知识学习进修2-2导数易错题狂练(附规范标准答案)
选修2-2导数易错题，好题专练
选择题（共19小题）
1．（2012?赣州模拟）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），若a+b+c=0，导函数f′（x）满足f′（0）f′（1）＞0，设f′（x）=0的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|的取值范围是（）
A．B．C．D．
2．（2012?安徽模拟）若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＞xf′（x），则（）
A．3f（1）＞f（3）B．3f（1）＜f（3）C．3f（1）=f（3）D．f（1）=f（3）
3．函数f1（x）=cosx﹣sinx，记f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…f n（x）=f n﹣1′（x），（n∈N*，n≥2），则=（）
A．B．C．0D．2008
4．设函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）=x2+2x?f′（1）+3，则f′（1）的值为（）
A．﹣4 B．4C．2D．﹣2
5．已知函数，对任意x∈（0，3]，f（x）g′（x）＞f′（x）g（x）恒成立，则（）
A．函数h（x）有最大值也有最小值B．函数h（x）只有最小值
C．函数h（x）只有最大值D．函数h（x）没有最大值也没有最小值
6．对任意x∈R，函数f（x）的导数存在，若f′（x）＞f（x），则以下正确的是（）
A．f（2011）＞e2011?f（0）B．f（2011）＜e2011?f（0）C．f（2011）＞f（0）D．f（2011）＜f（0）
7．已知函数f（x）=x（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）…（x﹣2010），则f′（0）等于（）
A．0B．20102C．2010 D．2010!
8．（2014?郑州模拟）已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）等于（）
A．0B．﹣4 C．﹣2 D．2
9．（2014?新余二模）已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′（x），若对于任意实数x，有f （x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1为奇函数，则不等式f（x）＜e x的解集为（）
A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，e4）D．（e4，+∞）
10．（2014?泸州三模）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，f′（x）是f（x）的导函数，若对?x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣2x]=3，则方程f′（x）﹣=0的解所在的区间是（）
A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，3）
11．（2014?信阳一模）已知函数f（x）=lnx+tanα（α∈（0，））的导函数为f′（x），若使得f′（x0）=f（x0）立的x0＜1，则实数α的取值范围为（）
A．（，）B．（0，）C．（，）D．（0，）
12．（2014?洛阳二模）已知任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有对称中心M（x0，f（x0）），记函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），则有f″（x）=0．若函数f（x）=x3﹣3x2，则f（）+f（）+f（）+…+f（）=（）
A．4027 B．﹣4027 C．8054 D．﹣8054
13．（2014?河南模拟）设函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意x∈R都有f′（x）＞f（x）成立，则（）A．f（ln2014）＜2014f（0）
B．f（ln2014）=2014f（0）
C．f（ln2014）＞2014f（0）
D．f（ln2014）与2014f（0）的大小关系不确定
14．（2014?河南一模）已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对?x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log3 x]=4，则函数g（x）=f（x﹣1）﹣f′（x﹣1）﹣3的零点所在区间是（）
A．（1，2）B．（2，3）C．（，1）D．（0，）
15．（2014?浙江模拟）已知f（x）为R上的可导函数，且满足f（x）＞f′（x），对任意正实数a，下面不等式恒成立的是（）
A．B．C．f（a）＞e a f（0）D．f（a）＜e a f（0）
16．（2014?泰安二模）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞3，则f（x）＞3x+4的解集为（）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
17．（2014?马鞍山二模）定义域为R的函数f（x），满足f（0）=1，f′（x）＜f（x）+1，则不等式f（x）+1＜2e x的解集为（）
A．{x∈R|x＞1} B．{x∈R|0＜x＜1} C．{x∈R|x＜0} D．{x∈R|x＞0}
18．（2014?广安一模）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0．（其中f′（x）是f（x）的导函数）．设a=（log4）?f（log4），b=?f（）．c=（lg）?f（lg），判断大小为（）A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b 19．（2014?漳州一模）已知f（x）为R上的可导函数，且?x∈R，均有f（x）＞f′（x），则以下判断正确的是（）A．f（2013）＞e2013f（0）B．f（2013）＜e2013f（0）
C．f（2013）=e2013f（0）D．f（2013）与e2013f（0）大小无法确定
