广东省2021高考数学学业水平合格考试总复习第8章统计教师用书教案

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2021高考数学复习第8章立体几何第1节空间几何体的结构及其表面积、体积教学案理北师大版

第8章立体几何全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式高考在本章一般命制2道小题、1道解答题,分值约占22分．2.考查内容(1)小题主要考查三视图、几何体体积与表面积计算,此类问题属于中档题目；对于球与棱柱、棱锥的切接问题,知识点较整合,难度稍大．(2)解答题一般位于第18题或第19题的位置,常设计两问：第(1)问重点考查线面位置关系的证明；第(2)问重点考查空间角,尤其是二面角、线面角的计算．属于中档题目．3.备考策略从2019年高考试题可以看出,高考对三视图的考查有所降温；对空间几何体的展开、平面图形的折叠、解题中的补体等传统几何思想有所加强.[最新考纲] 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.4.了解球、棱柱、棱锥、台体的表面积和体积的计算公式．1．简单多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都平行且相等,上下底面是全等的多边形；(2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共点的三角形；(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到,其上、下底面是相似多边形．2．旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线三视图画法规则：长对正、高平齐、宽相等直观图斜二测画法：(1)原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直,直观图中x ′轴、y ′轴的夹角为45°(或135°),z ′轴与x ′轴和y ′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴,平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y 轴的线段在直观图中长度为原来的一半.4．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧＝2πrlS 圆锥侧＝πrlS 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13Sh台体(棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 31．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系：S 直观图＝24S 原图形,S 原图形＝22S 直观图． 2．多面体的内切球与外接球常用的结论(1)设正方体的棱长为a ,则它的内切球半径r ＝a 2,外接球半径R ＝32a .(2)设长方体的长、宽、高分别为a ,b ,c ,则它的外接球半径R ＝a 2＋b 2＋c 22.(3)设正四面体的棱长为a ,则它的高为H ＝63a ,内切球半径r ＝14H ＝612a ,外接球半径R ＝34H ＝64a .一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( ) (2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( ) (3)菱形的直观图仍是菱形．( )(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材改编1．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周,所得的几何体包括( ) A ．一个圆台、两个圆锥 B ．两个圆台、一个圆柱 C ．两个圆柱、一个圆台 D ．一个圆柱、两个圆锥D [从较短的底边的端点向另一底边作垂线,两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角形,一个矩形,所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱,两个圆锥所组成的几何体,如图：]2．如图所示,长方体ABCD A ′B ′C ′D ′中被截去一部分,其中EH ∥A ′D ′,则剩下的几何体是( )A ．棱台B ．四棱柱C ．五棱柱D ．简单组合体C [由几何体的结构特征知,剩下的几何体为五棱柱．]3．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( ) A ．12π B ．323πC ．8πD ．4πA [由题意可知正方体的棱长为2,其体对角线为23即为球的直径,所以球的表面积为4πR 2＝(2R )2π＝12π,故选A.]4．已知圆锥的表面积等于12π cm 2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．32cm B [S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π,∴r 2＝4, ∴r ＝2(cm)．]5．已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________．163π [由三视图可知,该几何体是一个圆柱挖去了一个同底等高的圆锥,其体积为π×22×2－13π×22×2＝163π.]考点1 空间几何体的结构特征解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念,要善于通过举反例对概念进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只需举一个反例即可．(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上,解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．(3)棱(圆)台是由棱(圆)锥截得的,所以在解决棱(圆)台问题时,要注意“还台为锥”的解题策略．1.给出下列命题：(1)棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形；(2)若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直；(3)在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱；(4)存在每个面都是直角三角形的四面体；(5)棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的个数为( )A．2 B．3C．4 D．5C[(1)不正确,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行四边形,但不一定全等；(2)正确,若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；(3)正确,因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面；(4)正确,如图,正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥C1ABC,四个面都是直角三角形；(5)正确,由棱台的概念可知．]2．以下命题：(1)以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；(2)以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；(4)一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3B[命题(1)错,因为这条边若是直角三角形的斜边,则得不到圆锥；命题(2)错,因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题(3)对；命题(4)错,必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以．]3．下列结论正确的是 ( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线D[A错误．如图①所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不是棱锥．图①图②B错误．如图②,若△ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边所在直线,所得的几何体都不是圆锥．C错误．由几何图形知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长．D正确．](1)概念辨析类的问题常借助反例求解．(2)紧扣结构特征是判断空间几何体的结构特征正误的关键,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后依据题意判定．考点2 空间几何体的三视图和直观图1.三视图画法的基本原则长对正,高平齐,宽相等；画图时看不到的线画成虚线．2．由三视图还原几何体的步骤3．直观图画法的规则：斜二测画法．(1)[一题多解]已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )A.34a2 B.38a2C.68a 2D.616a 2 (2)(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为( )A ．217B ．2 5C ．3D ．2(1)D (2)B [(1)法一：如图①②所示的实际图形和直观图,由图②可知,A ′B ′＝AB ＝a ,O ′C ′＝12OC ＝34a ,在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′, 则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a , 所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.法二：S △ABC ＝12×a ×a sin 60°＝34a 2,又S 直观图＝24S 原图＝24×34a 2＝616a 2. 故选D.(2)由三视图可知,该几何体为如图①所示的圆柱,该圆柱的高为2,底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图,如图②所示,连接MN ,则MS ＝2,SN ＝4,则从M 到N 的路径中,最短路径的长度为MS 2＋SN 2＝22＋42＝2 5.故选B.]图① 图②(1)直观图的面积问题常常有两种解法：一是利用斜二测画法求解,注意“斜”及“二测”的含义；二是直接套用等量关系：S直观图＝24S原图形．(2)解决空间几何体表面上两点距离的最短问题,常借助其侧面展开图．1.(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )A B C DA[由题意知,在咬合时带卯眼的木构件中,从俯视方向看,榫头看不见,所以是虚线,结合榫头的位置知选A.]2．某几何体的三视图如图所示,网格纸的小方格是边长为1的正方形,则该几何体中最长棱的棱长是( )A. 5B. 6C.7D.3A[由三视图可知该几何体为一个三棱锥DABC,如图,将其置于长方体中,该长方体的底面是边长为1的正方形,高为2.