ．有且只有两条 C ．有且只有三条 D ．有无数条 12．设()f x 是连续的偶函数，且当x >0时()f x 是单调函数，则满足3()4x f x f x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭的所有x 之和为（ ） A ．3- B ．3C ．8-D ．8第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．函数100xx x y e x +<⎧=⎨⎩，，，≥的反函数是__________．14．在体积为的球的表面上有A ，B ，C 三点，AB =1，BC，A ，C 两点的球面距π，则球心到平面ABC 的距离为_________． 15．已知231(1)nx x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且2≤n ≤8，则n =______．16．已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=． （Ⅰ）若ABC △，求a b ，；（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．18．（本小题满分12分）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分） 如图，在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中，AP=BQ=b （0<b <1），截面PQEF ∥A D '，截面PQGH ∥AD '．（Ⅰ）证明：平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直； （Ⅱ）证明：截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值，并求出这个值；（Ⅲ）若D E '与平面PQEF 所成的角为45，求D E '与平 面PQGH 所成角的正弦值．A B CD E FP Q H A ' B 'C 'D ' G20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，点P到两点(0，，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．（Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）若OA ⊥OB ，求k 的值；（Ⅲ）若点A 在第一象限，证明：当k >0时，恒有|OA |>|OB |． 21．（本小题满分12分）在数列||n a ，||n b 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，，成等比数列（n ∈*N ）（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测||n a ，||n b 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：1122111512n n a b a b a b +++<+++…．22．（本小题满分14分） 设函数ln ()ln ln(1)1xf x x x x=-+++． （Ⅰ）求f (x )的单调区间和极值；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得关于x 的不等式()f x a ≥的解集为（0，+∞）？若存在，求a 的取值范围；若不存在，试说明理由．2008年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学（供理科考生使用）试题参考答案和评分参考说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，共60分． 1．D 2．B 3．C 4．B 5．A 6．A 7．C 8．A 9．B 10．A 11．D 12．C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 13．11ln 1.x x y x x -<⎧=⎨⎩，，， ≥14．3215．516．143三、解答题17．本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=， 又因为ABC △1sin 2ab C =4ab =． ························ 4分 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =． ·············································· 6分（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，即sin cos 2sin cos B A A A =， ········································································· 8分 当cos 0A =时，2A π=，6B π=，a =b =当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得3a =3b =．所以ABC △的面积1sin 23S ab C ==． ····················································· 12分 18．本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3． ······················ 3分 （Ⅱ）ξ的可能值为8，10，12，14，16，且 P （ξ=8）=0.22=0.04， P （ξ=10）=2×0.2×0.5=0.2， P （ξ=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37， P （ξ=14）=2×0.5×0.3=0.3， P （ξ=16）=0.32=0.09．ξ的分布列为··················································································· 9分E ξ=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元） ···························· 12分 19．本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力。
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(福建卷·理科)(附答案,完全word版)
2008年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．1或2D ．1-2．设集合01x A xx ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}03B x x =<<，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若11a =，516a =，则数列｛a n ｝前7项的和为（ ） A ．63B ．64C ．127D ．1284．函数3()sin 1()f x x x x =++∈R ，若f (a )=2，则()f a -的值为（ ） A ．3B ．0C ．1-D ．2-5．某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ） A ．16625B ．96625C ． 192625D ． 2566256．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，AB =BC =2，AA 1=1，则BC 1与 平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ） A．3B ．5C ．5D ．57．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ） A ．14 B ．24 C ．28 D ．48 8．若实数x 、y 满足100x y x -+⎧⎨>⎩≤，，则yx 的取值范围是（ ） A ．(0，1)B ．(]01，C ．(1，+∞)D ．[)1+∞，9．