参考答案与试题解析
一．选择题（共22小题）
1．（2012?赣州模拟）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），若a+b+c=0，导函数f′（x）满足f′（0）f′（1）＞0，设f′（x）=0的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|的取值范围是（）
A．B．C．D．
考点：导数的加法与减法法则；一元二次方程的根的分布与系数的关系．
专题：函数的性质及应用．
分析：先求出f′（x）=3ax2+2bx+c，可得==++，由f′0）?f′（1）
＞0，
解得﹣2＜＜﹣1，利用二次函数的性质求出的范围，即可求得|x1﹣x2|的取值范围．
解答：解：由题意得：f′（x）=3ax2+2bx+c，∵x1，x2是方程f′（x）=0的两个根，
∴x1+x2=﹣，x1?x2=．∴|x1﹣x2|2 =﹣4x1x2 ，
∴=﹣4x1?x2 =．
∵a+b+c=0，∴c=﹣a﹣b，
∴==++．
∵f′0）?f′（1）＞0，f（0）=c=﹣（a+b），且f′（1）=3a+2b+c=2a+b，∴（a+b）（2a+b）＜0，
即2a2+3ab+b2＜0，∵a≠0，两边同除以a2得：+3 +2＜0，解得﹣2＜＜﹣1．
由二次函数的性质可得，当=﹣时，有最小值为，
当趋于﹣1时，趋于，故∈，
故|x1﹣x2|∈，
故选A．
点评：本题考查根与系数的关系的灵活运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，属于中档题．
2．（2012?安徽模拟）若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＞xf′（x），则（）
A．3f（1）＞f（3）B．3f（1）＜f（3）C．3f（1）=f（3）D．f（1）=f（3）
考点：导数的乘法与除法法则．
专题：计算题；压轴题．
分析：根据条件f（x）＞xf′（x）可构造函数g（x）=，然后得到函数的单调性，从而得到所求．
解答：解：设g（x）=，g′（x）=
∵f（x）＞xf′（x），
∴g′（x）=＜0
即g（x）在（0，+∞）上单调递减函数
∴即3f（1）＞f（3）
故选A．
点评：本题主要考查了导数除法的运算法则，以及利用构造法是解题的关键，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．
3．函数f1（x）=cosx﹣sinx，记f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…f n（x）=f n﹣1′（x），（n∈N*，n≥2），则
=（）
A．B．C．0D．2008
考点： 导数的加法与减法法则；函数的周期性．
专题：
计算题． 分析：
先求出f 2（x ）、f 3（x ）、f 4（x ），观察所求的结果，归纳其中的周期性规律，求解即可． 解答： 解：由题意，f 2（x ）=f 1′（x ）=﹣sinx ﹣cosx f 3（x ）=f 2′（x ）=﹣cosx+sinx ，
f 4（x ）=（﹣cosx+sinx ）′=sinx+cosx ， f 5（x ）=cosx ﹣sinx ，
以此类推，可得出f n （x ）=f n+4（x ） 又∵f 1（x ）+f 2（x ）+f 3（x ）+f 4（x ）=0， ∴
=
=
﹣
．
故选B ．
点评： 本题以三角函数为载体，考查三角函数的导数、周期性、及观察归纳思想的运用，解题的关键是判断出函数导数变化的周期性．．
4．设函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且f （x ）=x 2+2x ?f ′（1）+3，则f ′（1）的值为（ ） A ． ﹣4 B ． 4 C ． 2 D ． ﹣2
考点： 导数的加法与减法法则．
专题：导数的概念及应用．
分析：求出原函数的导函数，在导函数解析式中取x=1即可得到答案．
解答：解：由f（x）=x2+2x?f′（1）+3，
得f′（x）=2x+2f′（1），
∴f′（1）=2+2f′（1），解得f′（1）=﹣2．
故选D．
点评：本题考查了导数的加法法则与减法法则，考查了基本初等函数的导函数，是基础的计算题．
5．已知函数，对任意x∈（0，3]，f（x）g′（x）＞f′（x）g（x）恒成立，则（）
A．函数h（x）有最大值也有最小值B．函数h（x）只有最小值
C．函数h（x）只有最大值D．函数h（x）没有最大值也没有最小值
考点：导数的加法与减法法则．
专题：导数的概念及应用．
分析：由题意可得h′（x）＜0，可得在（0，3]上是减函数，故当x=3时，h（x）有最小值为h（3），没有最大值，从而得出结论．
解答：解：函数，对任意x∈（0，3]，f（x）g′（x）＞f′（x）g （x）恒成立，
故有h′（x）=＜0，
∴在（0，3]上是减函数，故当x=3时，h（x）有最小值为h（3），没有最大值，
故选B．
点评：本题主要考查导数的运算法则的应用，利用导数求函数的最值，体现了转化的数学思想，属于基础题．
6．对任意x∈R，函数f（x）的导数存在，若f′（x）＞f（x），则以下正确的是（）
A．f（2011）＞e2011?f（0）B．f（2011）＜e2011?f（0）C．f（2011）＞f（0）D．f（2011）＜f（0）
考点：导数的乘法与除法法则；导数的运算．
专题：证明题．
分析：由f′（x）＞f（x）可得f'（x）﹣f（x）＞0，而由e﹣x[f′（x）﹣f（x）]＞0可判断函数e﹣x f（x）是单调递增函数，结合对x取特殊值可求．
解答：解：∵f′（x）＞f（x）
∴f′（x）﹣f（x）＞0
∵e﹣x＞0
∴e﹣x[f′（x）﹣f（x）]＞0
∴e﹣x f′（x）﹣e﹣x f（x）＞0
而[e﹣x f（x）]′=（e﹣x）′f（x）+e﹣x f′（x）=﹣e﹣x f（x）+e﹣x f′（x）＞0
∴e﹣x f（x）是单调递增函数
取x=2011，
于是e﹣2011f（2011）＞e﹣0f（0）=f（0）
∴f（2011）＞e2011f（0）．
故选A
点评：本题主要考查了导数的基本运算及利用导数判断函数的单调性，这里的关键，是观察和利用e﹣x f（x）的导函数的形式．属于基础题．
7．已知函数f（x）=x（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）…（x﹣2010），则f′（0）等于（）
A．0B．20102C．2010 D．2010!