所以AB＝1,AC＝2,BC＝3,CD＝2,DA＝2,BD＝5,因此最长棱为BD,棱长是 5.]考点3 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积几类空间几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和． (2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．(3)简单组合体：应搞清各构成部分,并注意重合部分的删、补．(4)若以三视图形式给出,解题的关键是根据三视图,想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(1)(2019·南昌模拟)如图,直角梯形ABCD 中,AD ⊥DC ,AD ∥BC ,BC ＝2CD ＝2AD＝2,若将该直角梯形绕BC 边旋转一周,则所得的几何体的表面积为________．(2)若正四棱锥的底面边长和高都为2,则其表面积为________．(3)圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和20 cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°,那么圆台的表面积为________cm 2(结果中保留π)．(4)(2019·安庆模拟)已知一几何体的三视图如图所示,它的左视图与主视图相同,则该几何体的表面积为( )A ．16＋12πB ．32＋12πC ．24＋12πD ．32＋20π(1)(2＋3)π (2)4＋4 5 (3)1 100π (4)A [(1)由图中数据可得：S 圆锥侧＝12×π×2×2＝2π,S 圆柱侧＝2π×1×1＝2π,S 底面＝π×12＝π.所以几何体的表面积S ＝S 圆锥侧＋S 圆柱侧＋S 底面＝2π＋2π＋π＝(2＋3)π.(2)因为四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,所以该四棱锥为正四棱锥,如图．由题意知底面正方形的边长为2,正四棱锥的高为2, 则正四棱锥的斜高PE ＝22＋12＝ 5.所以该四棱锥的侧面积S ＝4×12×2×5＝45,∴S 表＝2×2＋45＝4＋4 5.(3)如图所示,设圆台的上底周长为C ,因为扇环的圆心角是180°,所以C ＝π·SA . 又C ＝2π×10＝20π,所以SA ＝20(cm)．同理SB ＝40(cm)．所以AB ＝SB －SA ＝20(cm)．S 表＝S 侧＋S 上底＋S 下底＝π(r 1＋r 2)·AB ＋πr 21＋πr 22 ＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm 2)．故圆台的表面积为1 100π cm 2.(4)由三视图知,该几何体是一个正四棱柱与半球的组合体,且正四棱柱的高为2,底面对角线长为4,球的半径为2,所以该正四棱柱的底面正方形的边长为22,该几何体的表面积S ＝12×4π×22＋π×22＋22×2×4＝12π＋16.]本例(1)得到的是旋转体,求解的关键是将旋转体的表面积分割为圆锥的侧面积与圆柱的侧面积及底面积之和；本例(2)是有关多面体侧面积的问题,关键是找到其特征几何图形,如棱柱中的矩形、棱台中的直角梯形、棱锥中的直角三角形,它们是联系高与斜高、边长等几何元素间的桥梁,从而架起求侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素间的联系；本例(3)是圆台的侧面积问题,采用了还锥为台的思想；本例(4)先由三视图还原几何体,求解的关键是正四棱柱及半球的数量关系确定,易错点是两几何体重叠部分的表面积处理．(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π,则r ＝( )A．1 B．2C．4 D．8B[如图,该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体,球的半径为r,圆柱的底面半径为r,高为2r,则表面积S＝12×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π,∴(5π＋4)r2＝16＋20π,∴r2＝4,r＝2,故选B.]空间几何体的体积求空间几何体的体积的常用方法(1)直接法：对于规则几何体,直接利用公式计算即可．若已知三视图求体积,应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置,确定几何体中的线面垂直等关系,进而利用公式求解．(2)等积法：利用三棱锥的“等积性”可以把任一个面作为三棱锥的底面．(3)割补法：当一个几何体的形状不规则时,常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体,然后再计算．经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体,将三棱柱还原为平行六面体,将台体还原为锥体．(1)如图所示,正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2,侧棱长为3,D为BC中点,则三棱锥AB 1DC1的体积为( )A．3 B.3 2C．1 D.3 2(2)[一题多解](2017·全国卷Ⅱ)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π(3)如图,正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E ,F 分别为线段AA 1,B 1C 上的点,则三棱锥D 1EDF 的体积为________．(1)C (2)B (3)16 [(1)(直接法)如题图,在正△ABC 中,D 为BC 中点,则有AD ＝32AB＝3,又∵平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ,平面BB 1C 1C ∩平面ABC ＝BC ,AD ⊥BC ,AD 平面ABC ,由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面BB 1C 1C ,即AD 为三棱锥A B 1DC 1的底面B 1DC 1上的高,∴V A －B 1DC 1＝13S △B 1DC 1·AD ＝13×12×2×3×3＝1.(2)法一(分割法)：由题意知,该几何体是一个组合体,下半部分是一个底面半径为3,高为4的圆柱,其体积V 1＝π×32×4＝36π.上半部分是一个底面半径为3,高为6的圆柱的一半, 其体积V 2＝12×π×32×6＝27π.所以该组合体的体积V ＝V 1＋V 2＝36π＋27π＝63π.法二(补形法)：由题意知,该几何体是一圆柱被一平面截去一部分后所得的几何体,在该几何体上方再补上一个与其相同的几何体,让截面重合,则所得几何体为一个圆柱,故圆柱的底面半径为3,高为10＋4＝14,该圆柱的体积V 1＝π×32×14＝126π.故该几何体的体积为圆柱体积的一半, 即V ＝12V 1＝63π.法三(估值法)：由题意,知12V 圆柱＜V 几何体＜V 圆柱．又V 圆柱＝π×32×10＝90π,所以45π＜V 几何体＜90π.观察选项可知只有63π符合．(3)(等积法)三棱锥D 1EDF 的体积即为三棱锥F DD 1E 的体积．因为E ,F 分别为AA 1,B 1C 上的点,所以在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,△EDD 1的面积为定值12,F到平面AA 1D 1D 的距离为定值1,所以VD 1EDF ＝VF DD 1E ＝13×12×1＝16.]处理体积问题的思路(1)“转”：指的是转换底面与高,将原来不易求面积的底面转换为易求面积的底面,或将原来不易看出的高转换为易看出并易求解长度的高；(2)“拆”：指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体,便于计算； (3)“拼”：指的是将小几何体嵌入一个大几何体中,如将一个三棱锥复原成一个三棱柱,将一个三棱柱复原成一个四棱柱,这些都是拼补的方法．[教师备选例题]1．(2019·江苏高考)如图,长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体积是120,E 为CC 1的中点,则三棱锥E BCD 的体积是________．10 [因为长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体积为120,所以AB ·BC ·CC 1＝120, 因为E 为CC 1的中点,所以CE ＝12CC 1,由长方体的性质知CC 1⊥底面ABCD , 所以CE 是三棱锥E BCD 的底面BCD 上的高,所以三棱锥E BCD 的体积V ＝13×12AB ·BC ·CE ＝13×12AB ·BC ·12CC 1＝112×120＝10.]2.如图所示,已知多面体ABCDEFG 中,AB ,AC ,AD 两两互相垂直,平面ABC ∥平面DEFG ,平面BEF ∥平面ADGC ,AB ＝AD ＝DG ＝2,AC ＝EF ＝1,则该多面体的体积为________．4 [法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行,如图所示,过点C 作CH ⊥DG 于H ,连接EH ,即把多面体分割成一个直三棱柱DEH ABC 和一个斜三棱柱BEF CHG .由题意,知V三棱柱DEH ABC ＝S △DEH ×AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝2,V三棱柱BEF CHG ＝S △BEF ×DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝2.故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEFG ＝2＋2＝4.法二：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行,如图所示,将多面体补成棱长为2的正方体,显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半．又正方体的体积V 正方体ABHI DEKG ＝23＝8,故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEFG ＝12×8＝4.]1.如图,直三棱柱ABC A 1B 1C 1的各条棱长均为2,D 为棱B 1C 1上任意一点,则三棱锥D A 1BC 的体积是________．233 [V D A 1BC ＝V B 1A 1BC ＝V A 1B 1BC ＝13×S △B 1BC ×3＝233.] 2．(2019·浙江高考)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体＝Sh ,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm),则该柱体的体积(单位：cm 3)是( )A ．158B ．162C ．182D ．324B [(直接法)由三视图得该棱柱的高为6,底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的,其中一个上底为4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,下底为6,高为3,则该棱柱的体积为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋62×3＋4＋62×3×6＝162.故选B.] 3.