数值计算方法课程设计 计算连分数
1 目录
1：连分数相关知识 ................................................................................................................. 2
2：课程设计相关 ................................................................................................................... 10
1：题目： ....................................................................................................................... 10
2：算法设计或算法分析： ........................................................................................... 11
3：算法实现步骤： ....................................................................................................... 11
4：源程序代码：（建立） ............................................................................................. 12
5：计算结果（包括相应的图形）： ............................................................................. 12
6：结果分析（包括误差分析）： ................................................................................. 13
7：心得体会： ............................................................................................................... 13
参考资料： ............................................................................................................................. 13
2
1：连分数相关知识
连分数，它不仅历史悠久，而且是一个有力的工具，解决了不少很深入的问题，更难能可贵的，它还和我们日常生活中的历法有密切的关系。 它欧几里德计算法（辗转相除法）有貌异实同之妙，这就是「连分数」法。
现在我们先回想一下欧几里德计算法：
设 a,b 为两整数，且 b>a，则
现在，我们把（甲）组里的式子全写为分式，如下所示：
再将乙组中第一式之 以第三式之倒数代入，接着 以第三式之倒数代入，依次类推，即得 3
上式之右边即所谓的「连分数」（更精确地说，有穷简单连分数）。我们简写为
现在考虑一般有穷连分数的几个基本关系式。设
为任意一个一般的有穷连分数（也就是说 为任意非零之实数），由计算易得
一般地
称为此连分数之第 k 个渐近分数，我们有
公式 1： 4
证明：利用归纳法
公式 2： 。
证明：利用归纳法，n=1 时，
p1q0-p0q1 = (a0a1+1) x 1-a0 x a0=1
又
公式 3： 。
证明：利用归纳法，n=2 时，
p2q0-p0q2=(a2a1a0+a2+a0 x 1-a0 x (a2a1+1)=a2
又
5 在实际应用中，我们所遭遇的有穷连分数，就像（丙）式一样，其中的 a0 为整数，a1,a2,„,aN 皆为正整数，此种连分数特称为简单有穷连分数。由以上公式，我们可推论出有关此等简单有穷连分数的几个基本性质。
推论 1：当 k>1 时， ，故 。
证明：由公式 1，，又
由归纳法得 。
推论 2：
证明：由公式 2，两边除以 qkqk-1 即得。
推论 3：
证明由公式 3，两边除以 qkqk-1，即得
当 n=2k 为偶数时，右式为正，故得
当 n=2k+1 为奇数时，右式为负，故得
推论 4：对所有 ，pn 与 qn 互质。
证明：由公式 1 立可得知。
从以上几个推论，我们知道渐近分数的分母一直增大，而两相邻渐近分数之差则愈来愈小。另外，偶数项部分形成单调严格上升数列而奇数项部分形成单调严格下降数列，在第4节讨论无穷连分数时，这些性质对收敛性非常重要。
Aryabhata 的方法是这样的：我们可假设正整数 a 与 b 互质，而且 a>b，将分数 展成连分数，假设 。令 与 为最后两个渐近 6 值，则其中 因两者俱为最简分数，故pN=a，qN=b，再由公式2，
，即 ，（为方便计，可取正号），代入方程式 ax+by=c=c(aqN-1-bpN-1)，并展开、移项、化简，得
因而解得
古希腊之神殿 Parthenon 结构之美，叹为观止，常谓之「黄金比」或「黄金分割」，其确实意义如下：
假定有一个长方形，截掉一正方形后，所剩之小长方形与原长方形相似（见图一），则从此小长方形依样再截掉一小正方形，所剩之图形仍与原长方形相似，这种程序可无穷尽地做下去，这就叫做「黄金分割」，而具备此种特性之长方形之长宽比称为「黄金比」。
图一
那黄金分割又怎么和连分数扯上关系呢？
让我们先看一下黄金比的计算： 7
图二
设图二长方形之长边为单位长 1，而短边长为 x，则根据假设
1:x=x:(1-x),
即
x2+x-1=0
解出 （另一根 不合），此数即为黄金比，为一无理数，其近似值为 0.618。所以平常也有人说黄金比是 3:5=0.6 的。现在换一个角度来看 x 的求法：方程式 x2+x-1=0 可化为
将此式带入其本身右边的 x 中，便得
继续不断此步骤，则得
这就是无穷连分数的一个例子。我们看一下它的头几个渐近分数：
8 由此可知利用连分数来求此种二次方程式的无理数是一个非常有价值的办法。一般而言，一个型如
的式子称为无穷连分数，简写成
通常我们只考虑 a0 为整数而 a1,a2,„ 为正整数的情形，这又特别叫做简单无穷连分数。每一个实数也都可以用简单无穷连分数表示，其法如下：
设 ξ 为任意一实数，则
其中 a0 为整数而 （此种表法为唯一）。
若 ，则
其中 a1 为整数而 （此种表法为唯一）。
这种步骤反复进行，若 ξ 非有理数，则程序不终止，而得一简单无穷连分数。无穷连分数之渐近分数推论中所有的性质，我们有：
命题：设 表无穷连分数 之第 n 个渐近分数，则数列
收敛。若其收敛值为 ξ，则 即为 ξ 之无穷连分数表示。
证明：由 §2. 之推论，已知
9 而且由推论 2， 所以数列(I)有一上界 ，而数列(II)有一下界 ，由单调数列之收敛性，(I)与(II)皆收敛。再由推论 2，(I)与(II)之收敛值是相同的，这就证明了渐近分数数列 {pn/qn} 之收敛性。
命题后半之证明从略。事实上，渐近分数是所有分母不超过 qn 的分数中最接近者，也就是说它们是 ξ 的最佳渐近分数。（参考《数论导引》pp.
