十字相乘法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程（2）
教学目标：1、理解什么是十字相乘法，会用十字相乘法分解因式。
2、在分解因式的基础上进行解一元二次方程。
重、难点：用十字相乘法解一元二次方程
教学过程
一、回顾
①221______________________;32_________.xxxx
②221______________________;2_________.xxxx
③221______________________;2_________.xxxx
④221______________________;32_________.xxxx
⑤2______________________;()_________.xaxbxabxab
二、新知形成
（一）二次项次数为1的二次三项式的因式分解
一般地，由多项式乘法，2xaxbxabxab，反过来，就得到
也就是说，对于二次三项式2xpxq，如果能够把常数项．．．q分解成两个因数ab、的积，
并且ab等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即
22
xpxqxabxabxaxb
。运用这个公式，可以把某些二次项系
数为1的二次三项式分解因式．．．．．．．．．。
二、典例分析
例1、分解因式
（1）243xx （2）232xx （3）267xx （4）223xx
那么,对于形如2()0xabxab形式的一元二次方程,我们如何去解呢?
因为：二次项系数为111；常数项为abab；一次项系数为11abab.
由上面的可知,可以将一元二次方程2()0xabxab化为()()0xaxb，然后
解得此方程的解是12,xaxb
像用这种解一元二次方程的方法,就叫做十字相乘法.此方法在解一些一元二次方程会带来
许多方便.要用此方法接一元二次方程,一次项系数和常数项进行巧妙的分解成两个因数的乘积.
现将分解方法总结如下:拆末项，凑中央。
例1 解下列一元二次方程:
（1）2560xx; （2）210110xx.
例2 若一元二次方程222(1)3(34)0mxmxmm有一个根是0，则m的值是？
练习：①2430xx；②2230xx ③2650xx ④2120xx
⑤27100xx ⑥22990xx ⑦2560xx ⑧(1)(3)15xx
（二）二次项次数不为1的二次三项式的因式分解
由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式2axbxc进行因式分解。
我们知道，
反过来，就得到 2121221121122 aaxacacxccaxcaxc
我们发现，二次项的系数a分解成12aa，常数项c分解成12cc，并且把1a，2a，1c，2c排
列如下：
这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1a2c+2a1c，如果它们正好等于2axbxc的一
次项系数b，那么2axbxc就可以分解成1122axcaxc，其中1a，1c位于上图的上
一行，2a，2c位于下一行。
例2、解方程
(1) 22730xx (2) 26750xx (3)22530xx
(4)221570xx (5) 23840aa (6) 25760xx
(7) 2611100yy (8) 223550xx (9) 2252xx
例3 已知2237200xxyy,求证: 4xy或35xy.
用十字相乘法解一元二次方程
用“十字相乘法”解一元二次方程回顾：1.一元二次方程 的一般形式是：2.一元二次方程 的根的个数的判断：（1）当 时，方程无解（2）当 时，方程一解（3）当 时，方程两解3.根与系数的关系（韦达定理）是：作用：有根可求系数4.求根公式：作用：求根5..求一元二次方程 的根的方法有：6.常用求根方法是“十字相乘法”新课讲解：用“十字相乘法”对某些特殊的多项式因式分解一、二次项系数是1型：例1：()()22356x x x x ++=++，反过来，就得到二次三项式256x x ++的因式分解形式，即()()25623x x x x ++=++，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。
写成十字相乘形式是：一般地，由多项式乘法，()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，反过来，就得到写成十字相乘形式是：练习一 用“十字相乘法” 把以下多项式分解因式：（1）2x -7x+6=0 （2）2x -5x+6=0（3） 2x +8x+16=0 （4）=++892x x 0（5）=+-24102x x 0 （6）2x +(1+3)x+3=0（7）=-+1522x x 0 （8）=--2832x x 0二：二次项系数不是1型：例2：()()4312++x x =反过来我们就得到 因式分解的结果： ()()431241162++=++x x x x 。
我们把这个过程用以下划十字的形式来反映：（1）把二次项26x 拆成x x 32⋅，分别写在十字交叉的左边上下两角，（2）把常数项4拆成41⨯，写在右边上下两角。
