2016届安徽省寿县第一中学高三最后一卷考试数学(文)试题(图片版)
安徽省淮北市第一中学2016届高三最后一卷理数试题 含解析
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
）1. 若复数z 满足()112i z i =-+，则z 的共轭复数的虚部是（ )A ．12i - B ．12i C ．12- D ．12【答案】C考点：复数的运算，复数的概念． 2。
命题“00,10x R x ∃∈+<或2000x x ->”的否定形式是(）A ．00,10x R x ∃∈+≥或2000x x -≤ B ．,10x R x ∀∈+≥或20xx -≤ C ．00,10xR x ∃∈+≥且2000x x -≤D ．,10x R x ∀∈+≥且20xx -≤【答案】D 【解析】试题分析：命题“00,10xR x ∃∈+<或2000x x ->”的否定形式“,10x R x ∀∈+≥且20x x -≤"．故选D ．考点：命题的否定．3. 已知()1sin cos ,0,2αααπ+=∈，则1tan 1tan αα-=+（ ）A ．7-B 7C 3D ．3-【答案】A 【解析】试题分析：21(sin cos )4αα+=，3sin cos 8αα=-，所以cos 0,sin 0αα<>，27(cos sin )12sin cos 4αααα-=-=，7cos sin 2αα-=-, 所以71tan cos sin 2711tan cos sin 2αααααα---===-++．故选A ．考点：同角间的三角函数关系． 4. 设函数()219ln 2f x xx =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a <≤B ．4a ≥C ．2a ≤D ．03a <≤ 【答案】A考点：函数的单调性．5。
已知随机变量()2,4X N ，随机变量31Y X =+，则（）A ．()6,12YNB ．()6,37Y NC ．()7,36Y ND ．()7,12YN【答案】C 【解析】试题分析：27X Y =⇒=，22()4()9436σX σY =⇒=⨯=，因此(7,36)Y N ．故选C ．考点：正态分布． 6.若P 在双曲线2211620x y -=上，1F 为左焦点,1=9PF ，则2PF =（）A ．1B ．1或17C ．41D ．17 【答案】D【解析】试题分析:4a =，6c =，若P 在双曲线右支上，则110最小值PF a c =+=9>,因此P在双曲线的左支上，所以2128PF PF a -==，217PF =．故选D ．考点：双曲线的定义．7。
【全国百强校】安徽省六安市第一中学2016届高三下学期组卷(一)文数试题(原卷版)
安徽省六安市第一中学2016届高三下学期组卷（一）文数试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合(){}{}2lg 4,3,0x A x y x B y y x ==-==>时，A B = （ ）A ．{}2x x >-B ．{}12x x <<C ．{}12x x ≤≤D ．{}2x x <-2. 设,a b R ∈，则“()20a b a -<” 是“a b <” 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．即不充分又不必要条件3. 在区间[]3,5-上随机取一个实数a , 则使函数()224f x x ax =++零点的概率是（ ） A ．13 B ．12 C ．14 D ．184. 执行如图所示的程序框图，若输出15S =,则框图中①处可以填入（ ）A ．4n ≥？B ．8n ≥？C ．16n ≥？D ．16n <？5. 若0,0a b >>，且4a b +=，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．112ab >B ．111a b +≤ C2≥ D ．22118a b ≤+ 6. 若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，表示的平面区域，则当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为（ ）A ．1B ．32C ．34D ．747. 已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωπϕπ=+>>-<<的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()12sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()132sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()12sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()132sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭8. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A ．323πB ．4πC ．2πD ．43π9. 已知0x 是函数()121x f x x =+-的一个零点，若()()10201,,,x x x x ∈∈+∞，则（ ）A ．()()120,0f x f x <<B ．()()120,0f x f x <>C ．()()120,0f x f x ><D ．()()120,0f x f x >>10. 等差数列{}n a 共有21n +项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n 的值是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．911. 已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则k 的值为（ ）A ．13 B C D ．2312. 设,x y R ∈，且满足()()()()3322sin 2222sin 26x x x y y y ⎧-++-=⎪⎨-++-=⎪⎩，则x y += （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 具有线性相关关系的变量,x y ，满足—组数据如下表所示：若y 与x 的回归直线方程为332y x =-，则m 的值是 ． 14.α 为锐角，若4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 212πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ． 15. 已知F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的一个公共焦点，,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若0AF BF =，则2C 的离心率是 ．16. 在直角梯形ABCD 中，,,1,2AB AD DC AB AD DC AB ⊥===，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上变动，（如图所示），若AP ED AF λμ=+，其中,R λμ∈，则2λμ-的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 满足21n n S a +=，数列{}n b 中，()121212111,,2n n n b b n N b b b *++===+∈. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）数列{}n c 满足,n n na cb =求证：1233...4nc c c c ++++<. 18. （本小题满分12分）某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：（1）求表中,n p 的值和频率分布直方图中a 的值，并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假参加社区服务次数的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[)10,15和[)25,30的人中共抽取6人，再从这6人中选2人，求2人服务次数在[)10,15的概率.19. （本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，,AB CD AB AD ⊥，且112AB AD CD ===.现以AD 为一边向梯形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2.（1）求证：BC ⊥平面BDE ；（2）求点D 到平面BEC 的距离.20. （本小题满分12分）已知点P是圆(22:16C x y ++=上任意一点，)A 是圆C 内一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径CP 交于点Q ，O 为坐标原点.（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹E 的方程；（2）设过点()0,2B -的动直线与E 交于,M N 两点，当OMN ∆的面积最大时，求此时直线的方程.21. （本小题满分12分）已知函数()32123f x x x ax b =-++的图象在点()()3,3P f 处的切线方程为35y x =-.（1）求实数,a b 的值；（2）设()()2m g x f x x =+-. ①若()g x 是[)3,+∞上的增函数，求m 的最大值；②是否存在Q ，使得过点Q 的直线若能与曲线()y g x =围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等. 若存在，求出点Q 坐标；若不存在，说明理由.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知PE 切O 于点E ，割线PAB 交O 于点A 、B 两点，APE ∠的平分线和,AE BE 分别交于点,C D求证：（1）CE DE =；（2）CA PE CE PB=.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角 坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为：1(x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩是参数方程，0ϕπ≤≤). 以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）直线1l的极坐标方程是2sin 03πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，直线()2:3l R πθρ=∈与曲线C 的交点为P ，与直线1l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知,m n 都是实数，0m ≠，()12f x x x =-+-.（1）若()2f x >，求实数x 的取值范围；（2）若()m n m n m f x ++-≥对满足条件所有,m n 都成立，求实数x 的取值范围.：。
2016届安徽省合肥市第一六八中学高三下学期高中毕业班最后一卷数学(理)试题
2016高中毕业班最后一卷 数 学 （理科） 注意事项： 1.本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页； 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 3.请将全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效； 4.考试结束或，将本试卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷 （选择题 共60分） 一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）
1.复数z满足93izzi ，z 是 z的共轭复数，复平面内z所对应的点所在的象限是（ ）. A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.命题p:实数,,abc ，若2bac ，则,,abc成等差数列.命题q：实数,,abc若
2bac ，则,,abc成等比数列.下列选项正确的是（ ）.
