用公式解一元二次方程12.1用公式解一元二次方程一——初中数学第五册教案
用公式法求解一元二次方程+教学设计
课题 2.3用公式法求解一元二次方程课时1课时上课时间教学目标1.知识与技能(1)理解求根公式的推导过程;(2)使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程.2.过程与方法(1)通过由配方法推导求根公式,培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想.(2)结合使用求根公式解一元二次方程的练习,培养学生运用公式解决问题的能力,全面培养学生解方程的能力,使学生解方程的能力得到切实的提高.3.情感、态度与价值观让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解,形成全面解决问题的积极情感,感受公式的对称美、简洁美,产生热爱数学的情感.教学重难点重点:(1)掌握公式法解一元二次方程的一般步骤.(2)熟练地用求根公式解一元二次方程.难点:用求根公式解一元二次方程的方法.教学活动设计复备课堂导入用配方法解下列方程:(1)2x2+3=7x;(2)3x2+2x+1=0.要求用配方法求解,并写出配方法的一般步骤.学生板演解题过程.探索新知合作探究自学指导你能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗?学生尝试用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),两名学生当堂板演.板演完成后,让其他学生纠错,得到正确答案x=-b±√b2-4ac2a.合作探究提问,引发学生思考:经过化简、移项、配方、变形,我们将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)转化成了x+b2a2=b2-4ac4a2,此时可以直接开平方吗?需要注意什么?等号右边的值有可能为负吗?说明什么?小组交流、讨论,达成共识,最终总结出:只有在b2-4ac≥0时,原方程才有实数解,解的多少与方程ax2+bx+c=0(a≠0)中a,b,c 的大小有关,只要将a,b,c 的值代入公式x=-b±√b 2-4ac2a就得到了方程的解,这个公式就称为“求根公式”.利用这个公式解一元二次方程就叫做公式法. 课件出示例题:【例】 解方程:(1)5x 2-4x-12=0;(2)4x 2+1=4x.例题讲解后,让学生根据例题自己总结出用求根公式解方程的一般步骤, 指名让学生来回答.教师根据学生的回答,小结出“五步法”: 步骤一:把方程化成一般形式; 步骤二:写出a,b,c 的值; 步骤三:求出b 2-4ac 的值; 步骤四:代入求根公式x=-b±√b 2-4ac2a(a ≠0,b 2-4ac ≥0);步骤五:写出方程的解.探索新知 合作探究 教师指导 1.易错点:(1)不能主动意识到只有当b 2-4ac ≥0时,两边才能开平方; (2)两边开平方,忽略取“±”. 2.归纳小结:对于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0),式子b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx+c = 0(a ≠0)根的判别式,通常用字母 “Δ” 表示。
一元二次方程的解法(公式法)教案设计
一元二次方程的解法（公式法）一、教学目标：1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程；2.经历探索求根公式的过程，发展学生合情合理的推理能力；3.通过运用公式法解一元二次方程，提高学生的运算能力，并让学生在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心。
二、教学重难点：1、重点：求根公式的推导和公式法的应用2、难点：一元二次方程求根公式的推导三、教具：PPT 、多媒体展示台四、教学过程（一） 创设情境，导入新课：公式的利用给我们的计算带来很大的便利。
例如：?))((=-+b a b a 我们可以利用它来计算99*101的积。
如果，一元二次方程的根也有公式的话，是不是也可以简便我们的计算呢？我们今天就来学习这种新的解一元二次方程的方法——公式法。
（二）自主学习通过前面的学习，我们已经掌握了一种解一元二次方程的方法——配方法。
利用配方法解一元二次方程时，对于每一个具体的方程，都重复使用了一些相同的计算步骤：例如： 03522=+-x x完成后小组内进行交流，并进行反馈矫正。
引导学生总结用配方法解一元二次方程的步骤教师板书：（1）移项；（2）化1；（3）配方；（4）变形；（5）开方；（6）求解；（7）定解．问题：这启发我们思考：能不能对一般形式的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 使用配方法，求出这个方程的根呢？学生独立思考（三）新知探索02=++c bx ax （0≠a ）动手试一试。
学生动手亲自解方程02=++c bx ax （0≠a ） 找一名同学板演。
现在我们大家共同观察黑板上的探索过程02=++c bx ax （0≠a ）移项 c bx ax -=+2将二次项的系数化为1 ac x a b x -=+2 配方 22222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++a b a c a b x a b x 变形 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+开平方运算思考：有条件限制吗？当04422≥-aac b 时,才可以开平方 开方 a ac b a b x 2422-±=+ 求解定解归纳总结：对于02=++c bx ax （0≠a ），().04.2422≥--±-=∴ac b a ac b b x当042≥-ac b 时，在这里我们把称为一元二次方程的求根公式，用公式可以直接解一元二次方程。
《用公式法解一元二次方程》PPT课件设计
一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三角
形的三边长.
