线性方程组_线性代数习题集[1]
线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 队列式一、单项选择题1． 以下摆列是 5 阶偶摆列的是 ().(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523(D)243512．假如 n 阶摆列 j 1 j 2j n 的逆序数是 k , 则摆列 j n j 2 j 1 的逆序数是 (). (A) k (B) n kn! kn(n 1)k(C)(D)223. n 阶队列式的睁开式中含 a 11a 12 的项共有 ()项 .(A) 0(B) n 2(C) (n2)!(D) (n1)!0 0 0 14．0 10 ( ).0 1 0 0 1 0 0(A) 0(B) 1(C) 1(D) 20 0 1 00 1 0 0 ).5.0 0 (0 1 10 0 0(A) 0(B) 1(C) 1(D) 22x x 1 11 x 12 ).6． 在函数 f ( x)2 x 中 x3 项的系数是 (33 01(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2a11a12a131，则 D 12a 11 a 13 a 112a 127. 若 Da21 a22 a232a 21 a23a212a 22().a31a32a3322a 31a33 a312a 32(A) 4(B) 4(C) 2 (D)28． 若 a 11a 12a ，则 a 12ka 22().a 21 a 22a 11ka 21(A) ka(B) ka(C) k 2 a (D) k 2a9． 已知 4 阶队列式中第 1 行元挨次是4,0,1,3, 第 3行元的余子式挨次为2, 5,1, x , 则 x ().(A) 0(B) 3(C) 3(D) 28 7 4 310.若 D6 2 31 ).1 1 1，则 D 中第一行元的代数余子式的和为 ( 14375(A) 1(B) 2(C) 3(D) 03 04 011. 若 D1 11 1，则 D 中第四行元的余子式的和为 ().0 1 0 05322(A) 1(B) 2(C) 3(D) 0x 1 x 2 kx 3 012. k 等于以下选项中哪个值时，齐次线性方程组x 1kx 2 x 3 0 有非零解 .kx 1 x 2x 3 0()(A) 1(B) 2 (C) 3(D) 0二、填空题优选1. 2n 阶摆列24 (2n)13 ( 2n 1) 的逆序数是.2．在六阶队列式中项a32a54a41a65a13a26所带的符号是.3．四阶队列式中包括a22a43且带正号的项是.4．若一个n阶队列式中起码有n2 n 1 个元素等于0 , 则这个队列式的值等于.1 1 1 05.0 1 0 1队列式1 1.0 10 0 1 00 1 0 00 0 2 06．队列式.0 0 0 n 1n 0 0 0a11 a1(n1)a1n7．队列式a21 a2 (n 1) 0 .an1 0 0a11a12a13a11a13 3a12 3a128．假如D a21 a22a23 M ，则D1a21a23 3a22 3a22 .a31 a32a33a31a33 3a32 3a329．已知某 5 阶队列式的值为5，将其第一行与第 5 行互换并转置，再用 2 乘所有元素，则所得的新队列式的值为.1 1 1 x 1 1 1 x 1 1 10． 队列式x 1 1 .1 1 x 11 1 11 11 11111． n 阶队列式.11112． 已知三阶队列式中第二列元素挨次为 1,2,3, 其对应的余子式挨次为 3,2,1，则该队列式的值为.1 2 3 45 6 7 8 1, 2, 3, 4) 为 D 中第四行元的代数余子式，13．设队列式 D 3 2 ，A 4 j ( j 4 1 8 7 6 5则 4A 41 3A 4214． 已知 D2 A 43 A 44.a bc ac b a b ， D 中第四列元的代数余子式的和为.b a cca cb d1 2 3 415． 设队列式 D3 34 4 6 ， A 4 j 为 a 4 j ( j 1, 2, 3, 4) 的代数余子式，则1 5 6 711 22A 41A42， A 43A44.优选1 3 5 2n 11 2 0 016．已知队列式 D 1 0 3 0 ， D 中第一行元的代数余子式的和为1 0n.kx 1 2x 2x 3 017．齐次线性方程组 2x 1 kx 2 0 仅有零解的充要条件是.x 1x 2 x 3 0x 12x 2 x 3 018． 若齐次线性方程组2x 25x 30 有非零解，则 k = .3x 1 2x 2 kx 3三、计算题a b c dx y x ya 2b 2c 2d 21.;2．y x y x ；a3b3c3d3x yxy b c d a c d a b d a b cx a 1 a 20 1x 1a 1 x a 2．解方程 1 0 1 x 0 ；4． a 1 a 2 x3x 1 1 01 x1 0a 1 a 2 a 3a 1 a 2 a 3a n 2 1 a n 21 a n21 ；x1a n 1 1a0 1 1 11 a1 1 15. 1 1 a2 1 ( a j1, j 0,1, , n )；1 1 1a n1 1 1 13 1 b 1 16. 1 1 2 b 1111(n 1) b1 1 1 1b1 a1 a1 a17. b1 b2 a2 a2 ；b1b2b3a n1 x12 x1 x2 x1x n9. x2 x1 1 x22 x2xn ;x n x1 x n x2 1 x n21 a a 0 0 01 1 a a 0 0 11． D 0 1 1 a a 0 .0 0 1 1 a a0 0 0 1 1 ax a1 a2 a na1 x a2 a n 8． a1 a2 x a n ;a1a2a3x2 1 0 0 01 2 1 0 00 1 2 0 0 10.0 0 0 2 10 0 0 1 2优选四、证明题a 2 1a1 1a2ab 2 1b1 1 1． 设 abcd 1，证明：b 2b0 . 211c c1c 2 cd 21d1 1d 2 da 1b 1 x a 1x b 1c 1 a 1 b 1 c 12． a 2 b 2 x a 2 x b 2c 2 (1 x 2 ) a 2 b 2 c 2 .a 3b 3x a 3x b 3c 3a 3b 3c 31 1 1 1 abcd3．2b 2c 2d 2 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)( d c)(a b c d ) . aa 4b 4c 4d 41 1 1 a 1a 2a n222na 1a 2a na i(a j a i ) .4．i 11 ij na 1n 2a 2n 2a n n 2a 1na 2na n n1 1 15． 设 a,b, c 两两不等，证明 a b c 0 的充要条件是 a b c0 .a 3b 3c 3参照答案一．单项选择题ADACCDABCDBB二．填空题1. n ;2. “ ” ;3. a 14 a 22 a 31a 43 ;4. 0 ;5. 0 ;6. ( 1)n 1 n! ;n( n 1)7. ( 1)2a 1n a 2 (n 1) a n1 ; 8. 3M; 9. 160; 10. x 4 ; 11. ( n) n 1 ;12. 2 ;13.0 ; 14.0; 15.12,9; n117. k2,3; 18. k 716. n! (1) ;k 1k三．计算题1． ( a b cd)(b a)(c a)( d a)(cb)(db)(d c) ； 2.2( x 3y 3 ) ；x2,0,1n1a k )3.4.( x;k 1nn15.(a k1)(16.(2 b)(1 b) ((n2) b) ;0 ak) ;k 0k 1( 1) n nnn7.(b ka k ) ;8. ( xa k )( x a k ) ;k 1k 1k 1n9. 1x k ; 10. n 1;k 111. (1 a)(1 a 2a 4 ) .四 . 证明题 (略)优选第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B 为 n 阶方阵，则以下各式中建立的是 ( ) 。
线性代数《线性方程组》常见题型与典型例题
线性代数《线性方程组》常见题型与典型例题壹齐次线性方程组的基本公式与结论(1) 克莱姆法则若n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组AX=b的系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一解，并且有其中|A i|是|A|中第i列元素(即x i的系数)替换成方程组右端的系数项b1,b2,…,b n所构成的行列式.(2) 齐次线性方程组解的存在性● 若n个方程n个未知量构成的齐次线性方程组AX=0的系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一零解,● 若m个方程n个未知量构成的齐次线性方程组，若r(A)= n，即A的列向量组线性无关，则方程组有唯一零解；若r(A)= s<n，即A 的列向量组线性相关，则方程组有有非零解，且有n-s个线性无关解.(3) 求解方法之高斯消元法将系数矩阵A作初等行变换转换为阶梯型矩阵B，初等变换将方程组化为同解方程组，即Ax=0与Bx=0同解，只需要解Bx=0即可. 设n个变量m各方程构成的方程组，并设r(A)=r≤m≤n，则方程组的独立方程个数为r个，r也是独立变量的个数，故多余方程个数为m-r，自由变量的个数为n-r. 令自由变量为任意常数，回代求得独立未知变量，则得方程组的解.(4) 基础解系和解的结构基础解系：设x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的解，若①x1,x2,…,x n-r 线性无关；②任一方程组Ax=0的解均由x1,x2,…,x n-r线性表出，则称x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的一个基础解系.通解：设x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的一个基础解系，则k1x1+k2x2+…+k n-r x n-r是方程组Ax=0的通解，其中k1，k2，…，k n-r为任意常数.贰非齐次线性方程组的基本公式与结论非齐次线性方程组AX=b，其导出组(即齐次方程组)AX=0，A系数矩阵，(A|b)增广矩阵。
(1) 解的性质● 导出组解的线性组合仍为导出组的解● 非齐次方程组的任意两个解的差为其导出组的解(2) 通解的结构● 导出组的n个线性无关组的线性组合为其通解● 非齐次线性方程组的通解等于其导出组的通解与其任意特解之和● 关于非齐次方程组AX=b解的讨论：若r(A)=r(A|b)=n(未知数个数)，则有唯一解若r(A)≠r(A|b)，则无解若r(A)=r(A|b)=m<n，则有无穷解，其基础解系所含解向量个数为n-m个(3) 求解方法求导出组的通解加上他的任意一个特解即可.叁常见题型(1) 有关线性方程组的概念与性质的命题解题方法：概念与性质必须娴熟。
线性方程组练习题及答案
线性方程组 练习题一、选择题.1.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=λ++=+λ+=++λ000321321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（ ）.A.1或2B. －1或－2C.1或－2D.－1或2.2. 设A 是s n ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是( ).A.A 的行向量组线性无关B.A 的列向量组线性无关C.A 的行向量组线性相关D.A 的列向量组线性相关3.设12m α,α,,α均为n 维向量，则下列结论中正确的是（ ）.AA.若对任一组不全为零的数m k k k ,,,21 ,都有11220m m k k k +++≠ααα，则12m α,α,,α线性无关 .B.若12m α,α,,α线性相关，则对任意一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有11220m m k k k +++=ααα . C.若11220m m k k k +++=ααα，则12m α,α,,α线性相关 .D.若向量组12m α,α,,α()3≥m 中任意两个向量都不成比例，则12m α,α,,α线性无关.4.向量[]11,1,1T α=-，[]22,,0T k α=，[]3,2,1Tk α=，k 为（ ）时，向量组1α，2α，3α线性相关.DA.3k ≠且2k ≠-B. 2k ≠-C.3k ≠D.3k =或2k =-5. 向量组s ααα 21,（2≥s ）线性无关的充分必要条件是（ ）.(D ) A.s ααα 21,均不为零向量 B. s ααα 21,中任意两个不成比例 C.s ααα 21,中任意1-s 个向量线性无关D.s ααα 21,中任意一个向量均不能用其余1-s 个向量线性表示6.齐次线性方程组355⨯⨯1=A x 0解的情况是（ ）.A.无解B.仅有零解C.必有非零解D.可能有非零解，也可能没有非零解．7.设n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩()3R n =-A ，且123,,ξξξ为此方程组的三个线性无关的解，则此方程组的基础解系是（ ）. A. 12312,2,32+- -ξξξξξ B. 122331,,+-+ ξξξξξξ C.122132-2,-2,32+-+ ξξξξξξ D. 12231324,2+,++ - ξξξξξξ8.要使T 1(1,0,2)=ξ，T 2(0,1,1)=-ξ都是线性方程组=Ax 0的解，只要A 为（ ）.A. (211)-；B. 201011⎛⎫ ⎪⎝⎭；C. 102011-⎛⎫ ⎪-⎝⎭；D. 011422011-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭． 9.已知12,ββ是=Ax b 的两个不同的解，12,αα是相应的齐次方程组=Ax 0的基础解系，12,k k 为任意常数，则=Ax b 的通解是（ ）. A. 12()k k 12112-+++2ββααα B. 12()k k 12112++-+2ββαααC.12()k k 12112-+-+2ββαββD. 12()k k 12112++-+2ββαββ10.设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*≠A 0 若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组Ax =b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax =0的基础解系是（ ）. A.不存在 B.仅含一个非零解向量 C.含有两个线性无关的解向量； D.含有三个线性无关的解向量11.设有齐次线性方程组Ax =0和Bx =0，其中A ，B 均为m n ⨯矩阵，现有4个命题：① 若Ax =0的解均是Bx =0的解，则()()R R ≥A B ② 若()()R R ≥A B ，则Ax =0的解均是Bx =0的解 ③ 若Ax =0与Bx =0同解，则()()R R =A B ④ 若()()R R =A B ，则Ax =0与Bx =0同解 以上命题正确的是（ ）.A. ①，②B. ①，③C.②，④D.③，④12.设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则线性方程组()=AB x 0（ ）. A.