最新人教版高中数学必修2第三章《直线的两点式方程》目标导引
高中数学 第三章 直线与方程 3.2.2 直线的两点式方程教案 新人教A版必修2
§3.2.2直线的两点式方程[教材]人教A版数学必修2：第三章直线与方程 3.2直线的方程第2课时[学情分析]我校为一所普通高中，部分学苗基础较差，学生在态度习惯、知识结构、思维品质、数学能力等方面相对薄弱。
本节课是在学生学习完直线的方程第一节：直线的点斜式方程之后，学生已经建立了两种具体的直线方程：点斜式、斜截式的概念及会应用它们求直线方程，并对直线方程、方程直线的概念有了一定的理解和认识，已形成了一定的认知结构。
另外对于两点确定一条直线，直线的纵截距的概念也已经明确清晰，所以对本节课的学习，学生应该具备了一定的认知和实践能力的条件。
但由于部分学生观察、类比、迁移、化归、计算等方面能力的薄弱，可能在两点式方程形式的导出、综合性应用的问题上会有一定难度。
[学习内容分析]直线方程共有四种特殊形式，本节课是学习第三、四种特殊形式，在本大节3.2直线的方程中重要性略低于前两种形式，使用频率也不高。
但它在体现点斜式方程的应用，衬托点斜式方程的重要性，及为学习一般式方程作铺垫，体现由特殊到一般的知识归纳提升过程有着重要意义。
本节的主要知识点是两个方程的导出及应用，它们的教学基于点斜式方程，同时引领学生学会一个数学方法即待定系数法，说明这种方法在确定曲线方程问题中是常用的重要方法。
另外把方程思想、数形结合思想贯穿于课堂教学的始终，强调解析几何的一般方法和思想。
通过对两点式、截距式方程形式美的认识，让学生感受数学的对称美、和谐美等美的特质。
通过对两点式方程由分式到整式的变形，为学生了解一般式方程中系数A、B的几何意义（直线的方向向量即为（B，-A），法向量为（A，B）），为学习直线的参数方程做一铺垫。
同时教给学生这个整式形式的方程是已知两点求直线方程并化为一般方程的一个小技巧，并为学生感性认识行列式为进一步学习高等数学埋下伏笔。
以体现搭建共同基础，提供发展平台的课程理念。
[教学目标]1.知识与技能：掌握直线的两点式、截距式方程并会用于求直线方程的相关问题；2.过程与方法：理解两点式方程的导出过程，掌握求直线方程的直接法及间接法（待定系数法）；3.态度、情感、价值观：通过对方程形式美的发现，感受数学美和数学文化，进一步体会方程思想、数形结合思想、分类讨论思想。
高中数学同步讲义必修二——第三章 3.2.2 直线的两点式方程
3.2.2 直线的两点式方程学习目标 1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标．知识点一 直线方程的两点式思考 过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？ 答案 不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示． 梳理名称已知条件 示意图方程使用范围 两点式P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 斜率存在且不为0知识点二 直线方程的截距式思考 已知两点P 1(a,0)，P 2(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程． 答案 由直线方程的两点式，得y －0b －0＝x －a 0－a ，即x a ＋yb ＝1. 梳理名称已知条件 示意图方程使用范围截距式 在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 且a ≠0，b ≠0x a ＋y b＝1 斜率存在且不为0，不过原点知识点三 线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.1．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示．( × )2．经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ )3．能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．( √ )类型一 直线的两点式方程例1 已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中， (1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程． 解 (1)BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)， 由两点式，得y －(－4)－2－(－4)＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0，故BC 边的方程是2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5)． (2)设BC 的中点为M (a ，b )，则a ＝5＋02＝52，b ＝－4＋(－2)2＝－3，所以M ⎝⎛⎭⎫52，－3， 又BC 边的中线过点A (－3,2)，所以y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)，即10x ＋11y ＋8＝0，所以BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0. 引申探究若本例条件不变，试求BC 边的垂直平分线所在的直线方程．解 k BC ＝－4－(－2)5－0＝－25，则BC 边的垂直平分线的斜率为52，又BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫52，－3， 由点斜式方程可得y ＋3＝52⎝⎛⎭⎫x －52， 即10x －4y －37＝0.反思与感悟 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x 2与y 2是同一点坐标，而x 1与y 1是另一点坐标．跟踪训练1 若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 答案 －2解析 由直线方程的两点式，得y －(－1)4－(－1)＝x －2－3－2，即y ＋15＝x －2－5. ∴直线AB 的方程为y ＋1＝－x ＋2， ∵点P (3，m )在直线AB 上， ∴m ＋1＝－3＋2，得m ＝－2. 类型二 直线的截距式方程例2 求过点A (5,2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程．解 方法一 (1)当直线l 在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；(2)当直线l 在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，又∵l 过点A (5,2)，∴5－2＝a ，解得a ＝3， ∴l 的方程为x －y －3＝0.