2010年八年级数学竞赛(决赛)试题
八下数学《平行四边形》竞赛试卷-(8K含答案)
××学校八年级数学《平行四边形》竞赛试题总分120分，时间120分钟一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）1．在矩形ABCD中,已知两邻边AD=12,AB=5，P是AD边上异于A和D的任意一点，且PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足,那么PE+PF=_________．2．（2003•宁波）如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是_________．（填一个即可）3．如图，已知矩形ABCD，对角线AC、BD相交于O,AE⊥BD于E，若AB=6，AD=8，则AE=____．4．如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形,即△ABD、△BCE、△ACF．（1）四边形ADEF是_________；(2）当△ABC满足条件_________时,四边形ADEF为菱形;（3）当△ABC满足条件_________时,四边形ADEF不存在．1题2题3题4题5．已知一个三角形的一边长为2，这边上的中线为1，另两边之和为1+，则这两边之积为________．6．如图所示，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，图中有_________对四边形面积相等;它们是_________．7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，△AOB的周长为3+，∠ABC=60°,则菱形ABCD的面积为_________．8．如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于E，若∠EAO=15°,则∠BOE的度数为_________度．9．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠,点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为_________．6题7题8题9题二、选择题（共9小题，每小题5分，满分45分）10．如图，▱ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，则∠AED的大小是（）A．60°B．65°C．70°D．75°10题11题12题13题11．如图,正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、CD上，则∠B的度数是（）A．70°B．75°C．80°D．95°12．如图，正方形ABCD外有一点P，P在BC外侧,并在平行线AB与CD之间，若PA=，PB=,PC=，则PD=(）A．2B．C．3D．13．如图,平行四边形ABCD中,BC=2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点,若∠AEF=54°，则∠B=（)A．54°B．60°C．66°D．72°14．四边形ABCD的四边分别为a、b、c、d,其中a、c为对边,且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则这个四边形一定是（）A．两组角分别相等的四边形B．平行四边形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形15．周长为68的长方形ABCD被分成7个全等的长方形,如图所示,则长方形ABCD的面积为()A．98 B．196 C．280 D．284 15题16题16．（2003•吉林）如图,菱形花坛ABCD的边长为6m，∠A=120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花,则种花部分图形的周长为（）A．12m B．20m C．22m D．24m17．在凸四边形ABCD中，AB∥CD，且AB+BC=CD+DA，则（)A．A D＞BC B．A D＜BCC．A D=BC D．A D与BC的大小关系不能确定18．已知四边形ABCD,从下列条件中：（1）AB∥CD;(2）BC∥AD;(3）AB=CD；（4）BC=AD;（5）∠A=∠C；（6）∠B=∠D．任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有(）A．4种B．9种C．13种D．15种三、解答题（共11小题,满分0分）20．设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点,PE垂直AC于点E,PF垂直BC于点F，PG垂直EF于点G，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD=PC,试证:BC⊥BD，且BC=BD．21．如图,在等腰三角形ABC中,延长AB到点D,延长CA到点E，且AE=BD,连接DE．如果AD=BC=CE=DE,求∠BAC 的度数．22．如图，△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边△ADE．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2)点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF=30°．23．