当n m >时仅有零解 B. 当n m >时必有非零解 C.当m n >时仅有零解 D.当m n >时必有非零解13.设A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量． 若秩T0⎛⎫= ⎪⎝⎭αAα秩()A ，则线性方程组（ ）.A.=αAx 必有无穷多解B.=αAx 必有惟一解C.T0y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭αAαx 0仅有零解 D.T0y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αAαx0必有非零解14.已知34⨯矩阵A 的列向量组线性无关，则=)(T A r （ ）. A.1 B.2 C.3 D.415.设321,,ααα为齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系，则下列可作为该方程组基础解系的是（ ）.A.2121,,αααα+B. 133221,,αααααα+++C.2121,,αααα-D. 133221,,αααααα---16.已知3×4矩阵A 的行向量组线性无关，则秩（A T ）等于（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 417.设两个向量组α1，α2，…，αs 和β1，β2，…，βs 均线性相关，则（ ）. A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs （αs+βs ）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs -βs ）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 和不全为0的数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =018..设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ ）. A.所有r -1阶子式都不为0B.所有r -1阶子式全为0C.至少有一个r 阶子式不等于0D.所有r 阶子式都不为019.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ）.A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b 的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b 的一个解20.设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ ）.A.秩(A)<nB.秩(A)=n -1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解21.设n 维向量12,αα线性相关，则必定（ ）.A. 12,αα中有一零向量B. 矩阵12=(,)A αα的秩r A =1C. 12,αα的对应元素成比例D.1α不可由2α线性表示22.设A 为m n ⨯阶矩阵，非齐次线性方程组AX=b 对应的导出组AX=0，如果m n <，则（ ）.A.AX=b 必有无穷解B.AX=b 必有惟一解C.AX=0必有非零解D.AX=0必有惟一解23.n 元线性方程组AX=0有非零解的充要条件为（ ）.A.()R A n =B. 0A ≠C.0A =D.以上都不对24.线性方程组AX B =有解的充要条件是（ ）.A.()r A >0B. ()()r A r A =C. ()()r A r AB ≠D.()r A n =25.n 元线性方程组AX=b 有解的充要条件为（ ）. A.()(,)R A R A b = B. ()(,)R A R A b n == C.()(,)R A R A b n =< D.()(,)R A R A b n =≤26.向量组T T )0,1,0(,)0,0,1(21==αα，下列向量中可以由21,αα线性表出的是（ ）.A ．T )3,2,1(B ．T )3,2,0(C ．T )3,0,1(D ．T )0,2,1(27.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则（ ）.A ．)()(A RB R ≤ B ．)()(A R B R <C ．)()(A R B R =D ．)()(A R B R ≥28.设A 为n m ⨯矩阵，则有（ ）. A ．若n m <，则b Ax =有无穷多解B ．若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量C ．若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解D ．若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解29.设1α、2α是对应非齐次方程组Ax =b 的解，β是对应齐次方程组的解，则b Ax =一定有一个解是（ ）.A.1α+2αB.1α-2αC.β+1α+2αD.121233+-ααβ30.21γγ，是n 元非齐次方程组b Ax =的两个不同的解，且1)(-=n A r ,则 0=Ax 的通解为（ ）.A. )(1R k k ∈γB. )(2R k k ∈γC. )()(21R k k ∈+γγD. )()(21R k k ∈-γγ二、填空题.1. 设向量α=(1, 2, 0, 4)T , β=(3，1，-1，7)T ，向量γ满足2α-γ=β, 则γ=____________.2.已知向量α=(1, 2, 4, 0)T , β=(-3，2，6，2)T ，向量γ满足3α+2γ=β, 则γ= .3.向量组α=(1, -2, 3)T , β=(2，-4，a)T 线性相关，则=a .4.向量组()12341,0,1,(2,1,0),(0,1,1),(1,1,1)TT T T αααα====则向量线性 .5.当______=t 时，向量组)2,1,3(),3,2,1(),,3,2(-t 线性相关.6.设向量组T T T a )1,1,2(,),2,1(,)3,1,1(321-==-=ααα线性相关，则=a .7.设向量组T )0,0,1(1=α,T )0,1,0(2=α,则向量组21,αα的秩是 .8.矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----100110111的秩等于__________.9.若R )(1234,,,4αααα=，则向量组123,,ααα是线性________.10.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=a A 00011002011的秩)(A r =2，则=a ______.11.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=a a A 10012002011的秩)(A r =2，则=a ______.12.若齐次线性方程组1212 3 060x x x x λ-=⎧⎨-+=⎩有非零解，则λ= .13.当_________时候，n 元线性方程组0=Ax 有非零解，这里A 是n 阶方阵.14.设21ξξ，是非齐次线性方程组b Ax =的解向量，则21ξξ-是方程组______的解向量.15.方程组⎩⎨⎧=-=-003221x x x x 的基础解系是 .16.设齐次线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000111111321x x x a a a 的基础解系含有2个解向量，则=a .17.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a ）线性相关，则a= .18.设A 是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解，则它的通解为 .19. 设A 是m ×n 矩阵，A 的秩为r(<n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .20.设齐次线性方程组01443=⨯⨯X A ，其系数矩阵的秩)(A r =2,则方程组的基础解系包含______个线性无关的解向量.21.有三维列向两组1α＝()100T，()2110αT＝，()3111αT＝，()123βT＝，且有112233βχαχαχα++＝，123χχχ＝_____ ，＝_____，＝_____22.若n 个 n 维列向量线性无关，则由此n 个向量构成的矩阵必是______ 矩阵.23.若向量组)()()()(12341,1,3,2,4,5,1,1,0,2,2,6,αααα===-=则此向量组的秩是______，一个极大无关组是______.24.已知向量组()()()1231,2,1,1,2,0,,0,0,4,5,2t ααα=-==--的秩为2，则t ＝____.25.当方程的个数等于未知数的个数时，=Ax b 有惟一解的充分必要条件是 ．26.线性方程组121232343414,,,x x a x x a x x a x x a +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩有解的充分必要条件是 ．27.设n 阶方阵A 的各行元素之和均为零，且()1R n =-A ，则线性方程组=Ax 0的通解为 ．28.设A 为n 阶方阵，||0=A ，且kj a 的代数余子式0kj A ≠（其中，1k n ≤≤；1,2,,j n =），则=Ax 0的通解 ．29.设11222221231111211111,,11n nn n n n n x a a a x a a a x a a a x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A x b ，其中，(;,1,2,,)i j a a i j i j n ≠≠=，则非齐次线性方程组T =A x b 的解是=x ．30.设方程123111111112a x a x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭有无穷多个解，则a = ．三、判断题.1.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合. （ ）2. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关.（ ） 3.若=0时，，则向量组线性无关.（ ）4．若向量组与均线性无关，则，线性无关.（ ）5.方程个数小于未知量个数的线性方程组必有无穷解.（ ）6.同秩的两个向量组未必等价. （ ）7.向量组中某向量能被其余向量表示，则去掉它不影响它的秩. （ ）8.向量组中某向量不能被其余向量表示，则去掉它后向量组的秩必改变. （ ）9.3个未知量，5个方程组成的方程组中，必有一个方程能被其余的方程线性表示. （ ）10.不同秩的两个向量组必不等价. （ ） 11.向量组的向量各加一个分量，其秩不变. （ ） 12.方程组中自由未知量是唯一确定的.（ ） 13.向量组12121,,,,,,s s a a a a a a -与等价，则向量组12,,,s a a a 线性相关.（ ） 14.设12,ηη是齐次线性方程组AX=0的基础解系，则1212,3ηηηη--+也是AX=0的基础解.（ ）15．用列初等变换可以求解线性方程组，也可以用行初等变换求解线性方程组.（ ）.16．若A 为6阶方阵，齐次线性方程组AX =0的基础解系中解向量的个数为2，则R(A)=2.（ ）17.若n 维向量12,αα线性相关，则必定12,αα的对应元素成比例.（ ） 18.设A 是m n ⨯矩阵，如果A 的m 个行向量线性无关，则()r m A =.（ ） 19.设A 是m n ⨯矩阵，如果A 的m 个行向量线性无关，则()r m <A .（ ） 20.设21,αα是齐次线性方程组0=AX 的解，那么12αα+也是该方程组0=AX 的解.（ ）21.设21,αα是非齐次线性方程组=AX b 的解，那么12αα+也是该方程组=AX b 的解.（ ）22.对于任意的矩阵A ，一定有T r r =（）（）A A .（ ）23.向量组123,,ααα中，任意两个向量均线性无关，则123,,ααα线性无关.（ ）24.设A 是m n ⨯矩阵，如果A 的n 个列向量线性无关，则()r A n =.（ ） 25，设12,αα是n 维向量，且112212312,2,35βααβααβαα=-=+=+，则123,,βββ 必线性相关.（ ）26.设0Ax =是Ax b =的导出组，其中A 是m n ⨯矩阵，若()r A m =， 则Ax b =有解.（ ）请举例说明下面（27-30题）各命题是错误的.27.若向量组m a a a ,,,21 是线性相关的,则1a 可由,,2m a a 线性表示.28.若有不全为0的数m λλλ,,,21 使01111=+++++m m m m b b a a λλλλ成立,则m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关.29.若只有当m λλλ,,,21 全为0时,等式01111=+++++m m m m b b a a λλλλ才能成立,则m a a ,,1 线性无关, m b b ,,1 亦线性无关.30.若m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关,则有不全为0的数,m λλλ,,,21 使0,01111=++=++m m m m b b a a λλλλ 同时成立.四、解答题.1.求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式.(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073131213123； (3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812.2.把下列矩阵化为行最简形矩阵.(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.3.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组.(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125; (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---14011313021512012211.4.求下列向量组的秩,并求一个最大无关组.(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41211a ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41010092a ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=82423a ; (2))3,1,2,1(1=T a ,)6,5,1,4(2---=T a ,)7,4,3,1(3---=Ta .5.求解下列齐次线性方程组.