综上所述，直线l 的方程是2x －5y ＝0或x －y －3＝0. 方法二 由题意知直线的斜率一定存在． 设直线的点斜式方程为y －2＝k (x －5)， 当x ＝0时，y ＝2－5k ，当y ＝0时，x ＝5－2k .根据题意得2－5k ＝－⎝⎛⎭⎫5－2k ，解方程得k ＝25或1. 当k ＝25时，直线方程为y －2＝25(x －5)，即2x －5y ＝0；当k ＝1时，直线方程为y －2＝1×(x －5)，即x －y －3＝0. 综上，直线l 的方程是2x －5y ＝0或x －y －3＝0.反思与感悟 (1)如果问题中涉及直线与两坐标轴相交，则可考虑选用直线截距式的方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用直线截距式的方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． 跟踪训练2 过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．无数多条答案 C解析 当过原点时，有一条符合题意；当与坐标轴截距为正数时，有一条；当与坐标轴截距互为相反数且不为0时，有一条，共3条．1．在x 轴，y 轴上的截距分别是－3,4的直线方程是( ) A.x －3＋y4＝1 B.x 3＋y－4＝1 C.x －3－y4＝1 D.x 4＋y－3＝1 答案 A2．经过M (3,2)与N (6,2)两点的直线方程为( ) A ．x ＝2 B ．y ＝2 C ．x ＝3 D ．x ＝6 答案 B解析 由M ，N 两点的坐标可知，直线MN 与x 轴平行，所以直线方程为y ＝2，故选B. 3．过点P (1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为________． 答案 2x －y ＝0或x －y ＋1＝0解析 当直线过原点时，得直线方程为2x －y ＝0； 当在坐标上的截距不为零时， 可设直线方程为x a －ya＝1，将x ＝1，y ＝2代入方程可得a ＝－1， 得直线方程为x －y ＋1＝0.∴直线方程为2x －y ＝0或x －y ＋1＝0.4．已知点A (3,2)，B (－1,4)，则经过点C (2,5)且经过线段AB 的中点的直线方程为______． 答案 2x －y ＋1＝0解析 AB 的中点坐标为(1,3)， 由直线的两点式方程可得y －35－3＝x －12－1，即2x －y ＋1＝0.5．直线l 过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线l 的横截距与纵截距之和为6，求直线l 的方程． 解 设直线l 的横截距为a ，由题意可得纵截距为6－a ， 所以直线l 的方程为x a ＋y 6－a ＝1，因为点(1,2)在直线l 上，所以1a ＋26－a ＝1，解得a 1＝2，a 2＝3.当a ＝2时，直线的方程为2x ＋y －4＝0， 直线经过第一、二、四象限；当a ＝3时，直线的方程为x ＋y －3＝0， 直线经过第一、二、四象限．综上所述，所求直线方程为2x ＋y －4＝0或x ＋y －3＝0.1．当直线没有斜率(x 1＝x 2)或斜率为0(y 1＝y 2)时，不能用两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1求它的方程，此时直线的方程分别是x ＝x 1和y ＝y 1，而它们都适合(x 2－x 1)·(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)的形式．2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．一、选择题1．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( ) A ．可以写成两点式或截距式 B ．可以写成两点式或斜截式或点斜式 C ．可以写成点斜式或截距式D ．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式 答案 B解析 由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．故选B. 2．直线x a 2－yb 2＝1在y 轴上的截距是( )A ．|b |B ．－b 2C ．b 2D ．±b 答案 B解析 令x ＝0，得y ＝－b 2.3．若直线l 的横截距与纵截距都是负数，则( ) A ．l 的倾斜角为锐角且不过第二象限 B ．l 的倾斜角为钝角且不过第一象限 C ．l 的倾斜角为锐角且不过第四象限 D ．l 的倾斜角为钝角且不过第三象限答案 B解析 依题意知，直线l 的截距式方程为x －a ＋y－b ＝1(a >0，b >0)，显然直线l 只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B. 4．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y ＋2＝0答案 B解析 因为k AB ＝1－3－5－1＝13，AB 的中点坐标为(－2,2)，所以所求直线方程为y －2＝－3(x ＋2)，化简为3x ＋y ＋4＝0.5．若直线l 过点(－1，－1)和(2,5)，且点(1 009，b )在直线l 上，则b 的值为( ) A ．2 019 B ．2 018 C ．2 017 D ．2 016 答案 A解析 由直线的两点式方程得直线l 的方程为y －(－1)5－(－1)＝x －(－1)2－(－1)，即y ＝2x ＋1，令x ＝1 009， 则有b ＝2×1 009＋1，即b ＝2 019.6．(2017·菏泽二中检测)一条光线从点A ⎝⎛⎭⎫－12，0处射到点B (0,1)后被y 轴反射，则反射光线所在直线的方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝－2x ＋1 C ．y ＝12x －12D ．y ＝－12x －12答案 B解析 由光的反射定律可得，点A ⎝⎛⎭⎫－12，0关于y 轴的对称点M ⎝⎛⎭⎫12，0在反射光线所在的直线上．再由点B (0,1)也在反射光线所在的直线上，用两点式可求得反射光线所在的直线方程为y －01－0＝x －120－12，即y ＝－2x ＋1. 7．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )答案 A解析 两条直线化为截距式分别为x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a ＝1.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 符合．8．