（2002•河南)如图所示，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC上任一点,DF⊥AB于F,DE⊥AC于E,M 为BC的中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论．24．（2008•咸宁）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1)求证：EO=FO;(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形？并证明你的结论．25．如图，在Rt△ABC中,∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2,D是AC的中点，以D作DE⊥AC与CB的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF,连接DF，求DF的长．26．（2002•陕西）阅读下面短文:如图①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形,使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上,那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图②)解答问题:（1）设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1_________S2（填“＞"“="或“＜"）．（2)如图③，△ABC是钝角三角形,按短文中的要求把它补成矩形,那么符合要求的矩形可以画_________个,利用图③把它画出来．（3)如图④，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB,按短文中的要求把它补成矩形,那么符合要求的矩形可以画出_________个，利用图④把它画出来．（4）在(3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？27．如图,在△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM=AC,N在AC上，且AN=MC，AM与BN相交于P，求证：∠BPM=45°．28．如图,在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．（1）求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；（2）如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形,并给予必要的说明．新课标八年级数学竞赛培训第15讲:平行四边形参考答案与试题解析一、填空题（共9小题，每小题4分,满分36分）1．在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上异于A和D的任意一点,且PE⊥BD,PF⊥AC，E、F分别是垂足,那么PE+PF=．考点：矩形的性质；等腰三角形的性质。
八年级趣味数学竞赛
八年级趣味数学竞赛试题班级：姓名：分数：1.一个人向邻居借一本书，邻居对他说：“你帮我劈10天柴，我就把书送给你，另外再给你20卢布。
”结果他只劈了7天柴。
邻居把书送给他后，又付了5个卢布。
这本书的价格是多少卢布？2.古算趣题——以碗知僧巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧。
三百六十四只碗，恰合用尽不差争。
三人共食一碗饭，四人共进一碗羹。
请问先生能算者，都来寺内几多僧。
这首歌决的大意是：山上有一古寺叫都来寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗。
请问都来寺里有多少个和尚？3.兄弟俩进行100米短跑比赛。
结果，哥哥以3米之差取胜，换句话说，哥哥到达终点时，弟弟才跑了97米。
兄弟俩决定再赛一次。
这一次哥哥从起点线后退3米开始起跑。
假设第二次比赛两人的速度保持不变，谁蠃了第二次比赛?4.如果你有数字游戏子10枚：1，2，3，4，5，+，-，x，÷，= 各一枚，你能搭成一个等于22的算式吗？（可以加括弧）你还可用1，5，5，5，通过若干加减乘除运算得24吗？5.我国著名数学家苏步青爷爷年轻时候做的一道思考题：甲和乙从东西两地同时出发，相对而行，两地相距100里。
甲每小时走6里，乙每小时走4里，几小时两人相遇？如果甲带了一只狗，和甲同时出发，狗以每小时10里的速度向乙奔去，遇到乙后即回头向甲奔去，遇到甲又回头向乙奔去，直到甲乙两人相遇时狗才停住。
问这只狗共奔了多少里路？6.丢番图的墓志铭古希腊数学家丢番图的墓志铭里包含一个有趣的一元一次方程问题：过路人！这儿埋葬着丢番图，他生命的六分之一是童年；再过了一生的十二分之一后，他开始长胡须；又过了一生的七分之一后他结了婚；婚后五年他有了儿子，但可惜儿子的寿命只有父亲的一半；儿子死后，老人再活了四年就结束了余生。
根据这个墓志铭，请计算出丢番图的寿命。
7.. 如图：有A 、 B 、 C 、 D 四个村庄，先要建一个变电站P ，要求变电站到四个村庄的距离和最短，变电站应建在哪里？8、聪明的园丁（智力题）公园中心有九棵小树（位置如图）。
八年级上期数学竞赛试题附答案
（总分120分，考试时间：100分钟）
学校班级姓名
一、填空题（每题3分，共24分）：
1、计算： －(－1)0＋｜－1｜=．
2、已知 .
3、一个等腰三角形的周长为16，底边上的高是4，则这个三角形的三边长分别
是______，_____，_______。
4、若x取整数，则使式子 的值为整数的x值有________个
A．4B．3C．2D．1
10、适合 的正整数 的值有（）
A．1个B.2个C.3个D.4个