270-272）。我们也明白地看出所有偶数次项皆比收敛值小，而奇数次项皆比收敛值大。 10
2：课程设计相关
1：题目：
28. 计算连分数
102123(/(/)nnafbabbaab
的值，011,,,,,,,,nnnbbbaaf读入并输出的值 11 2：算法设计或算法分析：
3：算法实现步骤：
输入数组A和B；
判断数组A和B是否符合要求，否则退出并提示；
计算数组B的长度，长度为n；
for i=n:-1:2
y=b(i-1)+a(i-1)/b(i);%
b(i-1)=y; 输入数组A与B
开始
Length(A)~=Length(B)-1 ?
n=length(b);
for i=n:-1:2
y=b(i-1)+a(i-1)/b(i);%
b(i-1)=y;
end
输出y
结束 N
Y 12 end
输出y；
4：源程序代码：（建立）
function y=fraction(a,b)
if(length(b)~=length(a)+1)
disp('数组A与数组B维数有错！');
return;
end
n=length(b);
for i=n:-1:2
y=b(i-1)+a(i-1)/b(i);% 注意数组A的维数
b(i-1)=y;
end
5：计算结果（包括相应的图形）：
>> a,b
a =
1 2
b =
1 2 3
>> r=fraction(a,b)
r =
1.3750
>> a1,b1
a1 =
4 3 2 1
b1 =
5 4 3 2 1
有理数的连续分数与近似计算方法
有理数的连续分数与近似计算方法
有理数是数学中的一类数，指可以用两个整数的比表示的数。有理数包括整数、分数以及它们的负数。在数学运算中，我们经常需要对有理数进行近似计算。而连续分数则是一种特殊的表示有理数的方法，下面将介绍有理数的连续分数表示以及近似计算方法。
连续分数是一种将有理数表示为分子为整数、分母为整数加上一个连续分式的形式。以一个有理数x为例，用连续分数表示可以写为：
x = a0 + 1/(a1 + 1/(a2 + 1/(a3 + 1/(a4 + ...))))