上下两数可适当换位，使交叉相乘的和等于一次项！ 1.因式分解竖式写2.交叉相乘验一次项3.横向写出∴ ()()431241162++=++x x x x 二、用“十字相乘法”解某些特殊的一元二次方程例2 解方程：0453142=--x x解： ()()0549=+-x x∴练习二解下列一元二次方程：（1）3722++x x =0 （2）3722+-x x =0（3）01692=++x x (4)=+-1442x x 0（5）3522-+x x =0（6）2384a a -+=0（7）06722=+-x x（8）04432=+--x x（9）38162=+x x（10）09642=--x x（11）()116116=+x x（12）0132=+-x x三：带字母的（1）0)1(2=++-a x a x （2）0)1(2=+++a x a x(3)0)(322=++-m x m m x （4）0)(322=+++m x m m x（5）022=+--a a x x (6）022=+-+a a x x总结：（1）当二次项系数是正数时，如果常数项是正数，必须拆成同号两个数相乘：一次项系数为正则拆成两个数同为正，一次项系数为负则拆成两个数同为负。
十字相乘法与一元二次方程解法的选取
十字相乘法与一元二次方程解法的选取1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。
（2）用十字相乘法来解一元二次方程。
3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。
4、十字相乘法的缺陷：①有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不适用于每一道题。
②十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。
1 解方程m ²+4m-12=0 x ²-8x+15=0 5x ²+6x-8=0 6x ²-5x-25=0x ²-99x+98=0 x ²-99x-100=0 x ²+99x+98=0 x ²+99x-100=098x ²-99x+1=0 100x ²-99x-1=0 98x ²+99x+1=0 100x ²+99x-1=0x ²-200x+9600=0 x ²-45x+500=0 x ²+30x+221=0 x ²+93x+2160=0x ²-20x-8000=0 x ²-45x-1300=0 x ²+30x-4675=0 x ²+93x-594=02若，一元二次方程的两个实数根中，较大的一个实根等于__a b c >>>0()()()a b x b c x c a -+-+-=20________。
3 已知二次方程有两个相等的实数根，那么___________。
()()ab b x b a x a ab -+-+-=2220211a b +=4 若关于x 的方程的两个根都是比1小的正数，则实数m 的取值范围是__________。
()121022-+-=m x mx 5.已知方程至少有一个整数根，则非负整数a=____________。
十字相乘法解一元二次方程公式
十字相乘法解一元二次方程公式《十字相乘法解一元二次方程公式：我的探索之旅》一元二次方程啊，在数学的世界里就像一个个神秘的小怪兽。
而十字相乘法呢，就像是我们对付这些小怪兽的神奇魔法棒。
今天呀，我就来和大家好好唠唠这个十字相乘法解一元二次方程公式的事儿。
咱们先来说说一元二次方程是啥样的。
它就长这样：ax²+bx + c = 0（a≠0）。
这就好比是一个大谜题，x就是我们要找的宝贝。
那十字相乘法怎么来解这个方程呢？我给大家举个例子吧。
就说方程x²+5x+6 = 0。
咱们要把这个二次项系数1和常数项6拆分开来。
1呢，只能拆成1×1，6可以拆成2×3。
然后我们要像搭积木一样把它们组合起来。
怎么组合呢？就是让交叉相乘之后的和等于一次项系数5。
那就是1×3+1×2 = 5。
这时候呀，我们就可以把这个方程写成(x + 2)(x+ 3)=0。
这样一来，我们就很容易得出x = -2或者x = -3啦。
是不是很神奇呢？就像我们把一堆乱乱的拼图块，一下子就拼成了完整的图画。
我还记得有一次，我和同桌一起做数学作业。
他对着一道一元二次方程愁眉苦脸的，那方程是2x² - 7x+3 = 0。
我就跟他说：“嘿，咱们可以用十字相乘法呀。
”他就瞪着眼睛看着我，说：“啥十字相乘法呀？我都晕头转向了。
”我就跟他讲：“你看啊，2可以拆成2×1，3可以拆成(-1)×(-3)。
然后我们要让2×(-1)+1×(-3)= -7。
”他听了之后，眼睛一下子就亮了，说：“哇，原来是这样啊，你可真厉害。
”我就笑着说：“这就像是在搭小房子，每一块都得放对地方才行呢。
”然后我们很快就把方程写成了(2x - 1)(x - 3)=0，得出x = 1/2或者x = 3。
再来说说这个方法为啥这么好用呢。
其实啊，这就好比是给这个复杂的一元二次方程找到了一条捷径。
初三_一元二次方程的补充解法——“十字相乘法
通过练习巩固 a 、 b 的符号法则．
2 把下列各式分解因式：
⑴ (x y)2 4(x y) 5 ； ⑵ a4 2a3 3a2 ．