解: 设这三个连续偶数中间的一个为x,根据题意得
x2 x 22 x 22.
B
即x2 8x 0.
解这个方程, 得
x1 8, x2 0(不合题意,舍去). A
C
x 2 6, x 2 10.
答: 三角形的三条边长分别为6,8,10.
1.x1 2; x2 4.
2.x1
2 3
;
x2
4. 3
3.x1
1; x2
3. 2
4.y1 y2
3. 3
动脑筋
关于x 的方程m2x2+(2m+1)x+1=0 有两个不相等的
1 实数根，则m______4__且___m___0___ （ b2-4ac=4m+1 ）
变题1：关于x 的方程m2x2+(2m+1)x+1=0 有两个相等的实数
3.计算: b2-4ac 的值;
25
10
4.代入:把有关数
28
值代入公式计算;
5
x1
6 5
;
x2
2.
5.定根:写出原方 程的根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值， 特别注意:当 b2 4ac 0 时无解
3、代入求根公式 : x b b2 4ac 2a
心动 不如行动 公式法是这样生产的
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
解 : x2 b x c 0.
1.化1:把二次项系数化为1;
x2
b
初中八年级数学《用公式法解一元二次方程》教案教学设计
初中八年级数学《用公式法解一元二次方程》教案教学设计8.3 用公式法解一元二次方程（2）知识与技能：1．熟练地运用公式法解一元二次方程．2．能用公式解非一般形式的一元二次方程．过程与方法：培养学生准确计算的能力.情感态度与价值观：1．向学生渗透由一般到特殊，再由特殊到一般的认识问题和解决问题的方法．2．渗透分类的思想．用公式法解一元二次方程在解关于字母系数的一元二次方程中注意判断b 2－4ac 的正负教师：教学ppt学生：复习公式法相关知识合作探究 课型新授课 教具设置 教学过程（教师）学生活动 公式法是解一元二次方程的通法，利用公式法不仅可以求得方程中x 的准确值，也可以求得近似值，不仅可以解关于数字系数的一元二次方程，还可以求解关于字母系数的一元二次方程．复习提问（1）写出一元二次方程的一般形式及求根公式．一般式：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）．（2）说出下列方程中的a 、b 、c的值．① x 2-6＝9x ；②3x 2＋4x ＝7；③x 2＝10x-24；（3）解方程x x 3232=+回顾理解 学生默写。
独立完成 抽学生上台板演。
口述做题过程，明确公式法解一元二次方程的一般步骤用公式法解一元二次方程的步骤1.将方程化为一般形式2.写出二次项系数、一次项次数及常数项3.计算b2-4ac的值，并判断b2-4ac的符号4.当b2-4ac≥0时，代入公式a acbbx24 2-±-=，求出方程的根5.当b2-4ac＜0时，直接写出原方程无解，不要再带入求根公式。
总结记忆，提升练习：1．解：于x的方程abx2-（a4＋b4）x＋a3b3＝0（ab≠0）．2．解关于x的方程（m＋n）x2＋（4m-2n）x＋n-5m＝0．通过此题，在加强练习公式法的基础上，渗透分类的思想．学生练习、板书、评价，注意（a4＋b4）2-4a4b4＝（a4-b4）2的变化过程．注意ab ≠0的条件．1．用公式法解一元二次方程，要先确定a、b、c的值，再确定b2－4ac的符号．2．如果含有字母系数的一元二次方程，首先要注意首项系数为不为零，其次如何确定b2－4ac的符号．讨论、体会。
数学 1用公式法解一元二次方程-课件
b b2 4ac 2a
所以当a≠0, b=0， ac≤0时，方程的两根为互为相反数.
