统编通用版高考数学全套电子教案之人教A版选修1-1教案：1.1变化率问题、1.2导数的概念(含答案)
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题》优质课教案_5
3.1变化率与导数3.1.1变化率问题教学目标：1.感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体会数学的博大精深以及学习数学的意义；2.理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.教学重点：平均变化率的实际意义与数学意义教学难点：对生活现象作出数学解释教学过程：Ⅰ.问题情境,预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P72～P74的内容，回答下列问题．(1)气球膨胀率①当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率是多少？当V从0增加到1时,气球半径增加了)rr≈-)1(dm)0(62.0(当V从1增加到2时,气球半径增加了)r-r≈)2(dm(016)1((2) 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：米)与起跳后的时间t （单位：思考：(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?平均变化率的定义：数 )(x f y =从1x 到2x 的平均变化率.若设12x x x -=∆,可把x ∆看作是相对于1x 的一个“增量”，可用x x ∆+1代替2x ，类似地12y y y -=∆。
平均变化率表示为： 平均变化率的几何意义：什么?即时训练已知函数53)(2+=x x f ,求:(1)从0.1到0.2的平均变化率.(2)在区间[]x x x ∆+00,上的平均变化率.求平均变化率的方法技巧：(学生阐述，教师归纳总结)1.求函数平均变化率的三个步骤第一步,求自变量的增量12x x x -=∆.第二步,求函数值的增量12y y y -=∆.变式训练：质点运动规律32+=t s ，则在()t ∆+3,3中的平均速度为（）当堂训练达标1.求 2x y =在 0x x =附近的平均速度2.过曲线 3)(x x f =上两点P （1，1）和Q(1+x ∆,1+y ∆)作曲线的割线，求出当x ∆=0.1时割线的斜率.3.已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x ∆,-2+y ∆), 则y ∆/x ∆=( )A.3B. 3x ∆-(x ∆)2C.3-(x ∆)2D. 3-x ∆小结：1. 2.求函数的平均变化率的步骤(1)求函数的增量)()(12x f x f y -=∆。
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.2 导数的概念》优质课教案_0
3.1.2 导数的概念一、教学目标1、知识与技能：理解导数的概念，通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数；掌握用定义求导数的方法。
2、过程与方法：通过导数概念的形成过程，领悟极限思想和函数思想。
3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点、难点重点：导数概念的形成，导数内涵的理解。
难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵。
三、教材分析导数的概念是高中新教材人教A版选修1-1第三章3.1.2的内容,是在学生学习了物理的平均速度和瞬时速度的背景下，以及前节课所学的平均变化率基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，它可以解决函数、函数最值、函数单调区间等许多问题，同时为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。
教材在这个问题的处理上从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。
四、学法、教法分析学法：类比探究式学习法（1）合作——自主——探究：引导学生进行分组讨论，交流合作，一起探讨问题；引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动；引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。
教法：引导发现式教学法理解导数的内涵——数形结合，动手计算,组织学生自主探索,获得导数的定义。
例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识。
五、教学过程（一）创设情境，引入新课幻灯片展示回顾上节课留下的思考题：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h （t ）=－4.9t 2＋6.5t ＋10.计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考下面的 问题一：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？（师生互动：在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出 ：大家得到65049t ≤≤运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。