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++;0222,02,02432143214321x x x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++;05105,0363,02432143214321x x x x x x x x x x x x(3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+;0742,0634,0723,05324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x (4)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+.0327,01613114,02332,075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x6．求解下列非齐次线性方程组.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+;8311,10213,22421321321x x x x x x x x (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++;694,13283,542,432z y x z y x z y x z y x(3) ⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+;12,2224,12w z y x w z y x w z y x (4) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+;2534,4323,12w z y x w z y x w z y x7．λ取何值时,非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2321321321,,1λλλλλx x x x x x x x x (1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?8．非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212,2,22λλx x x x x x x x x ,当λ取何值时有解？并求出它的解．9.设⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-,1)5(42,24)5(2,122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x问λ为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解 时求解．10.讨论b a ,取何值时，非齐次线性方程组123123123213322--=⎧⎪--=⎨⎪++=⎩x x x x x x x x ax b（1）有唯一解；（2）有无穷多解；（3）无解.11．求下列齐次线性方程组的基础解系.(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x(3)02)1(121=++-+-n n x x x n nx .12．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=82593122A ,求一个24⨯矩阵B ,使0=AB ,且2)(=B R .13．求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为:T T )0,1,2,3(,)3,2,1,0(11==ξξ.14．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它 的三个解向量．且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321η，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+432132ηη，求该方程组的通解．15．求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+;32235,122,54321432121x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-.6242,1635,11325432143214321x x x x x x x x x x x x五、证明题.1．设144433322211,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=,证明向量组4321,,,b b b b 线性相关.2．设r r a a a b a a b a b +++=+== 2121211,,,,且向量组r a a a ,,,21 线性无关,证明向量组r b b b ,,,21 线性无关.3．设*η是非齐次线性方程组b Ax=的一个解,r n -ξξ,,1 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明: (1)r n -*ξξη,,,1 线性无关；(2) r n -***++ξηξηη,,,1 线性无关.4. 设s ηη,,1 是非齐次线性方程组b Ax =的s 个解，s k k ,,1 为实数，满足121=+++s k k k .试证明s s k k k x ηηη+++= 2211也是它的解.5.设非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵的秩为r ，11,,+-r n ηη 是它的1+-r n 个线性无关的解(由题24知它确有1+-r n 个线性无关的解)．试证它的任一解可表示为112211+-+-+++=r n r n k k k x ηηη （其中111=+++-r n k k ）.第三章 线性方程组一、选择题.1.C2.D3.A4.D5.D6.C7.A8.A9.B 10.B 11.B 12.D 13.D 14.C 15.B. 16.C 17.D 18.C 19.A 20.A 21.C 22.C 23.B 24.B 25.A 26.D 27.D 28.D 29.D 30.D二、填空题.1. (-1,3,1,1)T2.(-3,-2,-3,1)T3. 64.相关5. 56.-47.28.39.无关 10.0 11.212.2 13. 0A = 14.0=Ax 15.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111 16.1 17.-1018.η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c 为任意常数 19.n-r 20. 2 21.－1，－1，3 22.可逆 23.1,233;,ααα 24.3 25．||0≠A 26.43210a a a a -+-=．27.T 11(1,1,,1)1k k ⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭x ，k 为任意常数．28.()T12,,,k k kn c A A A =x ，其中c 为任意常数．29.T (1,0,0,,0)=x ． 30.-2部分题详解：25.解 因为()()R R n ==A A b 是=Ax b 有惟一解的充要条件．故由()R n =A 可得||0≠A ．26.解 对方程组的增广矩阵施行初等行变换()12341100011000111001a a a a ⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B A b 12341231100011000110000a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪-+-⎝⎭． 所以方程组有解的充要条件是()()R R =A B ，即43210a a a a -+-=．27.解 令111⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x ，显然x 满足方程组，又因为()1R n =-A ，所以()1n R -=A ，即方程组的基础解系中有一个向量，通解为T 11(1,1,,1)1k k ⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭x ，k 为任意常数．28.解 因为0=A ，又0kj A ≠，所以()1R n =-A ，并且有11220, ;||0, i k i k in kn i k a A a A a A i k ≠⎧+++=⎨==⎩．A所以()T12,,,k k kn A A A 是方程组的解，又因为()1R n =-A ，可知方程组的通解为()T12,,,k k kn c A A A =x ，其中c 为任意常数．29.解 T (1,0,0,,0)=x ． 30. -2三、判断题.1.√2. √3. √ 4．× 5.×6. ×7.×8. √9.√ 10.× 11.×12.√ 13.√ 14.√ 15．× 16.×17.√ 18.√ 19.× 20.√ 21.×22.√ 23.× 24.√ 25.√26.√请举例说明下面（27-30题）各命题是错误的.27.若向量组m a a a ,,,21 是线性相关的,则1a 可由,,2m a a 线性表示.28.若有不全为0的数m λλλ,,,21 使01111=+++++m m m m b b a a λλλλ成立,则m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关.29.若只有当m λλλ,,,21 全为0时,等式01111=+++++m m m m b b a a λλλλ才能成立,则m a a ,,1 线性无关, m b b ,,1 亦线性无关.30.若m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关,则有不全为0的数,m λλλ,,,21 使0,01111=++=++m m m m b b a a λλλλ同时成立. 解 (1) 设)0,,0,0,1(11==e a032====m a a a满足m a a a ,,,21 线性相关,但1a 不能由,,,2m a a 线性表示.(2) 有不全为零的数m λλλ,,,21 使 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ 原式可化为0)()(111=++++m m m b a b a λλ取m m m b e a b e a b e a -==-==-==,,,222111其中m e e ,,1 为单位向量,则上式成立,而 m a a ,,1 ,m b b ,,1 均线性相关.(3) 由01111=+++++m m m m b b a a λλλλ (仅当01===m λλ )m m b a b a b a +++⇒,,,2211 线性无关取021====m a a a取m b b ,,1 为线性无关组满足以上条件,但不能说是m a a a ,,,21 线性无关的. (4) T a )0,1(1= T a )0,2(2= T b )3,0(1= T b )4,0(2=⎪⎭⎪⎬⎫-=⇒=+-=⇒=+21221121221143020λλλλλλλλb b a a 021==⇒λλ与题设矛盾.四、解答题.1.求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式.(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013; (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073131213123； (3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013r r 21~↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443120131211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------564056401211~12133r r r r 2000056401211~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----r r 二阶子式41113-=-．(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------15273321059117014431~27122113r r r r r r200000591170144313~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----r r . 二阶子式71223-=-．(3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812434241322~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------02301024205363071210 131223~r r r r ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0230114000016000071210344314211614~r r r r r r r r -÷÷↔↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000100007121002301秩为3 三阶子式07023855023085570≠=-=-．2.把下列矩阵化为行最简形矩阵.(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解: (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3403130212011312)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100001001201 3121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320 1312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320 21233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311 )5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----221002210022*******12423213~rr r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011(4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110 141312782~r r r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4100041000202011111034221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~r r +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202013. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组.(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125; (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---14011313021512012211.解 (1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛482032251345494751325394754317312514131233~r r r r r r --- ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛53105310321043173125 2334~r r r r --⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00003100321043173125 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1401131302151201221114132~r r rr --⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------222001512015120122114323~r r r r ↔+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000222001512012211， 所以第1、2、3列构成一个最大无关组．4.求下列向量组的秩,并求一个最大无关组.(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41211a ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41010092a ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=82423a ; (2))3,1,2,1(1=T a ,)6,5,1,4(2---=T a ,)7,4,3,1(3---=Ta .解 (1)3131,2a a a a ⇒=-线性相关.由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛824241010094121321T T T a a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000032198204121~ 秩为2,一组最大线性无关组为21,a a .(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛743165143121321T T T a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------10550189903121~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000189903121~秩为2,最大线性无关组为T Ta a 21,.5.求解下列齐次线性方程组.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++;0222,02,02432143214321x x x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++;05105,0363,02432143214321x x x x x x x x x x x x (3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+;0742,0634,0723,05324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x (4)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+.0327,01613114,02332,075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解 (1)对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3410013100101~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x(2)对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000001001021~ 即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010*********k k x x x x(3)对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000010000100001~即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x 故方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x(4)对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3127161311423327543⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000000001720171910171317301~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1017201713011719173214321k k x x x x6．求解下列非齐次线性方程组.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+;8311,10213,22421321321x x x x x x x x (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++;694,13283,542,432z y x z y x z y x z y x(3) ⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+;12,2224,12w z y x w z y x w z y x (4) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+;2534,4323,12w z y x w z y x w z y x解 (1)对系数的增广矩阵施行行变换,有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--60003411100833180311102132124~2)(=A R 而3)(=B R ,故方程组无解．(2)对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328354214132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000000021101201~ 即得⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=zz z y z x 212亦即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021112k z y x(3)对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000100011112~ 即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===++-=0212121w z z y y z y x 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021010210012121k k w z y x(4)对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000007579751025341253414312311112~⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----000007579751076717101~ 即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--=++=w w z z w z y w z x 757975767171 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00757610797101757121k k w z y x7．λ取何值时,非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2321321321,,1λλλλλx x x x x x x x x (1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?解 (1)0111111≠λλλ,即2,1-≠λ时方程组有唯一解.(2))()(B R A R <⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21111111λλλλλB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011~λλλλλλλλλλ由0)1)(1(,0)2)(1(2≠+-=+-λλλλ得2-=λ时,方程组无解.(3) 3)()(<=B R A R ,由0)1)(1()2)(1(2=+-=+-λλλλ,得1=λ时,方程组有无穷多个解.8．非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212,2,22λλx x x x x x x x x 当λ取何值时有解？并求出它的解．解 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=)2)(1(000)1(321101212111212112~2λλλλλλB方程组有解，须0)2)(1(=+-λλ得2,1-==λλ当1=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111321k x x x当2-=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111321k x x x9．设⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-,1)5(42,24)5(2,122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x问λ为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解 时求解．解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------154224521222λλλλ 初等行变换~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------2)4)(1(2)10)(1(00111012251λλλλλλλλ 当0≠A ,即02)10()1(2≠--λλ 1≠∴λ且10≠λ时，有唯一解. 当02)10)(1(=--λλ且02)4)(1(≠--λλ，即10=λ时，无解. 当02)10)(1(=--λλ且02)4)(1(=--λλ，即1=λ时，有无穷多解. 此时，增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000001221原方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (R k k ∈21,)10.讨论b a ,取何值时，非齐次线性方程组123123123213322--=⎧⎪--=⎨⎪++=⎩x x x x x x x x ax b（1）有唯一解；（2）有无穷多解；（3）无解.解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=---120010501121~225010501121~122313112123131223b a b a b a A r r r r r r（1）当2,02-≠≠+a a 即时，3)()(==A r A r ，方程组解唯一； （2）当12,01,02=-==-=+b a b a ，即时，32)()(<==A r A r ，方程组解有无穷多解； （3）当12,01,02≠-=≠-=+b a b a ，即时，3)(2)(=<=A r A r ，方程组无解.11．求下列齐次线性方程组的基础解系.(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x(3)02)1(121=++-+-n n x x x n nx .解 (1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=000041431004012683154221081~初等行变换A所以原方程组等价于⎪⎩⎪⎨⎧+=-=4323141434x x x x x取3,143-==x x 得0,421=-=x x 取4,043==x x 得1,021==x x因此基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4010,310421ξξ(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000019719141019119201~367824531232初等行变换A所以原方程组等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=4324311971914191192x x x x x x取2,143==x x 得0,021==x x 取19,043==x x 得7,121==x x因此基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=19071,210021ξξ(3)原方程组即为1212)1(------=n n x x n nx x取0,11321=====-n x x x x 得n x n -=取0,114312======-n x x x x x 得1)1(+-=--=n n x n取0,12211=====--n n x x x x 得2-=n x所以基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--=-21100010001),,,(121n n n ξξξ12．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=82593122A ,求一个24⨯矩阵B ,使0=AB ,且2)(=B R .