如图,在多面体ABCDEF 中,已知ABCD 是边长为1的正方形,且△ADE ,△BCF 均为正三角形,EF ∥AB ,EF ＝2,则该多面体的体积为( )A.23B.33C.43D.32A [(分割法)如图,分别过点A ,B 作EF 的垂线,垂足分别为G ,H ,连接DG ,CH , 容易求得EG ＝HF ＝12,AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32, 取AD 的中点O ,连接GO ,易得GO ＝22, ∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24,∴多面体的体积V ＝V 三棱锥E ADG ＋V 三棱锥F BCH ＋V 三棱柱AGD BHC ＝2V 三棱锥E ADG ＋V 三棱柱AGD BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23.故选A.] 考点4 与球有关的切、接问题与球有关的切、接问题的解法(1)旋转体的外接球：常用的解题方法是过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)多面体的外接球：常用的解题方法是将多面体还原到正方体和长方体中再去求解． ①若球面上四点P ,A ,B ,C 中PA ,PB ,PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直,可构造长方体或正方体,利用2R ＝a 2＋b 2＋c 2求R .②一条侧棱垂直底面的三棱锥问题：可补形成直三棱柱．先借助几何体的几何特征确定球心位置,然后把半径放在直角三角形中求解．(1)已知一个圆锥底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内切球的表面积为( )A ．πB ．3π2C ．2πD ．3π(2)(2019·福建十校联考)已知三棱锥P ABC 的三条侧棱两两互相垂直,且AB ＝5,BC ＝7,AC ＝2,则此三棱锥的外接球的体积为( )A.83πB.823π C.163π D.323π (3)已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1的各顶点都在以O 为球心的球面上,且∠BAC ＝3π4,AA 1＝BC＝2,则球O 的体积为( )A ．43πB ．8πC ．12πD ．20π(1)C (2)B (3)A [(1)依题意,作出圆锥与球的轴截面,如图所示,设球的半径为r ,易知轴截面三角形边AB 上的高为22,因此22－r 3＝r 1,解得 r ＝22,所以圆锥内切球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎪⎫222＝2π,故选C. (2)∵AB ＝5,BC ＝7,AC ＝2,∴PA ＝1,PC ＝3,PB ＝2.以PA ,PB ,PC 为过同一顶点的三条棱,作长方体如图所示,则长方体的外接球同时也是三棱锥P ABC 的外接球． ∵长方体的对角线长为1＋3＋4＝22, ∴球的直径为22,半径R ＝2,因此,三棱锥P ABC 外接球的体积是43πR 3＝43π×(2)3＝823π.故选B.(3)在底面△ABC 中,由正弦定理得底面△ABC 所在的截面圆的半径为r＝BC2sin ∠BAC ＝22sin3π4＝2, 则直三棱柱ABC A 1B 1C 1的外接球的半径为R ＝r 2＋⎝⎛⎭⎪⎫AA 122＝22＋12＝3,则直三棱柱ABC A 1B 1C 1的外接球的体积为43πR 3＝43π.故选A.][母题探究] 1.若将本例(3)的条件“∠BAC ＝3π4,AA 1＝BC ＝2”换为“AB ＝3,AC ＝4,AB ⊥AC ,AA 1＝12”,则球O 的半径为________．132[如图所示,由球心作平面ABC 的垂线,则垂足为BC 的中点M . 又AM ＝12BC ＝52,OM ＝12AA 1＝6,所以球O 的半径R ＝OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋62＝132.]2．若将本例(3)的条件改为“正四面体的各顶点都在以O 为球心的球面上”,则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为________．63π [正四面体棱长为a ,则正四面体表面积为S 1＝4×34·a 2＝3a 2,其内切球半径r为正四面体高的14,即r ＝14·63a ＝612a ,因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26,则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π.] 3．若将本例(3)的条件改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥的各顶点都在以O 为球心的球面上”,则其外接球的半径为________．3 [依题意,得该正四棱锥底面对角线的长为32×2＝6,高为322－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×62＝3,因此底面中心到各顶点的距离均等于3,所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心,其外接球的半径为3.]通过本例(3)及母题探究训练,我们可以看出构造法、补形法等是处理“外接”问题的主要方法,其关键是找到球心,借助勾股定理求球的半径．(1)锥体的外接球问题,解决这类问题的关键是抓住外接球的特点,即球心到各个顶点的距离等于球的半径．(2)柱体的外接球问题,其解题关键在于确定球心在多面体中的位置,找到球的半径或直径与多面体相关元素之间的关系,结合原有多面体的特性求出球的半径,然后再利用球的表面积和体积公式进行正确计算．1.(2018·全国卷Ⅲ)设A ,B ,C ,D 是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D ABC 体积的最大值为( )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3B [由等边△ABC 的面积为93, 可得34AB 2＝93,所以AB ＝6, 所以等边△ABC 的外接圆的半径为r ＝33AB ＝2 3. 设球的半径为R ,球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ,则d ＝R 2－r 2＝16－12＝2.所以三棱锥D ABC 高的最大值为2＋4＝6,所以三棱锥D ABC 体积的最大值为13×93×6＝18 3.]2．(2019·南宁模拟)已知三棱锥P ABC 中,△ABC 为等边三角形,PA ＝PB ＝PC ＝3,PA ⊥PB ,则三棱锥P ABC 的外接球的体积为( )A.27π2B.273π2C.273πD.27πB [∵三棱锥P ABC 中,△ABC 为等边三角形,PA ＝PB ＝PC ＝3, ∴△PAB ≌△PBC ≌△PAC . ∵PA ⊥PB ,∴PA ⊥PC ,PC ⊥PB .以PA ,PB ,PC 为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示),则正方体的外接球同时也是三棱锥P ABC 的外接球．∵正方体的体对角线长为32＋32＋32＝33,∴其外接球半径R ＝332.因此三棱锥P ABC 的外接球的体积V ＝4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫3323＝273π2.]课外素养提升⑦ 直观想象——巧解简单几何体的外接球与内切球问题简单几何体外接球与内切球问题是立体几何中的难点,也是历年高考重要的考点,几乎每年都要考查,重在考查考生的直观想象能力和逻辑推理能力．此类问题实质是解决球的半径长或确定球心O 的位置问题,其中球心的确定是关键．下面从六个方面分类阐述该类问题的求解策略：利用长方体的体对角线探索外接球半径【例1】 (2019·东北三省四市模拟)已知边长为2的等边三角形ABC ,D 为BC 的中点,沿AD 进行折叠,使折叠后的∠BDC ＝π2,则过A ,B ,C ,D 四点的球的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6πC [连接BC (图略),由题知几何体ABCD 为三棱锥,BD ＝CD ＝1,AD ＝3,BD ⊥AD ,CD ⊥AD ,BD ⊥CD ,将折叠后的图形补成一个长、宽、高分别是3,1,1的长方体,其体对角线长为1＋1＋3＝5,故该三棱锥外接球的半径是52,其表面积为5π.][评析] 若几何体存在三条两两垂直的线段或者三条线有两个垂直,可构造墙角模型(如下图),直接用公式(2R)2＝a2＋b2＋c2求出R.【素养提升练习】已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是( )A．16πB．20πC．24πD．32πC[设正四棱柱的底面边长为a,高为h,球半径为R,则正四棱柱的体积为V＝a2h＝16,a ＝2,4R2＝a2＋a2＋h2＝4＋4＋16＝24,所以球的表面积为S＝24π.]利用长方体的面对角线探索外接球半径【例2】三棱锥中SABC,SA＝BC＝13,SB＝AC＝5,SC＝AB＝10.则三棱锥的外接球的表面积为________．14π[如图,在长方体中,设AE＝a,BE＝b,CE＝c.则SC＝AB＝a2＋b2＝10,SA＝BC＝b2＋c2＝13,SB＝AC＝a2＋c2＝ 5.从而a2＋b2＋c2＝14＝(2R)2,可得S＝4πR2＝14π.故所求三棱锥的外接球的表面积为14π.][评析] 三棱锥的相对棱相等,探寻球心无从着手,注意到长方体的相对面的面对角线相等,可在长方体中构造三棱锥,从而巧妙探索外接球半径．【素养提升练习】(2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上,PA＝PB ＝PC ,△ABC 是边长为2的正三角形,E ,F 分别是PA ,AB 的中点,∠CEF ＝90°, 则球O 的体积为( )A ．86πB ．46πC ．26πD.6πD [因为点E ,F 分别为PA ,AB 的中点,所以EF ∥PB , 因为∠CEF ＝90°,所以EF ⊥CE ,所以PB ⊥CE . 取AC 的中点D ,连接BD ,PD ,易证AC ⊥平面BDP ,所以PB ⊥AC ,又AC ∩CE ＝C ,AC ,CE 平面PAC ,所以PB ⊥平面PAC , 所以PB ⊥PA ,PB ⊥PC ,因为PA ＝PB ＝PC ,△ABC 为正三角形,所以PA ⊥PC ,即PA ,PB ,PC 两两垂直,将三棱锥P ABC 放在正方体中．因为AB ＝2,所以该正方体的棱长为2,所以该正方体的体对角线长为6,所以三棱锥P ABC 的外接球的半径R ＝62,所以球O 的体积V ＝43πR 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫623＝6π,故选D.]利用底面三角形与侧面三角形的外心探索球心【例3】平面四边形ABCD 中,AB ＝AD ＝CD ＝1,BD ＝2,BD ⊥CD .将其沿对角线BD 折成四面体A ′BCD ,使平面A ′BD ⊥平面BCD .若四面体A ′BCD 的顶点在同一球面上,则该球的体积为( )A.32π B ．3πC.23π D ．2πA [如图,设BD ,BC 的中点分别为E ,F .因点F 为底面直角△BCD 的外心,知三棱锥A ′BCD 的外接球球心必在过点F 且与平面BCD 垂直的直线l 1上．又点E 为底面直角△A ′BD的外心,知外接球球心必在过点E 且与平面A ′BD 垂直的直线l 2上．因而球心为l 1与l 2的交点．又FE ∥CD ,CD ⊥BD 知FE ⊥平面A ′BD .从而可知球心为点F .又A ′B ＝A ′D ＝1,CD ＝1知BD ＝2,球半径R ＝FD ＝BC 2＝32.故V ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝32π.]。