A. q为假命题B. pq为真命题 C.pq为真命题 D. pq为真命题
3.已知,AB均为钝角，2515sincos()2310AA ，且10sin10B，则AB（ ） . A.34 B. 54 C. 74 D. 76 4. 《孙子算经》中有这样一道题目：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”意思是：有100头鹿，每户人家分1头还有剩余；每3户人家再分1头，正好分完，问共有多少户人家？设计流程图如下,则共输出值是( ). A．74 B.75 C.76 D.77 5.已知向量a的模长为1，且,||4,||2,abababba满足则在方向上的投影等于（ ）. A．-2 B.-3 C.-4 D.-5 6.已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）.
A.3 B.338 C. 32 D. 36
7. 周末一家四人:爸爸,妈妈和两个孩子一起去看电影,并排坐在连号的四个座位上,要求孩子边必须有大人陪着,则不同的坐法种数( ).
高三数学最后一卷试题 文(扫描版)(2021年整理)
安徽省寿县2017届高三数学最后一卷试题文（扫描版）
编辑整理：
尊敬的读者朋友们：
这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（安徽省寿县2017届高三数学最后一卷试题文（扫描版））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为安徽省寿县2017届高三数学最后一卷试题文（扫描版）的全部内容。
安徽省寿县2017届高三数学最后一卷试题文（扫描版）
安徽省寿县2017届高三数学最后一卷试题文（扫描版）
11。
2020届安徽省淮南市寿县第一中学高三下学期最后一卷数学(理)试题(解析版)
2020届安徽省淮南市寿县第一中学高三下学期最后一卷数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2280M x x x =--≤，集合{}1N x x =≥，则M N =（ ）A ．{}14x x ≤≤ B ．{}1x x ≥C ．{}12x x ≤≤D ．{}2x x ≥-【答案】A【解析】先求出集合M 和集合N ，由此利用交集定义能求出M N ⋂． 【详解】 解：集合2{|280}{|24}M x x x x x =--=-，集合{|1}N x x =， {|14}MN x x ∴=．故选：A ． 【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用． 2．若复数()21a ia R i-∈+为纯虚数，则3ai -=（ ）A ．B ．13C ．10D【答案】A【解析】由题意首先求得实数a 的值，然后求解3ai -即可． 【详解】由复数的运算法则有：2(2)(1)221(1)(1)22a i a i i a ai i i i ++-+-==+++-, 复数()21a ia R i -∈+为纯虚数，则2020a a +=⎧⎨-≠⎩，即2,|3|=--==a ai 本题选择A 选项. 【点睛】复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.3．数表为“森德拉姆筛”，其特点是表中的每行每列上的数都成等差数列，则数字“41”在表中出现的次数是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D【解析】根据题意，先得到第k 行的通项公式为1,kn k N ++∈，令141kn +=，再由题意即可求出结果. 【详解】由题意可知，第1行的通项公式为1n +； 第2行的通项公式为21n ； 第3行的通项公式为31n +； …第k 行的通项公式为1,kn k N ++∈；令141kn +=，则40kn =，即k 为40的正约数， 则k 的取值为1，2，4，5，8，10，20，40；共8个. 故选：D. 【点睛】本题主要考查合情推理，涉及等差数列的通项公式，属于基础题型.4．设命题p ：若,x y R ∈，则“0x y >>”是“22x y >”的必要不充分条件；命题q ：“0x ∀>，21x >”的否定是“0x ∃≤，21x ≤”，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．p q ∨D ．()p q ∧⌝【解析】先判断命题p 和命题q 的真假，再根据复合命题真假的判定方法，即可得出结果. 【详解】根据不等式的性质，若0x y >>，则22x y >；反之，若22x y >，则220x y ->，即()()0x y x y +->，因为,x y 正负不确定，所以不能推出0x y >>，因此“0x y >>”是“22x y >”的充分不必要条件，即命题p 为假命题；所以p ⌝为真命题；命题q ：“0x ∀>，21x >”的否定是“0x ∃>，21x ≤”，故命题q 为假命题；q ⌝为真命题；所以p q ∧为假，p q ∨为假，()p q ∧⌝为假，()()p q ⌝∧⌝为真. 即ACD 错，B 正确. 故选：B. 【点睛】本题主要考查判断复合命题的真假，考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题型. 5．如图给出的是计算111124620+++⋯+的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ）A ．8i >B ．9i >C ．10i >D ．11i >【答案】C【解析】从所给算法流程可以看出当10i =时仍在运算，当1110i =>时运算就结束了由题意可知由12加到120需要进行10i =即当1110i =>时运算就结束了 故选C. 【点睛】本题考查了算法流程图的识读和理解，能够读懂流程图并能进行判定.6．设sin a xdx π=⎰，则二项式6⎛⎝展开式的常数项是( )A ．160B ．20C ．20-D ．160-【答案】D【解析】利用微积分基本定理求出a ，利用二项展开式的通项公式求出通项，令x 的指数等于0，求出常数项． 【详解】00sin cos |cos cos 02a xdx x πππ==-=-+=⎰66(∴=展开式的通项为6316(1)2r r r r r T C x --+=- 令30r -=得3r =故展开式的常数项是368160C -=-本题正确选项：D 【点睛】本题考查微积分基本定理、二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于基础题．7．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°，若m 2＋n ＝4，则） A ．8 B ．4 C ．2 D ．1【答案】C【解析】利用同角三角函数基本关系式可求n ＝4cos 218°，利用降幂公式，诱导公式和二倍角的正弦函数公式化简求解即可． 【详解】因为m ＝2sin 18°，m 2＋n ＝4，所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°. 所以2222sin184sin18cos182sin 362sin 3622cos 2712cos 2712cos 271cos54sin 36︒︒︒︒︒︒︒︒︒=====--- 故选：C . 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式应用问题，是基础题． 8．将函数2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移12π个单位得到数学函数()g x 的图像，在()g x 图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（ ） A ．24x π=-B ．4x π=C ．524x π=D ．12x π=【答案】A【解析】分析：根据平移变换可得243y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据放缩变换可得函数()g x 的解析式，结合对称轴方程求解即可. 详解：将函数()223f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半， 纵坐标不变，得到243y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 再将所得图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，即()224241233g x sin x sin x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由24,32x k k Z ππ+=+π∈， 得1,424x k k Z π=π-∈， 当0k =时，离原点最近的对称轴方程为24x π=-，故选A.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数sin()y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由2x k πωϕπ+=+可得对称轴方程；由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标.9．设12F F 、分别为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，若122130,60∠=∠=︒PF F PF F ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．