十字相乘法解一元二次方程

因式分解法解一元二次方程（2） 教学目标：1、理解什么是十字相乘法，会用十字相乘法分解因式。

2、在分解因式的基础上进行解一元二次方程。

重、难点：用十字相乘法解一元二次方程

教学过程

一、回顾

①

()()221______________________;

32_________.x x x x ++==++= ②()()221______________________;

2_________.x x x x +-==+-= ③()()221______________________;

2_________.x x x x -+==--= ④()()221______________________;

32_________.x x x x --==-+= ⑤()()2______________________;()_________.x a x b x a b x ab ++==+++= 二、新知形成

（一）二次项次数为1的二次三项式的因式分解

一般地，由多项式乘法，()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，反过来，就得到

也就是说，对于二次三项式2x px q ++，如果能够把常数项．．．q 分解成两个因数a b 、的积，

并且a b +等于一次项的系数p ，那么它就可以分解因式，即

()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++。运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．．．．．．．．．

。 二、典例分析

例1、分解因式

（1）243x x ++ （2）232x x -+ （3）267x x +- （4）223x x --

那么,对于形如2()0x a b x ab +++=形式的一元二次方程,我们如何去解呢?

因为：二次项系数为111?=；常数项为a b ab ?=；一次项系数为11a b a b ?+?=+. 由上面的可知,可以将一元二次方程2()0x a b x ab +++=化为()()0x a x b ++=，然后解得此方程的解是12,x a x b =-=-

像用这种解一元二次方程的方法,就叫做十字相乘法.此方法在解一些一元二次方程会带来许多方便.要用此方法接一元二次方程,一次项系数和常数项进行巧妙的分解成两个因数的乘积.现将分解方法总结如下:拆末项，凑中央。

例1 解下列一元二次方程:

（1）2560x x -+=; （2）2

10110x x +-=.

例2 若一元二次方程222(1)3(34)0m x m x m m -+++-=有一个根是0，则m 的值是？

练习：①2430x x ++=；②2230x x --= ③2650x x -+= ④2120x x --= ⑤27100x x -+= ⑥22990x x +-= ⑦2560x x --= ⑧(1)(3)15x x ++=

（二）二次项次数不为1的二次三项式的因式分解

由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式2ax bx c ++进行因式分解。

我们知道，

反过来，就得到 ()()()212122112

1122 a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++

我们发现，二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1a ，2a ，1c ，2c 排列如下：

这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1a 2c +2a 1c ，如果它们正好等于2ax

bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成

()()1122a x c a x c ++，其中1a ，1c 位于上图的上一行，2a ，2c 位于下一行。

例2、解方程

(1) 22730x x -+= (2) 26750x x --= (3)22530x x --=

(4)221570x x ++= (5) 23840a a -+= (6) 25760x x +-=

(7) 2611100y y --= (8) 223550x x -+= (9) 2252x x -=- 例3 已知2237200x xy y --=,求证: 4x y =或35x y =-.