【金榜教程】2021高三总复习人教A版数学配套课件：第8章第6讲

判断下列点的轨迹是否为双曲线(请在括号内填写“是”或“否 ”)
(1)平面内到点A(0,2)，B(0，－2)距离之差等于2的点的轨迹；( )
(2)平面内到点A(0,2)，B(0，－2)距离之差的绝对值等于3 的点的轨迹；( )
(3)平面内到点A(0,2)，B(0，－2)距离之差等于4的点的轨迹；( )
1 2 ∵双曲线C1与C2有共同的渐近线，∴b2＝4a2.① 又∵a2＋b2＝5，② 联立①②得，a＝1，b＝2.
[] (1)对于双曲线中的坐标问题可运用方程思想解之； (2)求出交点坐标，再应用三角形的面积公式求解；(3)利用直线与圆相切，求出b的值，将直线方程与双曲线方程联立，利用数量积的坐标运算、根与系数的关系等知识，以算代证．
本例(2)中若双曲线的焦点为(4,0)，则双曲线的离心率为多少．
根据双曲线的特点，考查较多的几何性质就是双曲线的离心率和渐近线．求离心率或离心率的取值范围的方法通常是根据条件列出关于a，c的齐次方程或不等式，然后再转化成关于e的方程或不等式求解．求渐近线方程的关键是分清两种位置下的双曲线所对应的渐近线方程．
A1(0，－a)，A2(0，a) y＝________
性离心率
质
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝
实虚轴
2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长 |B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b
叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系
c2＝________(c>a>0，c>b>0)
(1)Ax2＋By2＝1表示焦点在y轴上的双曲线的条件是什么？ (2)若双曲线的两条渐近线的夹角是90°，则双曲线的实轴长与虚轴长有何关系？

(广东专用)中考数学复习方案第8单元统计与概率新课标课件新人教

第35讲┃ 归类示例
► 类型之二与统计有关的概念命题角度： 1．总体、个体、样本； 2．频数、频率．
[2012·攀枝花] 为了了解攀枝花市2012年中考数学学
科各分数段成绩分布情况，从中抽取150名考生的中考数学成
绩进行统计分析．在这个问题中，样本是指
(C )
A．150
B．被抽取的150名考生
频数分布直方图
第35讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一统计的方法命题角度：根据考察对象选取统计方法．
[2012·衢州] 下列调查方式，你认为最合适的是( B ) A．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用普查方式 B．了解衢州市每天的流动人口数，采用抽样调查方式 C．了解衢州市居民日平均用水量，采用普查方式 D．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式
第35讲┃ 考点聚焦考点4 几种常见的统计图
用圆代表总体，圆中各个扇形分别代表
扇形统计图
总体中的不同部分的统计图，它可以直观地反映部分占总体的百分比大小，一
般不表示具体的数量
条形统计图
能清楚地表示每个项目的具体数目及反映事物某一阶段属性的大小变化
折线统计图可以反映数据的变化趋势
第35讲┃ 考点聚焦
归类示例
► 类型之一平均数、中位数、众数命题角度： 1．平均数、加权平均数的计算； 2. 中位数与众数的计算．
第36讲┃ 归类示例
[2012·黄冈] 为了全面了解学生的学习、生活及家庭的基本情况，加强学校、家庭的联系，梅灿中学积极组织全体教师开展“课外访万家活动”，王老师对所在班级的全体学生进行实地家访，了解到每名学生家庭的相关信息，现从中随机抽取 15 名学生家庭的年收入情况，数据如下表：

2021届高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角斜率与直线的方程创新教学案含解析

第八章平面解析几何第1讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程[考纲解读］ 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能根据两条直线的斜率判断这两条直线的平行或垂直关系．（重点)2．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等），并了解斜截式与一次函数的关系．（难点）[考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲是命题的热点，但很少独立命题．预测2021年高考对本讲内容将考查:①直线倾斜角与斜率的关系、斜率公式；②直线平行与垂直的判定或应用，求直线的方程．试题常以客观题形式考查,难度不大。

1。

直线的斜率(1）当α≠90°时，tanα表示直线l的斜率，用k表示，即错误!k ＝tanα。

当α＝90°时，直线l的斜率k不存在．（2)斜率公式给定两点P1(x1,y1）,P2（x2,y2)(x1≠x2)，经过P1,P2两点的直线的斜率公式为错误!k＝错误!.2．直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范围点斜式斜率k与点（x1，y1）错误!y－y1＝k（x－x1)直线不垂直于x轴斜截式斜率k与直线在y轴上的截距b错误!y＝kx＋b直线不垂直于x轴两点式两点（x1,y1），(x2，y2）错误!错误!＝错误!（x1≠x2,y1≠y2)直线不垂直于x轴和y轴截距式直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b错误!错误!＋错误!＝1（a≠0，b≠0)直线不垂直于x轴和y轴,且不过原点一般式—错误!Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）任何情况1．概念辨析（1）直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α。

( )（2）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(3）经过点P（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．( ）(4)经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)（x2－x1）＝(x－x1）（y2－y1)表示．（）答案(1）×(2)×（3)×（4）√2．小题热身(1）直线l经过原点和点（－1，－1),则直线l的倾斜角是( ）A．45° B．135°C．135°或225° D．60°答案A解析由已知,得直线l的斜率k＝错误!＝1，所以直线l的倾斜角是45°.(2）在平面直角坐标系中，直线错误!x＋y－3＝0的倾斜角是（)A.错误!B。