⑶ 2x2 10xy 12y2 ；
⑷ (x2 2x)2 2(x2 2x) 3 ．
§观察“现象”
（1）现有一元二次方程： x2 2x 3 0
它的二次项系数为 1，一次项系数为－2，常数项为－3。
x2
Px
q
，若能找到两个数
a
、
b
，使
a a
b p, b q,
则就有 x2 Px q x2 (a b)x ab (x a)(x b) ．
（掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常．数．项．分．解．成．两．个．数．的．积．，．且．其． 和．等．于．一．次．项．系．数．，．通常要借助画十字交叉线的办法来确定，故称十字相乘法。）
∴ x2 5x 6 (x 1)(x 6) ．
如何检验分解是否正确？ 请观察比较例１中的各题，你能发现把 q 分解成两个整数 a 、 b 之积时的符号规律吗？
3
⑴若 q ＞ 0 ，则 a 、 b 同号． 当 p ＞ 0 时 a 、 b 同为正，当 p ＜ 0 时 a 、 b 同为负．
⑵若 q ＜ 0 ，则 a 、 b 异号． 当 p ＞ 0 时 a 、 b 中的正数绝对值较大，当 p ＜ 0 时 a 、 b 中的负数绝对值较大．
解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3
2 -7y
5 ╳ 4y
=（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3
2 x -7y
1
2
5 x +4y ╳ -3 =[（2x -7y）+1] [（5x +4y）-3] =（2x -7y+1）（5x +4y -3） 说明:在本题中先把 10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y） （5x +4y）-（x -25y）- 3 用十字相乘法分解为[（2x -7y）+1] [（5x +4y）-3].
一元二次方程的解法十字相乘法技巧
一元二次方程的解法——十字相乘法技巧一元二次方程是初中数学中的重要内容，其解法多种多样，其中一种经典的解法就是十字相乘法。
本文将详细介绍一元二次方程的十字相乘法技巧，让读者能更加深入地理解和掌握这一解题方法。
一、什么是一元二次方程1. 一元二次方程的定义一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，它的一般形式可以表示为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为已知数，并且a≠0。
解一元二次方程即是求出方程的根，即满足方程的x取值。
2. 一元二次方程的解法解一元二次方程有多种方法，如因式分解法、配方法、公式法和图像法等，其中十字相乘法是一种较为经典和常用的解题方法，特别适合于无法直接因式分解出解的一元二次方程。
二、十字相乘法的基本思想1. 十字相乘法的定义十字相乘法又称“九宫勾叉法”，是一种通过分解和配方，将一元二次方程转换成完全平方式来求解的方法。
其基本思想是在解一元二次方程时，通过对方程的b项进行分解，找到两个数，使得它们的和为b，乘积为ac。
2. 十字相乘法的步骤（1）计算ac的值，找出两个数的乘积等于ac；（2）将b进行拆分，找出两个数的和等于b；（3）根据找到的两个数，将原方程改写为完全平方并进行化简；（4）利用完全平方式，解方程并求得方程的根。
三、十字相乘法的应用举例为了更直观地理解十字相乘法的应用，下面通过一个具体的例子来说明其解题过程。
1. 例题：求解方程x²+6x+5=0的根。
2. 解题步骤：（1）计算ac的值，即a=1，c=5，则ac=1×5=5；（2）找出两个数的乘积等于5且和等于6，即找出的两个数为1和5；（3）根据找到的两个数，将原方程改写为完全平方形式，得到(x+1)×(x+5)=0；（4）利用完全平方式，解方程(x+1)(x+5)=0，得到方程的根为x=-1和x=-5。
四、十字相乘法的总结通过以上介绍，我们可以看到十字相乘法在解一元二次方程中的重要性和灵活性。
十字相乘法解一元二次方程
初三数学《因式分解法解一元二次方程——十字相乘法》【典例】解方程 2-2-3=0x x解： －3 x 1所以2-2-3=x x （x- ）（x+ ）=0即（x- ）（x+ ）=0 即x- =0或x+ =0 ∴x 1=__________,x 2=__________ 【跟踪训练】①0652=++x x ②2560x x ③2560x x④2560x x ⑤09102=++x x ⑥021102=++x x【巩固训练】选择合适的方法解方程①22-3=0x x ②04632=-+x x③0472=--x x ④()()03734=+-+x x x2x －3⑤112942-=-+x x x ⑥()1284+=+x x x⑦()()224253+=-x x ⑧04132=--x x ⑨26135=0xx ⑩27196=0x x尝试解方程：（1）22730x x =-+ （2）26750x x =-- （3）26135=0x x初三数学家庭作业1、在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）． ①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2-1 ④3x 2-5x=0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2、一元二次方程x 2-ax+1=0的两实数根相等，则a 的值为（ ）． A ．