函数()cos ()f x x x =∈R 的图象按向量(m ，0) 平移后，得到函数()y f x '=-的图象，则m 的值可以为（ ）ABC DA 1D 1C 1B 1A ．2π B ．πC ．-πD ．2π-10．在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若222()tan a c b B +-=，则角B 的值为（ ） A ．6π B ．3π C ．6π或56πD ．3π或23π11．双曲线22221x y a b-=(00)a b >>，的两个焦点为F 1，F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A ．(1，3)B ．(]13，C ．(3，+∞)D ．[)3+∞，12．已知函数y =f (x )，y =g (x )的导函数的图象如图，那么y =f (x )，y =g (x )的图象可能是（ ）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置． 13．若55432543210(2)x a x a x a x a x a x a -=+++++，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=__________．（用数字作答）14．若直线340x y m ++=与圆1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是 ．15，则其外接球的表面积是 ． 16．设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a b P ∈，，都有a b +，a b -，ab ，a b∈P （除数0b ≠），则称P 是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集{}F a b =+∈Q ，也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集M ⊆Q ，则数集M 必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．其中正确的命题的序号是 ．（把你认为正确的命题的序号都填上）)xA ．B ．C ．D ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知向量(sin cos )A A =，m，1)=-n ，1=m n ，且A 为锐角．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x =+∈R 的值域．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA =PDABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD =2AB =2BC =2，O 为AD 中点． （Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求异面直线PB 与CD 所成角的大小；（Ⅲ）线段AD 上是否存在点Q ，使得它到平面PCD若存在，求出AQQD的值；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分12分） 已知函数321()23f x x x =+-． （Ⅰ）设{}n a 是正数组成的数列，前n 项和为n S ，其中13a =．若点211(2)n n n a a a ++-，（n ∈*N ）在函数()y f x '=的图象上，求证：点()n n S ，也在()y f x '=的图象上；（Ⅱ）求函数f (x )在区间(1)a a -，内的极值．20．（本小题满分12分） 某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为23，科目B 每次考试成绩合格的概率均为12．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望E ξ．A BCO DP21．（本小题满分12分）如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点是F （1，0），O 为坐标原点．（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点．若直线l 绕点F 任意转动，恒有222OA OB AB +<，求a 的取值范围．22．（本小题满分14分） 已知函数()ln(1)f x x x =+-． （Ⅰ）求f (x )的单调区间；（Ⅱ）记f (x )在区间[]0π，（n ∈*N ）上的最小值为n b ，令ln(1)n n a n b =+-．（Ⅲ）如果对一切nc 的取值范围； （Ⅳ）求证：13132112242421n na a a a a a a a a a a a -+++<………．2008年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）参考答案一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算．每小题5分，满分60分． 1．B 2．A 3．C 4．B 5．B 6．D 7．A 8．C 9．A 10．D 11．B 12．D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 13．3114．(0)(10)-+∞，，∞ 15．9π16．③④三、本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力．满分12分． 解：（Ⅰ）由题意得3sin cos 1m n A A =-=，12sin 1sin 662A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，．由A 为锐角得66A ππ-=，3A π=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知1cos 2A =，所以2213()cos22sin 12sin 2sin 2sin 22f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭因为x ∈R ，所以[]sin 11x ∈-，，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值32． 当sin 1x =-时，()f x 有最小值3-，所以所求函数f (x )的值域是332⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．18．本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．满分12分． 解法一：（Ⅰ）证明：在△PAD 中PA =PD ，O 为AD 中点，所以PO ⊥AD ，又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD 平面ABCD =AD ，PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．（Ⅱ）连结BO ，在直角梯形ABCD 中，BC ∥AD ，AD =2AB =2BC ，有OD ∥BC 且OD =BC ，所以四边形OBCD 是平行四边形， 所以OB ∥DC ．由（Ⅰ）知，PO ⊥OB ，∠PBO 为锐角， 所以∠PBO 是异面直线PB 与CD 所成的角． 因为AD =2AB =2BC =2，在Rt △AOB 中，AB =1，AO =1， 所以OBA B CODPQ在Rt △POA 中，因为APAO ＝1，所以OP ＝1，在Rt △PBO 中，tan ∠PBO＝PG PBO BO ==∠=． 所以异面直线PB 与CD所成的角是arctan2． （Ⅲ）假设存在点Q ，使得它到平面PCD的距离为2． 设QD ＝x ，则12DQC S x =△，由（Ⅱ）得CD =OB在Rt △POC 中，PC = 所以PC =CD =DP ，2(2)42PCD S ==△， 由P DQC Q PCD VV --=，得111132322x ⨯⨯=⨯，解得322x =<， 所以存在点Q 满足题意，此时13AQ QD =． 