13+B ．3C ．23+D ．423+【答案】A【解析】由已知可得三角形为直角三角形，从而得到21c,3c,PF PF ==再结合双曲线的定义和离心率公式即可得到答案. 【详解】由122130,60∠=∠=︒PF F PF F ，可知121290||2F PF F F c ∠=︒=且, 则21c,3c,PF PF ==由双曲线定义得122,PFPF a -= 即1232,PF PF c c a -=-=解得3131c e a ===+-， 故选A【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.10．已知甲罐子里有5个红球3个黑球，乙罐子里有3个红球、2个黑球和3个白球，现在从甲罐子里取出2个球放入乙罐内，再从乙罐取出两个球，则这两个小球是1个黑球1个红球的概率是（ ） A ．6731260B ．34315C ．7731260D ．79315【答案】D【解析】根据题意，分从甲罐子中取出2个红球；从甲罐子中取出1个红球和1个黑球；从甲罐子中取出2个黑球三种情况，分别求出对应概率再求和，即可得出结果. 【详解】若从甲罐子中取出2个红球，则对应的概率为2528514C C =，将这两个红球放入乙罐，再从乙罐取出两个球，则这两个小球是1个黑球1个红球的概率是115221055251414963C C C ⨯=⨯=； 若从甲罐子中取出1个红球和1个黑球，则对应的概率为1153281528C C C =，将这两个红球放入乙罐，再从乙罐取出两个球，则这两个小球是1个黑球1个红球的概率是11432101515412828157C C C ⨯=⨯=； 若从甲罐子中取出2个黑球，则对应的概率为2328328C C =，将这两个红球放入乙罐，再从乙罐取出两个球，则这两个小球是1个黑球1个红球的概率是1134210334128281535C C C ⨯=⨯=， 综上，这两个小球是1个黑球1个红球的概率是5117963735315++=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查求独立事件的概率，属于常考题型.11．若α是()sin cos f x x x x =-在(0,2)π内的一个零点，则对于(0,2)x π∀∈，下列不等式恒成立的是（ ） A ．sin sin x x αα≥ B ．sin cos xxα≥C ．322παπ≤≤D ．cos cos x x αα-≥-【答案】A【解析】对()f x 求导，可知()f x 在(0,)π上单调递增，在(,2)ππ上单调递减，又(0)0f =，()0f π>，(2)0f π<，所以(,2)αππ∈，令sin ()xg x x=，求导可知，()g x 在(0,)α上递减，在(,2)απ上递增，所以当x α=时，()g x 取得最小值，最小值为sin ()g ααα=，即对于(0,2)x π∀∈，sin sin x x αα≥恒成立. 【详解】因为()sin cos f x x x x =-，所以()cos (cos sin )f x x x x x '=--sin x x =， 当(0,)x π∈时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)π上单调递增， 所以当(,2)x ππ∈时，()0f x '<，所以()f x 在(,2)ππ上单调递减， 又(0)0f =，()0f π>，(2)0f π<，所以(,2)αππ∈， 所以当(0,)x α∈时，()sin cos 0f x x x x =->， 当(,2)x απ∈时，()sin cos 0f x x x x =-<，令sin ()x g x x=，(0,2)x π∈，则2cos sin ()x x xg x x ⋅-'=，所以当(0,)x α∈时，()0g x '<，当(,2)x απ∈时，()0g x '>， 所以()g x 在(0,)α上递减，在(,2)απ上递增， 所以当x α=时，()g x 取得最小值，最小值为sin ()g ααα=，所以对于(0,2)x π∀∈，sin sin x x αα≥恒成立. 故选：A. 【点睛】本题考查了函数的零点，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.12．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（ ）A ．物理化学等级都是B 的学生至多有12人 B ．物理化学等级都是B 的学生至少有5人C．这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至多有18人D．这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至少有1人【答案】D【解析】根据题意分别计算出物理等级为A，化学等级为B的学生人数以及物理等级为B，化学等级为A的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项. 【详解】根据题意可知，36名学生减去5名全A和一科为A另一科为B的学生105858-+-=人（其中物理A化学B的有5人，物理B化学A的有3人），表格变为：对于A选项，物理化学等级都是B的学生至多有13人，A选项错误；对于B选项，当物理C和D，化学都是B时，或化学C和D，物理都是B时，物理、化学都是B的人数最少，至少为13724--=（人），B选项错误；对于C选项，在表格中，除去物理化学都是B的学生，剩下的都是一科为B且最高等级为B的学生，因为都是B的学生最少4人，所以一科为B且最高等级为B的学生最多为1391419++-=（人），C选项错误；对于D选项，物理化学都是B的最多13人，所以两科只有一科等级为B且最高等级为B 的学生最少14131-=（人），D选项正确.故选：D.【点睛】本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.二、填空题13．已知实数x，y满足约束条件20201x yx yx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y=+的最小值________.【答案】3【解析】根据约束条件画出可行域，化目标函数为1122y x z=-+，由目标函数的几何意义，结合图形，即可求出结果.【详解】画出约束条件20201x yx yx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩表示的可行域如下，因为目标函数2z x y=+可化为1122y x z=-+，所以z表示直线1122y x z=-+在y轴截距的2倍，由图像可得，当直线1122y x z=-+过点A时，在y轴截距最小，即z最小，由120xx y=⎧⎨+-=⎩解得()1,1A，所以min123z=+=.故答案为：3.【点睛】本题主要考查求线性目标函数的最值，根据数形结合的方法求解即可，属于基础题型. 14．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为22221(0)x ya ba b+=>>，则椭圆在其上一点00(,)A x y处的切线方程为00221x x y ya b+=，试运用该性质解决以下问题：椭圆221:12xC y+=，点B为1C在第一象限中的任意一点，过B作1C的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于,C D两点，则OCD∆面积的最小值为_______.【解析】【详解】 设B （x 2，y 2），则椭圆C 1在点B 处的切线方程为22x x +y 2y=1 令x=0，y D =21y ，令y=0，可得x C =22x ， 所以S △OCD =222211212y x x y ⋅⋅=， 又点B 在椭圆的第一象限上，所以x 2，y 2＞0，222212x y +=，即有222222222222122x y x y x y x y y x +==+≥=S △OCD，当且仅当222x =22y =12，所以当B （1，2）时，三角形OCD．15．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，39a =，数列{}1n n a a +-成等差数列.现从{}n a 中选取123100,,,,a a a a …这100个个体，从小到大依次编号为1，2，…，99，100，依从小到大的编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…10.现从每组中抽取一个号码，组成一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与+m k 的个位数字相同.若7m =，则在第8组中抽取的号码所对应数列{}n a 的项的值是________. 【答案】5625【解析】根据系统抽样，先确定第8组中抽取的数字号码为75，即75a ；再由题意，根据等差数列的通项公式，以及累加法求出2n a n =，即可得出结果.【详解】因为第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与+m k 的个位数字相同， 所以7m =，8k时，15m k +=，因此第8组中抽取的号码个位数字为5，又每组有10个数字，因此第8组中抽取的数字号码为75，即75a ； 因为数列{}n a 满足11a =，24a =，39a =，数列{}1n n a a +-成等差数列， 设公差为d ，则()()32212d a a a a =---=，213a a -=， 所以()132121n n a a n n +-=+-=+，则213a a -=，32a a -，……，121n n a a n --=-，以上各式相加得()135...21n a a n -=+++-，则()()2121135 (212)n n n a n n +-=++++-==，所以275755625a ==.