广东省2021高考数学学业水平合格考试总复习学业达标集训统计含解析

统计一、选择题1．贵阳地铁1号线12月28日开通运营，某辆机车某时刻从下麦西站驶往贵阳北站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70、60、60、50、60、40、40、30、30、10，则这组数据的众数、中位数、平均数的和为( )A ．170B ．165C ．160D ．150D [将这组数据从小到大排列：10、30、30、40、40、50、60、60、60、70，易知其众数为60，中位数为45，平均数为45，故众数、中位数、平均数的和为150.]2．从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为( )A ．8B ．10C ．12D ．16B [系统抽样的分段间隔为805＝16，设样本中产品的最小编号是x,42是第三组编号，因此x ＋2×16＝42，得x ＝10.]3．由小到大排列的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，其中每个数据都小于－1，则样本1，x 1，－x 2，x 3，－x 4，x 5的中位数为( )A ．1＋x 22B ．x 2－x 12C ．1＋x 52D ．x 3－x 42C [因为x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5＜－1，题目中数据共有六个，排序后为x 1＜x 3＜x 5＜1＜－x 4＜－x 2，故中位数是按从小到大排列后第三，第四两个数的平均数作为中位数，故这组数据的中位数是12(x 5＋1)．故选C ．]4．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )A ．91.5和91.5B ．91.5和92C ．91和91.5D ．92和92A [∵这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96，∴中位数为12×(91＋92)＝91.5.平均数为18×(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96)＝91.5.]5．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归方程为y ^＝60＋90x ，下列判断正确的是( )A ．劳动生产率为1千元时，工资为50元B ．劳动生产率提高1千元时，工资提高150元C ．劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元D ．劳动生产率为1千元时，工资为90元C [因工人月工资依劳动生产率变化的回归方程为y ^＝60＋90x ，当x 由a 提高到a ＋1时，y ^2－y ^1＝60＋90(a ＋1)－60－90a ＝90.]6．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )A ．93B ．123C ．137D ．167C [由题干扇形统计图可得该校女教师人数为：110×70%＋150×(1－60%)＝137.] 7．从一堆苹果中任取10个，称得它们的质量如下(单位：克)：125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为( )A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.5C [∵在125 120 122 105 130 114 116 95 120 134十个数字中，样本数据落在[114.5,124.5)内的有116,120,120,122共有四个，∴样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为410＝0.4，故选C ．]8．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()A．45 B．50C．55 D．60B[由频率分布直方图，知低于60分的频率为(0.01＋0.005)×20＝0.3.∴该班学生人数n＝50.]＝150.39．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45)岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是()A．31.6岁B．32.6岁C．33.6岁D．36.6岁C[由题图可知，在区间[25,30)上的数据的频率为1－(0.01＋0.07＋0.06＋0.02)×5＝0.2.故中位数在第3组，且中位数的估计为30＋(35－30)×0.250.35≈33.6(岁)．]10．在某次测量中得到的A样本数据如下：42,43,46,52,42,50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是() A．平均数B．标准差C．众数D．中位数B[利用平均数、标准差、众数、中位数等统计特征数的概念求解．由B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，可得平均数、众数、中位数分别是原来结果减去5，即与A样本不相同，标准差不变．]11．高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为()A ．13B ．17C ．19D ．21C [因为47－33＝14，所以由系统抽样的定义可知样本中的另一个学生的编号为5＋14＝19.]12．如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩．(单位：分)已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,6 B ．2,7 C ．3,6D ．3,7D [依题意得9＋10×2＋2＋x ＋20×2＋7＋4＝17×5，即x ＝3，y ＝7，故选D ．] 13．在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为( )A ．32B ．0.2C ．40D ．0.25A [由频率分布直方图的性质，可设中间一组的频率为x ，则x ＋4x ＝1，所以x ＝0.2，故中间一组的频数为160×0.2＝32，选A ．]14．如图所示，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A 和xB ，样本标准差分别为s A 和s B ，则()A ．x A ＞xB ，s A ＞s B B ．x A ＜x B ，s A ＞s BC ．x A ＞x B ，s A ＜s BD ．x A ＜x B ，s A ＜s BB [A 中的数据都不大于B 中的数据，所以x A ＜x B ，但A 中的数据比B 中的数据波动幅度大，所以s A ＞s B ．]15．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为x －和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )A ．x －，s 2＋1002 B ．x －＋100，s 2＋1002 C ．x －，s 2D ．x －＋100，s 2D [x 1＋x 2＋…＋x 1010＝x －，y i ＝x i ＋100，所以y 1，y 2，…，y 10的均值为x －＋100，方差不变，故选D ．]二、填空题16．某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为．40 [∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，一、二、三、四年级的学生比为4∶3∶2∶1， ∴三年级要抽取的学生人数是24＋3＋2＋1×200＝40.]17．已知一组正数x 1，x 2，x 3，x 4的方差为s 2＝14 (x 21＋x 22＋x 23＋x 24－16)，则数据x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2的平均数为．4 [由方差的计算公式可得：s 21＝1n [x 21＋x 22＋…＋x 2n ]－x 21＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－16)，可得平均数x 1＝2.对于数据x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2有x 2＝2＋2＝4.]18．如图是某学校抽取的n 个学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第3小组的频数为18，则n 的值是．48 [根据频率分布直方图，得从左到右的前3个小组的频率和为：1－(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.75. 又∵这三组频率之比为1∶2∶3， ∴第3小组的频率为31＋2＋3×0.75＝0.375，且对应的频数为18，∴样本容量n ＝180.375＝48.]19．已知x ，y 的值如下表所示：如果y 与x 呈线性相关且回归直线方程为y ^＝b ^x ＋3.5，那么b ^＝ .x 2 3 4 y5460.5 [由表可知x ＝3，y ＝5，代入y ＝b x ＋3.5得b ＝0.5.] 三、解答题20．随机抽样某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2)计算甲班的样本方差．[解] (1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160～179之间，而乙班身高集中于170～179之间，因此乙班的平均身高高于甲班．(2)x甲＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋18210＝170，甲班的样本方差 s 2甲＝110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.21．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得Σ10i ＝1x i ＝80，Σ10i ＝1y i ＝20，Σ10i ＝1x i y i ＝184，Σ10i ＝1x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝Σni ＝1x i y i －n x y Σn i ＝1x 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x ，其中x ，y 为样本平均值．[解] (1)由题意知n ＝10，x ＝110Σn i ＝1x i ＝8010＝8，y ＝110Σ10i ＝1y i ＝2010＝2， b ^＝Σ10i ＝1x i y i －10x y Σ10i ＝1x 2i －10x 2＝184－10×8×2720－10×82＝2480＝0.3，a ^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3＞0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).。

新高考2023版高考数学一轮总复习第8章第8讲第2课时最值范围证明问题课件

[解析] (1)∵抛物线 x2＝8y 的焦点坐标为(0，2)， ∴椭圆的半焦距 c＝2.
c＝2，由题意可知a62＋b12＝1，
a2＝b2＋c2，
解得 a2＝8，b2＝4，
∴椭圆的标准方程为y82＋x42＝1.
(2)设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵A，B，O 三点构成三角形，所以直线 l 的斜率存在且不为 0，则可设直线 l 的方程为 y＝kx＋3.
C
：
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)过点
E1，
22，A1，A2 为椭圆的左、右顶点，且直线
A1E，A2E
的斜率的乘积为－21. (1)求椭圆 C 的方程； (2)过右焦点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N
两点，线段 MN 的垂直平分线交直线 l 于点 P，交直线 x＝－2 于点 Q，求||MPQN||的最小值．
第八章
解析几何
第八讲圆锥曲线的综合问题
第二课时最值、范围、证明问题
考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
考点一
圆锥曲线中的最值问题——师生共研
例1 (2021·广东省佛山市质检)已知 F 为椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)
的左焦点，过原点
O
的动直线
l
与
C
交于
〔变式训练 2〕
(2022·广东省质检)已知椭圆 C 的两个焦点分别是(－1，0)，(1，0)，
并且经过点1，
22.
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)已知点 Q(0，2)，若 C 上总存在两个点 A、B 关于直线 y＝x＋m 对