解：由于2)(=B R ,所以可设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=43211001x x x x B 则由⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=00001001825931224321x x x xAB 可得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛592280200802301003014321x x x x ,解此非齐次线性方程组可得唯一解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2125212114321x x x x ，故所求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2125212111001B ．13．求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为T T )0,1,2,3(,)3,2,1,0(11==ξξ.解：显然原方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01233210214321k k x x x x ,(R k k ∈21,)即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+==14213212213223k x k k x k k x k x 消去21,k k 得⎩⎨⎧=+-=+-023032431421x x x x x x 此即所求的齐次线性方程组.14．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它 的三个解向量．且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321η，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+432132ηη，求该方程组的通解．解：由于矩阵的秩为3，134=-=-r n ，一维．故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量，且由于321,,ηηη均为方程组的解，由 非齐次线性方程组解的结构性质得：齐次解齐次解齐次解=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+-=+-6543)()()()()(22121321ηηηηηηη为其基础解系向量，故此方程组的通解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54326543k x ，)(R k ∈15．求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+;32235,122,54321432121x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-.6242,1635,11325432143214321x x x x x x x x x x x x解：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100013011080101322351211250011~初等行变换B⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴0111,20138ξη(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=00000221711012179016124211635113251~初等行变换B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴2011,0719,002121ξξη五、证明题.1．设144433322211,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=,证明向量组4321,,,b b b b 线性相关.证明：设有4321,,,x x x x 使得044332211=+++b x b x b x b x 则0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 0)()()()(443332221141=+++++++a x x a x x a x x a x x(1) 若4321,,,a a a a 线性相关,则存在不全为零的数4321,,,k k k k ,411x x k +=;212x x k +=;323x x k +=;434x x k +=;由4321,,,k k k k 不全为零,知4321,,,x x x x 不全为零,即4321,,,b b b b 线性相关.(2) 若4321,,,a a a a 线性无关,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+000043322141x x x x x x x x 011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒x x x x 由01100011000111001=知此齐次方程存在非零解，则4321,,,b b b b 线性相关. 综合得证. 2．设r r a a a b a a b a b +++=+== 2121211,,,,且向量组r a a a ,,,21 线性无关,证明向量组r b b b ,,,21 线性无关.证明： 设02211=+++r r b k b k b k 则++++++++++p r p r r a k k a k k a k k )()()(2211 0=+r r a k因向量组r a a a ,,,21 线性无关,故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221rr r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001001101121 r k k k 因为0110011011≠= 故方程组只有零解，则021====r k k k 所以r b b b ,,,21 线性无关.3．设*η是非齐次线性方程组b Ax=的一个解,r n -ξξ,,1 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明: (1)r n -*ξξη,,,1 线性无关；(2) r n -***++ξηξηη,,,1 线性无关.证明: (1)反证法,假设r n -*ξξη,,,1 线性相关,则存在着不全为0的数r n C C C -,,,10 使得下式成立:0110=+++--*r n r n C C C ξξη (1)其中,00≠C 否则,r n -ξξ,,1 线性相关,而与基础解系不是线性相关的产生矛盾。
(精心整理)线性方程组练习题
(精心整理)线性方程组练习题一、单一线性方程组1. 求解下列线性方程组：（1）$$x-2y=3$$（2）$$2x+3y=4$$2. 求解下列线性方程组：（1）$$2x-3y+4z=1$$（2）$$3x-4y+5z=2$$（3）$$-x+y-2z=-3$$3. 求解下列线性方程组：（1）$$x-y+z=1$$（2）$$2x-3y-4z=-1$$（3）$$3x-4y+z=3$$二、多元线性方程组1. 求解下列多元线性方程组：（1）$$2x+y=3$$$$x-y=1$$2. 求解下列多元线性方程组：（1）$$x+2y+3z=4$$$$2x+y-3z=0$$$$3x-2y+5z=6$$3. 求解下列多元线性方程组：（1）$$x+y+z=1$$$$2x+y+3z=4$$$$x+3y+2z=3$$三、应用题1. 某商场一天销售了商品A、B两种，A、B两种商品单价分别为x元和y元，已知销售了x件A商品和y件B商品，总价为500元，且已知销售了10件A商品和5件B商品，总价为185元，求解方程组，并给出A商品和B商品的单价。
2. 某超市投放了两种品牌的巧克力A、B，其中A品牌单价为x元，B品牌单价为y元，已知某顾客购买了x份A品牌巧克力和y份B品牌巧克力，所付的总价为15元，且已知该顾客购买了两份A品牌巧克力和一份B品牌巧克力，所付的总价为6元，求解方程组，并给出A品牌和B品牌巧克力的单价。
四、挑战题1. 求解下列多元线性方程组：（1）$$2x-3y+4z=1$$$$x-2y+3z=0$$$$4x-3y+2z=-3$$2. 求解下列多元线性方程组：（1）$$2x+3y-z=1$$$$3x+4y-2z=2$$$$4x+5y-3z=4$$$$x-2y+z=3$$以上是一些关于线性方程组的练习题，希望能对你的学习有所帮助。
线性代数第一章习题答案
习 题 1-11．计算下列二阶行列式： （1）xx 11； （2）ααααsin cos cos sin -．解 （1）()11112-=-=x x xx ．（2）1)cos (sin sin cos cos sin 22=--=-αααααα．2．计算下列三阶行列式：（1）121223112--； （2）00000d c b a ； （3）222111c b a c ba； （4）cb a b a ac b a b a a cb a ++++++232． 解 （1）原式5)2(2213)1(12112)1()2(31122=-⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯-+-⨯⨯+⨯⨯=． （2）原式00000000000=⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=dc b a c ad b ． （3）原式))()((222222b c a c a b c b ac b a c a ab bc ---=---++=． （4）原式)()()2()23)((b a ac c b a ab b a ac c b a b a a +-++++++++=3)23())(2(a c b a ab c b a b a a =++-+++-．3．证明下列等式：=333231232221131211a a a a a a a a a 3332232211a a a aa 3331232112a a a a a -3231222113a a a a a +．证明 333231232221131211a a a a a a a a a 322311332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=)()()(312232211331233321123223332211a a a a a a a a a a a a a a a -+---=3332232211a a a a a =3331232112a a a a a -3231222113a a a a a +．4．用行列式解下列方程组：（1）⎩⎨⎧=+=+643534y x y x ； （2）⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=++-=+-1236132321321321x x x x x x x x x ．解 （1）74334==D ，246351==D ，963542==D ，所以 721==D D x ，792==D D y ． （2）23213111132-=--=D ，232111161311-=----=D ， 462131611122-=---=D ，691136111323-=---=D ； 所以 111==D D x ，222==D Dx ，333==DD x ．习 题 1-21．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）4321； （2）2314； （3）1243； （4）3142；（5）)2(42)12(31n n -； （6）2)22()2()12(31 --n n n ．解 （1）是标准排列，其逆序数为0； （2）逆序有（4 1），（4 3），（4 2），（3 2），所以逆序数为4． （3）逆序有（3 2），（3 1），（4 2），（4 1）,（2 1），所以逆序数为5． （4）逆序有（2 1），（4 1），（4 3），所以逆序数为3． （5）逆序有（3 2） 1个 （5 2），（5 4） 2个 （7 2），（7 4），（7 6） 3个 …………………（)12(-n 2），（)12(-n 4），（)12(-n 6），…，（)12(-n )22(-n ） )1(-n 个所以逆序数为 2)1(21-=+++n n n ． （6）逆序有（3 2） 1个 （5 2），（5 4） 2个 …………………（)12(-n 2），（)12(-n 4），（)12(-n 6），…，（)12(-n )22(-n ） )1(-n 个 （4 2） 1个 （6 2），（6 4） 2个 …………………（)2(n 2），（)2(n 4），（)2(n 6），…，（)2(n )22(-n ） )1(-n 个所以逆序数为 )1(12)1()1(21-=+++-+-+++n n n n ．2．写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项．解 由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p a a a a τ-，其中τ为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++，所以44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.3．在5阶行列式)det(ij a =D 展开式中，下列各项应取什么符号？为什么？ （1）5145342213a a a a a ； （2）2544133251a a a a a ； （3）2344153251a a a a a ； （4）4512345321a a a a a ． 解 （1）因5)32451(=τ，所以前面带“-”号． （2）因7)53142(=τ，所以前面带“-”号．（3）因10)12543()53142(=+ττ，所以前面带“+”号． （4) 因7)13425()25314(=+ττ，所以前面带“-”号．4．若n 阶行列式)det(ij a =D 中元素ij a ),,2,1,(n j i =均为整数，则D 必为整数．这一结论对吗？为什么？解 这一结论正确，因整数经乘法运算后仍为整数，而D 为元素的乘法的代数和，因此结果仍为整数．5．证明：若n 阶行列式中有n n -2个以上的元素为零，则该行列式值为零．证明 因n 阶行列式中有2n 个元素，而有n n -2个以上元素为零，故不为零的元素的个数小于n ．从而，在行列式展开式中的n 个元素的乘积项中至少有一个元素为零，所以乘积为零，代数和也为零，故该行列式的值为零．6．用行列式定义计算下列行列式：（1）0001100000100100； （2）0100111010100111； （3）nn 0000000010020001000-； （4）011,22111,111n n n n a a a a a a --． 解 （1）在展开式43214321)1(p p p p a a a a∑-τ中，不为0的项取自于113=a ，122=a ，134=a ，141=a ，而4)3241(=τ，所以行列式值为11111)1(4=⨯⨯⨯-． （2）在展开式43214321)1(p p p p a a a a∑-τ中，取14344==a a p ，则33p a 取为⎪⎩⎪⎨⎧====1134332333a a a a p p ，则⎪⎩⎪⎨⎧====1122224222a a a a p p ，11p a 取为111=a ，除此之外的项均为0．