13
小结
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.用公式法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)，若 b2-4ac≥0，得求根公式：
x b b2 4ac 2a
2.会熟练应用公式法解一元二次方程．
4.3 用公式法解一元二次方程
1
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程； 2.了解公式法的概念； 3.会熟练应用公式法解一元二次方程．
2
1、请用配方法解一元二次方程2x2+4x+1=0
2、用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把原方程化成 x2+px+q=0的形式；
（2）移项整理 得 x2+px=-q；
x= b b2 4ac 叫做求根公式 2a
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
5
例题
【例1】用公式法解方程:2x2+5x-3=0
【解析】 a=2 , b=5 , c= -3 .
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49.
∴ x = b b2 4ac 2a
即 x1= - 3, x2=
14
数阅
学读
使使
人人
精充
细实
；；
博会
物谈
使使
人人
深敏
沉捷
；；
伦写
理作
使与
人笔
庄记
重使
； 逻
人 精
辑确
You made my day!
与； 修史
辞 使
鉴 使
人人
善明
辩智
。
公式法解一元二次方程
2022-2023学年第一学期乡本教研活动公式法解一元二次方程教案学科：数学年级：九年级学校：郭村第二初级中学一元二次方程的解法—公式法一、教学目标1.使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。
2.使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。
3.在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。
二、教学重难点1.难点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程；2.重点：对文字系数二次三项式进行配方；求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误。
三、教学过程（一）复习引入1.复习一元二次方程的概念2.回顾配方法解一元二次方程的方法和步骤（二）新知探索1.用配方法解下列方程（1）09532=--x x （2） 4342=-x x2.试一试用配方法解一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax3.学生自主探究、小组讨论并交流4.教师公布过程)0(02≠=++a c bx ax解：∵a ≠0方程两边同时除以a 得：02=++ac x a bx移项得：acx a b x -=+2 配方得：a c a b a b x a b x -=++222)2()2( 即222442aac b a b x -=+）（ 问题：（1）当042≥-ac b 且a ≠0时方程有根吗？（2）当ac b 42-＜0时呢？分类：（1）当042≥-ac b 时，a ac b a b x 2422-±=+即x=a ac b b 242-±-（2）当ac b 42-＜0时方程无实数根。
以此：ac b 42-叫做根的判别式，记作“Δ”归纳:一元二次方程的求根公式为对于)0(02≠=++a c bx ax X= a ac b b 242-±-(042≥-ac b )5.师生总结公式法解一元二次方程步骤（1）把方程化为一般形式即：)0(02≠=++a c bx ax 的形式（2）确定a 、b 、c 的值（3）求出Δ=ac b 42-的值并判断根的情况（4）代入公式解出方程的根。
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用公式解一元二次方程12.1用公式解
一元二次方程（一）——初中数学第五
册教案
12。1 用公式解一元二次方程（一）
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一、素质教育目标
（一）知识教学点：1．使学生了解一元二次方程及整
式方程的意义；2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识
别二次项系数、一次项系数及常数项．
（二）能力训练点：1．通过一元二次方程的引入，培
养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程
概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．
（三）德育渗透点：由知识来源于实际，树立转化的思
想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培
养学生用数学的意识．
二、教学重点、难点
1．教学重点：一元二次方程的意义及一般形式．
2．教学难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”．
三、教学步骤
（一）明确目标
1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在
薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折
起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿
出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示
的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同
时培养学生手、脑、眼并用的能力．
2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截
