[中学联盟]内蒙古满洲里市第六中学九年级数学上册课件：2214二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质(共22张PPT)
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人教版数学九年级上册：二次函数y=axh+k的图象和性质完美课件
y 1 (x 1)2 2
向左平移 y 1 x2
1个单位
2
1
个 单 位
向 下 平 移
y 1 (x 1)2 1 2
人教版数学九年级上册：22.1.3 第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和 性质 课件(共15张PPT)
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 O1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
-7
-8
-9
y 1 (x 1)2 1
-10
2
人教版数学九年级上册：22.1.3 第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和 性质 课件(共15张PPT)
22.1.3
第3课时 二次函数y=a(x－h)2＋k的图象和性质
获知取识新回知顾
一般地，抛物线y a(x h)2 k与y ax2形状 _相__同__， 位置不__同__。把抛物线y ax2向上（下）向左（右）
y 1 (x 1)2 1 2
开口方向 向下
对称轴是 x=-1
顶点坐标是（-1，-1）
人教版数学九年级上册：22.1.3 第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和 性质 课件(共15张PPT)
22.1.3
第3课时 二次函数y=a(x－h)2＋k的图象和性质
观察二次函数
y
1 2
x2,
y 1 x2 1, 2
y
1 2
(
x
1) 2
1？
平移方法1
y 1 x2 2
1
个 单 位
向 下 平 移
向左平移
y 1 (x 1)2 1
2
1个单位
y 1 x2 1 2
y 1
九年级数学上教学课件PPT二次函数
二次函数的定义： 形如y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠ 0)的函数
叫做二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是二次 项系数、一次项系数和常数项.
温馨提示： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常 数项，但不能没有二次项.
二 根据实际问题列二次函数关系式
问题 矩形绿地的长为x m,面积为y m2.
（1）若该矩形绿地的长为宽的2倍，则宽为_0_.5_x_m, y 与x之间的关系式为_y_=_0_._5_x_2 _________.
想一想 自变量的取值范围是__全__体__实__数___. （2）若该矩形绿地的长比宽多6m，则宽为_(_x_-6_)__m, y 与x之间的关系式为__y_=_x_(_x_-_6_) _______.
典例精析
例2 若函数 y (m 1) x m2 2m1 (m 3) x 4是二次 函数，那么m取值范围是什么？ 解：由题意得：m2 2m 1 2
m 1 0 ∴m的取值范围是m=3.
归纳 本题易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出 m=-1的错误答案，需要引起同学们的重视.
针对训练
典例精析
例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自变
量）
① y=ax2+bx+c ② s=3-2t²
③y=x2
不一定是，缺少 a≠0的条件.
④
1 y=x2
Байду номын сангаас不是，右边 是分式.
⑤y=x²+x³+25
不是，x的最 高次数是3.
⑥ y=(x+3)²-x²
叫做二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是二次 项系数、一次项系数和常数项.
温馨提示： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常 数项，但不能没有二次项.
二 根据实际问题列二次函数关系式
问题 矩形绿地的长为x m,面积为y m2.
（1）若该矩形绿地的长为宽的2倍，则宽为_0_.5_x_m, y 与x之间的关系式为_y_=_0_._5_x_2 _________.
想一想 自变量的取值范围是__全__体__实__数___. （2）若该矩形绿地的长比宽多6m，则宽为_(_x_-6_)__m, y 与x之间的关系式为__y_=_x_(_x_-_6_) _______.
典例精析
例2 若函数 y (m 1) x m2 2m1 (m 3) x 4是二次 函数，那么m取值范围是什么？ 解：由题意得：m2 2m 1 2
m 1 0 ∴m的取值范围是m=3.
归纳 本题易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出 m=-1的错误答案，需要引起同学们的重视.
针对训练
典例精析
例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自变
量）
① y=ax2+bx+c ② s=3-2t²
③y=x2
不一定是，缺少 a≠0的条件.
④
1 y=x2
Байду номын сангаас不是，右边 是分式.
⑤y=x²+x³+25
不是，x的最 高次数是3.