故答案为：5625. 【点睛】本题主要考查求数列中的项，考查累加法的应用，以及等差数列的通项公式与求和公式，涉及系统抽样，属于常考题型.三、双空题16．三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面ABC 的投影恰好是ABC 的内心，三个侧面的面积分别为12，16，20，且底面的面积为24，则该三棱锥P ABC -的体积是________；它的外接球的表面积是________.【答案】3163π【解析】若设P 在底面ABC 的投影为H ，分别作HD BC ⊥于点D ，HE AB ⊥于点E ，HF AC ⊥于点F ，则PD BC ⊥，PE AB ⊥，PF AC ⊥，依题意，H 为ABC 的内心，由三角形全等推出PD PF PE ==，再利用三个侧面的面积分别为12，16，20，可得90ACB ∠=︒，从而求出6,8,10BC AC AB ===，然后求ABC 内切圆半径，再求出三棱锥的体积；确定三棱锥外接球球心位置，构造直角三角形利用勾股定理及球的表面积公式进行计算. 【详解】不妨设12,16,20,PBC PAC PAB S S S ===△△△设P 在底面ABC 的投影为H ，分别作HD BC ⊥于点D ，HE AB ⊥于点E ，HF AC ⊥于点F ，则PD BC ⊥，PE AB ⊥，PF AC ⊥．依题意，H 为ABC 的内心，则Rt Rt Rt PDH PFH PEH △≌△≌△，故PD PF PE ==， 又12PBC S BC PD =⋅△，12PAC S AC PF =⋅△，12PAB S AB PE =⋅△， 所以::::12:16:203:4:5PBC PAC PAB S S S BC AC AB ===△△△，所以90ACB ∠=︒， 令3,4,5BC x AC x AB x ===． 所以11342422ABC S BC AC x x =⋅=⋅⋅=△，解得2x =， 所以6,8,10BC AC AB ===． 设ABC 内切圆半径为r ，则()12ABC BC AC AB r S ++=△， 即()16810242r ⨯++=，解得2r ，故2HD =，由112,62PBC S BC PD BC =⋅==△，得4PD =，所以2223PH PD HD =-=， 所以11242316333P ABC ABC V S PH -=⋅=⨯⨯=△.90ACB ∠=︒，∴点C 在以AB 为直径的圆上，取AB 中点为G ，则以AB 为直径的圆的圆心为点G ，设三棱锥P -ABC 的外接球球心为点O ，连接OG ，易知OG ⊥平面ABC ，又PH ⊥平面ABC ，则//OG PH ，过点O 作//ON GH 交PH 于点N ，PH ⊥平面ABC ，GH ⊂平面ABC ，PH GH ∴⊥，即2GHP π∠=，∴四边形GHNO 为矩形，则,OG NH GH ON ==，在平面ABC 上建立如图所示直角坐标系，则()()()6,0,0,8,2,2,(3,4)B A H G ，2125ON GH ==+=，设GO x =，若点N 在线段PH 上，则23PN x =-，22225OA OB OP GB OG x ===+=+，在直角ONP △中，222ON NP OP +=即()()22252325xx +-=+，解得230x =-<，故点N 在线段PH 的延长线上，则23PN x =+，同理可得()22252325xx +=+，解得23x =， 所以三棱锥P -ABC 的外接球半径为2273253OA OB OP x ===+=， 三棱锥P -ABC 的外接球表面积227331643S ππ==⎝⎭. 故答案为：33163π【点睛】本小题考查空间点、线、面位置关系，空间几何体的侧面积、体积等基本知识，考查空间想象能力、运算求解能力、论证推理能力，属于难题.四、解答题17．已知函数22()sin cos 2cos f x x x x x =-.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2c =，()1f C =且2C π≠，求ABC 周长的范围. 【答案】（1）5,1212x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭；（2）(]4,6.【解析】（1）先将函数整理，得到()1232x f x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据正弦函数的单调性列出不等式求解，即可得出结果；（2）先由（1）根据题意，得到sin 232C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求出3C π=，再由正弦定理，得到周长为24sin 26a b c A B A π⎛⎫++=++=++ ⎪⎝⎭，再由正弦函数的性质，即可求出结果. 【详解】（1）()()221cos 2sin cos 2cos sin 21cos 222x x x x x x f x x -=-=+-+3112cos 2222232x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， 由222232k x k πππππ-+≤-≤+()k Z ∈得，5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈， ∴函数()f x 的单调递增区间5,1212x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭；（2）因为()1f C =，由（1）12132x π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即sin 232C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又2C π≠，∴3C π=；由正弦定理可得43 sinsin sin3a b cA B C====，所以43sina A=，43sinb B=，因此周长4343sin sin2a b c A B=++=++43432434331sin sin2sin cos sin2 3333322A A A A Aπ⎛⎫⎛⎫=+-+=+++⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23sin2cos24sin26A A Aπ⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，∴5666Aπππ<+<，∴1sin126Aπ⎛⎫<+≤⎪⎝⎭，所以46a b c<++≤，即ABC周长的范围为(]4,6.【点睛】本题主要考查求正弦型函数的单调区间，考查由三角函数的方法求三角形周长的范围，涉及正弦定理的应用，属于常考题型.18．如图，已知平面//ADC平面111A B C，B为线段AD的中点，111ABC A B C∆∆≌，四边形11ABB A为正方形，平面11AA C C⊥平面11ADB A，111A C A A，113C A Aπ∠=，M为棱11A C的中点.（1）若N为线段1DC上的点，且直线//MN平面11ADB A，试确定点N的位置；（2）求平面MAD与平面1CC D所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）N为1DC的中点；（2257.【解析】（1）根据线面平行的性质，得到线线平行，在同一个平面中，根据相似三角形，即可得到点N 的位置；（2）以A 为坐标原点，以,,AD AC AM 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，根据向量夹角的计算公式，即可求得结果. 【详解】（1）连接1A D ，∵直线//MN 平面11ADB A ，MN ⊆平面11AC D ， 平面11C DA ⋂平面111ADB A A D =，1//MN A D ∴ 又M 为11C A 的中点，MN ∴为11C A D ∆的中位线， ∴N 为1DC 的中点；（2）设111A B =，则11AA =，111AC =， 又∵B 为AD 的中点，2AD ∴=.111ABC A B C ∆∆≌，11AC AC ∴=又平面//ABC 平面111A B C ，平面111A B C 平面1111A ACC A C11//AC AC ∴∴四边形11AACC 为平行四边形. 又111A C A A ，∴四边形11A ACC 为菱形.又113C A A π∠=，111122A M AA ==，AM ∴=，11AM AC⊥， AM AC ∴⊥，1AD AA ⊥，平面11AA C C ⊥平面11ADB AAD ∴⊥平面11AAC C ，AD AM ∴⊥，AD AC ⊥ AM ∴，AD ，AC 两两互相垂直∴以A 为坐标原点，分别以AD ，AC ，AM 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A xyz - 如下图所示：依题意，得()0,0,0A ，()2,0,0D ，()0,1,0C ，1130,,22C ⎛ ⎝⎭()1132,1,0,2,2DC DC ⎛=-=- ⎝⎭设平面1CC D 的一个法向量n (),,x y z = 则有0n DC ⋅=且10n DC ⋅=得：20x y -+=且132022x y z -++=令23z =3x =，6y = 故n (3,6,23=又平面MAD 即为平面xAz平面xAz 的一个法向量m ()0,1,0=， ∴所求锐二面角的余弦值为：257,19n m cos cos m n n m θ⋅===. 