其中a0为整数部分，a1、a2、a3...为连续分数的部分，每个a都是一个整数。这种形式表示的有理数称为连分数。
利用连分数形式，我们可以将有理数表示为无限接近于它本身的一系列分式。通过逐级计算，可以得到不同级别的近似值，从而更好地理解有理数的性质。
接下来，我将介绍两种常见的近似计算方法：截断近似与逼近近似。
1. 截断近似方法
截断近似方法是通过将连分数的部分截断来计算有理数的近似值。以一个连分数为例，假设我们希望计算出前n级的近似值，即：
x ≈ a0 + 1/(a1 + 1/(a2 + ... + 1/(an)))
将连分数的部分从a1到an进行计算，得到的结果即为有理数的近似值。 2. 逼近近似方法
逼近近似方法是通过将连分数的部分进行逼近计算来得到有理数的近似值。对于连分数的部分a1，可以使用其他近似方法（如截断近似、最佳逼近等）来计算出一个近似值a'1。然后将a'1代入连分数中进行计算，得到的结果即为有理数的近似值。
利用连分数的逼近近似方法，我们可以在每个连分数部分上都使用不同的逼近计算，从而得到更精确的有理数近似值。
总结起来，有理数的连续分数是一种特殊的表示方法，可以将有理数表示为分子为整数、分母为整数加上一个连续分式的形式。通过连分数的逐级计算，我们可以得到有理数的近似值，其中包括截断近似方法和逼近近似方法。
欧拉连分数公式
欧拉连分数公式
欧拉连分数公式是数学中的一个重要公式，可用于计算自然对数的近似值。它由瑞士数学家欧拉在18世纪提出，并被广泛运用于科学和工程领域中。
欧拉连分数公式的表示形式为：
$$e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, \ldots; 2n, 1, 2n]$$
其中 $[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, \ldots; 2n, 1, 2n]$ 表示欧拉连分数的非循环部分，每个分数的分子为 1，分母为 $2n$，$n$ 为正整数。
在研究连分数的性质时，欧拉发现了连分数表示自然对数的杰出特性。连分数是一种分数展开形式，它将一个数分解为整数和一系列连分数部分的和。欧拉连分数公式在计算自然对数时的应用由此而来。
欧拉连分数公式的应用非常广泛。它可以在多个领域中用于近似计算自然对数。特别地，在计算机科学和工程中，欧拉连分数公式被广泛运用于算法设计、数字处理以及数值分析等方面。
欧拉连分数公式的近似精度随着计算的级数项数目的增加而提高。通过增加连分数分解的级数项数目，我们可以获得更加精确的结果。因此，在实际应用中，我们可以根据需要选择适当的级数项数目，以平衡计算精度和计算效率。
利用欧拉连分数公式计算自然对数的过程并不复杂。我们只需要根据欧拉连分数公式的表示形式，利用循环或递归的方法进行计算即可。通过不断迭代计算，直到达到所需的精度要求为止。 除了用于计算自然对数，欧拉连分数公式还可以被推广用于计算其他数学常数的近似值。例如，利用欧拉连分数公式可以计算圆周率的近似值。这种推广的方法基于欧拉连分数公式的数学性质和特点，可以为解决一些数学和工程问题提供便利和精确度。
总而言之，欧拉连分数公式是一个重要的数学工具，它具有广泛的应用价值。通过该公式，我们可以计算自然对数和其他数学常数的近似值，为科学和工程领域的问题提供解决方案。在实际应用中，我们可以根据需要选择适当的级数项数目，以平衡计算精度和计算效率。欧拉连分数公式在数学研究和实际计算中的重要性不可忽视。
分数的连分数
分数的连分数
分数是数学中常见的数表达形式，它由两个整数通过分数线组成，分子表示分数的被除数，分母表示分数的除数。然而，当我们遇到无限循环小数或者无理数时，简单的分数形式无法准确表示这些数。为了解决这个问题，数学家引入了连分数的概念。
连分数是一种无限展开的分数形式，它将一个数表示为一个整数加上一个真分数，这个真分数又可以展开为一个整数加上一个真分数，以此类推。这种连续展开的形式能够精确地表示无限循环小数或者无理数。
在连分数中，我们使用递归的方式进行展开。假设我们要表示一个数x，那么它的连分数形式可以表示为：
x = a_0 + 1 / (a_1 + 1 / (a_2 + 1 / (...)))
其中，a_0，a_1，a_2等表示整数部分，这些整数部分依次为x的整数部分，x的小数部分的整数部分，x的小数部分的小数部分的整数部分，以此类推。
以黄金分割数为例，黄金分割数是一个无理数，它的连分数展开为：
φ = 1 + 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / (1 + ...)))