⑥ y=(x+3)²-x²
人教版九级数学上册课件二次函数y=a(xh)+k的图象和性质
当堂练习
1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平
移得到?
由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.
2.如果一条抛物线的形状与
y 1 x2 2 3
形状相
同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式.
y 1 ( x 4)2 2 3
人教版九年级数学上册课件：二次函 数y=a(x -h)2+k 的图象 和性质 (共22张PPT)
人教版九年级数学上册课件：二次函 数y=a(x -h)2+k 的图象 和性质 (共22张PPT)
1.完成下列表格:
二次函数
当堂检测
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=2(x+3)2+5
y=－3(x－1)2－2 y = 4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6
向上 向下 向上
向下
直线x=－3 (－3, 5 ) 直线x=1 ( 1, －2 ) 直线x=3 ( 3 , 7) 直线x=2 ( 2 , －6 )
复习引入
1.说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值
和增减变化情况: y
y
(1)y=ax2
Ox
O
x
y
y
y
y
(2)y=ax2+k
O xO x
Ox
Ox
y
y
yy
Ox O
x
(3)y=a(x-h)2
Ox O x
2.请说出二次函数y=-2x2的开口方向、顶点坐标、 对称轴及最值？ 向上平移3个单位 y=-2x2+3
解：(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4，
得0＝4a－4，解得a＝1； (2)根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，
《 二次函数》九年级初三数学上册PPT课件(第22.1.1 课时)
即 ②
情景思考
【问题三】某工厂一种产品现在的年产量是20吨，计划今后两年增加产量。如果每一年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后，这种产品的产量y与x之间的关系应怎样表示？
分析：1）产品现在年产量20吨；2）一年后的产量20 (x+1)吨；3）一年后的产量20(x+1)(x+1)吨；
列方程 即
【答案】y=-2 +(24+t)x【分析】根据题意表示出矩形的长为：24-2x+t.【详解】列方程为：y=x(24-2x+t)=-2 +(24+t)x.故答案为：y=-2 +(24+t)x.
探索提高
老师：
时间：2020.4
第二十二章 二次函数
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概念：
二次项
一次项
常数项
二次项系数
一次项系数
你发现二次函数一般式和我们学的哪个函数表达式很像吗？两者有什么区别吗？
二次函数
二次方程
二次项
二次项系数
一次项
一次项系数
常数项
(x+3)(x -1)=y
5-7x2=y
课堂测试
1．下列函数是二次函数的是( ).A．y＝2x B．y= xC. y＝x+5 D．y＝(x+1)(x﹣3)
【问题一】正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为a，表面积为S ，则S与a之间有什么关系？
情景思考
初中九年级上册数学课件 二次函数 1 .二次函数的定义
(1) y 1 x2 3 x 1 22
是，a
1、b
2
3、c
2
1
(2) y x(x 5) 是，a 1、b 5、c 0
(3) y x4 2x2 1 不是
(4) y 3x(2 x) 3x2 不是
6x
例1、判断：下列函数是否为y关于x的二次函
数，如果是，指出其中常数a.b.c的值。
列函数关系式
3、在半径为20（cm）的圆面上，从中心挖去一个 半径为x（cm）的圆面，剩下的面积是y（cm2），写
出变量y与x之间的函数关系式y 400 。 x2
4、某商店以每件21元的价格购进一批商品，该商 店可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出 （350-10x）件商品，那么商店所获利润y元与售价x 元的函数关系为y=(x-21)(350。-10x)
解：把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入
函数y x2 px q,得：
｛1 p q 4 4 2 p q 5 解得，p 12, q 15.
所求的二次函数是y x2 12x 15
6、已知函数y=(m2-m-2)mx2−5m−4+(m+1)x+m． （1）当m取何值时为二次函数？； （2）当m取何值时为一次函数？．
二次函数的一般形式:
y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0) 其中称：a为二次项系数，
b为一次项系数，
c为常数项.