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）以O 为坐标原点，OC OD OP ，，的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，依题意，易得(010)A -，，，(110)B -，，，(100)C ，，，(010)D ，，，(001)P ，，， 所以(110)(111)CD PB =-=--，，，，，．cos 32PB CD PB CD PB CD<>===，， 所以异面直线PB 与CD 所成的角是arccos3（Ⅲ）假设存在点Q ，使得它到平面PCD 的距离为2， 由（Ⅱ）知(101)(110)CP CD =-=-，，，，，．设平面PCD 的法向量为n =(x 0，y 0，z 0)．则00n CP n CD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以000000x z x y -+=⎧⎨-+=⎩，，即000x y z ==， 取x 0=1，得平面PCD 的一个法向量为n =(1，1，1)． 设(00)(11)(10)Q y yCQ y -=-，， ≤≤，，， ，由32CQ n n=，得2=， 解得12y =-或y =52(舍去)， 此时1322AQ QD ==，，所以存在点Q 满足题意，此时13AQ QD =． 19．本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力．满分12分． （Ⅰ）证明：因为321()23f x x x =+-，所以2()2f x x x '=+， 由点211(2)()n n n a a a n ++-∈*N ，在函数()y f x '=的图象上， 得221122n n n n a a a a ++-=+，即11()(2)0n n n n a a a a +++--=，又*0()n a n >∈N ，所以12n n a a +-=，又因为13a =， 所以数列{}n a 是以3为首项，公差为2的等差数列． 所以2(1)32=22n n n S n n n -=+⨯+，又因为2()2f n n n '=+，所以()n S f n '=， 故点()n n S ，也在函数()y f x '=的图象上．（Ⅱ）解：2()2(2)f x x x x x '=+=+，由()0f x '=，得02x x ==-或．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：注意到(1)12a a --=<，从而①当12a a -<-<，即21a -<<-时，()f x 的极大值为2(2)3f -=-，此时()f x 无极小值； ②当10a a -<<，即01a <<时，()f x 的极小值为(0)2f =-，此时()f x 无极大值； ③当2a -≤或10a -≤≤或1a ≥时，()f x 既无极大值又无极小值．20．本小题主要考查概率的基本知识与分类思想，考查运用数学知识分析问题，解决问题的能力．满分12分．解：设“科目A 第一次考试合格”为事件1A ，“科目A 补考合格”为事件A 2；“科目B 第一次考试合格”为事件1B ，“科目B 补考合格”为事件2B ．(Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为A 1·B 1，注意到A 1与B 1相互独立， 则1111211()()()323P A B P A P B =⨯=⨯=． 答：该考生不需要补考就获得证书的概率为13． （Ⅱ）由已知得，ξ＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得1112(2)()()P P A B P A A ξ==+2111114.3233399=⨯+⨯=+= 112112122(3)()()()P P A B B P A B B P A A B ξ==++21121112111143223223326699=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=， 12221212(4)()()P P A A B B P A A B B ξ==+121112111113322332218189=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=， 故44182349993E ξ=⨯+⨯+⨯=．答：该考生参加考试次数的数学期望为83．21．本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力．满分12分．解法一：（Ⅰ）设M ，N 为短轴的两个三等分点， 因为△MNF 为正三角形，所以OF =，即1＝223b，解得b 2214a b =+=，因此，椭圆方程为22143x y +=． （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，． (ⅰ)当直线 AB 与x 轴重合时，22222224(1)OA OB a AB a a +==>，，因此，恒有222OA OB AB +<． （ⅱ）当直线AB 不与x 轴重合时，设直线AB 的方程为：1x my =+，代入22221x y a b+=，整理得22222222()20a b m y b my b a b +++-=，所以222212122222222b m b a b y y y y a b m a b m-+=-=++，． 因为恒有222OA OB AB +<，所以∠AOB 恒为钝角． 即11221212()()0OA OB x y x y x x y y ==+<，，恒成立．2121212121212(1)(1)(1)()1x x y y my my y y m y y m y y +=+++=++++222222222222(1)()21m b a b b m a b m a b m +-=-+++22222222220m a b b a b a a b m -+-+=<+．又a 2+b 2m 2>0，所以22222220m a b b a b a -+-+<对m ∈R 恒成立， 即2222222a b m a a b b >-+对m ∈R 恒成立．当m ∈R 时，222a b m 最小值为0，所以22220a a b b -+<．2222a a b b <-，2224(1)a a b b <-=，因为a >0，b >0，所以a <b 2，即210a a -->，解得a >a <(舍去)，即a >，综合（i ）（ii ），a 的取值范围为⎫+⎪⎪⎝⎭∞．解法二：（Ⅰ）同解法一，（Ⅱ）解：（i ）当直线l 垂直于x 轴时，x =1代入22222221(1)1A y b a y a b a-+==，． 因为恒有|OA |2+|OB |2<|AB |2，222(1)4A A y y+<，21Ay >，即21a a->1，解得a >a < (舍去)，即a > （ii ）当直线l 不垂直于x 轴时，设11()A x y ，，22()B x y ，．设直线AB 的方程为y =k (x -1)代入22221x y a b+=，得(b 2+a 2k 2)x 2-2a 2k 2x + a 2 k 2-a 2 b 2=0，故22222212122222222a k a k a b x x x x b a k b a k -+==++，因为恒有|OA |2+|OB |2<|AB |2，所以x 21+y 21+ x 22+ y 22<( x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2， 得x 1x 2+ y 1y 2<0恒成立．x 1x 2+ y 1y 2= x 1x 2+k 2(x 1-1) (x 2-1)=(1+k 2) x 1x 2-k 2(x 1+x 2)+ k 222222222222222222222222222()(1)a k a b a k a a b b k a b k k k b a k b a k b a k --+-=+-+=+++．由题意得（a 2-a 2 b 2+b 2）k 2-a 2 b 2<0对k ∈R 恒成立．①当a 2-a 2 b 2+b 2>0时，不合题意；②当a 2-a 2 b 2+b 2=0时，a ③当a 2-a 2 b 2+b 2<0时，a 2-a 2(a 2-1)+ (a 2-1)<0，a 4-3a 2 +1>0，解得a 2>a 2>a >a ．综合（i ）（ii ），a 的取值范围为⎫+⎪⎪⎝⎭∞．22．本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力，满分14分． 解法一：（Ⅰ）因为()ln(1)f x x x =+-，所以函数定义域为（1-，+∞），且1()111x f x x x-'=-=++． 