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－1，15 B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞) C.()－∞，1∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞ D.()－∞，－1∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案 D解析 设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B 时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C 时，直线l 在x 轴上的截距为－3，此时k ＝12，满足条件的直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞.二、填空题9．过点P (1,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式方程是_________________________________________________________． 答案 x 2＋y6＝1解析 设A (m,0)，B (0，n )，由P (1,3)是AB 的中点可得m ＝2，n ＝6， 即A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,6)， 则l 的截距式方程是x 2＋y6＝1.10．过点(1,3)且在x 轴上的截距为2的直线方程是______________． 答案 3x ＋y －6＝0解析 由题意知直线过点(2,0)， 又直线过点(1,3)， 由两点式可得， y －03－0＝x －21－2， 整理得3x ＋y －6＝0.11．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________． 答案 3解析 直线AB 的方程为x 3＋y4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3.即当P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，2时，xy 取得最大值3. 三、解答题12．在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求： (1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的截距式方程． 解 (1)设C (x 0，y 0)， 则AC 边的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0－22， BC 边的中点为N ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋72，y 0＋32，因为M 在y 轴上，所以x 0＋52＝0，解得x 0＝－5.又因为N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，解得y 0＝－3.即C (－5，－3)．(2)由(1)可得M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1,0)， 所以直线MN 的截距式方程为x 1＋y－52＝1.13．已知△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)，B (－2,6)，C (－8,0)． (1)求边AC 和AB 所在直线的方程； (2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程； (3)求AC 边上的中垂线的方程．解 (1)由截距式，得边AC 所在直线的方程为x －8＋y4＝1，即x －2y ＋8＝0.由两点式，得边AB 所在直线的方程为y －46－4＝x －0－2－0，即x ＋y －4＝0.(2)由题意，得点D 的坐标为(－4,2)， 由两点式，得边BD 所在直线的方程为y －26－2＝x －(－4)－2－(－4)， 即2x －y ＋10＝0.(3)由k AC ＝12，得AC 边上的中垂线的斜率为－2.又AC 的中点坐标为(－4,2)，由点斜式，得AC 边上的中垂线方程为 y －2＝－2(x ＋4)，即2x ＋y ＋6＝0. 四、探究与拓展14．若直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l 的方程为________．答案 x ＋y ±6＝0或x －y ±6＝0解析 ∵直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，∴直线l 在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0，若l 在两坐标轴上的截距相等，且设为a ，则直线方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y －a ＝0. ∵12|a |·|a |＝18，即a 2＝36， ∴a ＝±6，∴直线方程为x ＋y ±6＝0.若l 在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设横截距为a ，则纵截距为－a ，故直线方程为x a＋y －a＝1，即x －y －a ＝0. ∵12|－a |·|a |＝18，即a 2＝36， ∴a ＝±6，∴直线方程为x －y ±6＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋y ±6＝0或x －y ±6＝0.15．已知直线l ：x －y ＋3＝0，一束光线从点A (1,2)处射向x 轴上一点B ，又从B 点反射到l 上的一点C ，最后从C 点反射回A 点，求直线BC 的方程．解 作点A 关于x 轴的对称点A 2，则A 2(1，－2)．设点A 关于l ：x －y ＋3＝0的对称点为A 1(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋12－y 0＋22＋3＝0，y 0－2x 0－1×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝4， 即A 1点坐标为(－1,4)．由已知条件知点A 1，A 2均在直线BC 上，∴由直线的两点式方程，得y －4－2－4＝x ＋11＋1， 即3x ＋y －1＝0.故直线BC 的方程为3x ＋y －1＝0.。
高一数学人教版A版必修二课件：3.2.2 直线的两点式方程
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 已知△ABC的顶点是A(－1，－1)，B(3,1)，C(1,6).求与CB 平行的中位线的直线方程.