11、正整数x，y满足（2x-5）（2y-5）=25，则x+y的值是（）
A、10；B、18；C、26；D、10或18；
12、如图，将圆桶中的水倒入一个直径为 ，高为 的圆口容器中，圆桶放置的角 度与水平线的夹角为 ．若使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为（ ）
A、4种B、3种C、2种D、1种
15、在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k为整数，若函数 与 的图象的交点是整点，则k的值有（）个
（A）2．（B）3。（C）4。（D）5。
16、若三角形的三条边的长分别为a、b、c，且 则这个三角形一定是（）
（A）等腰三角形（B）直角三角形
（C）等边三角形（D）等腰直角三角形
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
13、祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：
按照上面的规律，摆100条“金鱼”需用火柴棒的根数为（）
A．800 B．608 C．704D．602
14、一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（）
2010年全国高中数学联赛湖北省预赛试题及答案
2010年全国高中数学联赛湖北省预赛2010年全国高中数学联赛湖北省预赛由湖北省数学竞赛组织委员会主办并具体组织活动，委托华中师范大学数学竞赛与普及研究所命题。
试题以《高中数学竞赛大纲（2006年修订稿）》为依据，所涉及的知识范围不超出现行《全日制普通高级中学数学教学大纲》和《普通高中数学课程标准》中所规定的教学内容和要求，在数学思想方法的要求上有所提高，主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，以及综合、灵活运用知识的能力，适当考虑全国联赛对参赛学生的要求。
湖北省预赛按高一、高二年级分开命题，试题包括8道填空题和4道解答题，全卷满分120分，考试时间为120分钟。
湖北省预赛于2010年5月16日（星期日）上午8：00至10：00举行，约5万名学生参加，由各地市（州）安排考试并组织阅卷，从中选出约9000人参加全国高中数学联赛。
试 题一、填空题（每小题8分，共64分）1．数列}{n a 满足：3,121==a a ，且)(||*12N n a a a n n n ∈-=++．记}{n a 前n 项的和为n S ，则=100S ．2．在△ABC 中，已知B ∠的平分线交AC 于K ．若BC =2，CK =1，223=BK ，则△ABC 的面积为 ．3．设100<n ，则使得nb a )(+的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数n 为 ．4．在小于20的正整数中，每次不重复地取出3个数，使它们的和能被3整除，不同的取法种数为 ．5．若z y x ,,均为正实数，且1222=++z y x ，则xyzz S 2)1(2+=的最小值为 ．6．设椭圆1422=+y x 的左、右焦点分别为21,F F ，M 为椭圆上异于长轴端点的一点，122F MF θ∠=，△12MF F 的内心为I ，则=θcos ||MI ．7．对于一切]21,2[-∈x ，不等式0123≥++-x x ax 恒成立，则实数a 的取值范围为 ．8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为 ．二、解答题（本大题共3小题，共56分）9．（16分）已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象经过点)0,2(-，且不等式221)(22+≤≤x x f x 对一切实数x 都成立． （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若对一切]1,1[-∈x ，不等式)2()(xf t x f <+恒成立，求实数t 的取值范围． 10．（20分）设313116234++++=x x x x P ，求使P 为完全平方数的整数x 的值．11．（20分）已知直线x y =与椭圆C ：1111622=+y x 交于B A ,两点，过椭圆C 的右焦点F 、倾斜角为α的直线l 交弦AB 于点P ，交椭圆C 于点N M ,．（1）用α表示四边形MANB 的面积；（2）求四边形MANB 的面积取到最大值时直线l 的方程．解 答1．89 提示：由已知可得k k a a =+9．89)(11192110099100=++++=+=a a a a a S S ．2．16715 提示：由余弦定理可得b c b =-+22228 ① 又BC AB CK AK =，则 211cb =- ② 由①②，3,25==c b ．又由81cos =C 可得873sin =C ， 故△ABC 的面积16715sin 21==C ab S ． 3．98 提示：设nb a )(+的展开式中有连续三项的系数分别为)11(,,11-≤≤+-n k C C C k n k n k n ，由题意得 112+-+=k nk n k n C C C ．依组合数定义展开并整理得024)14(22=-++-k n k n ．故)(2981422,1N n k k n ∈+±+=（1）．22)12(98+=+m k ，222-+=m m k ，代入（1），得2)1(21-+=m n ，222-=m n ．由1002)1(2<-+m ，98=n ．4．327 提示：把这19个数按被3除所得的余数分类可以有三类：1A ：3，6，9，12，15，18； 2A ：1，4，8，11，14，17；3A ：2，5，7，10，13，14，19．