a=0 B ．a=2或a=-2 C ．a=2 D ．a=2或a=03、不解方程，判定2x 2-3=4x 的根的情况是____________________________（•填“二个不等实根”或“二个相等实根”或“没有实根”）．4、方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式,正确的是 ( )A 、23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B 、2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C 、231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D 、以上都不对5、已知关于x 的方程（a 2-1）x 2+（1-a ）x+a-2=0，下列结论正确的是（ ）A 、当a ≠±1时，原方程是一元二次方程。
用十字相乘法解一元二次方程问题
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
一元二次方程的解法十字相乘法含义
一元二次方程的解法十字相乘法含义引言一元二次方程是高中数学中的重要内容，解一元二次方程是学习数学的基础。
在解一元二次方程时，我们通常会使用不同的方法，其中一种方法就是十字相乘法。
本文将介绍一元二次方程的解法中的十字相乘法，并解释其含义和应用。
什么是一元二次方程？一元二次方程是指只有一个未知数的二次方程。
一元二次方程的一般形式可以表示为$ax^2+b x+c=0$，其中$a$、$b$和$c$是已知常数，$x$是未知数。
一元二次方程的解法解一元二次方程的方法有很多种，常见的有因式分解法、公式法和配方法。
本文将主要介绍十字相乘法这一种解法。
十字相乘法的步骤十字相乘法可以帮助我们快速确定二次方程的解，以下是其具体步骤：1.将一元二次方程$a x^2+b x+c=0$中的$a$、$b$和$c$分别填入一个十字相乘法表格中。
2.在相乘法表格的左上角填写$a$和右下角填写$c$。
3.寻找两个数的乘积等于$ac$，并在相乘法表格的中间位置填写这两个数。
4.将系数$b$分解成这两个数之和，并在相乘法表格的左下角和右上角填写这两个数。
填写完十字相乘法表格后，我们可以根据表格中的数和一元二次方程的特性，进一步求解方程的解。
十字相乘法的含义和应用十字相乘法的核心思想是将一元二次方程的常数项$c$分解成两个数的乘积，并用这两个数的和来表示一元二次方程的线性项$b$。
这样做的目的是为了方便我们在解方程时运用一些特殊的性质和公式。
具体来说，十字相乘法的含义和应用包括：确定特征数1.：通过填写相乘法表格并观察表格中的数值，我们可以快速确定一元二次方程的特征数。
特征数是指方程的解的个数和属性，如方程是否有实数解、有重根或虚根等。
这对于进一步解方程非常有帮助。
确定两个解的关系2.：十字相乘法的过程中，我们可以看出方程的两个解之间存在着一定的关系。
通过观察相乘法表格中的数值，我们可以推断出解的性质，如解的大小关系、解的正负性等。
简化方程求解3.：相乘法表格的填写过程可以帮助我们简化方程求解的步骤。
十字相乘法 28.2解一元二次方程
十字相乘法
班级： 9.编号：8 时间：9.5 课型：预习+展示编制人：付连敏审核人：张小龙使用人：小组：组号学习目标：会用十字相乘法解一元二次方程
一、知识链接：解方程x2+6x+8=0
二、获取新知：
题组1：方程（1）x2+5x+6=0 （2）x2+10x+16=0 (3)x2+14x+24=0
题组2：解方程（1）x2-5x+6=0 （2)x2-10x+16=0 (3)x2-14x+24=0 题组3：解方程（1）x2-x-6=0 （2)x2-6x-16=0 (3)x2-10x-24=0 高手练兵场：（选做题）
2x2+11x+15=0 2x2-11x+15=0 2x2+x-15=0
总结：十字相乘法适合解什么样的一元二次方程？
方程左边是一个，右边
三、巩固训练：快速解方程
（1）x2+7x+6=0 （2)x2-17x+16=0 (3)x2-23x-24=0
四、达标测评：一、基础题：每题2分，共6分
1、方程x2+3x+2=0的解是
2、方程x2-8x+12=0的解是
3、方程x2-4x-12=0的解是
二、提升题：每题2分，共4分
1、三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2-12x+35=0的根，则该三角形的周长是
2、方程3x2+17x+10=0的解是
三、加分区：每题2分
1、已知一个一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是（只写一个即可）
2、x2+x-1=0,那么代数式x3+2x2-7的值为。
反思：。