注意：二次函数只要求a≠0 ，而b、c 可为0 ： 当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 二次函数的特殊形式 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
例1、判断：下列函数是否为y关于x的二次函 数，如果是，指出其中常数a.b.c的值。
初中数学九年级上册22.1.1《二次函数》PPT课件
问题2：
多边形的对角线总数 d 与边数 n 有什么关系？ n边形有＿＿n＿个顶点，从一个顶点出发，连接与这点不相 邻的各顶d点= 1，n2可 3作n ＿（＿n＿-3＿）条对角线.因此，n边形的对角
22
线此总式数表＿示＿了＿多＿边＿形的对角线总数d与边数n之间的关系，
对于n的每一个值,d都有一个对应值，即d是n的函数.
为什么a≠0呢?
写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数
（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之
间的函数关系；
（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数
关系；
【（解3析）】菱（形1的）两由题条意对得角线S 的 和6a为2 (，a26其cm中0，)S是写a出的菱二形次的函面数；积S（cm2）
2.如果函数y=(k-3)xk2 3k 2 +kx+1是二次函数,则k的值 一定是___0___.
3.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩 形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一 种解函析数：？S=a( 620-a)=a(30-a)=30a-a²=-a²+30a.
与（一2对）角由线题长意得x（cym）4x之2 间(，x的其0函中) 数y是关x系的二．次函数；
（3）由题意得
S
1 2
x(26
x)
Байду номын сангаас
1 2
x2
，1其3x中(0
x
26)
S是x的二次函数.
1.正方形边长为x（cm），它的面积y（cm2）是多少？ 2.矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米， 宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的关 系【式解．析】 (1)y=x2
九年级上册第章二次函数课件ppt7
问题3：由此你可以得到什么?
y=
1 2
x2-6x+21=
1 2
(x2-12x+42)=
1 2
(x2-12x+36-36+42)=
1 2
(x-6)2+3
y=ax2+bx+c=a(x2+ b
a
x+ c )=a[x2+ b
a
a
b
x+( 2 a
)2-(
b 2a
)2+
c a
b
]=a(x+ 2 a
)2+
4ac b 2 4a 2
长度再向上平移1个单位长度得到的. 3．开口方向：向上。
九年级上册第章二次函数课件份ppt7 （PPT优 秀课件 ）
九年级上册第章二次函数课件份ppt7 （PPT优 秀课件 ）
-3-
二、信息交流，揭示规律
问题1：能否将y＝
1 2
x2-6x+21化为y=a(x-h)2+k的形式？
问题2：将二次函数y＝ax2＋bx＋c化成y=a(x-h)2+k的形式：
九年级上册第章二次函数课件份ppt7 （PPT优 秀课件 ）
九年级上册第章二次函数课件份ppt7 （PPT优 秀课件 ）
-4-
二、信息交流，揭示规律
抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x=-b ,顶点
是
2a
b 4ac b 2
b
4ac b 2
（- 2 a ， 4a ）。当x=- 2 a 时，函数取最值 4a ；
问题2:函数y＝－4(x－2)2＋1的图象与函数y＝－4x2的图 象
有什么关系?
初中九年级数学上册,第二十二章,第一节第一课时,《二次函数y=ax2,的图像和性质》,新课教学课件
3
… …
0 1
4 9
二、描点、连线
y 10 8 6 4 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -2 1 2 3 4 x
【想一想】
(1)图象是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么? (2)图象 与x轴有交点吗？ 如果有,交点坐标是什么? (3)在对称轴左侧与右侧, 随着x值的增大,y 的值如 何变化？ (4)当x取什么值时,y的 值最小?最小值是什么？
(2) 描点
(3) 连线
根据表中x,y的数值在坐 标平面中描点(x,y),再用平 滑曲线顺次连接各点,就得 到y=-x2的图像.
小资料
y
必须掌握
y=x2
y o x
y=－x2
o
x
定义:函数y=x2,y=-x2的图象都是一条曲线,这条曲线叫做 抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或 者向上或者向下. 一般地，二次函数y=ax² +bx+c的图象叫做抛物线y=ax² +bx+c. 探究:观察y=x2,y=-x2的图象,具有怎样的对称性?