2021广东省高三数学学业水平合格考试总复习教师用书：第章圆与方程

考纲展示考情汇总备考指导圆与方程①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．④初步了解用代数方法处理几何问题的思想.2017年1月T122018年1月T192019年1月T122020年1月T12本章的重点是求根据所给条件求圆的方程、直线与圆的位置关系的判定与应用,难点是与圆有关的综合问题，解决与圆有关的问题时，要特别注意应空间直角坐标系①了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置．②会推导空间两点间的距离公式。

用圆的几何性质，而不是只应用代数运算，前者往往更简洁.求圆的方程1．圆的标准方程圆心坐标是(a,b),半径是r的圆的标准方程是(x－a）2＋(y－b)2＝r2.2．圆的一般方程当方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0满足D2＋E2－4F〉0时表示圆，此圆的圆心坐标为错误!，半径为错误!错误!.［学考真题对练]1．（2017· 1月广东学考)已知点A（－1, 8）和B（5，2），则以线段AB为直径的圆的标准方程是（)A．（x＋2)2＋(y＋5）2＝3错误!B．(x＋2)2＋（y＋5)2＝18C．(x－2)2＋（y－5)2＝32D．(x－2)2＋(y－5）2＝18D［圆的标准方程为(x－a)2＋（y－b）2＝r2，其中圆心为C错误!＝（2,5），半径为r＝错误!错误!＝3错误!.∴所求圆的标准方程为(x－2）2＋（y－5)2＝18.］2．（2018· 1月广东学考）圆心为两直线x＋y－2＝0和－x＋3y ＋10＝0的交点，且与直线x＋y－4＝0相切的圆的标准方程是．(x－4）2＋(y＋2)2＝2 ［联立错误!得错误!⇒圆心为(4,－2），则圆心(4，－2)到直线x＋y－4＝0的距离为d＝错误!＝错误!，故圆的半径为错误!。

∴圆的标准方程为(x－4)2＋（y＋2）2＝2。

【金榜教程】2021高三总复习人教A版数学配套课件：第8章第5讲

[] 利用|AF1||F1B|＝|F1F2|2的关系为突破口，寻找a、c 的关系．
C
[] (1)将椭圆上的点代入得到基本量关系，再求出椭圆的离心率．(2)设出直线方程，通过解方程组求得交点的坐标，再根据线段的长度相等求出直线的斜率．
1. 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式Δ来判断直线和椭圆相交、相切或相离． 2. 消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形． (1)求该椭圆的离心率和标准方程； (2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．
(1)判断下列点的轨迹是否为椭圆(请在括号内填“是”或“否”) ①平面内到点A(0,2)，B(0，－2)距离之和等于2的点的轨迹( ) ②平面内到点A(0,2)，B(0，－2)距离之和等于4的点的轨迹( ) ③平面内到点A(0,2)，B(0，－2)距离之和等于6的点的轨迹( )
2．
(1)若方程Ax2＋By2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则A与B 具有什么关系？
第7步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范．第 (1)问中求椭圆离心率和方程的关键是寻求a、b、c的等式关系．第(2)问中巧妙设直线方程为x＝my－2，避免了讨论斜率不存在的情况．
D 椭圆焦点在y轴上，∴a2＝m－2，b2＝10－m.又∵c＝2 ，∴m－2－(10－m)＝22＝4.∴m＝8.
3 1. 椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c. 2. 求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合c2＝a2－b2，就可求得e(0<e<1)． 3. 求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴.

【金榜教程】2021高三总复习人教A版数学配套课件：第8章第8讲

4 1. 直接法：也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式(两点间距离公式、点到直线距离公式等)进行整理、化简． 2. 定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量． 3. 代入法：也叫相关点法，其特点是，动点M(x，y)的坐标取决于已知曲线C上的点(x′，y′)的坐标，可先用x，y表示x′、 y′，再代入曲线C的方程，即得点M的轨迹方程．
2 [2013· ]已知定点A(0,7)、B(0，－7)、C(12，2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．
[] 由于椭圆过A，B两点，且以C、F为焦点，所以可利用椭圆的定义寻找点F所满足的关系．
1．运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程． 2．定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线，其方程是什么形式的方程．利用条件把待定系数求出来，使问题得解．
(3)x2－4y2＝1 设M(x，y)，则P(2x,2y)，代入双曲线方程得x2－4y2＝1，即为所求.
❖
1 [2012·➢ ]如图，动点M与两定点A(－1,0)、B(1,0)构成△MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4.设动点M的轨迹为 C.求轨迹C的方程．
[] 设出点M的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程，化简整理即可．
3 [2012· ➢ ]设A是单位圆x2＋y2＝1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l 上，且满足|DM|＝m|DA|(m>0，且m≠1)．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.
求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标.

高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第2节两直线的位置关系距离公式教师用书

第二节　两直线的位置关系、距离公式考试要求：1．能根据两条直线的方程判定这两条直线平行或垂直(逻辑推理)．2．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离(数学运算)．一、教材概念·结论·性质重现1．两条直线的位置关系(1)利用斜率关系判断对于不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2．l1∥l2k1＝k2l1⊥l2k1·k2＝－1特别地，当两直线的斜率都不存在时，l1∥l2；当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2．(2)利用方程判断l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2，C2均不为0)，l1∥l2＝≠l1⊥l2A1A2＋B1B2＝0l1与l2重合＝＝特别地，若A2，B2，C2中存在为0的情况，则利用斜率关系判断．(3)两直线相交交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．(1)与直线Ax＋2．三种距离(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|＝．(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．(3)两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中A2＋B2≠0，C1≠C2)间的距离d＝．应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意：二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2．(　×　)(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1．(　×　)(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为．(　×　)(4)两平行直线2x－y＋1＝0,4x－2y＋1＝0间的距离为0．(　×　) 2．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数m的值为( )A．0 B．－8 C．2 D．10B　解析：由题意知＝－2，解得m＝－8．故选B．3．如果平面直角坐标系内的两点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为( )A．x－y＋1＝0 B．x＋y＋1＝0C．x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0A　解析：因为直线AB的斜率为＝－1，所以直线l的斜率为1．设直线l的方程为y ＝x＋b，由题意知直线l过线段AB的中点，所以＝＋b，解得b＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0．故选A．4．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为____ ____．C　解析：若直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或－3．5．已知两条直线l1：4x＋2y－3＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1与l2之间的距离为___ _____．　解析：两条直线l1：4x＋2y－3＝0，l2：2x＋y＋1＝0，即两条直线l1：4x＋2y －3＝0，l2：4x＋2y＋2＝0，它们之间的距离d＝＝．考点1　两直线平行与垂直判定及应用——基础性1．“m＝1”是“直线l1：mx＋y－1＝0和直线l2：x＋my＋6＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A　解析：直线l1：mx＋y－1＝0和直线l2：x＋my＋6＝0平行⇔m2＝1⇔m＝±1，“m＝1”是“m＝±1”的充分不必要条件．故选A．2．若直线2x＋(2a－5)y＋2＝0与直线bx＋2y－1＝0互相垂直，则a2＋b2的最小值为( )A． B．3C．5 D．C　解析：因为直线2x＋(2a－5)y＋2＝0与直线bx＋2y－1＝0互相垂直，所以2b＋2(2a－5)＝0，化简得b＝5－2a，所以a2＋b2＝a2＋(5－2a)2＝5a2－20a＋25＝5(a－2)2＋5≥5，当且仅当a＝2时取“＝”，所以a2＋b2的最小值为5．3．已知直线l1：mx＋y－1＝0，l2：(2m＋3)x＋my－1＝0，m∈R，若l1⊥l2，则m＝________．0或－2　解析：若l1⊥l2，则m(2m＋3)＋m＝0，解得m＝0或m＝－2，即l1⊥l2⇔m＝0或m＝－2．1．当方程的系数含有字母时，应考虑斜率不存在的特殊情况，否则容易漏解．2．利用平行、垂直等条件求出参数值后，应将求出的参数值回代，验证是否符合题意．如当两直线平行时，利用斜率相等求出的参数值可能会使两直线重合，应该代入验证是否舍去其中一个值．考点2　两直线的交点、距离问题——综合性(1)已知直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A．4 B．C． D．B　解析：由直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行，得m＝4，所以直线分别为3x＋2y－3＝0与3x＋2y＋＝0．它们之间的距离是＝．故选B．(2)直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为( )A．－24 B．24 C．6 D．±6 A　解析：直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，可设交点坐标为(a,0)，则即故选A．本例1(1)中，条件“直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行”改为“直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相垂直”，求两直线的交点坐标．解：因为两直线垂直，则18＋2m＝0，则m＝－9．由解得所以交点坐标为．1．求过两直线交点的直线方程的方法1．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为( )A．(1,2) B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)C　解析：设P(x,5－3x)，则d＝＝，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，即x＝1或x＝2，故点P的坐标为(1,2)或(2，－1)．故选C．2．已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点Q，且点P(0,4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为( )A．0 B．1C．2 D．3C　解析：由得即直线l过点Q(1,2)．因为|PQ|＝＝>2，所以满足条件的直线l有2条．故选C．考点3　对称问题——应用性考向1　点关于点对称过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．x＋4y－4＝0　解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把点B的坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0．考向2　点关于直线的对称点已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________．　解析：设A′(x，y)，由已知得解得故A′．则有(2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决．考向3　直线关于直线的对称已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0．若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是( )A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0B　解析：由得交点(1,0)，取l1上的点(0，－2)，其关于直线l的对称点为(－1，－1)，故直线l2的方程为＝，即x－2y－1＝0．1．已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为( )A．2x＋3y＋5＝0 B．3x－2y＋5＝0C．3x＋2y＋5＝0 D．2x－3y＋5＝0B　解析：易知A(－1,1)．设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，又－＝，所以直线l2的方程为y－1＝(x＋1)，即3x －2y＋5＝0．故选B．2．若函数y＝ax＋8与y＝－x＋b的图象关于直线y＝x对称，则a＋b＝( )A． B．－C．2 D．－2C　解析：直线y＝ax＋8关于y＝x对称的直线方程为x＝ay＋8，所以x＝ay＋8与y＝－x＋b为同一直线，则所以a＋b＝2．故选C．。