由()0f x '>得10x -<<，()f x 的单调递增区间为（1-，0）； 由()0f x '<得x >0，()f x 的单调递增区间为（0，+∞）．（Ⅱ）因为()f x 在[0，n ]上是减函数，所以()ln(1)n b f n n n ==+-， 则ln(1)ln(1)ln(1)n n a n b n n n n =+-=+-++=．（ⅰ）2n ==++1>=，又lim lim 1x x→==，因此c <1，即实数c 的取值范围是（-∞，1）． < 因为2135(21)246(2)n n ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦……3222133557(21)(21)11246(2)2121n n n n n -+=<++…，所以135(21)246(2)n n -<……)n ∈*N ，则113135(21)224246(2)n n -+++………1<…．13132112242421()n na a a a a a n a a a a a a -+++<∈*N ………．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）因为f (x )在[]0n ，上是减函数，所以()ln(1)n b f n n n ==+-， 则ln(1)ln(1)ln(1)n n a n b n n n n =+-=+-++=．（ⅰ）因为<n ∈*N<对n ∈*N 恒成立．则2c n <+n ∈*N 恒成立．设()2g n n =+，n ∈*N ，则c ＜g (n )对n ∈*N 恒成立．考虑[)()21g x x x =+∈+∞，．因为12211()1(2)(22)11021x g x x x x x -+=-++=<-=+′，所以()g x 在[)1+∞，内是减函数；则当n ∈*N 时，g (n )随n 的增大而减小，又因为42lim ()lim(2x x x x g n n →∞→∞+=+==＝1．所以对一切()1n g n ∈>*N ，．因此1c ≤，即实数c 的取值范围是(]1-∞，．<下面用数学归纳法证明不等式135(21))246(2)n n n -<∈*N ……．①当n =1时，左边＝12<右边．不等式成立． ②假设当n=k时，不等式成立．即135(21)246(2)k k -<……当n=k +1时，13521(21)212462(22)222222k k k k k k k k ∙∙∙∙∙++<=++++=…（－）…（）=<=，即1n k =+时，不等式成立综合①，②得，不等式135(21))246(2)n n n ∙∙∙∙∙∙∙∙-<∈*N ……成立．所以135(21)246(2)n n ∙∙∙∙∙∙∙∙-<……113135(21)224246(2)n n ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙-+++………1<…相信能就一定能即13132112242421()n na a a a a a n a a a a a a -+++<∈*N ………．8、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。
2008高考江西数学文科试卷含详细解答(全word版)
绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。
第Ⅰ卷考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。
若在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
参考公式如果事件,A B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件,A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k kn k n n P k C p p -=-一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．“x y =”是“x y =”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．定义集合运算:{},,A B z z xy x A y B *==∈∈.设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B * 的所有元素之和为A ．0B ．2C ．3D ．6 3．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是 A ．[0,1] B ．[0,1) C ． [0,1)(1,4] D ．(0,1) 4．若01x y <<<，则A ．33y x< B ．log 3log 3x y < C ．44log log x y < D ．11()()44xy<5．在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++ 6．函数sin ()sin 2sin2x f x xx =+是A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数7．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A ．(0,1)B ．1(0,]2 C． D． 8．10101(1)(1)x x++展开式中的常数项为A ．1B ．1210()C C ．120C D ．1020C 9．设直线m 与平面α相交但不．垂直，则下列说法中正确的是 A ．在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直 B ．过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直 C ．与直线m 垂直的直线不．可能与平面α平行 D ．与直线m 平行的平面不．可能与平面α垂直 10．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象是11．电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为 A ．1180 B ．1288 C ．1360D ．1480AB-CD-12．已知函数2()2(4)4f x x m x m =+-+-，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是A ． [4,4]-B ．(4,4)-C ． (,4)-∞D ．(,4)-∞-绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(安徽卷·理科)(附答案,完全word版)
2008年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟． 考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致．务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位． 2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色笔迹签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色笔迹字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效． 4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 球的表面积公式24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式34π3V R =如果随机变量~()B n p ξ，，那么其中R 表示球的半径(1)D np p ξ=-．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数32(1)i i +=（ ） A ．2B ．2-C ．2iD ．2i -2．集合{}|lg 1A y y x x =∈=>R ，，{}2112B =--，，，，则下列结论中正确的是（ ） A ．{}21A B =-- ，B ．()(0)A B =-∞R ，ð C ．(0)A B =+∞ ，D ．(){}21A B =--R ，ð3．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB =(2，4)，AC =(1，3)，则BD=（ ）A ．