小资料
y＝ax2 图象
必须掌握
a>0 a<0
二次函数y=ax2的性质
开口 方向
对称性 顶点 最值
开口向上
开口向下
关于y轴对称，对称轴是y轴即直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0
增减性
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
是，对称轴为y轴
有，（0，0） 在对称轴左侧，x 增大时，y值减小， 在对称轴右侧，x 增大时，y值增大
X=0时，y的最小 值为0
内蒙古地区九年级数学上册2课件
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2 二次函数y=ax 的 图象和性质
一、温故知新
研究函数的内容
1.解析式
函 数
1.形状
2.图像特征
2.位置
3.性质
一次函数 解析式 y =kx+b（k≠0）
图图象象：：经经过过（原0点，和b）
一（条1，直k线）的一条直线
kk＞＞00
kk＜＜00
的性质
a>0
图象（草 图）
y
0x
有最 开口方 对称 顶 高或 性质
向 轴 点 最低
点
x<0时，
向上
y轴 （0,0）最低点
y随的增大而 x>0时，
y随的增大而
a＜
0y x 向下 y轴（0,0） 最高点
0
三、巩固训练
1.二次函数 y m 3x 2的图象开口向下， m-3<0 则m______m__<_3__．
0.5 4.5
y x22
y 1 x2
··· ···
6
2
4 2
－4 －2
24
思考：当a>0时，函数 y=ax2 的图象有什么特点？ x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··
y
1 2
x2
···
－8
－4.5
－2 －0.5
0
－0.5
－2 －4.5
·· －8
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··
是___________．
2.二次函数y＝mx m2 2 有最高点， 则m＝___-_2_______．
m2 2 2 m 0
22.1.2 二次函数y=ax 的 图象和性质
一、温故知新
研究函数的内容
1.解析式
函 数
1.形状
2.图像特征
2.位置
3.性质
一次函数 解析式 y =kx+b（k≠0）
图图象象：：经经过过（原0点，和b）
一（条1，直k线）的一条直线
kk＞＞00
kk＜＜00
的性质
a>0
图象（草 图）
y
0x
有最 开口方 对称 顶 高或 性质
向 轴 点 最低
点
x<0时，
向上
y轴 （0,0）最低点
y随的增大而 x>0时，
y随的增大而
a＜
0y x 向下 y轴（0,0） 最高点
0
三、巩固训练
1.二次函数 y m 3x 2的图象开口向下， m-3<0 则m______m__<_3__．
0.5 4.5
y x22
y 1 x2
··· ···
6
2
4 2
－4 －2
24
思考：当a>0时，函数 y=ax2 的图象有什么特点？ x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··
y
1 2
x2
···
－8
－4.5
－2 －0.5
0
－0.5
－2 －4.5
·· －8
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··
是___________．
2.二次函数y＝mx m2 2 有最高点， 则m＝___-_2_______．
m2 2 2 m 0
数学人教版九年级上册22.1.4 第1课时 二次函数y=ax2 bx c的图象.1.4 第1课时 二次函数y=ax2 bx c的图象和
函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
则该二次函数图象的对称轴为( D ) A.y轴 C. 直线x=2 B.直线x=
5 2 2
D.直线x= 3
当堂练习
3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图
象如图所示，则下列结论： （1）a、b同号； （2）当x= –1和x= 3时，函数值相等； （3） 4a+b=0；
优翼 课件
学练优九年级数学上（RJ） 教学课件
第二十二章 二次函数
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的 图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
情境引入
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式
y=a(x-h)2+k.(难点）
5
10
x
讲授新课
二 将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k
我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成 顶点式y=a(x-h)2+k？
讲授新课
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k
?
?
?
讲授新课
一 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
探究归纳
1 2 问题1 怎样将 y x 6x 21 化成 y=a(x-h)2+k的形式？ 2
配方
则该二次函数图象的对称轴为( D ) A.y轴 C. 直线x=2 B.直线x=
5 2 2
D.直线x= 3
当堂练习
3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图
象如图所示，则下列结论： （1）a、b同号； （2）当x= –1和x= 3时，函数值相等； （3） 4a+b=0；
优翼 课件
学练优九年级数学上（RJ） 教学课件
第二十二章 二次函数
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的 图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
情境引入
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式
y=a(x-h)2+k.(难点）
5
10
x
讲授新课
二 将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k
我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成 顶点式y=a(x-h)2+k？
讲授新课
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k
?