即平面MAD 与平面1CC D 所成的锐二面角的余弦值为25719. 【点睛】本题考查由线面平行，确定点的位置，以及用向量法求解二面角的余弦值，属综合性基础题.本题中如何建立空间直角坐标系是难点.19．近年来我国在科技方面进步显著，高铁、支付宝、共享单车和网购被网友们称为我国新时代的四大发明，而手机在生活中已成为不可或缺的工具.目前，5G 手机在中国迅速推进，在2019年10月31日举办的2019年中国国际信息通信展览会上，工信部宣布：5G 商用正式启动.为了了解某高校毕业生对5G 手机的关注度，随机从该校大四学生毕业生中抽取了100名学生作为样本进行调查，调查结果显示样本中有40名女生，下图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示感兴趣的部分）感兴趣不感兴趣合计 男 女 合计（1）①根据等高条形图直观判断两个分类变量“性别”与“是否感兴趣”之间是否有关？ ②完成上面的22⨯列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对5G 手机是否感兴趣与性别有关”？③如果再从这100名学生中抽取部分学生进行进一步地深入交谈了解，你认为选用什么样的抽样方法比较合适？请说明你的理由.（2）若将频率视为概率，现再从该校大四学生中随机抽取5名学生记被抽取的5名学生中对5G 手机感兴趣的人数为随机变量X ，求X 的分布列、数学期望与方差. 附：()20P K k ≥ 0.150 0.100 0.050 0.010 0.0050k2.0722.7063.841 6.635 7.87922()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）①，有关；②列表见解析，有95%的把握；③分层抽样，理由见解析；（2）分布列见解析，()2E X =，()65D X =. 【解析】（1）①根据等高条形图，直接判定两分类变量有关；②根据题中数据，直接完善列联表，再根据公式求出2K ，结合临界值表进行比较，即可得出结果；③根据样本中变量间的差异性，即可确定适合的抽样方法； （2）先由题意确定任意抽取一人感兴趣的概率为25P =，由题意得到2~5,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，求出对应的概率，得出分布列，再由二项分布的期望与方差计算公式，即可得出结果. 【详解】（1）①由等高条形图可知，女生中对5G 感兴趣的比例明显低于男生中对5G 感兴趣的比例，所以“性别”与“是否感兴趣”之间有关系； ②由题中数据，完善列联表如下，所以()221003030103025 6.25 3.841604040604K ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯，因此有95%的把握认为“对5G 手机是否感兴趣与性别有关”；③因为男女生中感兴趣的人数所占比例不一样，存在明显差异，所以应采用分层抽样； （2）将频率视为概率，则任意抽取一人，感兴趣的概率为4021005P ==， X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，由题意，2~5,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()522430153125P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()415221621155625P X C ⎛⎫==⋅⋅-=⎪⎝⎭，()2325222162155625P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()3235221443155625P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()43522484155625P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()5232553125P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， 所以X 的分布列如下，期望()2525E X =⨯=，方差()22651555D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查独立性检验的基本思想，考查2K 的计算，考查二项分布的分布列，期望以及方差的计算，属于常考题型. 20．已知函数1()ln 1()f x a x a R x=+-∈，曲线()y f x =在x e =处的切线与直线2x e =相交于点(2,1)e ，其中 2.71828e =⋯自然对数的底数.（1）求实数a 的值并证明：当[1,)x ∈+∞时，2(1)0()2x f x x-≤≤；（2）已知数列{}n a 满足11a =，()()*12n n a f a n N +=+∈，设[][][]12n n S a a a =+++…，求n S （其中[]x 表示不超过x 的最大整数）.【答案】（1）1a =，证明见解析；（2）21n -. 【解析】（1）先对函数求导，得到21()a f x x x'=-，求出()y f x =在x e =处的切线方程，再由切线过点(2,1)e ，列出方程求解，得出1a =；求得1()ln 1f x x x=+-，对其求导，根据导数的方法求出()f x 在[1,)x ∈+∞上的最小值，可得()0f x ≥；再令2(1)()()2x g x f x x-=-，对其求导，导数的方法求出其最大值，即可证明结论成立；（2）先由（1）得到111ln n n na a a +=++，求出22a =，再由（1）得到1x >时，1ln 11ln 22x xx x x ⎧>-⎪⎪⎨⎪<-⎪⎩，由此确定2n ≥时，111232n n a +-<<-，求出2n ≥时，[]2n a =，进而可求出数列的和. 【详解】（1）因为1()ln 1f x a x x =+-，所以21()a f x x x'=-，则21()a f e e e '=-， 又1()1f e a e=+-， 所以曲线()y f x =在x e =处的切线方程为：()2111a y a x e e e e ⎛⎫⎛⎫-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又由题意，可得该切线过点(2,1)e ， 所以()211112a a e e e e e ⎛⎫⎛⎫-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即112a a e e--=-，解得1a =； 所以1()ln 1f x x x=+-，则22111()x f x x x x -'=-=，当1≥x 时，()0f x '≥显然恒成立，所以()f x 在[1,)+∞单调递增， 因此()(1)0f x f ≥=成立；令2(1)1()()ln 222x x g x f x x x x-=-=-+，则222111(1)()0222x g x x x x --'=--=≤显然恒成立，∴()g x 在[1,)+∞上单调递减，∴()(1)0g x g ≤=即2(1)()2x f x x -≤；综上，2(1)0()2x f x x-≤≤；（2）由（1）可得，()1121ln n n n na f a a a +=+=++，因为11a =，所以22a =，且()*12,n n N a n >≥∈，由（1）知当1x >时，()0()0f x g x >⎧⎨<⎩，即1ln 11ln 22x xx x x ⎧>-⎪⎪⎨⎪<-⎪⎩，所以当2n ≥时，11111ln 112n n n n n a a a a a +⎛⎫=++>++-= ⎪⎝⎭， 利用（1）中的不等式得11111131ln 1222n n n n n n n a a a a a a a +⎛⎫=++<++-<+ ⎪⎝⎭， 所以11132n n a +-<-， 因此当2n ≥时，[]2n a =，∴[][][]1212(1)21n n S a a a n n =+++=+-=-…. 【点睛】本题主要考查导数的方法证明不等式，考查由切线所过点的坐标求参数，考查数列的求和，属于跨章节综合题. 21．如图，设抛物线21:4(0)C y mx m =>的准线与x 轴交于1F ，焦点为2F 以1F ，2F 为焦点，离心率为12e =的椭圆2C 与抛物线1C 在x 轴的上方的交点为P .（1）求点P 的坐标及线段1PF 的长；（2）当1m =时，过焦点2F 的直线交抛物线1C 于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且点Q 在焦点2F 的右侧，记2AF G △，CQG 的面积分别为1S ，2S .求21S S 的最大值及此时点G 的坐标. 【答案】（1）226,33m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，73m；（2）最大值是423-，此时(2,0)G .【解析】（1）先由题意，求出椭圆22222:143x y C m m+=，联立椭圆与抛物线方程，根据题中条件，即可求出点P 的坐标，再由抛物线与椭圆的定义，即可求出线段1PF 的长；（2）1m =时，24y x =，由题意，设()2,2(0)A t t t ≠，得出直线AB 方程，代入抛物线方程，求出212,B t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再由重心G 在x 轴上，求出211,2C t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，422222,03t t G t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，求出直线AC 的方程，得出()21,0Q t -，再由2121212cAQG y S S F G y =‖化简整理，求出最值，即可得出结果. 