解析答案
类型二 直线的截距式方程 例2 求过定点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 (1)直线l过定点A(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问题了 吗
总是
比别人
学得慢
一看就懂 一做就错 看得懂，但不会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识
解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识
速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学习方 式
案例式
学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必备习
惯
积极 主动
以终 为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完整过程
消化Leabharlann 固化模式拓展
小思考
TIP1：听懂看到≈认知获取； TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道； TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
yy2－－yy11＝
x－x1 x2－x1
斜率存在且 不为0
答案
知识点二 直线方程的截距式
思考1 过点(5,0)和(0,7)的直线能用 5x＋7y＝1表示吗？
最新人教版高中数学必修二第三章直线与方程第二节第2课时直线的两点式方程
3.2.2 直线的两点式方程1.直线的两点式方程(1)条件：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2. (2)图形：(3)方程：y －y 1y 2－y 1 ＝x －x 1x 2－x 1．(1)什么样的直线的方程不能用两点式表示？ 提示：与x 轴、y 轴平行的直线，x 轴，y 轴．(2)过点(1，3)和(1，5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2，3)，(5，3)的直线呢？ 提示：不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2，3)，(5，3)的直线也不能用两点式表示．2．直线的截距式方程(1)条件：在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b 且a ≠0，b ≠0. (2)图形：(3)方程：x a ＋yb＝1．方程x 2 －y 3 ＝1和x 2 ＋y3＝－1都是直线的截距式方程吗？提示：都不是截距式方程．截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”连接，二是等号右边为1.3．两点的中点坐标公式点P(x ，y)是线段P 1P 2的中点，其中P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x ＝x 1＋x 22 ，y ＝y 1＋y 22.如果已知点P(a ，b)是线段P 1P 2的中点，其中P 1(x 1，y 1)，那么点P 2的坐标是什么？ 提示：设点P 2(x 2，y 2)，由中点坐标公式：a ＝x 1＋x 22 ，b ＝y 1＋y 22，所以x 2＝2a －x 1，y 2＝2b －y 1，则点P 2(2a －x 1，2b －y 1).1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”) (1)过点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程y －y 1y 2－y 1 ＝x －x 1x 2－x 1表示．( × ) 提示：当x 1＝x 2或y 1＝y 2时，直线不能用方程y －y 1y 2－y 1 ＝x －x 1x 2－x 1表示． (2)在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程为x a ＋yb＝1.( × )提示：当a ＝0或b ＝0时，在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线不能用方程x a ＋yb ＝1表示．(3)任何一条直线都有在x 轴，y 轴上的截距．( × ) 提示：例如与x 轴平行的直线只有在y 轴上的截距．2．(教材习题改编)过点A(5，6)和点B(－1，2)的直线的两点式方程是( ) A ．y －5x －6 ＝y ＋1x －2B ．y －62－6 ＝x －5－1－5 C ．2－6y －6 ＝－1－5x －5D ．x －62－6 ＝y －5－1－5【解析】选B.根据直线的两点式方程得y －62－6 ＝x －5－1－5.3．已知M(－1，2)，N(3，－4)，线段MN 的中点坐标为(a ，b)，则a ＝__________，b ＝__________． 【解析】由中点坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1＋32，b ＝2－42，即⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1. 答案：1 －1类型一 直线的两点式方程(数学抽象、数学运算)1．已知点P(3，m)在过点M(2，－1)和N(－3，4)的直线上，则m 的值是( ) A ．5 B ．2 C ．－2 D ．－6 【解析】选C.由两点式方程，得直线MN 的方程为y －（－1）4－（－1） ＝x －2－3－2 ，化简，得x ＋y －1＝0.又点P(3，m)在此直线上，代入得3＋m －1＝0， 解得m ＝－2.2．光线从A(－3，4)点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射，这时反射光线恰好过点C(1，6)，则BC 所在直线的方程为( ) A ．5x －2y ＋7＝0 B ．2x －5y ＋7＝0 C ．5x ＋2y －7＝0 D ．2x ＋5y －7＝0【解析】选A.点A(－3，4)关于x 轴的对称点A ′(－3，－4)在反射光线所在的直线上，所以所求直线为x －（－3）1－（－3） ＝y －（－4）6－（－4），即5x －2y ＋7＝0.3．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 经过点(－1，0)，(1，4)，则直线l 的两点式方程是________．【解析】根据两点式方程可得y －04－0 ＝x ＋11＋1. 答案：y －04－0 ＝x ＋11＋14．已知在△ABC 中，点A(－1，0)，B(0， 3 )，C(1，－2)，则AB 边中线所在直线的两点式方程为________．