考点：导数的乘法与除法法则．
专题：计算题．
分析：令g（x）=[（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）…（x﹣2010）]，则f（x）=x?g（x），利用导数的乘法运算法则可得f′（0）=0?g′（0）+1×g（0）=g（0），运算求得结果．
解答：解：∵f（x）=x（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）…（x﹣2010），
令g（x）=[（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）…（x﹣2010）]，则函数f（x）=x?g（x）．
∴f′（x）=x?g′（x）+1×g（x）．
∴f′（0）=0?g′（0）+1×g（0）=g（0）=（﹣1）（﹣2）（﹣3）…（﹣2010）=2010!，
故选D．
点评：本题主要考查导数的乘法运算法则的应用，属于基础题．
8．（2014?郑州模拟）已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）等于（）
A．0B．﹣4 C．﹣2 D．2
考点：导数的运算．
专题：导数的概念及应用．
分析：把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=1可求2f′（1）的值．
解答：解：由f（x）=x2+2xf′（1），
得：f′（x）=2x+2f′（1），
取x=1得：f′（1）=2×1+2f′（1），
所以，f′（1）=﹣2．
故f′（0）=2f′（1）=﹣4，
故答案为：B．
点评：本题考查了导数运算，解答此题的关键是理解原函数解析式中的f′（1），在这里f′（1）只是一个常数，此
题是基础题．
9．（2014?新余二模）已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′（x），若对于任意实数x，有f （x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1为奇函数，则不等式f（x）＜e x的解集为（）
A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，e4）D．（e4，+∞）
考点：导数的运算．
专题：导数的综合应用．
分析：根据条件构造函数令g（x）=，判断函数g（x）的单调性即可求出不等式的解集．
解答：解：令g（x）=，
则=，
∵f（x）＞f′（x），
∴g′（x）＜0，
即g（x）为减函数，
∵y=f（x）﹣1为奇函数，
∴f（0）﹣1=0，
即f（0）=1，g（0）=1，
则不等式f（x）＜e x等价为=g（0），
即g（x）＜g（0），
解得x＞0，
∴不等式的解集为（0，+∞），
故选：B．
点评：本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数的单调性解不等式是解决本题的关键，考查学生的解题构造能力．
10．（2014?泸州三模）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，f′（x）是f（x）的导函数，若对?x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣2x]=3，则方程f′（x）﹣=0的解所在的区间是（）
A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，3）
考点：导数的运算．
专题：导数的综合应用．
分析：由题意，可知f（x）﹣2X是定值，令t=f（x）﹣2X，得出f（x）=2X+t，再由f（t）=2t+t=3求出t的值，即可得出f（x）的表达式，求出函数的导数，即可求出f′（x）﹣=0的解所在的区间，即得正确选项．解答：解：由题意，可知f（x）﹣2X是定值，不妨令t=f（x）﹣2X，则f（x）=2X+t
又f（t）=2t+t=3，解得t=1
所以有f（x）=2X+1
所以f′（x）=2X?ln2，
令F（x）=f′（x）﹣=2X?ln2﹣
可得F（1）=21?ln2﹣4＜0，F（2）=22?ln2﹣2＞0，
即F（x）=2X?ln2﹣零点在区间（1，2）内
所以f′（x）﹣=0的解所在的区间是（1，2）
故选：C．
点评：本题考查导数运算法则，函数的零点，解题的关键是判断出f（x）﹣2x是定值，本题考查了转化的思想，将方程的根转化为函数的零点来进行研究，降低了解题的难度．
11．（2014?信阳一模）已知函数f（x）=lnx+tanα（α∈（0，））的导函数为f′（x），若使得f′（x0）=f（x0）立的x0＜1，则实数α的取值范围为（）
A．（，）B．（0，）C．（，）D．（0，）
考点：导数的运算．
专题：导数的综合应用．
分析：由于f′（x）=，f′（x0）=，f′（x0）=f（x0），可得=ln x0+tan α，即tan α=﹣ln x0，由0＜x0＜1，可得﹣ln x0＞1，即tan α＞1，即可得出．
解答：解：∵f′（x）=，f′（x0）=，f′（x0）=f（x0），
∴=ln x0+tan α，
∴tan α=﹣ln x0，
又∵0＜x0＜1，
∴可得﹣ln x0＞1，即tan α＞1，
∴α∈（，）．
故选：A．
点评：本题考查了导数的运算法则、对数函数和正切函数的单调性，属于中档题．
12．（2014?洛阳二模）已知任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有对称中心M（x0，f（x0）），记函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），则有f″（x）=0．若函数f（x）=x3﹣3x2，则f（）+f（）+f（）+…+f（）=（）