3.1.1 变化率问题教案2020-2021学年高二数学人教A版选修1-1第一章
《变化率问题》教学设计教材分析：导数与函数、不等式等内容有着密切的联系，是解决最值问题强有力的工具。
本节是导数的起始课，也是后续学习瞬时变化率以及导数的基础。
学情分析：学生对平均值的计算方法是不陌生的，这是这节课的知识基础。
另外，前面也已经学习过了直线斜率的有关知识，也为本节中理解平均变化率提供了知识储备。
但从实际问题抽象出数学模型，对学生来说是有些困难的。
教学目标：（1）初步了解微积分的发展，感受数学家的聪明智慧。
（2）让学生经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。
（3）理解平均变化率的概念，会求函数在定区间和某点附近的平均变化率。
（4）结合平均变化率的几何意义，让学生体会数形结合的思想。
教学重点：1．由生活中的变化率问题归纳得出平均变化率的概念；2．理解平均变化率的概念，体会平均变化率的几何意义，会计算函数的平均变化率；教学难点：数学建模思想的应用教学方法：问答法、自主探究法教学过程：1.整体介绍师：我们用函数来描述物体运动变化的现象，随着对函数的进一步研究，产生了微积分。
微积分是由两位伟大的科学家牛顿、莱布尼茨共同创立的，可以说啊，微积分的创立是数学史上对的里程碑，被誉为“人类精神的最高胜利”。
微积分的创立，与四类问题的处理直接相关：①已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度；已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程。
②求曲线的切线。
③求已知函数的最大值与最小值。
④求长度、面积、体积、重心等。
在本章中，我们将要学习的导数是微积分的核心概念之一，也是研究解决问题最一般、最有效的工具。
今天，就让我们从变化率问题开始导数的学习吧。
【简要介绍微积分创立的背景，加深学生对微积分的认识，顺利引出本节课的课题】2．引例初探教师ppt 展示姚明的身高变化曲线图，请同学们读图并思考：在哪个年龄段，他的身高变化是最快的呢？【引导学生从形的陡和缓做直观判断，学生不难看出在13-16岁身高变化最快】师：华罗庚曾经说过：数缺形时少直观，形缺数时难入微。
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.2 导数的概念》优质课教案_15
导数的概念教学目标知识目标：通过实际问题理解瞬时速度，并理解函数的增量与自变量的增量的比当0∆→的具体意义。
同时还要理解导x数的概念并会运用概念求导数能力目标：培养学生会从实际问题中抽象出数学模型，运用数学去思考一些实际问题。
了解导数概念的实际背景，理解瞬时变化率就是导数这一本质情感态度与价值观：培养学生思考问题的广度深度，让学生学会在更广阔的空间中思考问题。
同时培养学生相互之间的合作能力，培养学生的创新精神教学重点：理解瞬时速度，以及掌握导数的概念及求法。
教学难点：引导学生运用逼近的思想去思考问题,从一些实际问题中抽象出导数的概念，理解极限的数学思想。
教学方法：自学指导法及合作探究教学过程：一创设情景从每年高考情况看，导数是每年高考必考的内容，而这个知识点比较困难，它也很重要，那么什么是导数呢？本节课我们一起来探究导数的概念。
通过第一节的学习，我们一起来回忆一下平均变化率是怎么求的？问题1：平均变化率怎么算？（2步：一差，二比） （一）平均变化率2121()()f x f x y x x x -∆=∆- （二）探究：在高台跳水运动中,平均速度不能反映他（她）在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.问题2：如何求瞬时速度呢?思考：t=2时的瞬时速度怎么求？二 新课讲授1．瞬时速度()?2,?,....,时的瞬时速度是多少比如度呢如何求运动员的瞬时速那么度在某时刻的瞬时速她他定能反映运动员的平均速度不一时速度某一时刻的速度称为瞬我们把物体在度是不同的运动员在不同时刻的速在高台跳水运动中=t [][].,2,22,2.22,0;22,0.0,,,,2,2.2可以得到如下表格内平均速度和区间计算区间之后在时当之前在时当但不为也可以是负值可以是正值是时间的改变量任意取一个时刻之前或之后在附近的情况我们先考察v t t t t t t t t t t ∆+∆+∆+>∆∆+<∆∆∆+==观察：当0→∆t 平均速度有怎样的变化趋势？结论：当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-． 从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s -为了表述方便，我们用0(2)(2)lim13.1t h t h t ∆→+∆-=-∆表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题》优质课教案_29
《变化率问题》教学设计一、教学内容分析函数是高中数学的主干内容，导数作为选修内容进入新课程，为研究函数提供了有力的工具，使函数的单调性、极值、最值等问题都得到了有效而彻底的解决。