【详解】（1）由题意，1(,0)F m -，2(,0)F m ，又12e =，所以12c mc a =⎧⎪⎨=⎪⎩，因此2a m =，所以22223b a c m =-=，故椭圆22222:143x y C m m+=，即2223412x y m +=联立22224(0)3412y mx m x y m⎧=>⎨+=⎩22316120x mx m ⇒+-=，∴(6)(32)0x m x m +-=. 由题意23x m =代入1C 方程，结合P在第一象限可得3y m =， 即点P的坐标2,33m m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 由抛物线定义知2PF 的长等于P 到准线x m =-的距离， ∴225()33m mPF m =--=， 又在椭圆中124PF PF m +=，∴157433m mPF m =-=. （2）当1m =时，24y x =，由题意，设()2,2(0)A t t t ≠，则22220211AB AF t tk k t t -===--，所以直线AB 的方程是211112ABt x y y k t -=+=+，将2112t x y t -=+代入24y x =得()222140t y y t---=，则4A B y y ⋅=-，()221A Bt y y t-+=，所以2B y t =-，因此221112B B t x y t t-=+=，则212,B t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再由重心,33A B C A B Cx x x y y y G ++++⎛⎫⎪⎝⎭在x 轴上可以得到：0A B C y y y ++=， 则()()22112C A B t y y y t tt -⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，又点C 在抛物线上，所以2214C C y x t t ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即211,2C t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以422222,03t t G t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，221222211AC t tt k t t t t t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭===⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以直线AC 的方程为()222y t t x t-=-，令0y =，则21x t=-，即()21,0Q t -因为点Q 在焦点2F 的右侧，所以22112t t ->⇒>，因此4224242424212422113112122252||213cA t t t QG y t t S t t t S t t t t F G y t t t --⋅--====---+⋅-∣‖ ∵4224422211t t t t t --=---，令22(0)t n n -=>， 则2422122231434t n t n n n n--=-=--++++所以24214114122314S t t S t n n==≤==----++当且仅当n =此时22t =+，从而(2,0)G即21S S的最大值是4-，(2,0)G . 【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的综合应用，熟记椭圆与抛物线的定义以及简单性质即可，计算量较大，属于常考题型.22．在直角坐标系.xOy 中，曲线C 1的参数方程为22cos .2sin x y φφ=+⎧⎨=⎩（φ 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ. （1）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）已知曲线C 3的极坐标方程为()0π,R θααρ=<<∈，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB，求α的值. 【答案】（1）()2224x y -+=，()2224x y +-=,；（2）34πα=【解析】（1）由曲线C 1的参数方程消去参数求出曲线的普通方程；曲线C 2的极坐标方程左右同乘ρ，即可求出直角坐标方程；（2）曲线C 1化为极坐标方程4cos ρθ=，设1122(,),(,)A B ραρα，从而12||||AB ρρ=-计算即得解. 【详解】（1）曲线C 1的参数方程为22cos .2sin x y φφ=+⎧⎨=⎩,消去参数得到普通方程：22(2)4x y -+=曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ，两边同乘ρ得到24sin ρρθ= 故C 2的直角坐标方程为：22(2)4x y +-=.（2）曲线C 122(2)4x y -+=化为极坐标方程4cos ρθ=,设1122(,),(,)A B ραρα因为曲线C 3的极坐标方程为：(0),R θααπρ=<<∈点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB12|||||4sin 4cos |sin()|4AB πρρααα∴=-=-=-=sin()1,04πααπ∴-=±<<3424πππαα∴-=∴=【点睛】本题考查了极坐标，参数方程综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.23．已知()23f x x x =-++. （1）解不等式()7f x ≥.（2）记()f x 的最小值为m ，若a b c m ++=，求z =的最小值.【答案】（1）(,4][3,)-∞-⋃+∞；（2. 【解析】（1）分别讨论3x ≤-，32x -<<，2x ≥三种情况，即可求出不等式的解集； （2）先由绝对值三角不等式求出m ，再由柯西不等式，根据题中条件，即可求出结果. 【详解】（1）①当3x ≤-时，原不等式化为237x x -+--≥，即28x ≤-，解得4x ≤-； ∴4x ≤-时，不等式成立；②当32x -<<时，原不等式化为237x x -+++≥，即57≥，无解； ∴32x -<<时，不等式不成立③当2x ≥时，原不等式化为237x x -++≥，即26x ≥，解得3x ≥； ∴3x ≥时，不等式成立综上，不等式的解集为(,4][3,)-∞-⋃+∞（2）∵()23(2)(3)5f x x x x x =-++≥--+=（当且仅当32x -≤≤时“=”成立） ∴5m =即5a b c ++=， 由柯西不等式可得：()()22222221(1)(2)(211)122100a a c b b c ⎡⎤++≥+++++++=⎣⎦+++，当且仅当122a b c +=+=+，即73a =，43b c ==时“=”成立，所以222(1)(2)(10032)a b c ++++≥+，因此z =≥即z 的最小值是3. 【点睛】本题主要考查解含绝对值不等式，考查由柯西不等式求最值，属于常考题型.。
【全国百强校】安徽省六安市第一中学2016届高三下学期组卷(一)文数试题解析(解析版)
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合(){}{}2lg 4,3,0xA x y xB y y x ==-==>时，AB = （ ）A ．{}2x x >- B ．{}12x x << C ．{}12x x ≤≤ D ．{}2x x <- 【答案】B 【解析】试题分析：2{|40}{|22}A x x x x =->=-<<，{|1}B y y =>，所以{|12}A B x x =<<．故选B ．考点：集合的运算．2. 设,a b R ∈，则“()20a b a -<” 是“a b <” 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．即不充分又不必要条件 【答案】A考点：充分必要条件．3. 在区间[]3,5-上随机取一个实数a , 则使函数()224f x x ax =++零点的概率是（ ）A ．13 B ．12 C ．14 D ．18【答案】B 【解析】试题分析：2Δ4440a =-⨯≥，2a ≤-或2a ≥，区间[3,5]-的长度为8，满足2a ≤-或2a ≥的是[3,2][2,5]--，总长度为4，因此所求概率为4182P ==．故选B ．考点：几何概型．4. 执行如图所示的程序框图，若输出15S =,则框图中①处可以填入（ ） A ．4n ≥？ B ．8n ≥？ C ．16n ≥？ D ．16n <？【答案】C考点：程序框图．5. 若0,0a b >>，且4a b +=，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．112ab > B ．111a b +≤ C2≥ D ．22118a b ≤+ 【答案】D 【解析】试题分析：由题意4a b =+≥4ab ≤，因此114ab ≥，1141a b a b ab ab++==≥，A ，B ，C 均错， 222()82a b a b ++≥=，所以22118a b ≤+，D 正确． 