A．4027 B．﹣4027 C．8054 D．﹣8054
考点：导数的运算．
专题：新定义；导数的综合应用．
分析：由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（1，﹣2）对称，即f（x）+f（2﹣x）=﹣4，而要求的式子可用倒序相加法求解，共有2013对﹣4和一个f（1）=﹣2，可得答案．
解答：解：由题意f（x）=x3﹣3x2，则f′（x）=3x2﹣6x，f″（x）=6x﹣6，
由f″（x0）=0得x0=1，而f（1）=﹣2，故函数f（x）=x3﹣3x2关于点（1，﹣2）对称，
即f（x）+f（2﹣x）=﹣4．
∴f（）+f（）=﹣4，…=﹣4，，
∴（）+f（）+f（）+…+f（）=﹣4×2013+（﹣2）=﹣8054，
故选：D．
点评：本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．
13．（2014?河南模拟）设函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意x∈R都有f′（x）＞f（x）成立，则（）A．f（ln2014）＜2014f（0）
B．f（ln2014）=2014f（0）
C．f（ln2014）＞2014f（0）
D．f（ln2014）与2014f（0）的大小关系不确定
考点：导数的运算．
专题：函数的性质及应用．
分析：构造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得g（ln2014）与g（0）的大小关系，整理即可得到答案．
解答：令g（x）=，则g′（x）==，因为对任意x∈R都有f′（x）＞f（x），
所以g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，
又ln2014＞0，所以g（ln2014）＞g（0），即，
所以f（ln2014）＞2014f（0），
故选：C．
点评：本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．
14．（2014?河南一模）已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对?x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log3 x]=4，则函数g（x）=f（x﹣1）﹣f′（x﹣1）﹣3的零点所在区间是（）
A．（1，2）B．（2，3）C．（，1）D．（0，）
考点：导数的运算；函数零点的判定定理．
专题：函数的性质及应用．
分析：由?x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log3 x]=4，可设f（x）﹣log3 x=c（c为常数），求出g（x）的解析式，并说明g（x）的单调性，计算g（2），g（3），确定符号，由零点存在定理即可得到答案．
解答：解：∵对?x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log3 x]=4，
∴可设f（x）﹣log3 x=c（c为常数），则f（x）=log3 x+c，
∴f[f（x）﹣log3 x]=f（c）=log3c+c=4，∴c=3，
∴f（x）=log3 x+3，
∴g（x）=f（x﹣1）﹣f′（x﹣1）﹣3=log3（x﹣1）﹣log3e在（1，+∞）上为增函数，
g（2）=﹣log3e＜0，g（3）=log32﹣log3e=log3＞0，
由零点存在定理得，函数g（x）的零点所在的区间为（2，3）．
故选B．
点评：本题主要考查函数的零点的判断，考查应用零点存在定理判断函数的零点所在范围，同时考查函数导数的运算和函数的单调性，是一道函数综合题．
15．（2014?浙江模拟）已知f（x）为R上的可导函数，且满足f（x）＞f′（x），对任意正实数a，下面不等式恒成立的是（）
A．B．C．f（a）＞e a f（0）D．f（a）＜e a f（0）
考点：导数的运算．
专题：导数的综合应用．
分析：根据条件构造函数F（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．
解答：解：设F（x）=，
则F'（x）=，
∵f（x）＞f′（x），
∴F'（x）＜0，即函数F（x）在定义域上单调递减．
∵任意正实数a，满足a＞0，
∴F（a）＜F（0），
即，
∴f（a）＜e a f（0），
故选：D．
点评：本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．
16．（2014?泰安二模）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞3，则f（x）＞3x+4的解集为（）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
考点：导数的运算．
专题：函数的性质及应用．
分析：构造函数F（x）=f（x）﹣（3x+4），由f（﹣1）=1得F（﹣1）的值，求F（x）的导函数，根据f′（x）＞3，得F（x）在R上为增函数，
根据函数的单调性得F（x）大于0的解集，从而得所求不等式的解集．
解答：解：设F（x）=f（x）﹣（3x+4），
则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣3+4）=1﹣1=0，
又对任意x∈R，f′（x）＞3，∴F′（x）=f′（x）﹣3＞0，