(24)--，B ．(35)--，C ．(35)，D ．(24)，4．已知m n ，是两条不同直线，αβγ，，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥ B ．若αγ⊥， βγ⊥，则αβ∥ C ．若m α∥，m β∥，则αβ∥ D ．若m α⊥， n α⊥，则m n ∥ 5．将函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量a 平移后所得的图象关于点π012⎛⎫- ⎪⎝⎭，中心对称，则向量a 的坐标可能为（ ） A ． π012⎛⎫-⎪⎝⎭， B ．π06⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．π012⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．π06⎛⎫⎪⎝⎭， 6．设88018(1)x a a x a x +=+++ ，则01a a ，，，8a 中奇数的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．若过点(40)A ，的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．[B ．(C ．⎡⎢⎣⎦D ．⎛ ⎝⎭9．在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称，而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-，则m 的值为（ ）A ．e -B ．1e-C ．eD ．1e10．设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>，的密度函数图象如图所示，则有（ ）A ．1212μμσσ<<，B ．1212μμσσ<>，C ．1212μμσσ><，D ．1212μμσσ>>，11．若函数()()f x g x ，分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x f x g x e -=，则有（ ） A ．(2)(3)(0)f f g << B ．(0)(3)(2)g f f << C ．(2)(0)(3)f g f <<D ．(0)(2)(3)g f f <<12．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）A ．2283C AB ．2686C AC ．2286C AD ．2285C A2008年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学 (理科)第Ⅱ卷 （非选择题共 90分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色笔迹签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置． 13．函数2()f x =的定义域为 ．14．在数列{}n a 中，542n a n =-，212n a a a an bn +++=+ ，n *∈N ，其中a ，b 为常数，则lim n n n nn a b a b →∞-+的值为 ． 15．若A 为不等式组002x y y x ⎧⎪⎨⎪-⎩，，≤≥≤表示的平面区域，则当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为 ．16．已知点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，若AB ＝6，AC ＝132，AD ＝8，则B ，C 两点间的球面距离是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知函数πππ()cos 22sin sin 344f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． （I ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程．（II ）求函数()f x 在区间ππ122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的值域．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为l 的菱形，π4ABC ∠=，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点． （I ）证明：直线MN ∥平面OCD ．（II ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小． （III ）求点B 到平面OCD 的距离．19．（本小题满分12分）为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳．各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E ξ为3，标准差σξ为26． （Ⅰ）求n p ，的值，并写出ξ的分布列；（Ⅱ）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率． 20．（本小题满分12分） 设函数1()(01)ln f x x x x x=>≠且． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；ABCM ON（Ⅱ）已知12axx >对任意(01)x ∈，成立，求实数a 的取值范围． 21．（本小题满分13分）设数列{}n a 满足10a =，311n n a ca c +=+-，*n ∈N 其中c 为实数．（Ⅰ）证明：[01]n a ∈，对任意*n ∈N 成立的充分必要条件是[01]c ∈，， （Ⅱ）设103c <<，证明：11(3)n n a c --≥，*n ∈N ； （Ⅲ）设103c <<，证明：222122113n a a a n c++⋯+>+--，*n ∈N ．22． (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：过点M ，且左焦点为1(F ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点(41)P ，的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB =．证明：点Q 总在某定直线上．2008年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1．A 2．D 3．B 4．D 5．C 6．A 7．B 8．C 9．B 10．A 11．D 12．C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 13．[3)+∞， 14．1 15．74 16．4π3三、解答题17．本题主要考查三角函数式的化简，三角函数的图象及性质，区间上三角函数的值域等．考查运算能力和推理能力．本小题满分12分． 解：（Ⅰ）πππ()cos 22sin sin 344f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1cos 22(sin cos )(sin cos )22x x x x x x =++-+221cos 22sin cos 2x x x x =+-1cos 22cos 22x x x =- πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．∴周期2ππ2T ==． 由ππ2π()62x k k -=+∈Z ，得ππ23k x =+（k ∈Z ） ∴函数图象的对称轴方程为ππ23k x =+（k ∈Z ）． （Ⅱ）ππ122x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ ，，ππ5π2636x ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，，因为π()sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间ππ123⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，在区间ππ32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，所以当π3x =时，()f x 取得最大值1．