教材按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，从变化率入手，采用形象直观的“逼近”方法定义导数，使导数概念的建立形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。
本章内容的核心概念是平均变化率，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础，在整个导数学习中占有极其重要的地位。
能为今后的深入学习和探究打下良好的知识基础和心理基础。
本节课是《导数及其应用》的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。
二、学生学情分析高二学生已有一定的生活经验，掌握了相关学科知识，有一定的数学储备知识：如函数知识，直线的斜率公式以及平均速度、瞬时速度、加速度等物理概念；学生思维普遍活跃，善于表达，善于发现问题，乐于和教师交流分享他们的解题心得。
但利用变化率的有关知识解释生活的中一些现象，需要学生具有一定抽象概括能力和应用数学语言表达问题的能力。
把生活经验抽象成数学问题有一定困难，升华为数学概念对高中生更有一定困难，需要教师的引领。
基于以上分析，确定本节课的教学重难点如下：重点：理解平均变化率的概念，掌握平均变化率解法的一般步骤，了解平均变化率的几何意义。
难点：通过具体生活实例，概括出平均变化率的定义；并能够运用“平均变化率”解释生活中变化快慢的生活实例。
三、教学目标分析知识与技能：通过具体事例，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述刻画现实世界的过程。
过程与方法：理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。
情感、态度与价值观：1.让学生通过学习了解变化率的广泛应用：在几何体的应用，在物理学里的应用，在其他数学知识中的体现，培养学生多方面的数学素养。
2.体会数学的博大精深以及学习数学的意义。
人教A版高中数学选修1-1 3.1.1 变化率和导数的概念 教案
3.1.1 变化率和导数的概念一、教学目标：1.知识与技能：（1）通过分析实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程；（2）了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；（3）会求具体简单函数的平均变化率和某点的瞬时变化率；2. 过程与方法通过动手计算培养学生观察、分析、比较和抽象概括的能力，体会“逼近”的思想方法；3. 情态与价值观经历从生活中的变化率问题抽象概括出平均变化率的过程，体会数学知识来源于生活，又服务于生活。
体会数学概念形成的“归纳—演绎”的模式。
二、教学重点.难点重点：导数的概念；难点：导数的概念；三、学情分析学生已有的知识结构是，进入高中后对函数的认识有了一定的积累，在两年多的时间里从生活和与其他学科的交汇中逐步提高了这方面的能力，在物理学中已经学习过加速度的定义（是速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值），抽象概括思想也逐步深入学生心中，转化成了学生自己的知识技能，这些为学好平均变化率奠定扎实的基础．四、教学方法通过观察.类比.思考.交流和讨论等.五、教学过程新课引入利用幻灯片展示微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接关系。
导数是微积分的核心概念之一。
它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）等问题最一般、最有效的工具，也是解决运动、速度、等实际问题的最有力的工具。
引出学习本章的意义及重要性。
设计意图：利用熟悉的问题激发学生的兴趣与情感，为新课程的自然引入提供契机。
六、自主学习1、曲线上一点处的切线斜率不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0101)()(x x x f x f k PQ --=， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0，∴xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00 当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.2 导数的概念》优质课教案_11
3.1.2导数的概念教学内容：导数的概念以及求函数在其定义域内某点处的导数的方法步骤教学目标：知识与技能目标：1．了解导数概念的实际背景，了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会用定义求函数在某点的导数过程与方法目标：1.通过实例分析，引导学生用平均速度去求瞬时速度，体验由已知探究未知的数学方法，让学生亲自计算，在计算过程中感受逼近的趋势，并经历观察、分析、归纳、发现规律的过程。
2.引导学生以瞬时速度为基点，从特殊到一般，经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，理解导数就是瞬时变化率3.通过问题的探究，培养学生的探究意识和探究方法.情感、态度与价值观目标：通过了解导数产生的历史及它在实际生活、生产和科研中的广泛应用及巨大作用，认识学习导数的必要性，从而激发学生学习导数的兴趣.教学重点：导数概念的形成过程及导数概念的内涵，用定义求函数在某点的导数教学难点：对导数概念的理解．教学准备：准备学案，投影仪，计算器教学方法：引导探究法：设疑——点拨——引导——探究。