【解析】点A(－1，0)，B(0， 3 )，中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 ，所以AB 边中线所在直线的方程为y ＋232＋2 ＝x －1－12－1 .答案：y ＋232＋2 ＝x －1－12－1求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)差的顺序性：常会将x ，y 或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．提醒：已知两点坐标，求过这两点的直线方程也可以先求斜率，再代入点斜式得到直线的方程．【补偿训练】1.经过点A(2，5)，B(－3，6)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．2 B ．－3 C ．－27 D ．27 【解析】选D.由两点式得直线方程为y －65－6 ＝x ＋32＋3，即x ＋5y －27＝0.令y ＝0，得x ＝27. 2．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．－32 B ．－23 C ．25D ．2【解析】选A.直线方程为y－91－9＝x－3－1－3，令y＝0，得x＝－32，则在x轴上的截距为－32.3．已知△ABC三顶点坐标为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的两点式方程为________．【解析】由中点坐标公式可得M(2，4)，N(3，2)，再由两点式可得直线MN的方程为y－42－4＝x－23－2.答案：y－42－4＝x－23－2类型二直线的截距式方程(数学抽象、数学运算)1．直线xa2－yb2＝1在y轴上的截距是( )A．|b| B．－b2 C．b2 D．±b【解析】选B.令x＝0，得y＝－b2.2．过点P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为( )A．x－y＋1＝0或3x－2y＝0B．x＋y－5＝0C．x－y＋1＝0D．x＋y－5＝0或3x－2y＝0【解析】选A.过点P(2，3)，且在两坐标轴上的截距互为相反数，当横截距a＝0时，纵截距b＝0，直线过点P(2，3)，(0，0)，所以直线方程为yx＝32，即3x－2y＝0.当横截距a≠0时，纵截距b＝－a，直线方程为xa＋y－a＝1，代入(2，3)解得a＝－1，所以直线方程为－x＋y＝1，即x－y＋1＝0.综上，所求直线方程为x－y＋1＝0或3x－2y＝0. 3．过点M(1，2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．【解析】①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x＋y＝a，把(1，2)代入所设的方程得：a＝3，则所求直线的方程为x＋y＝3即x＋y－3＝0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y＝kx，把(1，2)代入所设的方程得：k＝2，则所求直线的方程为y＝2x即2x－y＝0.综上，所求直线的方程为：2x－y＝0或x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝0或2x－y＝04．直线l过点(1，2)和第一、二、四象限，若l的两截距之和为6，求直线l的方程．【解析】设直线l的横截距为a，则纵截距为6－a，l的方程为xa＋y6－a＝1，因为点(1，2)在直线l上，所以1a＋26－a＝1，即a2－5a＋6＝0.解得a1＝2，a2＝3.当a＝2时，直线的方程为x2＋y4＝1，当a＝3时，直线的方程为x3＋y3＝1，直线l都经过第一、二、四象限，符合题意，综上知，直线l的方程为x2＋y4＝1或x3＋y3＝1.直线的截距式方程在解题中的应用(1)在解决直线与坐标轴围成的三角形面积、周长的问题中，常设直线的截距式方程．(2)当直线与x轴、y轴平行，过原点时不能设截距式方程，可以利用点斜式等形式解题．【补偿训练】求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程．【解析】设直线方程的截距式为xa＋1＋ya＝1.则6a＋1＋－2a＝1，解得a＝2或a＝1，则直线方程是x2＋1＋y2＝1或x1＋1＋y1＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.类型三直线方程的简单应用(数学运算、逻辑推理) 角度1 图象辨析【典例】两条直线l1：xa－yb＝1和l2：xb－ya＝1(a≠b，且a＋b≠0)在同一直角坐标系中的图象可以是( )【思路导引】根据图形中l 1，l 2的位置，确定截距的关系、符号，判断是否符合． 【解析】选A.由截距式方程可得直线l 1的横、纵截距分别为a ，－b ，直线l 2的横、纵截距分别为b ，－a ，选项A ，由l 1的图象可得a ＜0，b ＞0，可得直线l 2的截距均为正数，故正确；选项B ，因为a ≠b ，且a ＋b ≠0，所以l 1与l 2不平行，故错误；选项C ，只有当a ＝b 时，才有直线的纵截距相等，故错误；选项D ，由l 1的图象可得a ＞0，b ＞0，可得直线l 2的横截距为正数，纵截距为负数，图象不对应，故错误．若将本例中的条件变为“直线x a ＋yb ＝1的图象如图所示”，则关于截距a ，b 的关系中一定正确的是________．①|a|＞|b|；②－a ＞ b ；③(b －a)(b ＋a)＜0；④1a ＞1b.【解析】由题图可知，a ＜0，b ＞0，且|a|＞|b|，①正确；－a ＞b ＞0，所以－a ＞ b ，②正确；b －a ＞0，b ＋a ＜0，所以(b －a)(b ＋a)＜0，③正确；1a ＜0＜1b ，④错误．答案：①②③角度2 在图形中的综合应用 【典例】已知直线l ：x m ＋y4－m ＝1.(1)若直线l 的斜率等于2，求实数m 的值．(2)若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．【思路导引】(1)可在直线上取两个点，利用两点的坐标与直线的斜率求m的值；(2)△AOB 为直角三角形，该直线在两坐标轴上的截距即为OA，OB的长．【解析】(1)直线l过点(m，0)，(0，4－m)，则k＝4－m－m＝2，则m＝－4.(2)由m＞0，4－m＞0，得0＜m＜4，则S＝m（4－m）2＝－（m－2）2＋42，易知当m＝2时，S有最大值2，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.求直线方程时方程形式的选择技巧(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程时，通常选用点斜式方程．(2)已知直线的斜率，通常选用点斜式或斜截式，再由其他条件确定一个定点的坐标或在y轴上的截距．