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统计考纲展示考情汇总备考指导(1)随机抽样①理解随机抽样的必要性和重要性． ②会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.2018年1月T7本章的重点是抽样方法、频率分布直方图、茎叶图的识别与应用、样本数字特征的计算，难点是解决概率与统计的综合问题，对于抽样方法，要注意其适用情况，对于统计图表应掌握其意义及其与样本的特征数之间的联系，计算样本的特征数时注意计算结果的准确性.(2)用样本估计总体①了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．②理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差． ③能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释．④会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.2017年1月T15 2019年1月T8 2020年1月T3抽样方法抽样方法(1)抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，其中简单随机抽样分为抽签法、随机数法．(2)三种抽样方法的区别与联系①联系：简单随机抽样、系统抽样与分层抽样都是一种等概率抽样，抽样时每个个体被抽到的可能性是相等的，它们都是随机抽样．②区别：一般地，当总体个数较多时，常采用系统抽样，当总体由差异明显的几部分组成时，常采用分层抽样，一般情况下，采用简单随机抽样．[学考真题对练](2018· 1月广东学考)某校高一(1)班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是( )A ．6和9B ．9和6C ．7和8D ．8和7A [抽样比为k ＝1550＝310，则应抽取的男生人数为20×310＝6(人)，应抽取的女生人数为(50－20)×310＝9(人)，故选A ．]分层抽样中每层抽取的个体数的确定方法(1)已知总体容量、样本容量及各层的个体数时，首先确定抽样比n N，其中N 为总体容量，n 为样本容量；然后确定每层抽取的个体的个数n i ＝N i ×nN，其中N i 为第i (i ＝1,2，…，k )层的个体数，n i 为第i 层应抽取的个体数．(2)已知各层个体数之比为m 1∶m 2∶…∶m k ，样本容量为n 时，每层抽取的个体数为n i ＝n ×m im 1＋m 2＋…＋m k(i ＝1,2，…，k )． 1．(2019·汕头高一期中检测)从50份高三学生期中考试试卷中随机抽出15份进行教研分析，则下列说法正确的是( )A ．15名学生是样本B ．50名学生是总体C ．样本容量是15D ．样本容量是50C [样本是抽取的15份试卷，总体容量是50，样本容量是15.]2．(2019·潮州高一月考)利用简单随机抽样从含有8个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则总体中每个个体被抽到的概率是( )A ．12B ．13C ．16D ．14A [总体个数为N ，样本容量为M ，则每一个个体被抽到的概率为P ＝M N ＝48＝12.]3．(2018·汕头市高一月考)某超市有三类食品，其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有20种、15种和10种，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本进行安全检测，若果蔬类抽取4种，则n 为( )A ．3B ．2C ．5D ．9D [超市有三类食品，其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有20种、15种和10种，其比例为4∶3∶2，采用分层抽样的方法抽取样本进行安全检测，若果蔬类抽取4种，则样本总数为4×94＝9，故选D ．]4．(2019·广州市学考模拟)某班有34位同学，座位号记为01,02，…，34，用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号．选取方法是从随机数表第一行的第6列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号是( )49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 A ．23 B ．09 C ．02D ．16D [从随机数表第一行的第6列数字3开始，由左到右依次选取两个数字，不超过34的依次为21,32,09,16,17，故第4个志愿者的座号为16.]5．(2018·江门市学考模拟题)要完成下列两项调查：(1)某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；(2)从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是( )A ．(1)用系统抽样法，(2)用简单随机抽样法B ．(1)用分层抽样法，(2)用系统抽样法C ．(1)用分层抽样法，(2)用简单随机抽样法D ．(1)(2)都用分层抽样法C [(1)由差异明显的若干层组成，故用分层抽样，(2)的人数较少，故用简单随机抽样法，故选C ．]6．(2018·佛山市学考模拟)某社区对社区内居民的“幸福指数”进行抽样调查，按样本容量与总体容量的比为1∶100，分层抽取了160名居民代表，其中老年人约占25%，则该社区内老年人的人数约为( )A ．1 600B ．2 500C ．4 000D ．6 400C [设老年人的人数为n ，则160×25%n ＝1100，解得n ＝4 000.]7．(2020·广东学考模拟)某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( )A ．100B ．150C ．200D ．250A [分层抽样的抽取比例为703500＝150，总体个数为3500＋1500＝5000， ∴样本容量n ＝5000×150＝100.故选A ．]8．(2019·蛇口学考模拟)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是．分层抽样 [因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较大差异，所以需按年龄进行分层抽样，才能了解到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价．]9．(2019·广州高一期末检测)某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中抽取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽取的数是．7 [间隔数k ＝80050＝16，即每16人抽取一个人．由于39＝2×16＋7，所以第1小组中抽取的数为7.]用样本的频率分布估计总体的频率分布用样本估计总体包括下面两个方面：(1)用样本的频率分布估计总体分布，主要通过样本的频率分布直方图，样本数据的茎叶图来估计总体分布．(2)用样本的数字特征估计总体的数字特征，主要是根据直方图或茎叶图估计总体的众数、中位数、平均数、方差、标准差等数据，要注意每个数据的计算方法．(3)在频率分布直方图中，纵轴表示频率组距，数据落在各个小组内的频率用频数样本容量表示，各小长方形的面积总和为1.(4)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图，随着样本容量的增加，作图时所分的组数也增加，组距减少，相应的频率分布折线图也就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称之为总体密度曲线，它能够更加精确地反映总体在各个范围内取的百分比．[最新模拟快练]1．(2019·广州市学考模拟)把样本容量为20的数据分组，分组区间与频数如下：[10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，4；[40,50)，5；[50,60)，4；[60,70]，2，则在区间[10,50)上的数据的频率是( )A ．0.05B ．0.25C ．0.5D ．0.7D [由题知，在区间[10,50)上的数据的频数是2＋3＋4＋5＝14，故其频率为1420＝0.7.]2．