(上海专版)高考数学 母题题源系列 专题07 基本初等函数及其应用 理-人教版高三全册数学试题

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母题七 基本初等函数及其应用

【母题原题1】【2018某某卷，7】已知α∈{－2,－1,－21,21,1,2,3}，若幂函数()nfxx为奇函数，
且在(0,+∞)上递减，则α=_____.
【答案】1
【解析】幂函数为奇函数，幂指数只能为1,1,3，又函数在(0,)上递减，0，所以1.
【母题原题2】【2017某某卷，9】已知四个函数：① ；② ；③ ；④ . 从
中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为________
【答案】

【母题原题3】【2016某某卷，18】已知点(3,9)在函数xaxf1)(的图像上，则
________)()(1xfxf的反函数
．

【答案】2log(1)x
【解析】试题分析：
将点（3，9）代入函数1xfxa中得2a，所以12xfx，用y表示x得2log(1)xy，所
以12log(1)fxx.
【考点】反函数的概念以及指、对数式的转化
【名师点睛】指数函数与对数函数互为反函数，求反函数的基本步骤是：一解（反解x）、二换（x与y
互换）、三注（注意定义域）.本题较为容易.
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【命题意图】主要考查基本初等函数的运算与性质，以及反函数的概念，作差或作商法的应用，不等
式的相关性质以及有关函数性质的应用.
【命题规律】 某某高考近几年对这部分的考查主要集中在基本初等函数与反函数的综合，基本初等函
数的一系列运算性质，对该部分内容考查一般以选择填空题形式出现,难度中等。
【答题模板】解答本类题目,以求解有关反比例函数为例，一般考虑如下三步：
第一步：利用解析式反求出x；

第二步：互换式子中的x与y；
第三步：写出最终解析式，注意定义域。
【方法总结】
1.指数函数图象的应用技巧：对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入
手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
2.有关指数函数性质的问题类型及解题思路
(1)比较指数幂大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．
(2)简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值
X围，并在必要时进行分类讨论．
(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性
质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质
分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．
3.对数运算的一般思路
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；
(2)将同底对数的和、差、倍合并；
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应
用．
4.对数函数性质及应用中应注意的问题
(1)比较对数值大小时，若底数相同，构造相应的对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找
中间量，也可以用换底公式化成同底的对数再比较．
(2)解简单的对数不等式时，先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性
转化为一般不等式求解．
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(3)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问
题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即
它是由哪些基本初等函数复合而成的．

1．【某某市浦东新区2018届高三数学一模】某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）
满足函数关系kxbye（2.718e为自然对数的底数， k、b为常数），若该食品在0℃的保鲜时间是
192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ）小时
A. 22 B. 23 C. 24 D. 33
【答案】C

2．【某某市虹口区2018届高三下学期教学质量监控（二模）】已知函数 ，则
_________．
【答案】-2
【解析】，则。
3．【某某市松江、闵行区2018届高三下学期质量监控（二模）】若函数
没有最小值，则的取值X围是____________.
【答案】
【解析】分类讨论：
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当时，，函数没有最小值，
当时，应满足有解，故，
综上可得，的取值X围是.
4．【某某市松江、闵行区2018届高三下学期质量监控（二模）】定义在上的函数的反函数为
，则________.
【答案】
【解析】求解指数方程：可得：，
由反函数的定义与性质可得.
5．【某某市普陀区2018届高三下学期质量调研（二模）】设函数logmfxx（0m且1m），若m是
等比数列na（*Nn）的公比，且24620187faaaa，则

2222

1232018
fafafafa

的值为_________.
【答案】1990
【解析】24620187faaaa， 7282018...aaam，
10022820181320171009......,aaaaaamm


22221232018fafafafa
222

122018log...m
aaa


2
132017242018log......m
aaaaaa


2

100271990loglogmmmmm

1990，故答案为1990

.

6．【某某市普陀区2018届高三下学期质量调研（二模）】若函数23fxx的反函数为gx，则函
数gx的零点为________.
【答案】3x
【解析】
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7．【某某市黄浦区2018届高三4月模拟（二模）】方程的解_________．
【答案】
【解析】

或（舍）
即，解得
即答案为2.
8．【某某市长宁、嘉定区2018届高三第一次质量调研（一模）】已知函数1logafxx，

1yfx


是函数yfx的反函数，若1yfx的图象过点2,4，则a的值为.
【答案】4
【解析】试题分析：根据原函数与反函数的关系进行分析，原函数过点（4,2），代入即可得到a值；
由题f（x）过点（4,2）,所以1log42,4aa
考点：反函数

9．【某某市崇明区2018届高三第一次高考模拟】若函数afxx的反函数的图象经过点11,24，则
a
_____．

【答案】12

10．【某某市某某师X大学附属中学2017－2018学年上学期高三期中考试】已知33312aa，则
实数a的取值X围是_________.

【答案】1,4,32
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【解析】因为3yx是R上的增函数，所以11312aa，解得4a或132a，故填

1
,4,32




.

11．【某某市七宝中学2017届高三上学期第一次月考】若212log420axxa对任意xR恒成立，
则实数a的取值X围是________
【答案】4a.

【点睛】解对数不等式应将两边都化成同底数的对数，利用对数函数的单调性比较真数的大小。不等式

2

1
2

log420axxa
对任意xR恒成立，可转化为不等式2430axxa对任意xR恒成

立，分0a与0a两种情况讨论。0a时结合二次函数的图像得结论。
12．【某某市浦东新区2017-2018学年第一学期高三数学期中质量检测】（1）解方程：
1225955000xx

；

（2）已知关于x的不等式250axxb的解集为21,34，求关于x的不等式250axxb的解集．

【答案】（1）1；（2）12,,43
【解析】试题分析：（1）统一指数的底数为5,再把150xt当整体，原方程转化为一元二次方程，可解
得t，进一步解得x.(2)由题意可得方程250axxb的两个根为23和14， 且0a，进一步求得a,b，
代入不等式250axxb，可求得不等式的解集．
试题解析：（1）令150xt，则2455000tt，解得20t或25t，即1520x或1525x，解
得5log4x或1x.
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（2）由题意可知，方程250axxb的两个根为23和14， 且0a则由韦达定理可得122ab，，
于是不等式250axxb为212520xx，则其解集为12,,43．
【点睛】对于一个方程或不等式中有多个指数形式的，常把指数化同底，再应用整体思想，把指数结构整
体换元。从而进一步求解。