(3)已知直线在两坐标轴上的截距时，通常选用截距式方程．(4)已知直线上两点时，通常选用两点式方程．1．如图所示，直线l的截距式方程是xa＋yb＝1，则有( )A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0【解析】选B.很明显M(a，0)，N(0，b)，由图知M在x轴正半轴上，N在y轴负半轴上，则a＞0，b＜0.2．已知△ABC 的三个顶点A(－2，4)，B(－3，－1)，C(1，3). (1)求BC 边上高AD(D 为垂足)所在直线的方程；(2)求BC 边上的中线AE (E 为BC 的中点)所在直线方程． 【解析】(1)因为k BC ＝3－()－11－()－3 ＝1，直线BC 垂直于直线AD ，所以k AD ＝－1，所以AD 所在直线的方程为y －4＝－1()x ＋2 ，整理得x ＋y －2＝0， 所以BC 边上高AD(D 为垂足)所在直线的方程为x ＋y －2＝0； (2)由中点坐标公式得E ()－1，1 ，所以根据两点式方程得中线AE 的方程为：y －4x ＋2 ＝1－4－1－（－2） ，整理得3x ＋y ＋2＝0.所以BC 边上的中线AE (E 为BC 的中点)所在直线方程为3x ＋y ＋2＝0.【补偿训练】1.已知点M(1，－2)，N(m ，2)，若线段MN 的垂直平分线的方程是x2 ＋y ＝1，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1【解析】选C.由中点坐标公式，得线段MN 的中点是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0 . 又点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0 在线段MN 的垂直平分线上，所以1＋m 4 ＋0＝1，所以m ＝3.2．已知在△ABC 中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0).求：(1)在△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程． (2)BC 边的中线所在直线的方程并化为截距式方程．【解析】(1)平行于BC 边的中位线就是AB ，AC 中点的连线．因为线段AB ，AC 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1 ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 ， 所以这条直线的方程为y ＋21＋2 ＝x ＋1272＋12，整理得，6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x136＋y－138＝1.(2)因为BC边上的中点为(2，3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为y＋43＋4＝x－12－1，即7x－y－11＝0，化为截距式方程为x117＋y－11＝1.3．已知△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠B，∠C的平分线方程分别为x＝0，y＝x.(1)求直线BC的方程．(2)求直线AB的方程．【解析】(1)因为∠B，∠C的平分线分别是x＝0，y＝x，所以AB与BC关于x＝0对称，AC 与BC关于y＝x对称．A(3，－1)关于x＝0的对称点A′(－3，－1)在直线BC上，A关于y ＝x的对称点A″(－1，3)也在直线BC上．由两点式，所求直线BC的方程：y＝2x＋5.(2)因为直线AB与直线BC关于x＝0对称，所以直线AB与BC的斜率互为相反数，由(1)知直线BC的斜率为2，所以直线AB的斜率为－2，又因为点A的坐标为(3，－1)，所以直线AB的方程为y－(－1)＝－2(x－3)，即2x＋y－5＝0.。
直线的两点式方程教案详案
直线的两点式方程教案详案一、教学目标1.理解直线的两点式方程的含义和基本形式；2.掌握利用直线上两点确定直线方程的方法；3.能够灵活运用两点式方程解决与直线相关的问题。
二、教学准备1.教师准备：–教学课件或板书工具；–直线模型或实物示范。
2.学生准备：–笔、纸、尺等基础学习工具。
三、教学过程1. 导入与引入通过示范直线模型或实物，并提问引导学生思考：•直线是什么？你见过哪些直线？•直线有什么特点？进一步引出直线的两点式方程的概念和作用。
2. 直线的两点式方程的定义解释直线的两点式方程的定义：•直线的两点式方程是用直线上的两个点的坐标表示直线的方程。
•一个直线的两点式方程唯一确定这条直线。
3. 直线的两点式方程的基本形式介绍直线的两点式方程的基本形式：$y - y_1 = \\frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}(x - x_1)$解释各项符号的含义，如P1(x1,y1)和P2(x2,y2)分别为直线上的两个已知点。
4. 求直线的两点式方程的步骤•步骤1：已知直线上两个点的坐标，记为P1(x1,y1)和P2(x2,y2)；•步骤2：根据基本形式，代入已知点的坐标，得到直线的两点式方程；•步骤3：化简方程得到最简形式。
示范解题过程，让学生理解如何利用已知点求直线的两点式方程。
5. 实例练习提供若干道例题，让学生独立或小组合作完成，并进行讲解。
例题1：已知直线上两个点P1(2,3)和P2(−1,4)，求该直线的两点式方程。
例题2：已知直线上两个点P1(−3,1)和P2(5,−2)，求该直线的两点式方程。
例题3：已知直线上两个点P1(0,2)和P2(2,0)，求该直线的两点式方程。
6. 拓展应用让学生利用直线的两点式方程解决与直线相关的问题，如求直线与坐标轴的交点、直线在平面直角坐标系中的图像等。
7. 总结与评价回顾直线的两点式方程的概念和求解步骤，让学生自己总结和梳理。
评价学生的学习情况，鼓励解答问题，纠正错误。
人教A版高中数学必修二课件：3-2-2直线的两点式方程3
3．若点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且线段 P1P2 的中点 x1＋x2 y1＋y2 M 的坐标为(x，y)，则 x＝ 2 ，y＝ 2 .此公式为线 段 P1P2 的中点坐标公式．
1．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程
( A．可以写成两点式或截距式 B．可以写成两点式或斜截式或点斜式 C．可以写成点斜式或截距式 D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式 答案：B )
解：由题意可设 A(x,0)，B(0，y)，由中点坐标公式可得 x＋0＝4 2 0＋y ＝1 2
x＝8 ，解得 y＝2
，∴A(8,0)，B(0,2)，
x y 由直线方程的截距式得 l 方程为8＋2＝1，即 x＋4y－8 ＝0.