故选D ．考点：基本不等式．6. 若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为（ ）A ．1B ．32C ．34D ．74【答案】D考点：二元一次不等式组表示的平面区域．7. 已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωπϕπ=+>>-<<的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ） A ．()12sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．()132sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()12sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．()132sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】B 【解析】试题分析：由图知2A =，32(())422T πππ=--=，22142T ππωπ===，13sin()122πϕ⨯+=-，又πϕπ-<<，所以34πϕ=，所以13()2sin()24f x x π=+．故选B ． 考点：函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与解析式．8. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为（ ） A ．323π B ．4π C ．2π D ．43π【答案】D考点：三视图，球的体积． 9. 已知0x 是函数()121x f x x=+-的一个零点，若()()10201,,,x x x x ∈∈+∞，则（ ） A ．()()120,0f x f x << B ．()()120,0f x f x <> C ．()()120,0f x f x >< D ．()()120,0f x f x >> 【答案】B 【解析】试题分析：函数的定义域是{|1}x x ≠，21'()2ln 2(1)xf x x =+-，当1x >时，'()0f x >，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，因此由0()0f x =得12()0,()0f x f x <>．故选B ．考点：导数与函数的单调性．10. 等差数列{}n a 共有21n +项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n 的值是（ ） A ．3 B ．5 C ．7 D ．9 【答案】A 【解析】试题分析：4S 奇＝，S 3偶＝，又1(1)n S n a +=+奇，1S n na +=偶，所以143n n +=，3n =，故选A ． 考点：等差数列的性质．11. 已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则k 的值为（ ）A ．13 BCD ．23【答案】C考点：直线与抛物线相交问题．【名师点睛】直线与抛物线（圆锥曲线）相交问题，一般不直接求交点坐标，可以设交点为1122(,),(,)A x y B x y ，则直线方程与抛物线方程联立变形之后，应用韦达定理得出1212,x x x x +（或者12y y +，12y y ），再由已知得到12,x x 与参数的一个关系，这两个关系式结合在一起可求得参数值或范围．12. 设,x y R ∈，且满足()()()()3322sin 2222sin 26x x x y y y ⎧-++-=⎪⎨-++-=⎪⎩，则x y += （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D考点：函数的奇偶性．【名师点睛】构造函数解题是函数应用的一个重要方面，本题中变量,x y 的关系不明确，但通过构造奇函数3()2sin f x x x x =++，已知条件就变为(2)(2)f x f y -=--(2)f y =-，,x y 之间就存在了等量关系，当然要得出22x y -=-，还需函数的单调性才能保证，否则还是得不出结论．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 具有线性相关关系的变量,x y ，满足—组数据如下表所示：若y 与x 的回归直线方程为32y x =-，则m 的值是 ． 【答案】4 【解析】试题分析：由已知32x =，84m y +=，由回归方程的性质得8333422m +=⨯-，解得4m =． 考点：回归直线方程． 14. α 为锐角，若4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 212πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ．考点：两角和与差的正弦公式，二倍角公式．【名师点睛】在三角函数的化简求值等问题中，角的变换在其中占有很重要的位置，在利用三角函数的公式时，“单角”和“复角”是相对的，如2()()ααβαβ=++-，2()()βαβαβ=+--，象本题就有2(2)1234πππαα+=+-，只要求得23πα+的正弦、余弦值，就可求得2in(2s )1πα+的值，而23πα+是6πα+的2倍，由此易得结论，这样做还可大大简化计算，增加正确率．15. 已知F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的一个公共焦点，,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若0AF BF =，则2C 的离心率是 ．【解析】试题分析：c ==，设2F 是椭圆的另一个焦点，由对称性及0AF BF =知四边形2AFBF 是矩形，由A 在椭圆上，则24AF AF +=，2222(2)12AF AFc +==，则22222222()()AF AFAF AF AF AF -=+-+221248=⨯-=，2AF AF -=2C ，2'a =，'a ='c e a ===考点：椭圆与双曲线的性质．【名师点睛】椭圆与双曲线的离心率都是ce a=，但要注意在椭圆中有222a b c =+，而在双曲线中有222c a b =+，两者关系有区别，最简单和判断方法是椭圆中01e <<，而双曲线中1e >．为了求双曲线的离心率，我们要求得,a c 的值，本题中首先由0AF BF =得到2AF AF ⊥（其中2F 是另一个焦点），这样可通过勾股定理和双曲线的定义建立,a c 的关系，从而求得结论． 16. 在直角梯形ABCD 中，,,1,2AB AD DCAB AD DC AB ⊥===，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上变动，（如图所示），若AP ED AF λμ=+，其中,R λμ∈，则2λμ-的取值范围是 ．【答案】[-1,1]考点：向量的线性运算，不等式的性质．【名师点睛】平面向量的运算，如果从形的方面难以着手，可考虑从数的方面入手，即建立直角坐标系，用坐标表示向量，把向量的运算转化为坐标运算，实现形与数的转化．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 满足21n n S a +=，数列{}n b 中，()121212111,,2n n n b b n N b b b *++===+∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）数列{}n c 满足,n n na cb =求证：1233...4n c c c c ++++<.【答案】（1）13nn a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，1n b n =；（2）证明见解析．（2）13nn n nac nb ⎛⎫== ⎪⎝⎭，设123...,n n T c c c c =++++则 2231111111112...,12...3333333nn n n T nT n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由错位相减，化简得：323134434n n n T +=-⨯<. 考点：已知n S 与n a 的关系求通项，等差数列的判断，错位相减法求和．18. （本小题满分12分）某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：（1）求表中,n p 的值和频率分布直方图中a 的值，并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假参加社区服务次数的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[)10,15和[)25,30的人中共抽取6人，再从这6人中选2人，求2人服务次数在[)10,15的概率.【答案】（1）0.625n =，0.075p =，0.125a =，中位数是17；（2）23．206524⨯=和46124⨯=，记服务次数在[)10,15为12345,,,,a a a a a ，在[)25,30的为b . 