又ππ11222f f ⎛⎫⎛⎫-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， ∴当π12x =-时，()f x取得最小值 ∴函数()f x 在ππ122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的值域为1⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 18．本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、异面直线所成角及点到平面的距离等知识，考查空间想象能力和思维能力，利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力．本小题满分12分．方法一（综合法）：（Ⅰ）取OB 中点E ，连接ME NE ，． ME AB AB CD ∥，∥， ME CD ∴∥．又NE OC ∥，∴平面MNE ∥平面OCD ． MN ∴∥平面OCD ．（Ⅱ）CD AB ∥，MDC ∴∠为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角）．作AP CD ⊥于点P ，连接MP ． OA ⊥ 平面ABCD CD MP ∴⊥，．π42ADP DP ∠=∴=，．1πcos 23DP MD MDP MDC MDP MD ==∴∠==∠=∠= ，． 所以，AB 与MD 所成角的大小为π3． （Ⅲ）AD ∥平面OCD ，∴点B 和点A 到平面OCD 的距离相等，连接OP ，过点A 作AQ OP ⊥于点Q ．AP CD OA CD CD ⊥⊥∴⊥，，平面OAP ，AQ CD ∴⊥． 又AQ OP AD ⊥∴⊥ ，平面OCD ，线段AQ 的长就是点A 到平面OCD 的距离．2OP ====， ABC D MO N Q P 第（18）题图AP DP ==223OA AP AQ OP ∴=== ． 所以，点B 到平面OCD 的距离为23． 方法二（向量法）：作AP CD ⊥于点P ．如图，分别以AB AP AO ，，所在直线为x y z ，，轴建立直角坐标系．(000)(100)000(002)A B P D O ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，(001)10M N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，，（Ⅰ）1144MN ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，，022OP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，，222OD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，． 设平面OCD 的法向量为()x y z =，，n ，则00OP OD ==，n n ．即20220y z x y z -=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，取z =(04=n ．(11040MN ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭n ， MN ∴∥平面OCD ．（Ⅱ）设AB 与MD 所成的角为θ，(100)1AB MD ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，，，，1cos 2AB MD AB MD θ== ，π3θ∴=．AB 与MD 所成角的大小为π3．第（18）题图（Ⅲ）设点B 到平面OCD 的距离为d ，则d 为OB在向量(04=n 上的投影的绝对值． 由OB (102)=-，，，得2||3OB d ==n n ． 所以，点B 到平面OCD 的距离为23． 19．本题主要考查二项分布的分布列、数学期望以及标准差的概念和计算，考查分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分12分．解：由题意知，ξ服从二项分布1()B n p ，()(1)01k kn k n P k C p p k n ξ-==-= ，，，，．（Ⅰ）由233()(1)2E np np p ξσξ===-=，，得 112p -=，从而162n p ==，． ξ的分布列为（Ⅱ）记“需要补种沙柳”为事件A ，则()(3)P A P ξ=≤，得16152021()6432P A +++==，或156121()1(3)16432P A P ξ++=->=-=． 20．本题主要考查导数的概念和计算，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求最值以及不等式的性质．本小题满分12分． 解：（Ⅰ）22ln 1()ln x f x x x +'=．若()0f x '=，则1z e=．列表如下：所以()f x 的单调增区间为10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，单调减区间为11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，和()1+∞，．（Ⅱ）在12axx >两边取对数，得1ln 2ln a x x>． 由于01x <<，所以1ln 2ln a x x>． ① 由（Ⅰ）的结果知，当(01)x ∈，时，1()f x f a e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭≤．为使①式对所有(01)x ∈，成立，当且仅当ln 2ae >-， 即ln 2a e >-．21．本题主要考查等比数列的求和、数学归纳法、不等式的性质，综合运用知识分析问题和解决问题的能力．本小题满分13分．解：（Ⅰ）必要性：10a = ，21a c ∴=-． 又2[01]a ∈ ，，011c ∴-≤≤，即[01]c ∈，． 充分性：设[01]c ∈，，对*n ∈N 用数学归纳法证明[01]c a ∈，．当1n =时，10[01]a =∈，．假设[01]k a ∈，（1k ≥）， 则31111k k a ca c c c +=+-+-=≤且31110k k a ca c c +=+--≥≥，1[01]k a +∴∈，．由数学归纳法知，[01]n a ∈，对所有*n ∈N 成立． （Ⅱ）设103c <<，当1n =时，10a =．结论成立． 当2n ≥时，311n a a ca c -=+- ，()32111111(1)(1)n n n n n a c a c a a a ----∴-=-=-++． 103c <<，由（Ⅰ）知1[01]n a -∈，，21113n n a a --∴++≤且110n a --≥， 113(1)c n a c a -∴--≤．21112113(1)(3)(1)(3)(1)(3)n n c n n a c a c a c a c ----∴----= ≤≤≤≤．1*1(3)()n n a c n -∴-∈N ≥． （Ⅲ）设103c <<，当1n =时，2120213a c=>--．结论成立． 当2n ≥时，由（Ⅱ）知11(3)0n n c c -->≥，21212(1)1(1(3))12(3)(3)12(3)n n n n n a c c c c ----∴-=-+>-≥．2222221223n na a a a a a ∴+++=+++ 2112[3(3)(3)]n n c c c ->--+++ 2(1(3))113n c n c-=+--2113n c >+-- 22．本题主要考查直线、椭圆的方程及几何性质、线段的定比分点公式等基础知识、基本方法和分析问题、解决问题的能力．本小题满分13分．解：（Ⅰ）由题意：2222222211c a bc a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎩，，．解得2242a b ==，． 所求椭圆方程为22142x y +=． （Ⅱ）方法一：设点Q A B ，，的坐标分别为1122()()()x y x y x y ，，，，，， 由题设知AP PB AQ QB ，，，均不为零，记AP AQ PB QBλ== ． 则0λ>且1λ≠．又A P B Q ，，，四点共线，从而AP PB AQ QB λλ=-= ，． 