这样，满足题设条件的取法有且只有四种情形：（1）在1A 中任取3个数，有2036=C 种取法； （2）在2A 中任取3个数，有2036=C 种取法； （3）在3A 中任取3个数，有3537=C 种取法；（4）在321,,A A A 中各取一个数，有252766=⨯⨯种取法．因此，取法总数为：32725235220=++⨯（种）． 5．223+ 提示：因 22212z y x xy -=+≤，所以 ]1)1)][(1(2[1)1(1)1()1(2)1(222-++-+=-+=-+≥+=z z z z z z z z z xyz z S ]12)1[(31+++-=z z 2232231+=-≥．当且仅当12,12-==-=y x z 时等号成立．所以 223min +=S ．6．32- 提示：先证明下面的结论：已知△ABC 的内心为I ，则AB ＋AC －BC ＝2AI A cos2⋅． 证明：设△ABC 的内切圆与边AB 、AC 分别切于D 、E 两点，则AD ＝AE ＝12（AB ＋AC －BC ），又AD ＝2AI A cos2⋅，所以AB ＋AC －BC ＝2AI Acos 2⋅． 对于本题的△12MF F ，有12122cos MF MF F F MI θ+-=⋅．又2214x y +=中2,1,a b c ====，所以1224MF MF a +==，122FF c ==，从而32)324(21)(21cos ||2121-=-=-+=⋅F F MF MF MI θ． 7．110-≤≤-a 提示：记1)(23++-=x x ax x f ，已知条件即0)(≥x f 对一切⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,2x 恒成立．（1）当0=x 时，对一切实数a ，01)(>=x f ．（2）当]21,0(∈x 时，01)(23≥++-=x x ax x f 可化为321x x x a --≥．设321)(xx x x g --=，则)3)(1(1)(4-+-='x x x x g ．当]21,0(∈x 时，0)(>'x g ，所以函数)(x g 在区间]21,0(上单调递增，从而10)21()]([max -==g x g ．因此10-≥a ．（3）当]0,2(-∈x 时，01)(23≥++-=x x ax x f 可化为321xx x a --≤． 设321)(xx x x g --=，则)3)(1(1)(4-+-='x x x x g ．当)0,1(-∈x 时0)(>'x g ；当1-=x 时0)(='x g ；当)1,2(--∈x 时．所以函数)(x g 在区间)1,2(--上单调递减，在区间)0,1(-上单调递增，从而1)1()]([min -=-=g x g ．因此1-≤a ．综合可知：110-≤≤-a ．8．26 提示：设所有放置中的最大数为A ，则200583≤⨯+A ，所以.26≤A 事实上26，6，26，26，6，26，26，6，26，26满足．9．（1）由已知，对2≥n 有11)1()1(11---=--=+n a n n a n a n a n n n n ， 两边同除以n 并整理，得)111()1(111nn a n na n n ---=--+， 于是，)111(111)1(1112121---=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑∑-=-=+n k k a k ka n k n k k k ， 即2),111(1)1(12≥---=--n n a a n n ，所以123)111(1)1(12--=---=-n n n a a n n ，2,231≥-=n n a n ．又1=n 时也成立，故*,231N n n a n ∈-=． （2）当2≥k ，有)131431(31)13)(43(1)23(122---=--<-=k k k k k a k ，所以2≥n 时，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++-+-+<+=∑∑==)131431()8151()5121(31112212n n a a nk k n k k.6761113121311=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=n又1=n 时，.67121<=a ．故对一切*N n ∈，有6712<∑=nk k a ．10．)10(3)13(22--++=x x x P ．所以，当10=x 时，2131=P 是完全平方数．下证没有其它整数x 满足要求．（1）当10>x 时，有22)13(++<x x P ，又03132)3(222>++=+-x x x x P ，所以22)3(x x P +>， 从而2222)13()3(++<<+x x P x x ． 又Z x ∈，所以此时P 不是完全平方数．（2）当10<x 时，有22)13(++>x x P ．令Z y y P ∈=,2， 则|13|||2++>x x y ，即|13|1||2++≥-x x y ， 所以 222)13(1||2++≥+-x x y y ， 即 01|13|2)10(32≥+++---x x x ．解此不等式，得x 的整数值为6,5,4,3,0,1,2----±±，但它们对应的P 均不是完全平方数． 综上所述，使P 为完全平方数的整数x 的值为10.11．（1）直线MN 的倾斜角为α，记θ=∠MFO ，则πθα=+，θα22222222cos 2cos 2||c a ab c a ab MN -=-=． 而AB 与MN 所成的角为θπ+4，则四边形MANB 面积θθθθπ2222cos cos sin ||2)4sin(||||21c a ab OA MN AB S MANB -+⋅⋅=+⋅=．