这个连分数展开是无限的，但是对于黄金分割数来说，连分数展开的前几项能够非常精确地逼近黄金分割数的值。 连分数在数学中有着广泛的应用。它可以用于解决二次方程、逼近无理数等问题。在解决二次方程时，我们可以通过连分数展开将二次方程的根表示为一个连分数形式，进而通过有限项的连分数展开来逼近根的值。
除了二次方程，连分数还可以用于逼近无理数。由于无理数的小数部分无限不循环，我们无法用有限的小数来准确表示它们的值。但是通过连分数展开，我们可以使用有限项的连分数来逼近无理数的值，逼近的程度可以随着连分数项数的增加而提高。
总结一下，连分数是一种能够准确表示无限循环小数或者无理数的分数形式。它的展开形式具有递归的结构，通过有限项的连分数展开可以精确地逼近无理数的值。在解决二次方程、逼近无理数等数学问题中具有广泛的应用。
连分数的应用与实际计算
连分数的应用与实际计算
连分数（continued fraction）是一种特殊的分数表示方法，其中一个数被表示为一个整数加上一个真分数，而这个真分数又可以继续表示为一个整数加上一个真分数，如此类推。连分数在数学中有广泛且重要的应用，特别是在实际计算中。本文将探讨连分数的基本概念、性质以及在实际计算中的应用。
一、连分数的基本概念
连分数可以表示为一个整数加上一个纯循环小数的倒数，例如：
\[a= a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \ddots}}}\]
其中，\(a_0\)是整数部分，\(\cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 +
\cfrac{1}{a_3 + \ddots}}}\)是连分数的循环部分。
二、连分数的性质
1. 连分数的收敛性
对于一个实数\(a\)，它的连分数表示可以通过有限连分数（截断连分数）来逼近。当有限连分数的迭代次数足够多时，所得到的近似值与实际值的误差可以任意小。
2. 连分数的逼近性
连分数逼近定理指出，实数可以用连分数表示，并且对于任意给定的实数，连分数逼近方法可以得到一系列逼近值，其中越后面的逼近值越接近于实际值。 3. 连分数的简单递归关系
连分数能够通过递归关系来计算，即：
\[a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \ddots}}} =
a_0 + \cfrac{1}{\cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 +
\ddots}}}}\]
这个递归关系使得连分数的计算更为简洁和高效。
三、连分数的应用
1. 连分数在数值近似中的应用
由于连分数具有逼近实数的性质，可以用于数值近似计算。在某些情况下，利用连分数逼近能够得到精确值或非常接近精确值的近似值。
小学数学_连续求一个数的几分之几是多少教学设计学情分析教材分析课后反思
《连续求一个数的几分之几是多少的实际问题》
教学设计
【教学内容】《义务教育教科书·数学》(青岛版）六年制六年级上册第一单元信息窗4
【教学目标】
1.使学生理解和掌握连续求一个数的几分之几是多少问题的数量关系，掌握分数连乘法的计算方法并能正确计算。
2.让学生在“用数学”活动中，学会收集、选择和加工信息，培养学生分析和解决实际问题的能力。
3.让学生进一步体验数学与日常生活的密切联系，在共同探讨中培养合作意识。
【教学重难点】理解“连续求一个数的几分之几是多少”用连乘法计算的道理。
【教学准备】多媒体课件
【教学过程】
一、创设情境，提出问题
谈话：同学们喜欢玩沙包游戏吗？不同大小的沙包有不同的玩法，想不想自己也动手来制作沙包？看，老师给大家带来了一组关于沙包的信息。仔细观察，你在图上找到哪些数学信息？
谈话：根据这些数学信息，你能提出数学问题吗？
预设：
（1）做一个绿沙包需要多少克玉米？
（2）做一个黄沙包需要多少克玉米？
……
【设计意图】通过创设贴近学生生活的情境，把学生带入学习中，找出数学信息，提出数学问题，很好的调动学生的积极性，激发探究的欲望。
二、探究方法，建立模型
（一）画线段图分析数量关系
1.谈话：要解决“做一个黄沙包需要多少克玉米？”这个问题，需要知道哪些数学信息？
谈话：你能画线段图分析这个题的数量关系吗？动手试一试吧。听好老师的要求，先自己画，画完后再在小组内讨论交流。
学生画线段图，老师巡视搜集不同的画法。
2.学生汇报交流，展示画法。
提问：你是怎样想的？为什么这样画？
谈话：要求“做一个黄沙包需要多少克玉米”必须要知道什么？
生：做一个绿沙包需要多少克玉米。
