数列的极限概念
数列极限的概念
数列极限的概念
数列极限概念非常重要，它与微积分、级数、初等数论和拓扑学有密切联系，并在各种应用中广泛应用。
它具有非常好的数学特性，并有助于我们运用数学原理来解决实际问题。
本文将讨论数列极限概念的基本概念、特性及其应用。
首先需要了解什么是数列极限。
数列极限是一种特殊的数列，它表示一组数字点，构成一个有限或无限的数列，这些点距离无穷远的另一个数。
理论上，任何可以接受的数列都可以定义极限，并且极限值可以是有穷的，比如2或无穷大，比如π。
接下来看看数列极限的特性。
数列极限具有重要的性质，即析取法则，它规定了如何求得极限值。
另外，极限也是不等式的一个重要组成部分。
极限的结果也可以用于证明某些数列的性质，包括连续性、可积性、闭区间等。
有了关于数列极限的基本了解之后，接下来讨论它的应用。
数列极限也被广泛应用于微积分的计算，它可以用来确定一个函数的导数或积分等。
另外，数列极限也可以用来研究系统的动态变化，它可以确定系统的稳定性等。
它还可以用来分析因果关系，以及研究一些复杂的现象和现象的发展趋势等。
通过本文，我们可以清楚地了解到数列极限的概念，它的特点和应用。
有了数列极限的概念，我们就可以更好地利用它来解决具体的实际问题。
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§2.1数列极限
华北科技学院理学院
2017年11月29日星期三
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《数学分析》(1)
§2.1 数列极限概念
引例②截丈问题
战国时代哲学家庄周著的《庄子· 天下 篇》引用过一句话：
一尺之棰 日取其半 万世不竭. 1 第一天截下后的杖长为 X1 ; 2 1 第二天截下后的杖长为 X2 2 ; 2
1 第n天 截 下 后 的 杖 长 为 Xn n ; 2 1 0 Xn n
2
……
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《数学分析》(1)
§2.1 数列极限概念
两个引例共同点是出现了无限接近思想，这正是 极限概念的原始面貌. 极限概念是由于求某些问题的 精确答案而产生的, 割圆术和杖棰问题使用的都是极 限的方法. 第一个是把一个固定不变的量看作是一系 列变化着的多边形面积的趋向，从而确定出面积的 大小. 第二个是杖棰剩余问题，看作一系列变化着的 剩余趋向于一个确定量的问题. 无论是内接正多边形的面积 ，还是杖棰的剩余长 度，都可以看作是关于 n 的一个数列{ an }，而这个数 列中的项随着 n 增加产生一个什么样的变化过程则是 人们最关心的，极限就是讨论这一类问题的数学模型.
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《数学分析》(1)
§2.1 数列极限概念
(4) 对 0, 2 , , 2 , M ( M正常数 )等, 虽与 在 形式上有差异 ， 但在本质上都与 起着同样的作用 .
lim a n a 0, N N , 当n N时, 有 a n a M .
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《数学分析》(1)
§2.1 数列极限概念
下面给出数列极限严格的数学定义. ( N定义)
高中数学中的数列极限定义及其应用
高中数学中的数列极限定义及其应用数列极限出现在高中数学中，是一个重要的概念。
它是指随着自变量趋近于某个数的时候，函数值无限接近于某个数的现象。
在数学中，极限的概念是非常重要的，它广泛应用于计算、物理等科学领域。
下面我们将深入探讨高中数学中的数列极限定义及其应用。
一、数列极限定义数列极限是一个数学概念，它是指在数列中，当数列的每一项都无限接近一个常数时，这个常数就是该数列的极限。
正式的定义如下：设$\{a_n\}$为一个数列，$A$为一个实数，若对于任意一个$\epsilon>0$，都存在自然数$N$，使得当$n>N$时，都有$|a_n-A|<\epsilon$成立，那么称$A$是数列$\{a_n\}$的极限。
在这个定义中，$A$被称为数列$\{a_n\}$的极限，$\epsilon$是一个任意小的正数，$N$则是自然数中的一个整数。
这个定义说明了一个数列极限的核心概念：无限接近。
二、数列极限的概念在数学中的应用1.极限的运用数列极限的概念在证明极限的时候是非常常见的。
在数学中，极限是一种非常常见的概念。
当我们求解一个极限的时候，需要使用到数列极限的概念。
比如说，在分析某个函数的性质时，我们需要求解这个函数值在某个点附近的极限。
在数学中，数列极限的概念是非常重要的工具之一。
2.应用于微积分和数学分析数列极限的概念在微积分和数学分析中也得到了广泛的应用。
比如说，我们在求导的时候，需要求解函数在某个点附近的极限值。
在这种情况下，我们需要使用到数列极限的概念来求解函数的极限值。
3.应用于统计学数列极限的概念在统计学中也发挥着巨大的作用。
在统计学中，我们需要对样本数据进行相应的分析。
在这种情况下，我们可以使用数列极限的概念来判断样本数据是否具有显著性，从而得出更加准确的统计结论。
4.应用于物理学数列极限的概念还在物理学中得到了广泛应用。
比如说，在物理学中，我们需要对某个物理量进行相应的分析。
高等数学《 数列极限的定义》课件
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,. x3 x1 x2 x4 xn
2.数列是整标函数 xn f (n).