?
?
讲授新课
一 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
探究归纳
1 2 问题1 怎样将 y x 6x 21 化成 y=a(x-h)2+k的形式？ 2
配方
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2
﹙1﹚二次函数
y ax2 bx c ( a≠0)的图象是一条
抛物线
；
b 4ac b 2 b , ﹙2﹚对称轴是直线 x= ； 顶点坐标是 ( ) 2a 4a 2a
方法归纳
1
配方法
2
公式法
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.位置与开口方向 ２. 对称轴与顶点坐标 ３. 最值与增减性 根据图形填表：
（3） y 2 x 8x 8
2
解: a = －2 < 0抛物线开口向下
8 x顶 2 2 2
4 2 8 82 y顶 0 4 2
顶点坐标为 2, 0
对称轴x 2
当x 2时，y最大值＝0
（ 4） y
∵a= >0,
1 2 y x 6 x 21 2
标.
的图象
1 2 根据顶点式y x 6 3 确定开口方向,对称轴,顶点坐 1 2
∴开口向上;
对称轴:直线x=6;
2
顶点坐标:(6,3).
列表:利用图像的对称性,选取适当值列表计算.
x … 3 7.5 4 5 5 3.5 6 3 7 3.5 8 5 9 7.5 … …
提取二次项系数
这个结果通常 称为求顶点坐 标公式.
2 b b b 2 c 配方:加上再 a x x 减去一次项系 数绝对值一半 a 2 a 2 a a 的平方 2 2 b 4ac b a x 整理:前三项化为平方形 2 2a 4a 式,后两项合并同类项
1 1 当x 时，y最小值＝3 3
1 对称轴x 3
2 y x 2x （ 2）
解: a = －1 < 0抛物线开口向下
2 x顶 1 2 1
2 y顶 1 4 1
2
顶点坐标为 1,1
对称轴x 1
当x 1时，y最大值＝1
y=a(x-h）2+k的形式?
用配方法。
直接画函数
1 2 y x 6 x 21 2
的图象
1 2 解： y x 6 x 21 2 1 2 x 12x 42 提取二次项系数 2 1 2 配方 x 12x 36 36 42 2 1 2 x 6 6 整理 2 1 2 化简:去掉中括号 x 6 3. 2
3.顶点坐标是 (h,k) 。
二次函数 y=2(x+3)2+5
zxxk
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上 直线x=–3 （－3，5）
y = -3(x-1)2 -2
y = 4(x-3)2 +7 y = -5(2-x)2 - 6
向下 直线x=1 （1，－2）
向上 直线x=3 （3，7 ） 向下 直线x=2 （2，－6）
1 2 y x 2 可以得到抛物线 1 2 y x 6 x 21 ？ 2 2.看图像说说抛物线 1 2 y x 6 x 21 2 的增减性。
1 二次函数 y= —x2－6x +21图象的
画法：
2 (1)“化” ：化成顶点式 ；
(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶 点坐标； (3)“画”：列表、描点、连线。
1 2 x 4x 3 2
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上
4 x顶 4 2 0.5
4 0.5 3 4 y顶 5 4 0.5
2
顶点坐标为 4, 5
对称轴x 4
当x 4时，y最小值＝-5
b 4ac b 2 2a , 4a b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小 .
增减性
练习
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时y的 值最小（大）？
Байду номын сангаас
1 2 如何画出 y x 6 x 21的图象呢? 2
我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,容
易确定相应抛物线的顶点为(h,k), 二次函数 1 2 也 y x 6 x 21 能化成这样的形式吗？ 2
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质（一）
学科网
y
（ 1） y 3 x 2 x
2
2 y x 2x （ 2）
（3） y 2 x 8x 8
2
（ 4） y
1 2 x 4x 3 2
解: (1) a = 3 > 0抛物线开口向上
2 1 x顶 23 3
22 1 y顶 43 3
1 1 顶点坐标为 , 3 3
抛物线
开口方向 对称轴 顶点坐标 最值
y=ax2+bx+c(a>0)
向上
b 2a b 4ac b 2 2a , 4a 直线 x
y=ax2+bx+c(a<0)
向下
直线 x b 2a
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大 .