教学设计：教学环节教学内容设计思想师生活动创设情景引入新课1.复习提问平均变化率的求解步棸：函数)(xfy=从1x到2x平均变化率为21()()f x f xyx x-∆=∆∆，函数从x到x x+∆的平均变化率如何表示呢？2.在10米高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋10.计算运动员在时间段[]2,2t+∆里的平均速度.教师给出：我们求出了运动员在这段时间的平均速度，但平均速度并不能反映运动员在某一时刻的速度，那么我们如何求运动员在某一时刻的速度呢？这一节课我们就来解决这样一个问题。
板书课题 3.1.2导数的概念1.让学生回忆上一节课的内容，在上一节课的基础上进入本节课的学习。
2.从实际问题出发，使学生意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确刻画物体的运动状态，有必要研究某个时刻的速度，这样能激发学生求知的欲望，从而使学生从“要我学”变成了“我要学”。
人教A版高二数学选修2-2 第一章 第一节 1.1.1变化率问题(同步教案)
§1.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念．教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】：“生活中存在大量变化快慢的量，如我国国内生产总值在不同年内的增长、某一股票在某一时间内的价格、去年上海商品房在不同月内的价格（幻灯片展示）。
如何从数学的角度解释量的变化快慢问题呢？这节课我们一起学习与变化率有关的问题。
板书课题《变化率问题》【教师过渡】：“为解决这一问题，我们先研究一些生活中的具体实例”(二)、探究新知，揭示概念实例一：气温的变化问题现有南京市某年3月18日-4月20日每天气温最高温度统计图：（注：3月18日为第一天）1、你从图中获得了哪些信息？2 、在“4月18日到20日”，该地市民普遍感觉“气温骤增”，而在“3月18日到4月18日”却没有这样的感觉，这是什么原因呢?3、怎样从数学的角度描述“气温变化的快慢程度”呢？师生讨论，教师板书总结：分析：这一问题中，存在两个变量“时间”和“气温”，当时间从1到32，气温从3.5o C 增加到18.6o C ，气温平均变化当时间从32到34，气温从18.6o C 增加到33.4o C ，气温平均变化因为7.4>0.5, 所以，从32日到34日，气温变化的更快一些。
【教师过渡】:“18.6 3.50.5321-≈- 表示时间从“3月18日到4月18日”时，气温的平均变化率。
提出问题：先说一说“平均”的含义，再说一说你对 “气温平均变化率”的理解。
实例二：气球的平均膨胀率问题。
【提出问题】：回忆吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的快慢相同吗? 学生思考回答。
假设每次吹入气球内的空气容量是相等的，如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？思考：1、 这一问题与“气温的变化问题”有哪些相同的地方？你打算怎样做呢？2、如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？先独立思考，再在小组内交流你的想法。
高中数学《变化率与导数》教案3 新人教A版选修1-1
课题：3.1 函数的变化率教学目标：1、知识目标：通过生活实例使学生理解函数增量、函数的平均变化率的概念；掌握求简单函数平均变化率的方法，会求函数的平均变化率；理解函数的平均变化率的含义，引出函数的瞬时变化率概念，简单应用为下一节导数概念的学习打好基础。
2、能力目标：使学生在研究过程中熟悉数学研究的途径：背景——数学表示——应用，培养学生独立思考，解决问题的能力和在生活中建立数学模型，用数学理论解释生活问题、应用数学的能力。
3、情感目标：使学生通过学习，了解简单的情景蕴涵建立模型解决问题的一般思想方法，鼓励学生主动探究、不惧困难，勇于挑战自我的思想品质。
并养成学生探究——总结型的学习习惯。
教学重点：函数自变量的增量、函数值的增量的理解函数平均变化率和瞬时变化率的理解和简单应用。
教学难点：函数平均变化率转化为瞬时变化率的理解。
教学方法：例举分析——归纳总结——实际应用教学过程：一、引入：1、情境设置：（图片）巍峨的珠穆朗玛峰、攀登珠峰的队员两幅陡峭程度不同的图片2、问题：当陡峭程度不同时，登山队员的感受是不一样的，如何用数学来反映山势的陡峭程度，给我们的登山运动员一些有益的技术参考呢？3、引入：让我们用函数变化的观点来研讨这个问题。
二、例举分析：（一）登山问题例：如图，是一座山的剖面示意图:A是登山者的出发点,H是山顶,登山路线用y=f(x)表示才问题：当自变量x样表示？ 分析：1、选取平直山路AB 放大研究 若),(),,(1100y x B y x A自变量x 的改变量：1x x =∆ 函数值y 的改变量：1y y =∆ 直线AB 的斜率：xyx x y y k ∆∆=--=0101说明：当登山者移动的水平距离变化量一定（x ∆为定值）时，垂直距离变化量（y ∆）越大，则这段山路越陡峭；2、选取弯曲山路CD 放大研究方法：可将其分成若干小段进行分析：如CD 1的陡峭程度可用直线CD 1的斜率表示。