数列实质上是定义在正整数集上的函数： xn = f ( n )，n Z+
三、数列的极限
观察数列
(1
(1)n1 n
)n1
当
n
时的变化趋势.
一、概念的引入
一尺之椎，日取其半，永世不竭 .
1, 2
1 22
,
1 23
,
,
1 2n
,
2、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
播放
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An , S
播放
问题: 当 n 无限增大时, xn 的变化趋势如何？
把n无限增大这个重要的变化过程记为 n。
பைடு நூலகம்
当
n
时,
xn
1
(1)n1 n
无限接近于1
.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn
1
(1)n1
1 n
1 n
给定 1 , 100
要
xn 1
1, 100
由1 1 , n 100
只要 n 100,
2 N1, N 2 使得 当n N1 时恒有| xn a | ;
当n N2 时恒有| xn b | ; 取N maxN1, N2,
则当n N时有 | a b | | ( xn b) ( xn a) |
用定义证明极限的方法
用定义证明极限的方法极限是数学中重要的概念，用来描述函数在某一点附近的表现。
证明极限的方法一般分为数列极限与函数极限两种情况。
数列极限的定义是：设数列{An}在无穷区间（或是去除有限项之后的无穷区间）上有定义，则有：若存在常量a，使得对于任意给定的正数ε（ε> 0），都存在与a 相对应的正整数N，使得当n > N 时，有An - a < ε，那么我们称数列{An}以a 为极限，记为lim(An) = a。
要证明数列的极限，可以使用以下几种方法：1. 利用极限定义进行证明：根据数列的极限定义，对于任意给定的正数ε，都存在与a 相对应的正整数N，使得当n > N 时，有An - a < ε。
我们可以根据定义的表达式，推导出n 和a 之间的关系式，进而找到N 的表达式，以此来证明数列的极限。
2. 利用数列的性质进行证明：根据数列的性质，如单调性、有界性等，可以借助这些性质推导出数列的极限。
例如，如果数列是单调递增且有上界，则根据确界性质可以推出数列的极限存在且有上确界。
3. 利用比较定理进行证明：比较定理是常用的判定数列极限的方法。
如果数列{An}和数列{Bn}满足一定的条件（比如当n>N 时，有0 ≤An ≤Bn），且已知数列{Bn}的极限为a，则可根据比较定理推导出数列{An}的极限也为a。
函数极限的定义是：设函数f(x) 在点a 的某个去心领域内有定义，如果存在常数L使对于任何ε> 0，存在着一个对应于ε的δ> 0 使得当0 < x - a < δ时，有f(x) - L < ε，那么我们称函数f(x) 在x = a 处的极限为L，记为lim f(x) = L 或x→a f(x) = L。
要证明函数的极限，可以使用以下几种方法：1. 利用极限定义进行证明：根据函数的极限定义，我们可以推导出给定ε时的δ，进而得到函数的极限。
通常需要利用函数的性质和定义对符号进行推导和运算。
第一节 数列极限的定义与性质
xn f (n)
然而，从二维角度考察，数列{ x n}可以看作XOY面
表现为一个散点图。
二、数列极限
1、数列极限定义 (1) 数列的散点图 在XOY平面上画出如下数列的散点图：
n （1） { n 1}
1 （ 3） { n } 2
n (1) n } （ 5） { n
n { 2 } （ 2） n {( 1 ) } （ 4）
( 0) . (用反证法证明)
（4）. 夹逼准则
(1) yn xn zn ( n 1, 2 , )
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
证: 由条件 (2) , 0 , N1 , N 2 ,
当
当
时, 时,
令 N max N1 , N 2 , 则当 n N 时, 有
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例3. 证明数列 证: 用反证法. 假设数列
是发散的.
xn 收敛 ,
2
则有唯一极限 a 存在 .