谈话：做一个绿沙包需要的玉米克数知道了吗？怎样求？
生：不知道。要求做一个绿沙包需要多少克玉米就是求红沙包玉米克数的43是多少。
谈话：要求“做一个黄沙包需要多少克玉米”就是求什么？
青岛版小学数学六年级上册《分数连乘问题》教学设计
分数连乘问题
教学内容
青岛版六年级上册13页信息窗4的红点，自主练习第1-7题，新课堂9页第一课时
教学目标
1．理解和掌握分数乘法应用题的数量关系，学会解答连续求一个数的几分之几是多少的乘法应用题及其计算方法。
2．在数学探究活动中，学会收集、选择和加工信息，培养学生分析和解决实际问题的能力，让学生体会到数学与日常生活的密切联系，培养学生学习数学的兴趣。
教学重、难点
重点：理解和分析“连续求一个数的几分之几是多少”可用连乘法计算的数量关系。
难点：正确解答“连续求一个数的几分之几是多少”的实际问题。
教具、学具
教具：课件、直尺
学具：直尺
教学过程
一、创设情境，提出问题
1．谈话：同学们玩过沙包的游戏吗？那你知道沙包是怎样制作的？
预设：沙包是用布做的，有的沙包里装有沙子，有的沙包里装有粮食。
导入：这节课我们来解决有关沙包中存在的一些数学问题。
2．出示信息窗4的情境图。
让学生说一说从情境图中知道了哪些数学信息。 谈话：根据这些信息中你能提出什么数学问题？
（预设：装一个绿沙包需要多少克玉米？装一个黄沙包需要多少克玉米？）
追问：这两个问题中的第一个问题是我们学过的内容，谁会解答？
学生口头列式：60×43=45（克）并说怎样思考的？
预设：也就是求60克的43是多少，而求一个数的几分之几是多少要用乘法计算，所以列式是：60×43=45（克）
谈话：第一个问题很简单，大家已经会做了，这节课我们重点来解决“装一个黄沙包需要多少克玉米？”这个问题。
二、自主学习，小组探究
下面我们以小组为单位试着来解决“装一个黄沙包需要多少克玉米？”这个问题。
温馨提示：
1．想一想一步能不能求出装一个黄沙包需要多少克玉米？要求这个问题必须知道什么？
2．在求“装一个绿沙包需要多少克玉米？”时，是把谁看作单位“1”的，而求“装一个黄沙包需要多少克玉米？”又是把谁看作单位“1”的？
3．你能试着画线段图来分析数量关系并说出每一步求的是哪个数的几分之几是多少吗？
数值计算方法第二版教学设计
1 数值计算方法第二版教学设计
一、教学目标
本教材以数值计算方法为主线，重点介绍数值积分、求解非线性方程、插值和拟合、最优化方法和常微分方程数值解等计算方法，使学生掌握数值计算方法的基本思想、基本方法和基本技能，具备使用计算机完成科学和工程计算问题的能力，提高学生的实际动手能力和解决实际问题的能力。
二、教学内容
第一章 引论
1.1 数值计算的概念和发展历程
1.2 数值计算的基本思想和方法
1.3 计算误差的概念和估计方法
第二章 数值求解非线性方程
2.1 零点定理和解法的分类
2.2 二分法、牛顿法、割线法、迭代法、单点迭代法的基本原理与形式
2.3 解的存在唯一性和非线性方程组的求解
第三章 数值积分
3.1 描述数值积分法的基本思想和原理
3.2 复化求积公式和高斯求积公式
3.3 自适应方法、迭代法和复杂区域积分的处理方法 2 第四章 插值与拟合
4.1 插值多项式的存在唯一性和稳定性问题
4.2 样条插值法的基本思想和原理
4.3 最小二乘拟合和参数估计
第五章 最优化方法
5.1 最优化问题的定义和分类
5.2 无约束优化问题和约束优化问题的求解方法
5.3 解的全局性和收敛性的判断方法，随机方法的基本思想和原理
第六章 常微分方程的数值解法
6.1 基本理论和方法
6.2 单步法、多步法和预测修正法的基本思想和原理
6.3 初值问题和边值问题的求解方法
三、教学方法
本课程采用讲授、实验、实践教学相结合的方法。教师在讲述基础理论和概念的同时，注重引导学生探究、思考、分析问题，指导学生进行数值计算方法的算法设计和实现过程。教师将安排实验和实践环节，让学生亲自动手掌握计算机编程和计算方法的应用，完成一些小型计算项目，提高学生的实际动手能力和解决实际问题的能力。
四、教学评价
本课程采用多元化的教学评价手段。除了一般的考试，还将从平时教学活动、作业质量、实验和课程设计等多个方面进行评价，综合考察学生的基础理论知识、 3 计算能力和实践操作能力。同时，本课程将根据实际需要，安排一些综合实践活动，进一步考察学生成果。学生将从误差分析、编程设计、选题申报和报告撰写等多个方面进行综合评价。
连分数计算例题
连分数计算例题
《连分数计算例题》
在数学中，连分数是一种特殊的分数表示方法。它由一个整数部分和一个无限循环的分数部分组成。计算连分数可能看起来有些复杂，但实际上只需要遵循一些简单的规则和步骤。