数学：1.1.1《变化率问题》课件(新人教a版选修2-2)
x是一个整体符号 , 而不是与 x相乘.
x代替x2 ; 类似地, y f x2 f x1 . y 于是, 平均变化率可表示为 . x 可把x 看作是相对于 x1 的一个 " 增量 ", 可用 x1
y
y f x f x 2 f x 1
思考 观察函数 f x 的图象图1.1.1, 平均 变化率 y f x2 f x1 x x2 x1 表示什么?
1.1 变化率与导数
一．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数 学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积 分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意 时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快 慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另 一个变量变化的快慢程度．
身高 2.26 2.12
姚明身高变化曲线图(部分)
●
● ●
1.61
● ●
●
0.8
●
●
●
●
●
●
●
●
4
7
10
13
16
19
22
年龄
问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气 容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数 学的角度, 如何描述这种现象呢?
我们知道, 气球的体积V 单位 : L 与半径 r (单 4 3 位 : dm)之间的函数关系是 V r r , 3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
统编通用版高考数学全套电子教案之人教A版选修1-1教案：1.1变化率问题、1.2 导数的概念（含答案）
§3．1.1 变化率问题
§3．1.2 导数的概念
【学情分析】：
本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次：
1、以速度模型为出发点，结合其他实例抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解
导数内涵.
学生对导数概念的理解会有些困难，所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨，以便顺利地使学生
形成导数的概念。
2、借助气球膨胀率问题，了解变化率的含义；借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义.
【教学目标】：
知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义.
【教学重点】：
理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义. 知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速
度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义.
【教学难点】：
理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义. 知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速
度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义.
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
(1)引入变化率和瞬时速
度
1.瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速
度，叫做瞬时速度.
2. 确定物体在某一点A处的瞬时速度的方法：
要确定物体在某一点A处的瞬时速度，从A点起取一小
段位移AA1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均
速度可以近似地表示物体经过A点的瞬时速度.
当位移足够小时，物体在这段时间内运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A点的瞬时速度了. 我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s=s(t)，也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t0，0+Δt，现在问从t0到t0+Δt这段时间内，物体的位移、平均速度各是：位移为Δs=s(t0+Δt)－s(t0)(Δt称时间增量) 为导数概
念的引入
做铺垫
平均速度
00
sttst
s
v
tt
根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移
由时间t来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于
瞬时速度.