取 1 , 则存在 N , 使当 n > N 时 , 有 2
a 1 xn a 1
但因
2
xn 交替取值 1 与－1 ,
2
而此二数不可能同时落在
2、收敛数列的性质
（1）. 收敛数列的极限唯一. 证: 用反证法. 假设 取
n
及
且
因 lim xn a , 故存在 N1 , 使当 n > N1 时,
b 从而 xn a 2
同理, 因 lim xn b , 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有
n
数列极限的概念
a 2 a x 2 x 1 xN 1 a xN2 x 3 x
当 nN 时 ,所有 xn都 的落 (a 点 ,在 a)内 ,
只有(至 有多 限 N 个 只 )个 落有 在 . 其外
注
①定义1习惯上称为极限的ε—N定义，它用两个 动态指标ε和N刻画了极限的实质，用|xn－a|＜ε
定量地刻画了xn 与a 之间的距离任意小，即任给
例如 n l n l n n n n 1 1 1 1 , , i im m
n n l l 2 2 1 1 n n 0 0 , , i im m
n l n l n n ( n ( 1 n ) 1 n ) n 1 1 1 i 1 . i . m m
（c11(k)） 其长度组成的数列为
1
2
n
1
0.8
0.6
,
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
随着n 无限的增加, 木棒的长度无限的趋近于零。
❖数列极限的通俗定义 当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近
于常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收 敛a, 记为 n l x n a . i m
x3 x1 x2 x4 xn 2.数列是整标函数 xnf(n).
三、数列的极限
数列极限来自实践，它有丰富的实
际背景.我们的祖 先很早就对数列
进行了研究，早在战国时期就有了
极限的概念
例1 战国时代哲学家庄周所著的《庄子.天下篇》引用 过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也 就是说一根一尺 长的木棒，每天截去一半，这样的过 程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排 成一列, 如图所示,
数列极限定义的解释
数列极限定义的解释
数列极限是指当数字序列中项的数量不断增加时，序列中各项逐渐趋近于某个值的现象。
更具体地说，设$a_1, a_2, a_3, ldots$是一个数列，$n$表示数列中的项数，当$n$逐渐趋近于无穷大时，如果数列中的每个项$a_n$都趋近于某个数$a$,那么就说数列$a_1, a_2, a_3, ldots$的极限为$a$。
数列极限的定义中涉及到两个关键词:“项数”和“趋近于”。
首先，数列中的每个项都是随着项数的增加而不断增加的，而当项数不断增加时，每个项也逐渐趋近于某个值。
其次，数列极限的定义中强调了“趋近于”,也就是说，数列中的每个项并不是精确地趋近于某个值，而是逐渐靠近某个值，直到到达该值或者稍微超过该值为止。
数列极限的概念在数学中有着广泛的应用，特别是在收敛性、极限论、微积分等领域中。
数列极限的研究也是数学中的一个重要问题。
数列极限的精确定义
例1 证明 lim C C, (C为常数) x x0
证 0, d 0, 当 0 x x0 d 时,
f ( x) A C C 0 成立,
lim C C. x x0
例2
证明
lim
x x0
x
x0 .
证 f ( x) A x x0 , 0, 取d ,
ba 2
,
因此同时有
xn
b 2
a
及
xn
ba 2
,
这是不可能的. 所以只能有a=b. 11
例4. 证明数列
是发散的.
证明: 用反证法.
假设数列 xn 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
取
1 2
, 则存在 N ,
使当 n
>N
时,有
a
1 2
xn
a
1 2
但因 xn交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在
x0 x0 d x 20
注
1） d 语言表述
当 时, 有 2） 0 x x0 表示 x x0 , x x0时 f ( x) 有 无极限 与 f ( x0 )有无定义没有关系.
3) 任意给定后，才能找到d ， d 依赖于 ，一般的 越小，d 越小.
4) d 不唯一，也不必找最大的，只要存在即可.
n1
| xn a | ,
或 n 1 1,
只要
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例3 设|q|<1, 证明等比数列 1, q , q2, , qn-1,
的极限是0.