而5,11,16222===c b a ，A 点坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛9334,9334，且9664||=OA ， 从而，αααθθθ22cos 516cos sin 933352cos 516cos sin 933352--⋅=-+⋅=MANB S ， 其中59334334arctan0+≤<α或πα<≤+59334334arctan．（2）记αααα2cos 516cos sin )(--=f ，而)(αf 只可能在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈πα,59334334arctan 时才可能取到最大值．对)(αf 求导数得到：222)cos 516()sin cos 10)(cos (sin )cos 516)(sin (cos )(ααααααααα----+='f ． 令0)(='αf ，则有0)tan 10)(1(tan )11tan 16)(tan 1(2=--++αααα． 化简得到 011tan 21tan 6tan 1623=+++ααα． 所以 0)11tan tan 8)(1tan 2(2=+-+ααα．而 011tan tan 82=+-αα无实根，则21tan -=α． 经检验21tan -=α，符合⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈πα,59334334arctan ． 故所求直线l 的方程为：2521+-=x y ．。
2023全国初中生数学竞赛(初二)决赛试题
2023全国初中生数学竞赛(初二)决赛试题第一试一、填空题（每题8分，共64分）1．函数()cos f x x =的图象与直线(0)y kx k =>恰有四个不同交点，设四个交点中横坐标的最大值为α，则tan αα⋅=________.2．已知正三棱锥P -ABC ，M 是侧棱PC 的中点，PB ⊥AM ．若N 是AM 的中点，则异面直线BN 与PA 所成角的余弦值为________.3．已知数列{}n a 满足则11a =，1(2)1n n na n a +=++，则n a =________.4．已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 、BD 相交于O ，90DAB ∠=︒．P 、Q 分别是腰AD 、BC 上的点，且BPA DPC ∠=∠，AQB DQC ∠=∠，若23AB CD =，则OP OQ=________.5．在1，2，3，…，10这10个正整数中任取4个，记ξ为这四个数中两数相邻的组数，则ξ的数学期望E ξ=________.6．14cos124cos36tan 78+︒+︒=︒________.7．已知1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y M a b a b+->>的焦点，P 是M 上一点，△12PF F 的周长是6，且41a c+的最小值是3，过(4,0)Q -的直线交M 于不同两点A 、B ，则||||QA QB ⋅的取值范围是________.8．已知复数a 、b 、c 满足22222211i a ab b b bc c c ca a ++=⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩，则ab bc ca ++=________.二、解答题（共56分）9．（16分）已知实数122018,,,x x x 满足201810i i x ==∑，2018212018i i x ==∑，求122018x x x 的最大值．10．（20分）已知直线y x =与曲线2:2()(0)M y p x a a =->相切．（1）若F 是曲线M 的焦点，P 是M 上任意一点，求||||PF PO 的最小值；（2）已知直线y kx =分别与曲线M 及曲线2:2()N y p x a =-+分别交于H 、I ．若Q 是圆22(4)1x y +-=上任意一点，且2a p =，求QH QI ⋅ 的最大值．其中H 、I 关于原点O 对称．11．已知x ，y ，0z >，且1xy yz zx ++=，求222115111x y z +++++的最大值。
八年级卓越杯数学竞赛试题
八年级卓越杯数学竞赛试题八年级卓越杯数学竞赛试题涵盖了代数、几何、数论和组合等数学领域的基础知识和应用问题。
以下是一些可能包含在竞赛中的题目类型和示例题目：1. 代数问题：- 一元一次方程：解方程 \( ax + b = 0 \)，其中 \( a \) 和\( b \) 是已知数。
- 二元一次方程组：解方程组 \( ax + by = c \) 和 \( dx + ey = f \)。
2. 几何问题：- 面积计算：计算给定边长的三角形、矩形、圆形等图形的面积。
- 相似图形：判断两个图形是否相似，并计算比例。
3. 数论问题：- 质数：找出给定范围内的所有质数。
- 最大公约数和最小公倍数：计算两个或多个数的最大公约数和最小公倍数。
4. 组合问题：- 排列组合：计算给定条件下的排列数和组合数。
- 组合问题：解决涉及组合选择的问题，例如从一组物品中选择特定数量的物品。
5. 逻辑推理问题：- 条件逻辑：根据给定条件推导出结论。
- 证明：证明数学命题的正确性或错误性。
6. 应用题：- 实际问题：将数学问题应用于现实生活中的场景，如购物、旅行等。
7. 创新问题：- 开放性问题：需要创造性思维来解决的问题，可能没有唯一解。
示例题目：1. 解方程：\( 3x - 7 = 2x + 5 \)。
2. 计算矩形的面积，如果矩形的长是 \( 12 \) 厘米，宽是 \( 8 \) 厘米。
3. 找出所有小于 \( 100 \) 的质数。