于是12124111x x y y λλλλ--==--，． 121211x x y y x y λλλλ++==-+，． 从而22212241x x x λλ-=-， ………………① 2221221y y y λλ-=-．…………………② 又点A B ，在椭圆C 上，即221124x y +=，………………③222224x y +=，………………④①2+⨯②并结合③，④得424x y +=．即点()Q x y ，总在定直线220x y +-=上．方法二：设点()Q x y ，，11()A x y ，，22()B x y ，，由题设， PA PB AQ QB ，，，均不为零 且PA PB AQ QB= ， 又P A Q B ，，，四点共线，可设PA AQ PB BQ λλ=-= ，（01λ≠±，）．于是 114111x y x y λλλλ--==--，， ① 224111x y x y λλλλ++==++，． ② 由于11()A x y ，22()B x y ，在椭圆C 上，将①、②分别代入C 的方程2224x y +=，整理得 222(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+=． ③ 222(24)4(22)140x y x y λλ+-++-+=． ④ ④-③，得8(22)0x y λ+-=．0λ≠ ，220x y ∴+-=．即点()Q x y ，总在定直线220x y +-=上．。
2008年高考试题—数学文(江西卷)(有答案解析及评分标准)
绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。
第Ⅰ卷考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。
若在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
参考公式如果事件,A B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件,A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)kkn kn n P k C p p -=-一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．“x y =”是“x y =”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．定义集合运算:{},,A B z z xy x A y B *==∈∈.设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B * 的所有元素之和为 A ．0 B ．2 C ．3 D ．6 3．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是A ．[0,1]B ．[0,1)C ． [0,1)(1,4]D ．(0,1)4．若01x y <<<，则 A ．33y x< B ．log 3log 3x y < C ．44log log x y < D ．11()()44x y <5．在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++ 6．函数sin ()sin 2sin2x f x x x =+是A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数7．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120M F M F ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 A ．(0,1) B ．1(0,]2C．2D．28．10101(1)(1)x x++展开式中的常数项为A ．1B ．1210()C C ．120CD ．1020C9．设直线m 与平面α相交但不．垂直，则下列说法中正确的是 A ．在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直B ．过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直 C ．与直线m 垂直的直线不．可能与平面α平行D ．与直线m 平行的平面不．可能与平面α垂直 10．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象是11．电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为A ．1180B ．1288C ．1360D ．148012．已知函数2()2(4)4f x x m x m =+-+-，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是A ． [4,4]-B ．(4,4)-C ． (,4)-∞D ．(,4)-∞- 绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学第Ⅱ卷注意事项： 第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。
2008年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)数学(文)
2008年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)数学(文)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k k n kn n P k C P P k n -=-= ，，， 第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．“||||x y =”是“x y =”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．定义集合运算:{},,A B z z xy x A y B *==∈∈.设{1,2}A =,{}0,2B =,则集合A B * 的所有元素之和为( )A ．0B ．2C ．3D ．63．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ． [0,1)(1,4] D ．(0,1)4．若01x y <<<，则( )A ．33y x< B ．log 3log 3x y < C ．44log log x y < D ．11()()44xy<5．在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a =( )A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++6．函数sin ()sin 2sin2x f x xx =+是( )A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数7．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．1(0,]2 C．(0,2 D．[28．10101(1)(1)x x++展开式中的常数项为( )A ．1B ．1210()C C ．120C D ．1020C9．设直线m 与平面α相交但不．垂直，则下列说法中正确的是( ) A ．在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直 B ．过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直 C ．与直线m 垂直的直线不．可能与平面α平行 D ．与直线m 平行的平面不．可能与平面α垂直10．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象大致是( )11．电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为( ) A ．1180 B ．1288 C ．1360D ．148012．已知函数2()2(4)4f x x m x m =+-+-，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是( )A ． [4,4]-B ．(4,4)-C ． (,4)-∞D ．(,4)-∞-第Ⅱ卷二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
