线性代数[第一章行列式]山东大学期末考试知识点复习

第1章行列式

一、n阶行列式

行列式的概念最早是在1683年由日本数学家关孝和(Seki Kowa)在其著作《解伏题之法》中引入的．1693年，德国数学家莱布尼兹(Leibnitz)在欧洲第一个提出了行列式的概念，他在写给法国数学家洛比达(L’Hospital)的信中首次使用了行列式的符号“| |”，关于行列式理论的最系统的论述当推德国数学家雅可比(Jacobi Jacob)于1841年所著的《论行列式的形成与性质》一书．1．二阶、三阶行列式

二阶、三阶行列式的概念是从初等数学中求解二元、三元线性方程组的问题中提出来的，其计算遵循对角线法则．

二阶行列式：

三阶行列式：

四阶以上的行列式不满足对角线法则．

2．排列与逆序

排列与逆序是为了介绍n阶行列式的概念而引入的．

n级排列指的是自然数1，2，…，n的一个全排列，其中12…n称为标准排

列。n级排列i1i2…i n中大的在前、小的在后的两个数构成一个逆序，逆序的总个数称为逆序数，记作N(i1i2…i n)．根据逆序数的奇偶性，排列有奇排列和偶排列之分．

两个重要的逆序数：N(12…n)=0，N(n(n-1)…21)=n(n-1)/2．

关于逆序数的一个重要性质：N(i1i2…i n)+N(i n…i2i1)=n(n-1)/2 ．

互换排列中两个数的位置的变换称为一个对换．经一次对换，排列的奇偶性改变．n级排列中奇、偶排列数目各半，均为n!/2．

3．n阶行列式

n阶行列式的定义：

两种等价的定义：

行列式的三种不同形式的定义在本质上是相同的，即行列式是所有可能的来自不同行不同列的元素之积的代数和．显然，二阶、三阶行列式分别是n阶行列式在n=2、3时的特例．特别地，一阶行列式|a11|=a11.一些常用的行列式：

二、行列式的性质

行列式的性质主要是为简化行列式的计算而引入的，具体如下：

(1)转置不改变行列式的值；

(2)交换两行时，行列式的值变号；

(3)两行元素对应相同时，行列式的值为0；

(4)(提公因子)某行元素都乘以数k，等于以k乘以此行列式；

推论某行元素均为0时，行列式的值为0．

(5)两行元素对应成比例时，行列式的值为O；

(6)(拆项)某行元素均可表为m(m≥2)个元素之和时，行列式可表为m个行列式之和；

(7)(加倍)某行元素的k倍对应加到另一行元素上时，行列式的值不变．

以上性质对列也同样成立．

三、行列式按行(列)展开

1．余子式与代数余子式

在n(n≥2)阶行列式D中，划去元素aij所在的行和列，剩下的元素按原来的相对位置所构成的n - 1阶行列式称为a ij的余子式，记作M ij.

代数余子式：A ij=(-1)i+j M ij.

2．行列式按行(列)展开定理

D=a i1+A i1+a i2A i2+…+a in A in(任一行各元素与其对应的代数余子式乘积之和)

=a1j A1j+a2j A2j+…+a nj A nj(任一列各元素与其对应的代数余子式乘积之和)．异乘变零定理：

a i1A s1+a i2A s2+…+a in A sn=0 (i≠s)，

(某一行各元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为0)

a1j A1t+a2j A2t+…+a nj A nt=0 (j≠t)．

(某一列各元素与另一列对应元素的代数余子式乘积之和为0)

上述两个定理合记作：

3*．拉普拉斯(Laplace)定理

拉普拉斯定理虽为选学内容，但读者若能加以领会掌握，则对行列式计算能力的增强不无裨益．首先，将元素的余子式与代数余子式的概念推广到k阶子式、余子式及代数余子式：

在n阶行列式D中，任意选定k行k列(1≤k≤n)，其交叉处的k2个元素按原来的位置所构成的k阶行列式M称为D的k阶子式，剩下的元素按原来的位置所构成的n - k阶行列式N称为M的余子式．

代数余子式：A=(-1)(i1+i2+…+ik)+(j1+j2+…+jk)N，其中i1，i2，…，i k和j1，j2，…，j k分别为k阶子式M在D中的行标和列标．

拉普拉斯定理：n(n≥2)阶行列式D的值等于在D中任取k行(列)，由这k 行(列)元素所构成的所有k阶子式与其代数余子式乘积之和．

显然，行列式按行(列)展开定理是拉普拉斯定理在k=1时的特例．

四、行列式的计算

行列式的计算问题类型多样，方法不一，主要有：按行(列)展开、化为上(下)三角行列式、降阶法(化高阶行列式为低阶行列式)、递推关系式法、数学归纳法、加边法等．读者应多加练习，以求逐渐积累经验，达到熟能生巧之目的．另外，记住一些常见的结论对于计算行列式也是非常必要和有益的，如：对称行列式：

奇数阶反对称行列式的值为0．

五、克莱姆(Cramer)法则

1750年，瑞士数学家克莱姆(Cramer)在其著作《线性代数分析导引》中首次给出了一个求解一类特殊的线性方程组的方法，后被称为克莱姆法则，其内容是：含n个方程n个未知量的线性方程组

当系数行列式

时有惟一解：x j=D j/d，j=1,2,…,n,其中D j 是将D的第j列换成b1,,b2,…,b n,其余列不变所得到的行列式．

克莱姆法则的条件是：线性方程组的方程的个数等于未知量的个数，且系数行列式不等于零．

克莱姆法则的结论是：方程组有惟一解，且x j=D j/D，j=1，2，…，n

一个重要的推论：齐次线性方程组

五、重点难点

（1）重点

1．行列式的概念与性质

行列式是线性代数中的一个重要而基本的概念．行列式的定义(尤其是展开

式中的一般项)有三种表述方式，读者应在理解逆序数概念的基础上加以记忆.行列式的性质是进行行列式计算的基础．行列式的个别性质(如提公因子的性质)与第2章中矩阵运算的有关性质看似相像，实则有异，读者应切实理解，避免混淆．2．行列式按行(列)展开定理

余子式和代数余子式，包括k阶子式、余子式和代数余子式的概念是行列式按行(列)展开定理的基础，也是学习线性代数的“死角”．读者初次学习这些概念时应深刻理解，牢固掌握；否则，时间稍久，极易迷惑不解．行列式按行(列)展开定理和异乘变零定理应结合起来记忆，方能区隔异同(选定行(列)的各元素是

否和自己的

．．．代数余子式相乘)，认清联系，历久弥新．作为行列式按行(列)展开定理的推广，拉普拉斯定理在理论证明上的意义远大于在实际计算上的作用．3．行列式的计算

行列式的计算贯穿于整个线性代数的始终，是学习矩阵、线性方程组、特征值与特征向量、二次型等其他知识的基础．行列式的种类众多，形式繁杂，其计算无固定方法可用．大致说来，常用方法主要有：按行(列)展开、化为上(下)三