从已抽取6人中任选两人的所有可能为：()()()()()()()()()()121314151232425234,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a a a b a a a a a a a b a a ,()()()()()35,34545,,,,,,,,,a a a b a a a b a b 共15种，设“2人”服务次数在[)10,15为事件A ，则事件A 包括()()()()()()()()()()12131415232425343545,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 共10种，所以()102153P A ==. 考点：频率分布统计表，概率分布直方图，古典概型．19. （本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，,AB CD AB AD ⊥，且112AB AD CD ===.现以AD 为一边向梯形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2.（1）求证：BC ⊥平面BDE ； （2）求点D 到平面BEC 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2考点：线面垂直的判断，点到平面的距离．20. （本小题满分12分）已知点P 是圆(22:16C x y ++=上任意一点，)A是圆C 内一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径CP 交于点Q ，O 为坐标原点. （1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹E 的方程；（2）设过点()0,2B -的动直线与E 交于,M N 两点，当OMN ∆的面积最大时，求此时直线的方程.【答案】（1）2214x y +=；（2）2y x =-.【解析】试题分析：（1）要求轨迹方程，由对称性可知动点Q 满足4CQ AQ AC +=>=，从而其轨迹是椭圆，由椭圆标准方程可得；（2）直线与椭圆相交问题，可设设直线为2y kx =-，交点为()()1122,,,M x y N x y ，由直线方程与椭圆方程联立可得1212,x x x x +，而ΔOMN 的面积可表示为1212S OB x x =-=，要求此式的最大值，可用换元法，t =，则可得244t S t ∴=+，由基本不等式及不等式性质可得最大值．试题解析：（1）由题意知PQ AQ =，又4CP CQ PQ =+=，4CQ AQ AC ∴+=>=椭圆定义知Q 点的轨迹是椭圆，2,a c ==，1b ∴=，∴点Q 的轨迹E 的方程2214x y +=. （2）由题意知所求的直线不可能垂直于x 轴，所以可设直线为：()()11222,,,,y kx M x y N x y =-，联立方程组，将2y kx =-代入2214x y +=得()221416120k x kx +-+=，当0∆>时，即234k >时，1212221612,1414k x x x x k k+==++,则OMN ∆的面积112S OB x =-，设0t =>，244144OMN t S t t t∆∴==<++，当且仅当4t t =即2t =时面积最大，最大值为1，2,k ==，满足0∆>，∴直线的方程为2y x =-. 考点：定义法求轨迹方程，直线与椭圆相交问题．【名师点睛】求曲线的轨迹方程是高考的常考题型，考查轨迹方程的求法，以及利用曲线的轨迹方程研究曲线的几何性质，着重考查分析问题解决问题的能力，数形结合思想，分类讨论思想等．归纳起来常见的命题角度有：(1)直接法求轨迹方程． (2)定义法求轨迹方程．(3)相关点法(代入法)求轨迹方程． (4)参数法求轨迹方程．21. （本小题满分12分）已知函数()32123f x x x ax b =-++的图象在点()()3,3P f 处的切线方程为35y x =-.（1）求实数,a b 的值； （2）设()()2mg x f x x =+-. ①若()g x 是[)3,+∞上的增函数，求m 的最大值；②是否存在Q ，使得过点Q 的直线若能与曲线()y g x =围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等. 若存在，求出点Q 坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）6,5a b ==-；（2）①3；②存在且点为52,3Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭．试题解析：（1）3x =时，()339f a b =+-，()()2'4,'39123,6f x x x a f a a =-+∴=-+=∴=，()()3,3f 在直线35y x =-上，()34f ∴=,即394,5,6,5a b b a b +-=∴=-∴==-()3212653f x x x x =-+-. （2）①()32126532mg x x x x x =-+-+-，()g x 是[)3,+∞上的增函数，()()()()2222'4622022mmg x x x x x x ∴=-+-=--+≥--，在[)3,+∞上恒成立，令()22x t -=，则1t ≥，设2,20m m y t t t t=-+∴-+≥在[)1,+∞上恒成立，()22211m t t t ≤+=+-恒成立，3m ∴≤，实数m 的最大值为3； ②由()32126532mg x x x x x =-+-+-， ()()()()32321125442464526342332m m g x x x x x x x x x ∴-=---+--+=-+------， ()()1043g x g x ∴+-=，52,3Q ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭. 表明：若点(),A x y 为()g x 图象上任意一点，则点104,3x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭也在图象上，而线段AB 的中点恒为52,3Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭；由此可知()g x 图象关于点52,3Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，这也表明存在点52,3Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得过Q 的直线若能与()g x 图象相交围成封闭图形，则这两个封闭图形面积相等.考点：导数的几何意义，导数与单调性，函数的图象的对称性．【名师点睛】（1）函数()y f x =的图象关于直线x a =对称⇔对定义域的任意x 有(2)()f a x f x -=； （2）函数()y f x =的图象关于点(,)m n 对称⇔对定义域的任意x 有(2)2()f m x n f x -+=．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，已知PE 切O 于点E ，割线PAB 交O 于点A 、B 两点，APE ∠的平分线和,AE BE 分别交于点,C D求证：（1）CE DE =； （2）CA PECE PB=.【答案】证明见解析．考点：弦切角定理，三角形外角定理，相似三角形的判断与性质． 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角 坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为：1(x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩是参数方程，0ϕπ≤≤). 以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）直线1l 的极坐标方程是2sin 03πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，直线()2:3l R πθρ=∈与曲线C 的交点为P ，与直线1l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.【答案】（1）22cos 20,0ρρθθπ--=≤≤；（2）5．考点：参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，过极点的直线上两点间的距离． 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知,m n 都是实数，0m ≠，()12f x x x =-+-. （1）若()2f x >，求实数x 的取值范围；（2）若()m n m n m f x ++-≥对满足条件所有,m n 都成立，求实数x 的取值范围. 【答案】（1）15,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】（2）由()m n m n m f x ++-≥且0m ≠得()m n m nf x m++-≥，又()2,2m n m nm n m nf x mm++-++-≥=∴≤，()2f x >的解集为15,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2f x ∴≤的解集为15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴所求实数x 的取值范围为15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 考点：解含绝对值的不等式，不等式恒成立与分离参数法．：。