即行列式 4334221143322411)1()1(a a a a a a a a D ττ-+-=，而 2)1423(=τ，1)1243(=τ， 所以 0)1()1(2=-+-=D ．（3）在展开式n np p p a a a2121)1(∑-τ中，不为0的项取为11,1=-n a ，22,2=-n a ，…，11,1-=-n a n ，n a nn =，而 2)1)(2()1)2)(1((--=--n n n n n τ，所以 !)1(2)1)(2(n D n n ---=．（4）在展开式n np p p a a a 2121)1(∑-τ中，不为0的项取n a 11,2-n a …1n a nn a ．而2)1()1)2)(1((-=--n n n n n τ，所以 11,212)1()1(n n n n n a a a D ---=．习 题 1-31．设0333231232221131211≠==a a a a a a a a a a D ，据此计算下列行列式： （1）131211232221333231a a a a a a a a a ； （2）333231232221131211a ka a a ka a a ka a ； （3）333231131211232221444333222a a a a a a a a a ； （4）323233312222232112121311253225322532a a a a a a a a a a a a ------． 解 （1）a a a a a a a a a a r r a a a a a a a a a -=-↔33323123222113121131131211232221333231； （2）ka a a a a a a a a a k k k r a ka a a ka a a ka a =≠÷3332312322211312112333231232221131211)0(， 当0=k 时，结论仍成立．（3）33323123222113121121333231131211232221444222333444333222a a a a a a a a a r r a a a a a a a a a -↔ a a a a a a a a a a r r r 24)24(423333231232221131211321-=-÷÷÷．（4）3233312223211213113232323331222223211212131123223223225253225322532a a a a a a a a a c c a a a a a a a a a a a a ---------- a a a a a a a a a a c c a a a a a a a a a c c c 121212)2(3233323123222113121132323331222321121311321=↔-÷÷÷． 2．用行列式性质计算下列行列式：（1）111210321； （2）333222111321321321a a a a a a a a a +++++++++； （3）efcfbfde cd bdaeac ab ---；（4）yxyx x y x y yx y x+++；（5）28947104546333412------； （6）2605232112131412-． 解 （1）0111210000111210321321=--r r r ． （2）02112112113213213213211213333222111=+++--+++++++++a a a cc c c a a a a a a a a a ．（3）0202001321c e ec b adf rr r r e c be c b ec b adf ef cfbfde cd bdae ac ab-++---=---abcdef ec ecbadf r r 420002032=--↔． （4）yxyx x y x y x y x y y x c c c yxyx x y x y y x y x222222321++++++++++xy yy x y x y y x r r r r ---++--00)(21223 2)22()()22(y y x x y x y x +--+=)(2))((23322y x y x xy y x +-=--+=．（5）由于行列式中的第一列和第三列元素对应成比例，所以028947104546333412=------． （6）000002321121314122605232112131412214=----r r r ．3．把下列行列式化为上三角形行列式，并计算其值：（1）3351110243152113------； （2）107825513315271391-------．解：（1）2113110243153351335111024315211341-------↔------r r 11101605510019182403351325141312---------+r r r r r r 111016019182401120335155323------↔÷r r r 2000320011203351533200760011203351581243432423-----↔+------+r r r r r r r r 402)2(215=⨯-⨯⨯⨯-=． （2）78130210017251307139121078255133152713*********------++---------r r r r r r r31224000210017251307139117324-=-----++r r r ．4．用行列式性质证明下列等式：（1）yxzx zyz y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bzay bxaz bz ay by ax )(33+=+++++++++； （2）333222111333332222211111c b a c b a c b a c c b kb a c c b kb a c c b kb a =++++++； （3）0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a ． 证明 （1）bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开列按第左边1bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ bzay y zby ax x y bxaz z xab bz ay x zby ax z ybxaz y xa +++++++22分开列分别再按第bzay y xby ax x z bxaz z y b bz ay x xby ax z zbx az y y ab ++++++++2 z y z y x yx z xab y y z x x y zz xb a z x z y zy xy xb a y xzx z yzy xa 22233+++分开列分别再按第 zy xy x z x z yb y y x x x zzz yab z x xy z zxy yab y xxx z zzy y b a 3222++++ zy x y x zx z yb y x zx z yzy x a 330000+++++= =-+=y x z x zy zy xb y xzx z yzy x a 323)1(右边． （2）左边=-+++-3331221112133331222111132c b a c b a c b a kc c c b kb a c b kb a c b kb a c c 右边． （3）左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 062126212621262123222221312=++++--d d c cb b a ac c c c ．5．计算下列n 阶行列式：（1）)1(3210321102113011321--------------n nn n n n n n；（2）1121122112111211111-----+++n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a；（3）a b b b b a b b bb a b bb b a ；（4）11111000000000112211-----n n a a a a a a ； （5）xa a a a a a a x a a a a a a a x a a a a a a a xa a a a a a a a n n n nn n n n n n n n -+-+-+-+-------113211232113221132111321．解 （1）)1(3210321102113011321--------------n nn n n n n n!0000210002)1(23002)1(262021321,,3,21n nn n nn n n nn n i r r i =----=+．（2）1121122112111211111-----+++n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a∏-=--==-11121121100000001,,3,2n i i n n i b b b b a a a ni r r．（3）a b b b b a b b b b a b bb b a ab b bn a b b a b b n a ba b n a bb b b n ac c n i i)1()1(0)1()1(21-+--+-+-++∑= ni r r i ,,21 =-ba b a b a b b b b n a ----+00000)1()(])1([1b a b n a n --+=-．（4）11111000000000112211-----n n a a a a a a nn a a a n i c c n i i 13210000000000001,,2,11211-----=+-+∏-=--=111)1(n i i n a n ．（5）x a a a a a a a x a a a a a a a x a a a a a a a xa a a a a a a a n n n nn n n n n n n n -+-+-+-+-------113211232113221132111321xa xa x a x a a a a a a n i r r n n n n i ----=----12211321100000000000,,3,2)())((1211x a x a x a a n ---=- ．6．解下列方程：（1）0913251323221321122=--x x ； （2）0)1(11111)2(111112111111111111=------xn x n x x．解（1）因22341222400051320010*******2513232213211x x r r r r x x ------1221)4)(1(22x x --=0)4)(1(322=--=x x 所以解为 1±=x ，2±=x ．（2）因左边n i r r i ,,3,21 =-xn x n x x ------)2(00000)3(000001000000111110])2[()1(=----=x n x x ，所以解为 2,,2,1,0-=n x ．习 题 1-41．求行列式342102321-=D 中元素3和4的余子式和代数余子式．解 3的余子式8420213==M ，3的代数余子式8)1(133113=-=+M A ． 4的余子式5123132-==M ，4的代数余子式5)1(322332=-=+M A ． 2．已知210004321333231232221131211==a a a a a a a a a D ，求333231232221131211a a a a a a a a a ．解：因为21)1(1000432133323123222113121111333231232221131211=-⋅==+a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ，所以 21333231232221131211=a a a a a a a a a ．3．已知四阶行列式D 的第3行元素依次为1,1,2,2-，它们的余子式依次为4,3,2,5，求行列式D ． 解 将行列式D 按第三行元素降阶展开，有3434333332323131A a A a A a A a D +++=4)1()1(3)1(12)1(25)1(243332313⋅-⋅-+⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅=++++13=4．设四阶行列式的第二行元素依次为0,1,,2x ，其余子式分别为y ,2,6,2-，第三行的各元素的代数余子式分别为5,1,6,3，求此行列式．解 因03424332332223121=+++A a A a A a A a ，即05011632=⨯+⨯++⨯x ，所以 67-=x ．从而 2424232322222121A a A a A a A a D +++=y x ⋅-⋅+-⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅=++++42322212)1(0)2()1(16)1(2)1(2 97262-=--=+-=x ．5．按第三行展开并计算下列行列式：（1）5021011321014321---； （2）00000000052514241323125242322211514131211a a a a a a a a a a a a a a a a ． 解：（1）原式501211431)1()1(502210432)1(33213--⋅-+--⋅=++ 021101321)1(0521201421)1()1(4333++-⋅+--⋅-+24181218-=-+-=． （2）原式=0000)1(000000)1(514125242321151413112323524225242322151413121331a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++-⋅+-⋅ 353433000A A A ⋅+⋅+⋅+00025242315141341232524231514134231a a a a a a a a a a a a a a a a += 0=．6．证明下列各等式：（1）322)(11122b a b b a ab ab a -=+；（2）444422221111d c b a d c b a dc b a ))()()()()()((d c b a d c d b c b d a c a b a +++------=； （3）n n n n n n na x a x a x a x a a a a xx x ++++=+-------1111221100000100001．证明 （1）左边122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------ab a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((ab a a b a b +--==-=3)(b a 右边．