函数值域求法十一种(免费)
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函数值域求法十一种
1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
例1. 求函数
x 1
y =
的值域。
解:∵0x ≠
∴0x 1
≠
显然函数的值域是:),0()0,(+∞-∞
例2. 求函数x 3y -=的值域。
解:∵0x ≥
3x 3,0x ≤-≤-∴
故函数的值域是:]3,[-∞
2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2
-∈+-=的值域。
解:将函数配方得:
4)1x (y 2
+-= ∵]2,1[x -∈
由二次函数的性质可知:当x=1时,
4y m i n =,当1x -=时,8y m a x =
故函数的值域是:[4,8]
3. 判别式法
例4. 求函数
22
x 1x x 1y +++=
的值域。 解:原函数化为关于x 的一元二次方程
0x )1y (x )1y (2=-+- (1)当1y ≠时,R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆
解得:23y 2
1≤
≤ (2)当y=1时,0x =,而⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡∈23,211
故函数的值域为⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡23,21
例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。
解:两边平方整理得:
0y x )1y (2x 222=++-(1)
∵R x ∈
∴
0y 8)1y (42
≥-+=∆ 解得:21y 21+≤≤-
但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-,得2x 0≤≤
由0≥∆,仅保证关于x 的方程:
0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)
有实根,由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围
大,故不能确定此函数的值域为⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡23,21。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵2x 0≤≤
0)x 2(x x y ≥-+=∴
21y ,0y min +==∴代入方程(1) 解得:
]
2,0[2
2
222x 41∈-+=
即当22222x 41-+=
时,
原函数的值域为:]21,0[+
注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。
4. 反函数法
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例6. 求函数6x 54
x 3++值域。
解:由原函数式可得:
3y 5y 64x --=
则其反函数为:
3x 5y 64y --=
,其定义域为:53x ≠
故所求函数的值域为:⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
∞-53,
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。
例7. 求函数
1e 1
e y x
x +-=的值域。 解:由原函数式可得:
1y 1y e x -+=
∵0e x
> ∴01y 1
y >-+
解得:1y 1<<- 故所求函数的值域为)1,1(-
例8. 求函数
3x s i n x c o s y -=
的值域。 解:由原函数式可得:y 3x cos x sin y =-,
可化为:
y 3)x (x sin 1y 2=β++ 即
1y y 3)x (x sin 2+=
β+
∵R x ∈
∴]1,1[)x (x sin -∈β+
即
1
1
y y 312
≤+≤
-
解得:42y 4
2≤
≤- 故函数的值域为⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣
⎡-42,42
6. 函数单调性法 例9.
求函
数
)10x 2(1x log 2y 35x ≤≤-+=-的值域。
解:令1x l o
g y ,2y 325
x 1-==- 则21y ,y 在[2,10]上都是增函数
所以21y y y +=在[2,10]上是增函数
当x=2时,
81
12l o g
2y 3
3m i n =
-+=-
当x=10时,
339log 2y 35
max =+= 故所求函数的值域为:⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡33,81
例10. 求函数1x 1x y --+=的值域。
解:原函数可化为:1x 1x 2
y -++=
令1x y ,1x y 21-=+=,显然2
1y ,y 在],1[+∞上为无上界的增函数 所以1y y =,2y 在],1[+∞上也为无上界的增函数
所以当x=1时,21y y y +=有最小值2,
原函数有最大值2
2
2
=
显然0y >,故原函数的值域为]2,0(
7. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。
例11. 求函数1x x y -+=的值域。
解:令t 1x =-,)0t (≥
则1t x 2
+=
∵
43
)21t (1t t y 22+
+=++= 又0t ≥,由二次函数的性质可知
当0t =时,1y m i n = 当0t →时,+∞→y 故函数的值域为),1[+∞
例12. 求函数2
)1x (12x y +-++=的值
域。
解:因0)1x (12
≥+- 即
1)1x (2
≤+