∴F（x）在R上是增函数，
∴F（x）＞0的解集是（﹣1，+∞），
即f（x）＞3x+4的解集为（﹣1，+∞）．
故选：B．
点评：本题考查了运用函数思想求解不等式的问题，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，是易错题．
17．（2014?马鞍山二模）定义域为R的函数f（x），满足f（0）=1，f′（x）＜f（x）+1，则不等式f（x）+1＜2e x的解集为（）
A．{x∈R|x＞1} B．{x∈R|0＜x＜1} C．{x∈R|x＜0} D．{x∈R|x＞0}
考点：导数的运算．
专题：导数的综合应用．
分析：根据条件构造函数g（x）=，然后利用导数判断函数的单调性即可得到结论．
解答：解：构造函数
∵f'（x）＜f（x）+1，
∴g'（x）＜0，
故g（x）在R上为减函数，而g（0）=2
不等式f（x）+1＜2e x化为g（x）＜g（0），
解得x＞0，
故选D．
点评：本题主要考查导数的基本运算，利用条件构造函数是解决本题的关键，有一点的难度．
18．（2014?广安一模）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0．（其中f′（x）是f（x）的导函数）．设a=（log4）?f（log4），b=?f（）．c=（lg）?f（lg），判断大小为（）A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b
考点：导数的运算．
专题：不等式的解法及应用．
分析：构造函数g（x）=xf（x），由已知可判断出函数的奇偶性与单调性，进而判断a，b，c的大小．
解答：解：令g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x），
∵当x∈（0，+∞）时，f（x）+xf′（x）＞0，
∴函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，且函数图象过原点
又∵函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，
∴g（x）=xf（x）是定义在实数集R上的偶函数，
又∵|log4|＞||＞|lg|，
∴a＞b＞c；
故选：B．
点评：本题考查了函数的单调性与奇偶性问题，其中判断出函数g（x）=xf（x）的单调性与奇偶性是解题的关键．
19．（2014?漳州一模）已知f（x）为R上的可导函数，且?x∈R，均有f（x）＞f′（x），则以下判断正确的是（）A．f（2013）＞e2013f（0）B．f（2013）＜e2013f（0）
C．f（2013）=e2013f（0）D．f（2013）与e2013f（0）大小无法确定
考点：导数的运算．
专题：函数的性质及应用．
分析：设函数h（x）=，求得h′（x）＜0，可得h（x）在R上单调递减，可得h（2013）＜h（0），再
进一步化简，可得结论．
解答：解：设函数h（x）=，
∵?x∈R，均有f（x）＞f′（x），则h′（x）=＜0，
∴h（x）在R上单调递减，∴h（2013）＜h（0），即＜，
即f（2013）＜e2013f（0），
故选：B．
点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性比较两个函数值的大小，属于基础题．
高中数学易错题举例解析
高中数学易错题举例解析 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ● 忽视等价性变形，导致错误。 ??? x >0 y >0 ? ??? x + y >0 xy >0 ，但 ??? x >1 y >2 与 ??? x + y >3 xy >2 不等价。 【例1】已知f(x) = a x + x b ，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。 错误解法 由条件得?? ? ??≤+≤≤+≤-62230 3b a b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32 338-≤≤- b ④ ③+④得 .3 43 )3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数b x ax x f + =)(，其值是同时受b a 和制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。 正确解法 由题意有?? ? ??+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得： )],2()1(2[3 2 )],1()2(2[31f f b f f a -=-= ).1(9 5 )2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .3 37)3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】 (1) 设βα、是方程0622 =++-k kx x 的两个实根，则2 2 )1()1(-+-βα的最小值是
80个高中数学易错题