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第 1 页 共 12 页 准考证号 姓名 （在此卷上答题无效） 绝密★启用前
2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
理科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷l至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．
第Ⅰ卷 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 P(A＋B)＝P(A)＋P(B) S＝4πR2 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A·B)＝P(A)·P(B) 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V＝34πR3 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 Pn(k)＝CknPk (1一P)kn 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数sin2cos2zi对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．定义集合运算：|,,ABzzxyxAyB．设1,2,0,2AB，则集合AB的所有元素之和为 A．0 B．2 C．3 D．6
3．若函数()yfx的值域是1,32，则函数1()Fxfxfx的值域是
A．[21，3] B．[2，310] C．[25，310] D．[3，310] 4．123lim1xxx＝ 第 2 页 共 12 页
A．21 B．0 C．－21 D．不存在 5．在数列na中，1112,ln1nnaaan，则na＝ A．2lnn B．21lnnn C．2lnnn D．1lnnn 6．函数tansintansinyxxxx在区间(2，23)内的图象大致是
A B C D 7．已知12FF、是椭圆的两个焦点．满足1MF·2MF＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
A．(0，1) B．(0，21] C．(0，22) D．[22，1)
8．(1＋3x)6(1＋41x)10展开式中的常数项为 A．1 B．46 C．4245 D．4246 9．若12120,0aabb，且12121aabb，则下列代数式中值最大的是
A．1122abab B．1212aabb C．1221abab D．21 10．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于27、43，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题： ①弦AB、CD可能相交于点M ②弦AB、CD可能相交于点N ③MN的最大值为5 ④MN的最小值为l 其中真命题的个数为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．电子钟一天显示的时间是从00∶00到23∶59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为
A．1801 B．2881 C．3601 D．4801 第 3 页 共 12 页
12．已知函数22241,fxmxmxgxmx，若对于任一实数x，fx与gx的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是 A．(0，2) B．(0，8) C．(2，8) D．(－∞，0)
绝密★启用前 2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
理科数学 第Ⅱ卷 注意事项： 第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．
13．直角坐标平面内三点1,23,29,7ABC、、，若EF、为线段BC的三等分点，则
AE·AF＝ ． 14．不等式132xx≤21的解集为 ． 15．过抛物线220xpyp的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴左侧)，则FBAF＝ ． 16．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P (图2)．有下列四个命题： A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好 经过点P D．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满 其中真命题的代号是 ．(写出所有真命题的代号) ． 三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 在△ABC中．a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，
a＝23，tan2BA＋tan2C＝4，sin B sin C＝cos22A．求A、B及b、c． 第 4 页 共 12 页
18．（本小题满分12分） 因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的
概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第一年与第二年相互独立，令1,2ii表示方案i实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数． （1）写出ξ1、ξ2的分布列； （2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大? （3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大?
19．（本小题满分12分） 等差数列na各项均为正整数，13a，前n项和为nS，等比数列nb中，11b，且
2264bS，nb是公比为64的等比数列． （1）求na与nb；
（2）证明：11S＋21S＋……＋nS1＜43．
20．（本小题满分12分） 正三棱锥OABC的三条侧棱OAOBOC、、两两垂直，且长度均为2．EF、分别是ABAC、的中点，H
是EF的中点，过EF的一个平面与侧棱
OAOBOC、、或其延长线分别相交于111ABC、、，已
知132OA． （1）证明：11BC平面OAH； （2）求二面角111OABC的大小． 第 5 页 共 12 页
21．（本小题满分12分） 设点00,Pxy在直线,01xmymm
上，过点P作双曲线221xy的两条切线PAPB、，切点为AB、，定点M(m1，0)． （1）过点A作直线0xy的垂线，垂足为N，试求△AMN的重心G所在的曲线方程； （2）求证：AMB、、三点共线．
22．（本小题满分14分） 已知函数fx＝x11＋a11＋8axax，x∈(0，＋∞)． （1）当8a时，求fx的单调区间； （2）对任意正数a，证明：12fx． 第 6 页 共 12 页
2008年高考江西卷（理科数学）试题 参 考 答 案 一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D D B A A D C D A C C B
二、填空题 13. 22 14. （－∞，－3 ] ∪ (0，1 ]
15. 31 16. BD
三、解答题： 17.解：A、B、C为△ABC三内角，∴22CBA
∴42tan2tanCC，即42tan2cotCC。 又CCCcos1sin2tan，∴4sincos1cos1sinCCCC， 整理得4sin2C，∴21sinC 由2cossinsin2ACB可得2cos12sinAB，∴ABcos1sin ∵sinB≤1，∴cosA≤0，而A 为△ABC内角，则A必为钝角。 ∴C应为锐角，∴ 6C。
则AB65，代入ABcos1sin，得 AAcos1)65sin(，将左边展开并整理得：
1)3cos(A，又A为钝角，∴ 32A，故6B ∴△ABC为等腰△，32a，作图如右： 易解得b = c = 2 综上，32A，6B，b = c = 2
A
B C
30°
33
17题
22