（2）方法一左边44444442222222001ad a c a b a a d a c a b a a d a c a b a---------=)()()(4,3,22222222222222221a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b i c c i ---------=-)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c a b a d a c a b ++++++---=))()((1312a d a c a b c c c c -----)()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ ))()()()((b d b c a d a c a b -----=)()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-．方法二记D d c b a d c b a d c b a =444422221111，构造矩阵444443333322222111111x d c b a x d c b ax d c b a xd c b aD =，则1D 是范德蒙德行列式，其结果为))()()()()()()()()((1d x c x b x a x c d b d a d b c a c a b D ----------=，其中3x 的系数为))()()()()()((d c b a c d b d a d b c a c a b +++-------．由行列式的降阶展开法则知，55445335225151A x A x A x xA A D +-+-=，其中3x 的系数D A =-45，所以有))()()()()()((d c b a c d b d a d b c a c a b D +++------=，即444422221111d c b a d c b a dc b a ))()()()()()((d c b a d c d b c b d a c a b a +++------=． （3） 用数学归纳法证明 当2=n 时，2121221a x a x a x a x D ++=+-=，命题成立．假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D列展开按第则1n D1110010001)1(11----+=+-x x a xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1所以，对于n 阶行列式命题成立.7．计算下列各行列式：（1）3214214314321111； （2）ab c d e ed c b a 010000010000010；（3）328814412211111x x x--； （4）nn a a a a a 0100000000000010001321-． 解 （1）原式12312112112341213121200014,3,21------=------=-i c c i12304012112------r r 1613114=----=．（2）依次按第二行、第三行、第四行降阶展开，有abc d e edc ba 0100000100001022e a a e e a -==．（3）由范德蒙德行列式的结果知，328814412211111x x x--)4)(1(12)12)(22)(12)(2)(2)(1(2--=-----+--=x x x x x ． （4）依次按第1,,3,2-n 行降阶展开，有nn a a a a a 000100000000000010001321 -)1(1111321132-==--n n n n a a a a a a a a a a ．8．计算下列各行列式（k D 为k 阶行列式）：(1)xyy x x y x y x n 0000000000000000=D ；(2)n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=1111321321321321D ；(3))det(ij n a =D ，其中||j i a ij -=；(4)nn a a a +++=11111111121D ，其中021≠n a a a ；(5)1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a n n n n n n n ------=---+D ；（提示：利用范德蒙德行列式的结果．）(6)nnnnn d c d c b a b a11112=D ，其中未写出的元素都是０．解 （1）按第１列降阶展开，有yxy y x yy xyx x y x x D n n0000000000)1(00000000001+-+=n n n y x 1)1(+-+=． （2）nn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=1111D 3213213213211001010100111,23211---+=-ni a a a a ni r r∑=+ni ic c 211010*********n ni ia a a a ∑=+∑=+=ni i a 11．（3）ji a ij -=0432140123310122210113210)det(--------==n n n n n n n n a D ij n1,,2,11-=-+n i r r i i 0432111111111111111111111 --------------n n n nn i c c i ,3,21=+152423210222102210002100001---------------n n n n n212)1()1(----=n n n ．（4）nn n nn ni na a a a a a a n i c c D +----=--11001001001,,2,1121Xa a a r a a r n n i i i n n 010010010012111--=∑+（其中∑-=++=111n i in n a aa X ）)11()11(12111121∑∑=-=-+=++=ni in n i i n n n a a a a a a a a a a ．（5）对第1+n 行，依次与上面相邻的行交换，直至交换到第１行，共需交换n 次．再把新的第1+n 行，依次与上面相邻的行交换，直至交换到第２行，共需交换1-n 次．依次类推，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nn nn n n n n n n a a a n a a a n a a a D )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-⋅-⋅-=---=1121)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i ．（6）nnnnn d c d c b a b a D11112=n n n n n nd d c d c b a b a a 0011111111----展开按第一行)1(1111111112nn n n n nn c d c d c b a b a b ----+-+2222---n n n n n n D c b D d a 展开都按最后一行，由此得递推公式222)--=n n n n n n D c b d a D ，所以 ∏=-=ni i i iin D c b da D 222)(，而 111111112c b d a d c b a D -==，所以 ∏=-=ni i i iin c b da D 12)(．习 题 1-51．用克拉默法则解下列方程组：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+067452296385243214324214321x x x x x x x x x x x x x x ；（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-++-=--+-=---=+++4326324231324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ；（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=+++-=+-+=+++25320112324254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ．解 （1）276741212060311512=-----=D ， 8167402125603915181=------=D ，10867012150609115822-=-----=D ， 2760412520693118123-=---=D 2707415120903185124=-----=D ， 由克拉默法则知，方程组的解为311==D D x ，422-==D D x ，133-==D D x ，144==D Dx ． （2）1531321113221133211-=------=D ， 15313241136211432111=---------=D ，15313411162214332112=--------=D ， 014211632241331113=-------=D ，15343216132411312114-=------=D ；由克拉默法则知，方程组的解为111-==D D x ，122-==D D x ，033==D D x ，144==D Dx ． （3）14251321121341211111=----=D ，142513211210412211151=------=D 284512211203412111512=-----=D ， 426523211013422115113=----=D ， 14221320213212151114-=-----=D ，由克拉默法则知，方程组的解为111==D D x ，222==D D x ，333==D D x ，144-==DDx ． 2．设曲线332210x a x a x a a y +++=通过四点),4,2(),3,1(),3,3()3,4(-，求系数3210,,,a a a a ．解 由于曲线过四点，所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=+++=+++=+++36416432793484233210321032103210a a a a a a a a a a a a a a a a而126416412793184211111==D ，3664164327933842411131=-=D ，1864163127931844111312-=-=D ， 246434127331842113113=-=D ，6316413931442131114-=-=D ， 所以310==D D a ，2321-==D D a ，232==D D a ，2143-==D D a ． 3．证明：对任意实数k ，线性方程组⎩⎨⎧=-+-=+-0)1(20)1(2121x k x kx x k 只有零解．证明 因系数行列式012)1(12122≠+=+-=---=k k k k k k D ，所以线性方程组只有零解．4．问λ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=++-0)4(20)6(2022)5(3121321x x x x x x x λλλ有非零解？ 解 系数行列式)210(4)4)(6)(5(402062225λλλλλλλ-----=---=D )8)(2)(5()82410)(5(2---=-+--=λλλλλλ，当0=D 时，即8,2,5===λλλ时，齐次线性方程组有非零解．5．问μλ,取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 系数行列式μλμμμλ-==12111113D ， 当0=D 时，即10==λμ或时，齐次线性方程组有非零解．。
线性代数习题集第一章-湖北工业大学水印
前言线性代数的学习，不论是数学基础知识的掌握还是解题能力的提高，都离不开大量的练习，但也要避免走入题海战术的误区。
如何有效的做题，一本好的习题集是关键。
我们在多年的教学实践中，对大量的线性代数习题进行了筛选和编排，编写了这本习题集。
本习题集与科学出版社《线性代数》第二版（蔡光兴教授主编）配套，适用于本、专科学生。
本习题集对教材的章节都配备了一定量的练习，难度适中，注重基本概念、基本定理和基本运算；并配备了适当的阶段测试题和填空选择专项练习题，具备一定难度，可供有兴趣、有实力的同学开拓视野和训练解题技巧；此外，本练习册附有模拟考试试题，便于广大学生自我检测。
本练习册主编为耿亮，副主编为朱莹、常涛，参加编写的还有方瑛、万祥兰、张凯凡、黄毅、费锡仙、曾宇、程池。
由于编者水平所限，错误在所难免，恳请同仁不吝指出，编者不胜感谢。
湖北工 业 大学湖北工业大学北工业大学第一章 行列式练习一一、填空题1、排列134782695的逆序数为2、5阶行列式的全面展开式共有 项3、要使5阶行列式的项：35524231a a a a a k i 带负号，就要取=i ；=k4、写出5阶行列式5D 展开式中含有因子1325a a 且带负号的所有项5、设12()n i i i k τ=，则11()n n i i i τ−=二、选择题1、下列排列中（）是偶排列（A ）4312 （B ）51432 （C ）45312 （D ）654321 2、下列选项中，为五阶行列式带正号的项是（ ）.（A ）5214432531a a a a a （B ）5442312513a a a a a （C ）5445123123a a a a a （D ）5322441531a a a a a 3、 五阶行列式的项 2134534215a a a a a 的符号为（ ） （A ）)23541()1(τ− （B ）)14325()1(τ−（C ）)14325()23541()1(ττ+− （D ）5)1(−4、下列哪个行列式的值一定为零 ( )（A ）3434121200000000a ab bc cd d （B ） 121434000000000a a b c d d （C ）1234121212000000a a a a b b c c d d （D ） 34120000000000a b c d 5、若1223()71043171x x x x f x x−−=−−，则2x 项的系数是（） （A ）34 （B ）25 （C ）74 （D ）6湖北工 业 大学湖北工业 大学北工业大学三、利用对角线法则计算下列二阶及三阶行列式(1)11n nn n+−(2)1loglog1baab n−(3)321253342(4)a b cb c ac a b(5)222111a b ca b c四、用定义计算下列行列式(1)12132122232425313233343542435253000000000a aa a a a aa a a a aa aa a，其中第2，3行及第2，3列上的元素都不等于 0。
《线性代数》第三章矩阵的初等变换与线性方程组精选习题及解答
例 3.10
求齐次线性方程组
⎧ ⎪ ⎨
x1 x1
− −
x2 x2
− +
x3 x3
+ x4 = 0 − 3x4 = 0
的通解.
⎪⎩x1 − x2 − 2x3 + 3x4 = 0
解 系数矩阵经过初等变换得
⎡1 −1 −1 1 ⎤
⎡1 −1 0 −1⎤
A = ⎢⎢1 −1 1 −3⎥⎥ ⎯r⎯→ ⎢⎢0 0 1 −2⎥⎥
阶梯形的非零行数判断矩阵的秩.
2
⎛1 3 1 4⎞
解
A
⎯r⎯→
⎜ ⎜
0
6
−4
4
⎟ ⎟
，故
R(
A)
=
2
.
⎜⎝ 0 0 0 0⎟⎠
⎡1 1 2 2 3 ⎤
例 3.2
设A=
⎢⎢0 ⎢2
1 3
1 a+2
−1 3
−1 a+6
⎥ ⎥ ⎥
，则
A
的秩
R(
A)
=
(
).