2017年高考备考：高中数学易错点梳理 一、集合与简易逻辑 易错点1 对集合表示方法理解存在偏差 【问题】1: 已知{|0},{1}A x x B y y =>=>，求A B I 。 错解：A B =ΦI 剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。 正确结果：A B B =I 【问题】2: 已知22 {|2},{(,)|4}A y y x B x y x y ==+=+=，求A B I 。 错解： {(0,2),(2,0)}A B =-I 正确答案：A B =ΦI 剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为A 为点集。 反思：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视集合的代表元素。 易错点2 在解含参数集合问题时忽视空集 【问题】: 已知2 {|2},{|21}A x a x a B x x =<<=-<<，且B A ?，求a 的取值范围。 错解：[-1，0） 剖析：忽视A =?的情况。 正确答案：[-1，2] 反思：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合B A ?就有可能忽视了A =?，导致解题结果错误。尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况。考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。 易错点3 在解含参数问题时忽视元素的互异性 【问题】: 已知1∈{2a +,2 (1)a +, 2 33a a ++ }，求实数a 的值。 错解：2,1,0a =-- 剖析：忽视元素的互异性，其实当2a =-时，2 (1)a +=233a a ++=1；当1a =-时， 2a +=2 33a a ++=1；均不符合题意。 正确答案：0a = 反思：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对解题的影响最大，特别是含参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。解题时可先求出字母参数的值，再代入验证。 易错点4 命题的否定与否命题关系不明 【问题】: 写出“若a M a P ??或，则a M P ?I ”的否命题。 错解一：否命题为“若a M a P ??或，则a M P ∈I ” 剖析：概念模糊，弄错两类命题的关系。 错解二：否命题为“若a M a P ∈∈或，则a M P ∈I ” 剖析：知识不完整，a M a P ??或的否定形式应为a M a P ∈∈且。 正确答案：若a M a P ∈∈且，则a M P ∈I
高三数学培优补差辅导专题讲座-集合、函数与导数单元易错题分析与练习p
集合与函数、导数部分易错题分析 1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2．你会用补集的思想解决有关问题吗？ 3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？ [问题]:{}1|2-=x y x 、{ }1|2-=x y y 、{}1|),(2-=x y y x 的区别是什么？ 4．绝对值不等式的解法及其几何意义是什么？ 5．解一元一次不等式（组）的基本步骤是什么？ [问题]:如何解不等式：()0122>--b x a ？ 6．三个二次（哪三个二次？）的关系及应用掌握了吗？如何利用二次函数求最值？注意到对二次项系数及对 称轴进行讨论了吗？ 7．简单命题与复合命题有什么区别？四种命题之间的相互关系是什么？如何判断充分与必要条件？ [问题]：请举例说明“否命题”与“命题的否定形式”的区别. 什么是映射、什么是一一映射？ [问题]：已知：A={1，2，3}，B={1，2，3}，那么可以作 个A 到B 上的映射，那么可以作 个 A 到 B 上的一一映射. 9．函数的表示方法有哪一些？如何判断函数的单调性、周期性、奇偶性？单调性、周期性、奇偶性在函数的 图象上如何反应？什么样的函数有反函数？如何求反函数？互为反函数的图象间有什么关系？求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，你注明函数的定义域了吗？ [问题]：已知函数()[],9,1,2log 3∈+=x x x f 求函数()[]() 22x f x f y +=的单调递增区间.（你处理函数问题是是否将定义域放在首位） [问题]：已知函数()()的函数x g y x x x f =-+=,132图象与()11+=-x f y 的图象关于直线()的值对称，求11g x y =. 10、如何正确表示分数指数幂？指数、对数的运算性质是什么？ 11、你熟练地掌握了指数函数和对数函数的图象与性质吗? [问题]：已知函数()[)+∞∈=,3log x x x f a 在上，恒有()1>x f ，则实数的a 取值范围是： 。 12．你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗？（定义法、导数法） 13．如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小；②解抽象函数不等式；③求参数的范围（恒 成立问题）.这几种基本应用你掌握了吗？ [问题]：写出函数)0()(>+=m x m x x f 的图象及单调区间.],[d c x ∈时,求函数的最值.这种求函数的最值的方法与利用均值不等式求函数的最值的联系是什么？ [问题]：证明“函数)(x f 的图象关于直线a x =对称”与证明“函数)(x f 与函数)(x g 的图象关于直线a x =对称”有什么不同吗？ 例题讲解 1、忽略φ的存在： 例题1、已知A ={x|121m x m +≤≤-}，B ={x|25x -≤≤}，若A ?B ，求实数m 的取值范围． 【错解】A ?B ?? ?≤-+≤-?5 1212m m ，解得：33≤≤m － 【分析】忽略A =φ的情况.