某学校组织学生参加数学测试，成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60B [由题意得，该班学生的成绩低于60分的频率为(0.005＋0.010)×20＝0.3，因此该班的学生人数是150.3＝50，故选B．]3．(2018·揭阳学考模拟题)为了促进经济结构不断优化，2015年中央财经领导小组强调“着力加强供给侧结构性改革”.2017年国家统计局对外发布报告“前三季度全国工业产能利用率达到五年来最高水平”，报告中指出“在供给侧结构性改革持续作用下，今年以来去产能成效愈加凸显，供求关系稳步改善”．如图为国家统计局发布的2015年以来我国季度工业产能利用率的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较；例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较．根据上述信息，下列结论中错误的是( )A．2016年第三季度和第四季度环比都有提高B．2017年第一季度和第二季度环比都有提高C．2016年第三季度和第四季度同比都有提高D．2017年第一季度和第二季度同比都有提高C[2016年第三季度同比下降，第四季度同比也下降，故C错误．]4．(2019·惠州高一检测)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄在17～18岁的男生体重(kg)，将他们的体重按[54.5,56.5)，[56.5,58.5)，…，[74.5,76.5]分组，得到频率分布直方图如图所示．由图可知这100名学生中体重在[56.5，64.5)的学生人数是( )A．20 B．30C．40 D．50C [由频率分布直方图可得体重在[56.5,64.5)的学生频率为(0.03＋0.05＋0.05＋0.07)×2＝0.4，则这100名学生中体重在[56.5,64.5)的学生人数为100×0.4＝40.]5．(2018·惠州高一月考)容量为100的样本的频率分布直方图如图，则该组数据落在区间[4,5)上的频数为．30 [100×[1－(0.05＋0.10＋0.15＋0.40)×1]＝30.]6．(2018·汕头市高一期中)将容量为n 的样本中的数据分成5组，绘制频率分布直方图．若第1至第5个长方形的面积之比3∶4∶5∶2∶1，且最后两组数据的频数之和等于15，则n 等于．75 [根据频率和为1，得：直方图中最后两组数据的频率之和为2＋13＋4＋5＋2＋1＝15.对应的频数为15，∴样本容量为n ＝1515＝75.]频率分布直方图的注意点(1)横轴表示样本数据，纵轴表示频率组距.(2)小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率． (3)各小长方形的面积总和等于1. 用样本的数字特征估计总体的数字特征样本数字特征 (1)众数的概念在一组数据中，出现次数最多的数据叫作这组数据的众数． (2)中位数的概念将一组数据按大小顺序依次排列，把处在中间位置的一个数(或两个数的平均值)叫作这组数据的中位数．(3)平均数的概念如果有n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么x －＝x 1＋x 2＋…＋x nn叫作这n 个数的平均数．总体中所有个体的平均数叫作总体平均数；样本中所有个体的平均数叫作样本平均数．(4)标准差考察样本数据的分散程序的大小，最常用的统计量是标准差．标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示．s ＝1n[x 1－x－2＋x 2－x－2＋…＋x n －x－2].(5)方差从数学的角度考虑，有时用标准差的平方s 2＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具．[学考真题对练]1．(2017· 1月广东学考)已知样本x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数为4, 方差为3, 则x 1＋6，x 2＋6，x 3＋6，x 4＋6，x 5＋6的平均数和方差分别为( )A ．4和3B ．4和9C ．10和3D ．10和9C [平均数加6，方差不变．]2．(2019·1月广东学考)某地区连续六天的最低气温(单位：°C)为：9,8,7,6,5,7，则该六天最低气温的平均数和方差分别为( )A ．7和53B ．8和83C ．7和1D ．8和23A [x ＝9＋8＋7＋6＋5＋76＝7，s 2＝16[(9－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2]＝53.]3．(2020·1月广东学考)某次歌唱比赛中，7位评委为某选手打出的分数分别为83,91,91,94,94,95,96，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为( )A ．94B ．93C ．92D ．91B [评委打出的最低分为83，最高分为96，去掉最高分和最低分，其余得分为91,91,94,94,95，故平均分为91＋91＋94＋94＋955＝93.故选B ．][最新模拟快练]1．(2018·广东省普通高中学业水平考试模拟题)七位顾客对某商品的满意度(满分为10分)打出的分数为：8,5,7,6,9,6,8.去掉一个最高分和最低分后，所剩数据的平均值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9B [x －＝15(8＋7＋6＋6＋8)＝7.]2．(2018·佛山市学考模拟)根据如图所示的茎叶图，以下判断正确的是( )A ．甲的中位数大于乙的中位数B ．乙的中位数大于甲的中位数C ．甲的众数大于乙的众数D ．乙的众数大于甲的众数A [甲的中位数是66，乙的中位数是62，甲的众数是73，乙的众数是73，故选A ．] 3．(2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)已知一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均值为2，方差为1，则2x 1＋1,2x 2＋1，…，2x n ＋1，平均值和方差分别为( )A ．5,4B ．5,3C ．3,5D ．4,5A [一组数据x 1，x 2，x 3…，x n 的平均值为2，所以数据2x 1＋1,2x 2＋1,2x 3＋1，…，2x n＋1的平均数是2×2＋1＝5；又数据x 1，x 2，x 3，…x n 的方差为1，所以数据2x 1＋1,2x 2＋1,2x 3＋1，…，2x n ＋1的方差是22×1＝4，故选A ．]4．(2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)某次体检，6位同学的身高(单位：米)分别为1.72，1.78，1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是米．1.76 [由小到大排列为 1.69,1.72,1.75, 1.77，1.78, 1.80.中位数是1.75＋1.772＝1.76.]5．(2018·中山市高一期中)甲、乙两人进行射击10次，它们的平均成绩均为7环，10次射击成绩的方差分别是：s 2甲＝3，s 2乙＝1.2.成绩较为稳定的是．(填“甲”或“乙”)乙 [因为甲的方差为3，乙的方差为1.2，所以方差较小的为乙，成绩比较稳定的是乙，故答案为乙．]6．(2018·惠州市学考模拟)在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是．45 46[由茎叶图知甲组数据的中位数是45，乙组数据的中位数是46.] 7．(2018·广州市高中二年级学生学业水平模拟测试)某车间20名工人年龄数据如下表：年龄(岁)工人数(人)19 128 329 330 531 432 340 1合计20(1)求这20(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；(3)求这20名工人年龄的方差.[解](1)这20名工人年龄的众数为30，极差为40－19＝21；(2)茎叶图如下：123 4⎪⎪⎪⎪98 8 8 9 9 90 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 0(3)年龄的平均数为19＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋4020＝30，故这20名工人年龄的方差为120[(－11)2＋3×(－2)2＋3×(－1)2＋5×02＋4×12＋3×22＋102]＝120(121＋12＋3＋4＋12＋100)＝120×252＝12.6.。