举例来说，假如我们要计算连分数[1;2,3,4]，这个连分数可以表示为1+1/(2+1/(3+1/4))。接下来，我们可以通过反复迭代计算出整个连分数的值。
首先，我们从最内层的分数部分开始计算：1/4=0.25。然后加上3得到3.25。接着，我们将这个结果作为新的分数部分，计算3+1/3.25=3.3077。再将这个结果作为新的分数部分，计算2+1/3.3077=2.3037。最后，将这个结果加上1得到最终结果1+1/2.3037=1.4343。
通过上面的步骤，我们成功计算出了连分数[1;2,3,4]的值。虽然连分数的计算可能有些繁琐，但只要按照规定的步骤进行，就能得到准确的结果。
在实际中，连分数的计算也被广泛应用于金融、工程和科学领域。因为连分数可以有效地表示无理数，并且在数学计算中有很多独特的性质和应用。因此，对于理解和掌握连分数的计算方法，对于深入理解数学以及提高计算能力都是非常重要的。
连分数
连分数[编辑]
（重定向自連分數）
在数学中，连分数或繁分数即如下表达式：
这里的 是某个整数而所有其他的数 都是正整数。可依样定义出更长的表达式。如果部分分子（partial numerator）和部分分母（partial denominator）允许假定任意的值，在某些上下文中可以包含函数，则最终的表达式是广义连分数。在需要把上述标准形式与广义连分数相区别的时候，可称它为简单或正规连分数，或称为是规范形式的。
目录
[隐藏]
1 例子
2 动机
3 连分数表示的算法
4 连分数的表示法
5 有限连分数
6 连分数的倒数
7 无限连分数
8 一些有用的定理
8.1 定理 1
8.2 定理 2
8.3 定理 3
8.4 定理 4
8.5 定理 5
9 半收敛
10 最佳有理数逼近
11 连分数历史
12 参见
13 注释
14 外部链接
15 参考文献
例子[编辑] 连分数常用于无理数的逼近，例如：
由此得到的渐近分数 、、、、……
由此得到黄金分割的渐近分数 、、、、、、……
注意将上述系列的分子分母依序排列均可得到斐波那契数列。
由此得到圆周率的渐近分数 、（约率）、、（密率）、、……
数学上可以证明，由（狭义）连分数得到的渐近分数，在分子或分母小于下一个渐进分数的分数中，其值是最接近精确值的近似值。 动机[编辑]
研究连分数的动机源于想要有实数在“数学上纯粹”的表示。
多数人熟悉实数的小数表示：
这里的 a0 可以是任意整数，其它 ai 都是 {0, 1, 2, ..., 9} 的一个元素。在这种表示中，例如数 π 被表示为整数序列 {3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, ...}。
这种小数表示有些问题。例如，在这种情况下使用常数 10 是因为我们使用了 10 进制系统。我们还可以使用 8 进制或 2 进制系统。另一个问题是很多有理数在这个系统内缺乏有限表示。例如，数 1/3 被表示为无限序列 {0, 3, 3, 3, 3, ....}。
第7章连分数
第七章 连分数
连分数的基本性质
在本章中我们要将讨论对象扩大到实数范围。我们已经知道任一实数可用有限或无限小
数来表示，在本章中我们将证明任一实数可用有限或无限连分数来表示。
连分数的定义
分数
(1)
叫有限连分数。常记为：
(2)
或。 (3)
注 在连分数（1）中，为实数，且当的个数无穷时，叫无限连分数，用(3)的记
号即
。
定义，叫（1）的第个渐近分数。
渐近分数的性质
由渐近分数的定义知是的函数，且与无关，再由记号
（3）及定义易知：
（4）
更一般，我们有
定理1 若连分数的渐近分数是，则下列关系式
成立：
， （5）
其中。
证 当＝1，2，3时，由（4）即得（5）。假设（5）对小于的正整数成立。则
由，得：
，
由数学归纳法知（5）式成立。
定理2 若连分数的第个渐近分数是，=1，2，…，，则下列关系成立：
（6）
（7）
证（i）当＝2时，
，
即（6）式成立。假定，则由定理1，
由数学归纳法，（6）式成立。
（ii）由（6）及定理1知（7）式成立。
简单连分数 在连分数的定义中出现的可为实数，下面对加以限制，得出简单连分数的概念。
定义 若是整数，是正整数，则连分数叫简
单连分数。若的个数有限，就叫有限简单连分数；若的个数无限，就叫无限简单连分
数。对无限连分数，如当时，有一个极限，就把这一极限值叫做连分数的值。
简单连分数的性质
定理3 设是简单连分数，是它的第ｋ个渐近分数，则
（i）当时，，因而对任何来说，有；