b 4ac b 2 a x . 化简:去掉中括号 2a 4a
2
人教版九年级上册第22章《二次函数》
22.1.4.1 二次函数 y ax bx c 的图像
2
归纳总结：
2 • 一般地，我们可以用配方法将 y ax bx c 配方成
b 4ac b2 y a x . 2a 4a
请准备好你的数学书、
练习本以及学习用具等。
一般地，抛物线y=a(x-h) +k与 y=ax2的 形状 相同， 位置 不同
2
上加下减 y=ax 左加右减
2
y=a(x-h) +k
2
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
， 当a﹤0时，开口 向下 ， 2.对称轴是直线X=h ； 1.当a﹥0时，开口向上
你能用上面的方法讨论二 2 次函数y＝－2x －4x＋1的图像 和性质吗？
2 b 4 ac b 公式为：y a x . 2a 4a
2
函数y=ax²+bx+c的顶点是
求次函数y=ax² +bx+c的对称轴和顶点坐标．
配方:
y ax2 bx c
c 2 b a x x a c 2
韩辛欣
o
x
1、会用公式法和配方法求二次函数一般
式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴；
zxxk
2、熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点
坐标公式；
3、会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c 的图象 。
函数y=ax²+bx+c的图象
1 2 怎样把函数 y x 6 x 21 转化成 2
1 2 y x 6 3 … 2
直接画函数
1 2 y x 6 x 21 2
的图象
1 2 描点、连线，画出函数 y x 6 3 图像. 2 问题： 1 2 y x 6 x 21 1.怎样平移抛物线 2
●
●
5
● ● ● ●
●
（6,3）
O
5
10
x
学.科.网
1 2 y x 6 x 21 2
你知道是怎样配 方的吗？
配 方
(1)―提”：提出二次项系数；
学科网
( 2 )―配”：括号内配成完全平方；
（3）“化”：化成顶点式。
2 1 y= — (x―6) +3 2
老师提示:
配方后的表达 式通常称为配 方式或顶点式
直接画函数
2
﹙1﹚二次函数
y ax2 bx c ( a≠0)的图象是一条
抛物线
；
b 4ac b 2 b , ﹙2﹚对称轴是直线 x= ； 顶点坐标是 ( ) 2a 4a 2a
方法归纳
1
配方法
2
公式法
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.位置与开口方向 ２. 对称轴与顶点坐标 ３. 最值与增减性 根据图形填表：
（3） y 2 x 8x 8
2
解: a = －2 < 0抛物线开口向下
8 x顶 2 2 2
4 2 8 82 y顶 0 4 2
顶点坐标为 2, 0
对称轴x 2
当x 2时，y最大值＝0
（ 4） y
∵a= >0,
1 2 y x 6 x 21 2
标.
的图象
1 2 根据顶点式y x 6 3 确定开口方向,对称轴,顶点坐 1 2
∴开口向上;
对称轴:直线x=6;
2
顶点坐标:(6,3).
列表:利用图像的对称性,选取适当值列表计算.
x … 3 7.5 4 5 5 3.5 6 3 7 3.5 8 5 9 7.5 … …
提取二次项系数
这个结果通常 称为求顶点坐 标公式.
2 b b b 2 c 配方:加上再 a x x 减去一次项系 数绝对值一半 a 2 a 2 a a 的平方 2 2 b 4ac b a x 整理:前三项化为平方形 2 2a 4a 式,后两项合并同类项
1 1 当x 时，y最小值＝3 3
1 对称轴x 3
2 y x 2x （ 2）
解: a = －1 < 0抛物线开口向下
2 x顶 1 2 1
2 y顶 1 4 1
2
顶点坐标为 1,1
对称轴x 1
当x 1时，y最大值＝1
y=a(x-h）2+k的形式?