现在是从t0到t
0
+Δt，这段时间是Δt. 时间Δt足够短，
就是Δt无限趋近于0. 当Δt→0时，平均速度就越接近于瞬
时速度，用极限表示瞬时速度
瞬时速度
00
00limlimtt
sttst
vv
t
所以当Δt→0时，平均速度的极限就是瞬时速度
(2)例题讲解
例1、物体自由落体的运动方程s=s(t)=21gt2，其中位移单
位m，时间单位s，g=9.8 m/s
2
. 求t=3这一时段的速度.
解：取一小段时间［3，3+Δt］，位置改变量Δs=
2
1
g(3+
Δt)
2－21g·32
=2g(6+Δt)Δt，平均速度21tsvg(6+Δt)
瞬时速度为：m/s4.293)(21limlim00gttgvvtt由匀变速直线运动的速度公式得v=v0+at=gt=g·3=3g=29.4 m/s 例2、已知质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，(1)当t=2，Δt=0.01时，求ts. (2)当t=2，Δt=0.001时，求ts. (3)求质点M在t=2时的瞬时速度. 让学生进一步认识
瞬时速
度，为引
入导数的
概念做好
铺垫.
分析：Δs即位移的改变量，Δt即时间的改变量，ts即
平均速度，当Δt越小，求出的ts越接近某时刻的速度.
解：∵
ttttttsttst
s)32(3)(2)()(
22
=4t+2
Δt
∴(1)当t=2，Δt=0.01时，
t
s
=4×2+2×0.01=8.02 cm/s
(2)当t=2，Δt=0.001时，ts=4×2+2×0.001=8.002 cm/s
(3)v=00limlimttts(4t+2Δt)=4t=4×2=8 cm/s
(3) 导数的概念
设函数)(xfy在
0
xx
处附近有定义，当自变量在
0
xx
处有增量x时，则函数()yfx相应地有增量
)()(00xfxxfy，如果0x时，y
与x的比
xy（也叫函数的平均变化率）有极限即x
y
无限趋近于某个
常数，我们把这个极限值叫做函数)(xfy在
0
xx
处的导
数，记作0/xxy，即
x
xfxxfxfx)()(
lim)(
00
0
0
/
注意：(1)函数应在点
0
x
的附近有定义，否则导数不存在
(2)在定义导数的极限式中，x趋近于0可正、可负、
但不为0，而y可能为0
(3)
x
y
是函数)(xfy对自变量x在x范围内的平
均变化率.
要让学生
理解导数
概念
例3、求y=x2在点x=1处的导数.
分析：根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤，先
求Δy，再求xy，最后求
0limx
x
y
.
解：Δy=(1+Δx)2－12=2Δx+(Δx)2，
xxxx
y2)(2
=2+Δx
∴
0limxxy=0limx
(2+Δx)=2. ∴y′|x=1=2.
注意：(Δx)2括号别忘了写.
学生自学教材P75 例1
(4)课堂小结
(1)理解函数的概念。
（2）求函数)(xfy的导数的一般方法：
①求函数的改变量)()(xfxxfy.
②求平均变化率
xxfxxfx
y)()(
.
③取极限，得导数
/
y＝()fxxyx0lim
.
补充题目：1.一直线运动的物体，从时间t到tt时，物体的位移为s，那么0limtst为
（）
Ａ．从时间t到tt时，物体的平均速度；Ｂ．在t时刻时该物体的瞬时速度；
Ｃ．当时间为t时物体的速度；Ｄ．从时间t到tt时物体的平均速度
2．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s=s(t)=t
2
(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在
t=5时的瞬时速度
解：瞬时速度v=
22
00(5)(5)(5)5limlimtt
stst
tt
0limt
(10+Δt)=10 m/s.
∴瞬时速度v=2t=2×5=10 m/s.
3.质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，求质点M在t=2时的瞬
时速度.
解：瞬时速度v=
ttt
ststt)322(3)2(2lim)2()2(
lim
22
00
=0limt(8+2Δt)=8 cm/s.