温馨提示： (1) 由截距式方程可以直接得到直线在 x 轴 与 y 轴上的截距，反之，若已知直线在 x 轴、 y 轴上的截距
(都不为0)也可直接由截距式写出方程．
(2)由截距式方程可知，截距式方程只能表示在x轴、y 轴上的截距都存在且不为 0 的直线，因此，截距式不能表 示过原点的直线、与x轴垂直的直线、与y轴垂直的直 线．过原点的直线可以表示为y＝kx；与x轴垂直的直线可 以表示为x＝x0；与y轴垂直的直线可以表示为y＝y0.
第2课时 直线的两点式方程
目标要求 1.掌握直线方程的两点式； 2．掌握直线方程的截距式； 3．进一步巩固截距的概念.
热点提示
1.求两点式方程是本节的热点；
2．截距式方程通常与三角形的面积结合命题； 3．常以选择题或填空题的形式考查.
20世纪90年代以来，在邓小平同志南巡讲话精神的鼓 舞下，徐家汇区抓住难得的历史机遇，以土地批租为主要
(3)直线与两坐标轴都相交时，直线与两坐标轴围成直 角三角形，围绕三角形的面积出题能考查截距与“距离”
高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程课件新人教A版必修2
ab
又过点 A,所以 4 + 2 =1
ab
因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等,所以|a|=|b|
由①②联立方程组,解得
a b
6, 6,
或
a b
2, 2.
所以所求直线的方程为 x + y =1 或 x + y =1,
66
2 2
化简得直线 l 的方程为 x+y=6 或 x-y=2.
1.直线的两点式方程
(1)定义:如图所示,直线 l 经过点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中 x1≠x2,y1≠y2),则方程
y y1 = x x1 叫做直线 l 的两点式方程,简称两点式. y2 y1 x2 x1
解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时,一般选择 直线方程的截距式,若设直线在 x 轴,y 轴上的截距分别为 a,b,则直线与坐标
上的截距.与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式.
由直线方程的截距式得直线 l 的方程为 x + y =1,即 x+4y-8=0. 82
由①②可得 5a2-32a+48=0,
解得
a b
4, 3
或
a b
12 5 9. 2
,
所以所求直线的方程为 x + y =1 或 5x + 2 y =1,即 3x+4y-12=0 或 15x+8y-36=0.
则 (2)说xy 明xy:11与22坐xy22标,. 轴垂直的直线没有两点式方程.