高中数学易错题分类及解析
高中数学中的易错题分类及解析关键词：高考数学易错题全文摘要：“会而不对，对而不全”严重影响考生成绩. 易错题的特征：心理因素、易错点的隐蔽性、形式多样性、可控性. 易错题的分类解析: 分为五大类即审题不严、运算失误、概念模糊、公式记忆不准确、思维不严，每类再分为若干小类，列举高中数学中的典型易错题进行误解与正解和错因分析. 本文既是对高考中的易错题目的分类解析，同时又是第一轮复习中的一本易错题集. 下表是易错题分类 表：
数学学习的过程，从本质上说是一种认识过程，其间包含了一系列复杂的心理活动 . 从 数学学习的认知结构上讲， 数学学习的过程就是学生头脑里的数学知识按照他自己理解的深 度与广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维与联想，组合成的一个整体结构 . 所以，数 学中有许多题目，求解的思路并不繁杂， 但解题时，由于读题不仔细， 或者对某些知识点的 理解不透彻，或者运算过程中没有注意转化的等价性，或者忽略了对某些特殊情形的讨 论??等等原因，都会导致错误的出现 . “会而不对，对而不全” ，一直以来都是严重影响考 生数学成绩的重要因素 . 一．易错题的典型特征 解题出错是数学答题过程中的正常现象，它既与数学学习环境有 关 度有关 . 同时也与考生的数学水平、身体与心理状况有关 . 1．考生自我心理素质 ：数学认知结构是数学知识的逻辑结构与学生的心理结构相互作用的 产物.而数学解题是考生主体感受并处理数学信息的创造性的心理过程 . 部分考生题意尚未 明确， 加之考试求胜心切，仅凭经验盲目做题，以至于出现主观认识错误或陷入主观思维 定势，造成主观盲动性错误和解题思维障碍 . 2．易错点的隐蔽性 ：数学知识的逻辑结构是由数学知识之间的内在的联系联结而成的整体， 而其心理结构是指智力因素及其结构，即观察力、记忆力、想象力、注意力和思维力等五 个因素组成 . 数学解题是考生借助特定“数学语言”进行数学思维的过程，在这个过程中考 生的数学知识结构和数学思维习惯起着决定性的作用 . 个体思维的跳跃性是产生思维漏洞 的根本原因，这种思维漏洞一旦产生，考生自己是很难发现的，因此易错点的隐蔽性很强 3．易错点形式多样性 ：根据数学学习的一般过程及数学认知结构的特点，数学易错点一般 有知识性错误和心理性错误两种等形式：而知识性错误主要包括数学概念的理解不透彻、 数学公式记忆不准确两方面；心理性错误包括审题不严、运算失误、数学思维不严谨等 . 4．易错题的可控性 ：学生的认识结构有其个性特点 . 在知识总量大体相当的情况下，有的 学生对知识不仅理解深刻，而且组织得很有条理，便于储存与撮；相反，有的学生不仅对 知识理解肤浅，而且支离破碎，杂乱无章，这就不利于储存，也不容易提取 . 在学生形成了 一定的数学认知结构后，一旦遇到新的信息，就会利用相应的认知结构对新信息进行处理 和加工，随着认识活动的进行，学生的认知结构不断分化和重组，并逐渐变得更加精确和 完善，所谓“吃一堑长一智” . 只要我们在容易出错的地方提高警戒意识，建立建全解题的 “警戒点” , 养成严谨的数学思维好习惯，易错点就会逐渐减少 . 1. 数学概念的理解不透 数学概念所能反映的数学对象的属性， 不仅是不分精粗的笼统的属性， 它已经是抓住了 数学对象的根本的、 最重要的本质属性 . 每一个概念都有一定的外延与内涵 . 而平时学习中对 概念本质的不透彻， 对其外延与内涵的掌握不准确， 都会在解题中反映出来， 导致解题出错 例 1. 若不等式 ax 2 +x+a < 0 的解集为 Φ，则实数 a 的取值范围（ ） 1 1 1 1 1 1 A.a ≤ - 或 a ≥ B.a < C.- ≤ a ≤ D.a ≥ 2 2 2 2 2 2 【错解】选 A.由题意，方程 ax 2 +x+a=0的根的判别式 0 1 4a 2 0 , 又与试题的难易程 易错题的分类解析
高中数学易错题集锦
高中数学易错题集锦 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对读者的学习有所帮助，加强思维的严密性训练。 忽视等价性变形，导致错误。 ??? x >0 y >0 ? ??? x + y >0 xy >0 ，但 ??? x >1 y >2 与 ??? x + y >3 xy >2 不等价。 【例1】已知f(x) = a x + x b ，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。 错误解法 由条件得?? ? ??≤+≤≤+≤-62230 3b a b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32 338-≤≤- b ④ ③+④得 .3 43 )3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数b x ax x f + =)(，其值是同时受b a 和制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。 正确解法 由题意有?? ? ??+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得： )],2()1(2[3 2 )],1()2(2[31f f b f f a -=-= ).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .3 37 )3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固 地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】解下列各题 (1) 设βα、是方程0622 =++-k kx x 的两个实根，则2 2)1()1(-+-βα的最小值是 不存在)D (18)C (8)B (4 49)A (- 思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα
函数与导数经典例题--高考压轴题(含答案)
函数与导数 1.已知函数 f(x) 4x 3 3tx 2 6tx t 1,x R ，其中 t R . (I)当t 1时，求曲线y f (x)在点(0, f (0))处的切线方程； (n)当t 0时，求f (x)的单调区间； (川)证明：对任意的t (0, ), f(x)在区间(0,1)内均存在零点. 【解析】(19)本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零 点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分 14分。 (I)解：当 t 1 时，f(x) 4x 3 3x 2 6x, f (0) 0, f (x) 12x 2 6x 6 f (0) 6.所以曲线y f (x)在点(0, f(0))处的切线方程为y 6x. (n)解：f (x) 12x 2 6tx 6t 2，令 f (x) 0,解得 x t 或 x -. 2 因为t 0，以下分两种情况讨论： (1)若t 0,则- t,当x 变化时，f (x), f(x)的变化情况如下表: 所以，f(x)的单调递增区间是, | ；f(x)的单调递减区间是 屮 ⑵若 t 则t ，当 x 变化时， f(x)f(x) 的变化情况如下表: 所以，f(x)的单调递增区间是 ，t ,丄， ；f(x)的单调递减区间是 t,- 2 2