数列与函数的极限公式概念
极限与连续一、数列的极限定义：1、给定数列{x n }，如果当n A ，则称数列{x n }以A 为极限，记作：lim n→∞x n =A 或者x n →A (n →∞)2、当数列{x n }以实数A 为极限时，称数列{x n }收敛于A ，否则称数列{x n }发散。
二、数列极限的性质：1)极限的惟一性：若数列收敛，则其极限惟一，若 lim n→∞x n =a ，则lim n→∞x n+1=a2)有界性：收敛数列必有界. （数列有界是数列收敛的必要非充分条件）3）数列的极限：如数列： ,12,,432,322,212++n n则它的极限为3即：3121lim 2lim )12(lim =+=++=++∞→∞→∞→n nn n n n n三、几个需要记忆的常用数列的极限 01lim =∞→n n 11lim =+∞→n n n 0lim =∞→n n q )1(<q )(lim 为常数a a a n =∞→四、运算法则：如果 A a n =∞→lim B b n =∞→lim则： B A b a n ±=±∞→)(lim B A b a n ⋅=⋅∞→)(lim )0(,lim≠=∞→B BA b a n二、函数极限：▪函数极限lim x→∞f(x)=A 的充分必要条件是lim x→−∞f(x)=lim x→+∞f(x)=A▪函数极限lim x→x 0f(x)=A 的充分必要条件是lim x→x 0−f(x)=lim x→x 0+f(x)=A▪分段函数极限与该点有无定义无关，只与左右极限有关. 即 lim x→x 0f (x )存在⇌ lim x→x 0−f (x )= lim x→x 0+f (x )▪函数极限的性质：1)极限的惟一性：若函数f(x)当x →x 0（或x →∞）时有极限，则其极限惟一.▪极限运算法则： 设limf(x)=A,limg(x)=B,则 1)lim[f(x)±g(x)]=A ±B 2)lim[f(x)g(x)]=AB 3)当B ≠0时，lim f(x)g(x) =AB 4)lim[cf(x)]=climf(x) (c 为常数) 5）lim[f(x)]k = [limf(x)]k (k 为常数)▪小结．．：．当a 0≠0, b 0≠0时，有lim x→∞a 0x n +a 1x n−1+⋯+a nb 0x m +b 1x m−1+⋯+b m= {a 0b 0 当n =m 时 0 当 n <m 时 ∞ 当n >m 时▪复合函数运算法则：lim x→x 0f[φ(x )]=lim u→u 0f (u )▪数列的夹逼准则：设有3个数列{x n }{y n }{z n },满足条件： 1）y n ≤x n ≤z n （n=1,2,…）；2）lim n→∞y n =lim n→∞z n =a ，则数列{x n }收敛，且lim n→∞x n =a▪函数夹逼准则：设函数f(x),g(x),h(x)在点x 0的某去心邻域内有定义，且满足条件： 1）g(x) ≤f(x) ≤h(x);2) lim x→x 0g(x)=A, lim x→x 0h (x )=A . 则极限lim x→x 0f (x )存在且等于A.▪单调有界准则：单调有界数列必有极限.即单调增加有上界的数列必有极限；即单调减少有下界的数列必有极限.▪两个重要的极限： ▪重要极限Ⅰ：lim x→0sinx x=1▪重要极限Ⅱ：lim x→∞(1+1x )x=e , lim x→0(1+x )1x=e▪无穷小的性质：1)有限个无穷小的代数和为无穷小. 2)有界变量与无穷小的乘积为无穷小. 3)常量与无穷小的乘积为无穷小. 4)有极限的量无穷小的乘积为无穷小. 5)有限个无穷小的积为无穷小.▪在某个自变量变化过程中limf(x)=A 的充要条件是f(x)=A+α(x). 其中α(x)是该自变量变化过程中的无穷小量.▪无穷小的比较：设α=α(x) ，β=β(x)都是自变量同一变化过程中的无穷小. 1.若lim βα=c (c ≠0,是常数)，则称β与α是同阶无穷小. 2.若lim βα=1，则称β与α是等价无穷小，记作β~α. 3.若lim βα=0，则称β与α是高阶无穷小，记作β=o(α) 4.若lim βαk =c(c ≠0,k 是正整数), 则称β与α是k 阶无穷小.5.α~β的充要条件为α-β是α(或β)的高阶无穷小,即β−α=o (α)或β=α+o(α)6.α,β, α′,β′,都是自变量同一变化过程中的无穷小,且 α~α′,β~β′,lim β′α′存在，则有lim βα= lim β′α′ ▪常用等价无穷小：[相乘的无穷小因子可用等价无穷小替换，加、减的不能] x →0时，x~ sinx~ tanx~ arcsinx~ arctanx~ ln(1+x)~ e x −1; 1-cosx~x 22；(1+x )a -1~ax(a ≠0) ;a x-1~xlna(a >0,a ≠1);√1+x n- 1~ xn常用等价无穷小：当变量0x →时，21sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,1~,ln(1)~,1cos ~,2x x x x x x x x x e x x x x x -+-√1+x - 1~ 12x~,(1)1~x x x αα+-．▪无穷大：函数无穷大 ⇀↚无界 x ⟶x 0时，若f(x)为无穷大，则1f(x)为无穷小；x⟶x0时，若f(x)为无穷小，且在x0的某去心邻域内f(x) ≠0, 则1为无穷大.f(x)[注：分母极限为0，不能用商的运算法则]▪初等函数：连续函数经过四则运算所得到的函数仍是连续函数.一切初等函数在其定义区间内都是连续的.f(x)=f(x0).如果f(x)是初等函数，x0是其定义区间内的点，则limx→x0最值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上必有最值.有界性定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上有界.介值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a) ≠f(b),则对于f(a)与f(b)之间的任何数μ，在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)= μ.零点定理(根的存在性定理)：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号(f(a)∙f(b)<0)，在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=01、0/0型：方法：将分子分母分解因式（消去公因子）或者将分子有理化（有理化），再求极限。