用配方法。
直接画函数
1 2 y x 6 x 21 2
的图象
1 2 解： y x 6 x 21 2 1 2 x 12x 42 提取二次项系数 2 1 2 配方 x 12x 36 36 42 2 1 2 x 6 6 整理 2 1 2 化简:去掉中括号 x 6 3. 2
3.顶点坐标是 (h,k) 。
二次函数 y=2(x+3)2+5
zxxk
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上 直线x=–3 （－3，5）
y = -3(x-1)2 -2
y = 4(x-3)2 +7 y = -5(2-x)2 - 6
向下 直线x=1 （1，－2）
向上 直线x=3 （3，7 ） 向下 直线x=2 （2，－6）
1 2 y x 2 可以得到抛物线 1 2 y x 6 x 21 ？ 2 2.看图像说说抛物线 1 2 y x 6 x 21 2 的增减性。
1 二次函数 y= —x2－6x +21图象的
画法：
2 (1)“化” ：化成顶点式 ；
(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶 点坐标； (3)“画”：列表、描点、连线。
1 2 x 4x 3 2
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上
4 x顶 4 2 0.5
4 0.5 3 4 y顶 5 4 0.5
2
顶点坐标为 4, 5
对称轴x 4
当x 4时，y最小值＝-5
b 4ac b 2 2a , 4a b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小 .
增减性
练习
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时y的 值最小（大）？
Байду номын сангаас
1 2 如何画出 y x 6 x 21的图象呢? 2
我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,容
易确定相应抛物线的顶点为(h,k), 二次函数 1 2 也 y x 6 x 21 能化成这样的形式吗？ 2
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质（一）
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y
（ 1） y 3 x 2 x
2
2 y x 2x （ 2）
（3） y 2 x 8x 8
2
（ 4） y
1 2 x 4x 3 2
解: (1) a = 3 > 0抛物线开口向上
2 1 x顶 23 3
22 1 y顶 43 3
1 1 顶点坐标为 , 3 3
抛物线
开口方向 对称轴 顶点坐标 最值
y=ax2+bx+c(a>0)
向上
b 2a b 4ac b 2 2a , 4a 直线 x
y=ax2+bx+c(a<0)
向下
直线 x b 2a
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大 .
b 4ac b 2 a x . 化简:去掉中括号 2a 4a
2
人教版九年级上册第22章《二次函数》
22.1.4.1 二次函数 y ax bx c 的图像
2
归纳总结：
2 • 一般地，我们可以用配方法将 y ax bx c 配方成
b 4ac b2 y a x . 2a 4a
请准备好你的数学书、
练习本以及学习用具等。
一般地，抛物线y=a(x-h) +k与 y=ax2的 形状 相同， 位置 不同
2
上加下减 y=ax 左加右减
2
y=a(x-h) +k
2
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
， 当a﹤0时，开口 向下 ， 2.对称轴是直线X=h ； 1.当a﹥0时，开口向上
你能用上面的方法讨论二 2 次函数y＝－2x －4x＋1的图像 和性质吗？
2 b 4 ac b 公式为：y a x . 2a 4a
2
函数y=ax²+bx+c的顶点是
求次函数y=ax² +bx+c的对称轴和顶点坐标．
配方:
y ax2 bx c
c 2 b a x x a c 2
韩辛欣
o
x
1、会用公式法和配方法求二次函数一般
式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴；
zxxk
2、熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点
坐标公式；
3、会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c 的图象 。
函数y=ax²+bx+c的图象
1 2 怎样把函数 y x 6 x 21 转化成 2
1 2 y x 6 3 … 2
直接画函数
1 2 y x 6 x 21 2
的图象
1 2 描点、连线，画出函数 y x 6 3 图像. 2 问题： 1 2 y x 6 x 21 1.怎样平移抛物线 2
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5
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（6,3）
O
5
10
x
学.科.网
1 2 y x 6 x 21 2
你知道是怎样配 方的吗？
配 方
(1)―提”：提出二次项系数；
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( 2 )―配”：括号内配成完全平方；
（3）“化”：化成顶点式。
2 1 y= — (x―6) +3 2
老师提示:
配方后的表达 式通常称为配 方式或顶点式
直接画函数