最小二乘法多项式拟合
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最小二乘法多项式拟合
对于给定的数据点N i y x i i ≤≤1),,(，可用下面的n 阶多项式进行拟合，即
∑==+++=n
k k k x a x a x a a x f 0
2
210)(
为了使拟合出的近似曲线能尽量反映所给数据的变化趋势，要求在所有数据点上的残差
|)(|||i i i y x f -=δ
都较小。为达到上述目标，可以令上述偏差的平方和最小，即
min ]
)([)(2
1
21
=-=∑∑==i
i
N
i i
N i y x f δ
称这种方法为最小二乘原则，利用这一原则确定拟合多项式)(x f 的方法即为最小二乘法多项式拟合。
确定上述多项式的过程也就是确定)(x f 中的系数n k a k ≤≤0,的过程，根据最小二乘
原则，则偏差平方和应该是这些系数的函数，即
min ])([)(),,,(21
2
1
10=-==∑∑==i i N
i i N i n y x f a a a S δ
为使上式取值最小，则其关于n k a k ≤≤0,的一阶导数应该为零，即有
∑∑∑∑=====⇒=-⇒=-=∂∂N
i i N i i i i N i i i N i y x f y x f y x f a S
1
1110)(0])([0])([2 ∑∑∑∑=====⇒=-⇒=-=∂∂N i i i N i i i i i N i i i i N i i y x x f x y x f x y x f x a S
1
1111)(0])([0])([2
∑∑∑∑=====⇒=-⇒=-=∂∂N i i k i N i i k
i i i N i k i i i N i k i k y x x f x y x f x y x f kx a S 1
111)(0])([0])([2
∑∑∑∑=====⇒=-⇒=-=∂∂N i i n i N i i n
i i i N i n i i i N i n i n y x x f x y x f x y x f nx a S 1
111)(0])([0])([2 将上面各等式写成方程组的形式可有
∑∑∑∑∑∑=======++++⇒
=N
i i N i n i
n N i i
N i i N
i i
N i i
y x a x a x a N a y
x f 1
11221101
1)(
∑∑∑∑∑∑==+=====++++⇒
=N
i i i N
i n i
n N
i i
N
i i
i N
i i
i
N
i i
i
y x x
a x a x a x a y
x x f x 1
1
11
321
2101
1
)(
∑∑∑∑∑∑==+=+=+===++++⇒
=N
i i k i N
i k n i
n N
i k i
N
i k i
k i
N
i i k i N
i i k i
y x x
a x
a x
a x a y x x f x
1
1
1
221
1101
1
)(
∑∑∑∑∑∑===+=+===++++⇒
=N
i i n i N
i n i
n N
i n i
N
i n i
n i
N
i i n i N
i i n i
y x x
a x
a x
a x a y x x f x
1
1
21
221
1101
1
)(
写成矩阵形式有
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑======+=+==+==+===+=====N i i n i N
i i
k i N i i i N i i n k N i n
i N
i k n i
N
i n i
N
i n
i N i k n i N i k
i N i k i N i k
i
N i n i N
i k i
N
i i N i i N
i n
i
N
i k i
N
i i
y x y x y x y a a a a x x
x
x x x x x x x
x
x x x x N 111110121
1
11
1
121111
11121111
上述方程组可以通过克莱姆法则来计算，从而解出各系数n k a k ≤≤0,得到拟合方程。 考虑到一般情况提高拟合多项式的阶数并不能提高拟合精度，所以常用的多项拟合阶数为一阶和二阶，即线性拟合和二次拟合。两者的计算公式如下：
x a a y y x y a a x x x N N i i i N i i N i i N i i N
i i 1011101211+=⇒⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑∑=====
2
210121
121014131
21312112
1x a x a a y y x y x y a a a x x
x x x
x x x N N i i i N i i i N i i N i i N i i
N
i i N i i N
i i N i i
N
i i
N
i i
++=⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========== 关于线性拟合，除上面按克莱姆法则来计算外，还可以有另一思路，下面对此进行说明。由于是线性拟合，最后得到的是一条直线，因此，直线可以由斜率和截距两个参数来确定，因此，求出这两个参数即可。首先对克莱姆法的求解结果进行展开可以得到