去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖
的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？
教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程
x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要
学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而
解决上述问题．
板书：“第十二章一元二次方程”．教师恰当的语言，激
发学生的求知欲和学习兴趣．
（二）整体感知
通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源
于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，
可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用
数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中．同时让学
生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位．
（三）重点、难点的学习及目标完成过程
1．复习提问
（1）什么叫做方程？曾学过哪些方程？
（2）什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含义？
（3）什么叫做分式方程？
问题的提出及解决，为深刻理解一元二次方程的概念做
好铺垫．
2．引例：剪一块面积为150cm2的长方形铁片使它的长
比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？
引导，启发学生设未知数列方程，并整理得方程
x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋
825＝0加以观察、比较，得到整式方程和一元二次方程的概
念．
整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式，这样的
方程称为整式方程．
一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次
数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．
一元二次方程的概念是在整式方程的前提下定义的．一
元二次方程中的“一元”指的是“只含有一个未知数”，“二
次”指的是“未知数的最高次数是2”．“元”和“次”的概
念搞清楚则给定义一元三次方程等打下基础．一元二次方程
的定义是指方程进行合并同类项整理后而言的．这实际上是
给出要判定方程是一元二次方程的步骤：首先要进行合并同
类项整理，再按定义进行判断．
3．练习：指出下列方程，哪些是一元二次方程？
（1）x（5x-2）＝x（x＋1）＋4x2；
（2）7x2＋6＝2x（3x＋1）；
（3）
（4）6x2＝x；
（5）2x2＝5y；
（6）-x2＝0
4．任何一个一元二次方程都可以化为一个固定的形式，
这个形式就是一元二次方程的一般形式．
一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．ax2
称二次项，bx称一次项，c称常数项，a称二次项系数，b
称一次项系数．
一般式中的“a≠0”为什么？如果a＝0，则ax2+bx+c
＝0就不是一元二次方程，由此加深对一元二次方程的概念
的理解．
5．例1 把方程3x（x-1）＝2（x＋1）＋8化成一般形
式，并写出二次项系数，一次项系数及常数项？
教师边提问边引导，板书并规范步骤，深刻理解一元二
次方程及一元二次方程的一般形式．
6．练习1：教材P．5中1，2．要求多数学生在练习本
上笔答，部分学生板书，师生评价．题目答案不唯一，最好
二次项系数化为正数．
练习2：下列关于x的方程是否是一元二次方程？为什
么？若是一元二次方程，请分别指出其二次项系数、一次项
系数、常数项．
8mx-2m-1＝0；（4）（b2＋1）x2-bx＋b＝2；（5）2tx（x-5）
＝7-4tx．
教师提问及恰当的引导，对学生回答给出评价，通过此
组练习，加强对概念的理解和深化．
（四）总结、扩展
引导学生从下面三方面进行小结．从方法上学到了什么
方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别
和联系？
1．将实际问题用设未知数列方程转化为数学问题，体
会知识来源于实际以及转化为方程的思想方法．
2．整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般
形式，二次项系数、一次项系数及常数项．归纳所学过的整
式方程．
3．一元二次方程的意义与一般形式ax2＋bx＋c＝0（a
≠0）的区别和联系．强调“a≠0”这个条件有长远的重要
意义．
四、布置作业
1．教材P．6 练习2．
2．思考题：
1）能不能说“关于x的整式方程中，含有x2项的方程
叫做一元二次方程？”
2）试说出一元三次方程，一元四次方程的定义及一般
形式（学有余力的学生思考）．
五、板书设计
第十二章 一元二次方程
12．1用公式解一元二次方程
1．整式方程：……
4．例1：……
2．一元二次方程……：
……
3．一元二次方程的一般形式：
……
5．练习：……
……
……
六、课后习题参考答案
教材P．6A2．
教材P．6B1、2．
1．（1）二次项系数：ab 一次项系数：c 常数项：d．
（2）二次项系数： m-n 一次项系数：0 常数项：m＋n．
2．一般形式：（m＋n）x2+（m-n）x＋p-q＝0（m＋n≠0）
二次项系数：m＋n，一次项系数：m－n，常数项：p－q．
思考题
（1）不能．如x3＋2x2－4x＝5．
（2）一元三次方程：只含有一个未知数，且未知数的
最高次数是3，这样的整式方程叫做一元三次方程．一般形
式：ax3＋bx2＋cx＋d＝0（a≠0）．
一元四次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次
数是4，这样的整式方程叫做一元四次方程．一般形式：ax4
＋bx3＋cx2＋dx＋e＝0（a≠0）．