⎢⎣4 0 4 a + 7 a +11⎥⎦
(A) 必为 2
6
⎡ 1 1 0 −2 1 −1⎤
⎡1 0 0 2 −1 −1⎤
( A | b) = ⎢⎢−2 −1
1
−4 2
1
⎥ ⎥
⎯r⎯→
⎢⎢0
1
0
−4
2
0
⎥ ⎥
⎢⎣−1 1 −1 −2 1 2 ⎥⎦
⎢⎣0 0 1 −4 2 −1⎥⎦
R( A) = R( A | b) = 3 < 5 ，所以方程组有无穷多解，令 x4 = c1, x5 = c2 ，得
(完整版)线性代数习题集
一. 判断题（正确打√，错误打×)1. n 阶行列式ij a 的展开式中含有11a 的项数为1-n 。
（ × ） 正确答案：)!1(-n解答：方法1因为含有11a 的项的一般形式是n nj ja a a 2211，其中n j j j 32是1-n 级全排列的全体，所以共有)!1(-n 项. 方法2 由行列式展开定理=nnn n n n a a a a a a a a a212222111211n n A a A a A a 1121211111+++ ,而n n A a A a 112121++ 中不再含有11a ，而11A 共有)!1(-n 项，所以含有11a 的项数是)!1(-n .注意:含有任何元素ij a 的项数都是)!1(-n 。
2. 若n 阶行列式ij a 中每行元素之和均为零,则ij a 等于零。
（ √ ）解答：将nnn n nn a a a a a a a a a212222111211中的n 、、、 32列都加到第一列，则行 列式中有一列元素全为零,所以ij a 等于零. 3.3322441144332211000000a b b a a b b a a b a b b a b a =。
( √ ）解答:方法1按第一列展开332244114411414133224133224144332211)(0000000a b b a a b b a a b b a b b a a a b b a b b a b b a a a a b a b b a b a =-=-=。
方法2 交换2，4列,再交换2,4行2233441144332211443322110000000000000000000000a b b a a b b a a b b a a b b a a b a b b a b a =-==33224411a b b a a b b a 。
方法3 Laplace 展开定理：设在n 行列式D 中任意取定了)11(-≤≤n k k 个行，由这k 行元素所组成的一切k 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D 。
线性代数习题集课堂讲解习题(1)
第一章 行列式一. 填空题 1. 在函数xx x xxx f 21112)(---=中, x 3的系数是______. 解. x 3的系数只要考察234222x x xx x x+-=--. 所以x 3前的系数为2.2. 设a , b 为实数, 则当a = ______, 且b = ______时, 010100=---a bba. 解. 0)(11010022=+-=--=---b a ab ba a bb a . 所以a = b = 0.3. 在n 阶行列式D = |a ij |中, 当i < j 时a ij = 0 (i , j =1, 2, …, n ), 则D = ______.解.112122112212000nn n n nna a a a a a a a a =二．选择题 1.1221--k k ≠0的充分必要条件是（ C ）。
（A ）1-≠k ； (B) 3≠k ； (C) 1-≠k 且3≠k ； (D) 1-≠k 或3≠k 。
解：（k-1）2-4≠02.01110212=-k k的充分条件是（ B ）。
（A ）2=k ； （B ）2-=k ； （C ）0=k ； （D ）3-=k 。
解：k 2*1-2*2*1+1*（-2-k ）=03.如果0333231232221131211≠==M a a a a a a a a a D ，2322213332311312111222222222a a a a a a a a a D =，那么=1D （ D ）。
（A ）2M ； (B) －2M ； (C) 8M ； (D) －8M 。
解：行列式性质2，34.下列)2(>n n 阶行列式中，值必为零的有（ D ）。
（A ）行列式主对角线上的元素全为零；(B)行列式次对角线上的元素全为零； (C)行列式零元素的个数多于n 个； (D)行列式中各行元素之和为零。
解：行列式性质6 5. 如果122211211=a a a a ，则下列（B ）是方程组⎩⎨⎧=+-=+-022221211212111b x a x a b x a x a 的解 （A ）2221211a b a b x =，2211112b a b a x =； （B ）2221211a b a b x -=，2211112b a b a x =；（C ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x --=； (D) 2221211a b a b x -----=，2211112b a b a x -----=。
线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).、(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25. =0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).）(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).(A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.|2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=0100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.。
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线性代数练习题 第四章 线性方程组
系 专业 班 姓名 学号
第一节 解线性方程组的消元法
一．选择题：
1．设A是nm矩阵，bAx有解，则 [ C ]
（A）当bAx有唯一解时，nm （B）当bAx有无穷多解时，)(AR m
（C）当bAx有唯一解时，)(ARn （D）当bAx有无穷多解时，0Ax只有零解
2．设A是nm矩阵，如果nm，则 [ C ]
（A）bAx必有无穷多解 （B）bAx必有唯一解
（C）0Ax必有非零解 （D）0Ax必有唯一解
3．设A是nm矩阵，齐次线性方程组0Ax仅有零解的充要条件是)(AR [ D ]
（A）小于m （B）小于n （C）等于m （D）等于n
二．填空题：
设21232121aaA，031b，321xxxx
（1）齐次线性方程组0Ax只有零解，则 31aa或
（2）非齐次线性方程组bAx无解，则a = 1
三．计算题：
1． 求解非齐次线性方程组1222412wzyxwzyxwzyx
21
31
2
2211112111121001421120011000110211110002000020121122000.2000rrrrrryxxyyxzwzzwww
或
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3．取何值时，非齐次线性方程组23213213211xxxxxxxxx ⑴ 有唯一解 ⑵ 无解 ⑶ 有无穷多解
32
11
1132(1)(2)11111111111000111000111111212212124003
当1,-2时，方程有唯一解
11
当=1时10，有无穷多解；
10
-22
当=-2时11，方程组无解。
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线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性
系 专业 班 姓名 学号
第四节 线 性 方 程 组 的 解
一．选择题：
1．设A是45矩阵，),,,(4321A，已知T),,,(40201，T)4,5,2,3(2是0Ax的
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基础解系，则 [ D ]
（A）31,线性无关 （B）42,线性无关
（C）1不能被43,线性表示 （D）4能被32,线性表示
2．设A是45矩阵，若bAx有解，21,是其两个特解，导出组0Ax的基础解系是21,，
则不正确的结论是 [ B ]
（A）bAx的通解是12211kk （B）bAx的通解是)(212211kk
（C）bAx的通解是22122211/)()(kk
（D）bAx的通解是211222112)()(kk
3．设321,,是四元非齐次线性方程组bAx的三个解向量，且3)(AR，T),,,(43211，
T
),,,(321032
，C表示任意常数，则线性方程组bAx的解是 [ C ]
（A）TTC)1,1,1,1()4,3,2,1( （B）TTC)3,2,1,0()4,3,2,1(
（C）TTC)5,4,3,2()4,3,2,1( （D）TTC)6,5,4,3()4,3,2,1(
4．齐次线性方程组0003213213221xxxxxxxxx 的系数矩阵记为A ，若存在三阶矩阵0B使得
0AB
，则 [ C ]
（A）2且0B， （B）2且0B
（C）1且0B （D）1且0B
二．填空题：
1． 设21232121aaA ，321b ，x321xxx
（1）齐次线性方程组0Ax只有零解，则a 31，
（2）非齐次线性齐次组bAx无解，则a = 31或
三．计算题：
1．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,是它的三个解向量，且
T
)5,4,3,2(1
，23(1,2,3,4)T，求该方程的通解
20
123
123
123
1231
,(2)2020()431,03243(2).5465AxbAAAbAbbbAxnRAAxAxbkk解：设方程为
则
那么
故是的解.
又故的基础解系只有一个向量
所以的通解为
2．求非齐次线性方程组6242163511325432143214321xxxxxxxxxxxx的一个解及对应齐次方程组的基础解系。
21
1234
234
1234
234
152311152311152311:53611028414560142728242160142728000001523112,0242728052302427xxxxxxxxxxxxxx
解
原方程组化为求出一个解为
另外34120917211,,.,72011091172112.72001010xxkk
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设()分别为解
01
所以通解为
线性代数练习题 第一章 行 列 式
系 专业 班 姓名 学号
第四节 克拉默法则
一、选择题：
1．若方程组304050xkyzyzkxyz有非零解，则k
（A）0 （B）1 （C）1 （D）3k
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3．设21,为齐次线性方程组0Ax的解，21,为非齐次线性方程组bAx的解，则[ C ]
（A）112为0Ax的解 （B）21为bAx的解
（C）21为0Ax的解 （D）21为bAx的解
二、填空题：
2. 若方程组02020zykxzkyxzkx 仅有零解，则2k
三、计算题
1．计算A是秩为3的5×4矩阵，321,,是非齐次线性方程组bAx的三个不同的解，若
123
2(2,0,0,0)T
，T)8,6,4,2(321，求方程组bAx的通解。
解：因A是秩为3的5×4矩阵，431nr,故对应齐次线性方程组0Ax的基础解系为.
1231212312
[(2)(3)]23230AAAAAAbbbbb
12312
[(2)(3)](2,0,0,0)(2,4,6,8)(0,4,6,8)TTT
是对应齐次线性
方程组0Ax的基础解系.
又123123[(2)(3)]4304Abb，
12312
3312
[(2)(3)](2,0,0,0)(2,4,6,8)(,3,,6)4429TTT
是非齐次线
性方程组bAx的特解。
方程组bAx的通解为12(0,4,6,8)(,3,,6)29TTxCC.
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四、用克拉默法则解方程组123412423412342583692254760xxxxxxxxxxxxxx
解：2151130621002121476D,方程组有唯一解。
1815193068152120476D,2
2851190610805121076D
3218113962702521406D4
215813092702151470D
方程组有唯一解为118121DxD,2210821DxD,3397DxD,4497DxD.
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