(川)证明：由(n)可知，当 t 0时，f(x)在0,1内的单调递减，在 -, 内单调 2 2 递增，以下分两种情况讨论： (1)当-1即t 2时，f (x)在(0，1)内单调递减， 2 f (0) t 1 0, f (1) 6t 2 4t 3 6 4 4 2 3 0. 所以对任意t [2, ), f(x)在区间(0，1 )内均存在零点。 t (0,1], f 1 7t 3 t 1 7t 3 0. 2 4 4 所以f(x)在-,1 2 内存在零点。 t 若 t (1,2), f - 7t 3 t 1 厶3 1 0 2 4 4 f(0) t 1 所以f(x)在0 2 所以，对任意t (0,2), f(x)在区间(0，1)内均存在零点。 综上，对任意t (0, ), f(x)在区间(0，1)内均存在零点。 2.已知函数 f (x) 2 x 1， h(x) x . 3 2 (I)设函数 F (x ) = 18f (x ) — x 2[h (x )] 2，求F (x )的单调区间与极值； 3 3 (n)设 a R ，解关于 x 的方程 lg[ f(x 1) ] 2lg h(a x) 2lg h(4 x); 2 4 * 1 (川)设 n N ，证明：f(n)h(n) [h(1) h(2) L h(n)] 6 本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数 与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力. 解：(I) F(x) 18f(x) x 2[h(x)]2 x 3 12x 9(x 0)， 2 F (x) 3x 12 . (2)当 0 - 1,即0 t 2 时, 2 f (x)在0,-内单调递减，在 2 1,1内单调递增，若 2 f (1) 6t 2 4t 3 6t 4t 3 2t 3 0.
函数及导数易错题精选
2009年高考数学专题复习函数、导数部分错题精选 一、选择题： 1、已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合()()[]{}(){} 2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x 中元素的个数为（ ） A. 1 B. 0 C. 1或0 D. 1或2 2、已知函数()x f 的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则函数()2+x f 的定义域和值域分别是（ ） A. [0，1] ，[1，2] B. [2，3] ，[3，4] C. [-2，-1] ，[1，2] D. [-1，2] ，[3，4] 3、已知0＜a ＜1，b ＜-1，则函数b a y x +=的图象必定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4、将函数()x x f 2=的图象向左平移一个单位得到图象1C ，再将1C 向上平移一个单位得图象 2C ，作出2C 关于直线x y =对称的图象3C ，则3C 对应的函数的解析式为（ ） A. ()11log 2+-=x y B. ()11log 2--=x y C. ()11log 2++=x y D. ()11log 2-+=x y 5、已知函数()()x x f a -=2log 1在其定义域上单调递减，则函数()() 2 1log x x g a -=的单调 减区间是（ ） A. (]0,∞- B. ()0,1- C. [)+∞,0 D. [)1,0 6、函数x x x y sin cos -=在下面的哪个区间上是增函数（ ） A. ??? ??23,2ππ B. ()ππ2, C. ?? ? ??25,23ππ D. ()ππ3,2
高一数学必修一易错题集锦答案
高一数学必修一易错题集锦答案 1. 已知集合M={y |y =x 2 ＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ） 解：M={y |y =x 2 ＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R }． ∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1}, 注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2 ＋1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2 ＋1,x ∈R }，这三个集合是不同的． 2 .已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ． 解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或{}{}21或∴C={0，1，2} 3 。已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|，B={}Z a a x x ∈+=,12|，又C={}Z a a x x ∈+=,14|，则有：m +n ∈ (填A,B,C 中的一个) 解：∵m ∈A, ∴设m =2a 1,a 1∈Z , 又∵n B ∈,∴n =2a 2+1,a 2∈ Z , ∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈ Z , ∴m +n ∈B 。 4 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若B A ，求实数p 的取值范围． 解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5. 由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3 ②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2. 由①、②得：p≤3. 点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题． 5 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2 }．若A=B ，求c 的值． 分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式． 解：分两种情况进行讨论． （1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2 －2ac=0， a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0． ∴c 2 －2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解． （2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2 －ac －a=0， ∵a≠0，∴2c 2 －c －1=0， 即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－ 21． 点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. 6 设A 是实数集，满足若a∈A，则 a -11∈A ，1≠a 且1?A. ⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A 能否为单元素集合？请说明理由. ⑶若a∈A，证明：1－ a 1∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.