解:由题意可设 A(a,0),B(0,b),
由中点坐标公式可得
a 0
2 2
最新人教版高中数学必修2第三章《直线的一般式方程》课前导引
3.2.3 直线的一般式方程课前导引问题导入【问题】 直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式），都是关于x 、y 的二元一次方程，那么，直线的方程是否都是二元一次方程？反之，二元一次方程的图形是否都是直线？思路分析:（1）直线的方程都是关于x,y 的二元一次方程.在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，在α≠90°和α=90°两种情况下，直线方程可分别写成y=kx+b 及x=x 1这两种形式，它们又都可变形为Ax+By+C=0的形式，且A,B 不同时为0，即直线的方程都是关于x,y 的二元一次方程.（2）关于x,y 的二元一次方程的图形是直线.因为关于x,y 的二元一次方程的一般形式为Ax+By+C=0，其中A,B 不同时为0.在B≠0和B=0两种情况下，一次方程可分别化成y=B C x B A --和x=AC -，它们分别是直线的斜截式方程和与y 轴平行或重合的直线方程，即每一个二元一次方程的图形都是直线.这样我们就建立了直线与关于x,y 的二元一次方程之间的对应关系.我们把Ax+By+C=0（其中A,B 不同时为0）叫做直线方程的一般式.知识概览1.在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都有一个表示这条直线的关于x,y 的二元一次方程,任何关于x,y 的二元一次方程都表示直线.方程Ax+By+C=0(A,B 不同时为零)叫做直线方程的一般式.2.对于直线Ax+By+C=0,当B≠0时,其斜率为B A -,在y 轴上的截距为BC -;当B=0时,在x 轴上的截距为A C -;当AB≠0时,在两轴上的截距分别为B C -,A C -. 3.方程Ax+By+C=0(A,B 不同时为零)中,当A=0,C≠0时,方程表示的直线平行于x 轴;当A=0,C=0时,方程表示的直线与x 轴重合;当B=0,C≠0时,方程表示的直线平行于y 轴;当B=0,C=0时,方程表示的直线与y 轴重合;当C=0时,方程表示的直线过原点;当A,B 异号且B 、C 同号时,方程表示的直线过第一,三,四象限.。
高一数学人教版A版必修二课件：3.2.2 直线的两点式方程
§ 3.2 直线的方程
3.2.2 直线的两点式方程
学习目标
1.掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围；
2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围；
3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 直线方程的两点式
新知探究 点点落实
思考 1
已知两点 P1(x1 ， y1) ， P2(x2 ， y2) ，其中 x1≠x2 ， y1≠y2 ，求通过
1
2
3
4
5
3.经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为( B ) A.x＝2 B.y＝2 C.x＝3 D.x＝6
解析答案
类型三
直线方程的综合应用
例3
已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，求BC边所
在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3
如图，已知正方形ABCD的边长是4，它的中心在原点，对角
线 在 坐 标 轴 上 ， 则 正 方 形 边 AB ， BC 所 在 的 直 线 方 程 分 别 为
这两点的直线方程. y2－y1 答案 y－y1＝ ( x － x 1) ， x2－x1 y－y1 x－x1 即 ＝ . y2－y1 x2－x1
答案
思考 2
过点 (1,3) 和 (1,5) 的直线能用两点式表示吗？为什么？过点 (2,3) ，
(5,3)的直线呢？
答案
不能，因为1－1＝0，而0不能做分母.过点(2,3)，(5,3)的直线也不能
______________________.对称轴所在直线的方程为__________________.
【优秀课件】人教版高中数学必修二第三章3.2.2 直线的两点式方程
直线 方程 名称 点 斜 式 斜 截 式
直线的方程
已知 条件 直线方程 使用范围
点P 0 ( x0 , y0 ) 和斜率k
y y0 k ( x x0 )
直线斜率存在
斜率k和直 线在y轴上率存在
巩固练习
1.已知直线l的方程是 x 3 y 2 0,
l
●
y
B(0，b)
A(a， 0)
O
●
x
二、直线的截距式方程
x y 我们把方程: 1(a 0, b 0) a b 叫做直线的“截距式方程”.简称“截距式” .
说明： （1）a , b 表示截距； （2）适用范围：
不能表示过原点以及与坐标轴平 行或重合的直线.
知识理解
下列四个命题中的真命题是(
方程为x y 3 0; x y 1 0
(2)当a b 0时, 直线过原点，所以直线方程为y 2 x 所以，满足条件的直线方程有三条.
课堂小结
形式
点斜式 斜截式 两点式
条件
过点( x0,y0), 斜率为k 在y轴上的截距为b, 斜率为k 过P1（x1, y1), P2（x2, y2)
B
)
A.经过定点P ( x0 , y0 )的直线, 都可用方程y y0 k ( x x0 )来表示； B.经过任意两个不同点P 1 ( x1 , y1 )，P 2 ( x2 , y2 )的直线都可以用方程 ( y y1 )( x2 x1 ) ( x x1 )( y2 y1 )来表示； x y C.不经过原点的直线都可以用方程 1来表示； a b D.经过定点的直线都可以用方程y kx b来表示.
第三章
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3.2.2 直线的两点式方程
一览众山小
三维目标
1.探索并掌握直线方程的两点式和截距式形式，了解两点式方程的推导过程.注意两种方程形
式的局限性，能熟练地根据题目的条件写出直线的两点式和截距式方程.
2.结合直线的两点式方程的推导过程，体会两点式方程的特点和几何特性.
3.通过对直线的两点式方程和截距式方程的学习，认识到真理的本质统一性，培养和激发学
习自然科学知识的兴趣.
学法指导
本节主要介绍了直线方程的两点式和截距式的形式，通过学习，要掌握由已知两个点的
坐标导出直线方程的方法，进一步地学习直线方程的截距式,并能根据条件熟练地写出直线
的方程.学习本节知识要掌握直线方程的两种形式，会应用这两种方程.要清楚各种直线方程
的局限性，把握求直线方程的灵活性，运用数形结合、分类讨论等数学方法和由特殊到一般
的思维方式理解直线方程的两点式和截距式.