4. 计算 \( 12 \) 和 \( 18 \) 的最大公约数和最小公倍数。
5. 从 \( 5 \) 个不同的颜色中选择 \( 3 \) 种不同的颜色，有多少种不同的选择方式？6. 如果小明从家到学校的距离是 \( 3 \) 公里，他以 \( 5 \) 公里/小时的速度骑自行车，他需要多少时间到达学校？7. 证明：如果一个整数的个位数是 \( 5 \) 或 \( 0 \)，那么这个整数可以被 \( 5 \) 整除。
2010年罗马尼亚大师杯数学竞赛
第3届罗马尼亚大师杯数学竞赛试题及解答第一天2010年2月26日(9：30-14：00)，布加勒斯特每题7分，共21分1. 对一个由有限个素数组成的集合P ，用)(P m 表示具有下述性质的连续正整数的个数的最大值：这些连续正整数中的每个数都能被P 中的至少一个元素整除.(1) 证明：)(|P |P m ≤，等号当且仅当||min P P >时取到. (2) 证明：)12)(1|(|)(||-+<P P P m .这里|P|表示集合P 的元素个数.解答：设1<p 1<p 2<…<p k 是P 中的元素，则k=|P|≥1.(1) 由中国剩余定理可知：存在正整数a,使得a ≡-i(mod p i ),即p i |a+i,因此，存在k 个连续正整数a+1,…,a+k,它们具有题中性质,从而m(P)≥k.注意到，当minP>k 时,对P 中的每个元素而言，任意连续k+1个正整数中至多有一个是其倍数，但由抽屉原则可知，任意具有题中性质的连续k+1个正整数中应有两个数同时是P 中某个数的倍数。
因此，此时m(P)=k. 另一方面，当minP ≤k 时，再次运用中国剩余定理，对1,2,…,k 的任意一个排列r 1,…,r k ,都存在正整数a,使得a ≡-r i (mod p i ),特别地，设r 1≡k+1-p 1,则数a+1,…,a+k;a+k+1符合要求，这时m(P)>k. 综上可知，(1)成立。
(2) 只要证在连续()()121-+k k 个正整数中，必有一个数与k p p p ,,,21 互质。
设A 是P 的一个子集，A T 是这连续()()121-+k k 个正整数中满足其为A 中每个数的倍数的数的集合。
设()()121-+=k k m ，由容斥原理，这些数中与k p p p ,,,21 互质的数的个数为()A APA T ⋅∑⊆1-。
我们只要证明()01->⋅∑⊆A APA T 。
全国初中数学竞赛试题及答案
全国初中数学竞赛试题及答案This manuscript was revised on November 28, 2020中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.）1（甲）．如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式22||()||a a b c a b c -++-++可以化简为（ ）．（A ）2c a - （B ）22a b - （C ）a - （D ）a 1（乙）．如果22a =-+11123a+++的值为（ ）．（A ）2- （B 2（C ）2 （D ）22（甲）．如果正比例函数y = ax （a ≠ 0）与反比例函数y =x b（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）．（A ）（2，3） （B ）（3，－2） （C ）（－2，3） （D ）（3，2）2（乙）． 在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标（x ，y ）的个数为（ ）．（A ）10 （B ）9 （C ）7 （D ）53（甲）．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A ）1 （B ）214a - （C ）12（D ）143（乙）．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（ ）． （A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）OAB CED4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44（乙）．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）．（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 85（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）． （A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p5（乙）．黑板上写有111123100， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）．（A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99 二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分） 6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 . 6（乙）.如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么a b cb c c a a b+++++的值为 ．7（甲）．如图，正方形ABCD 的边长为215，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 . 7（乙）.如图所示，点A 在半径为20的圆O 上，以OA为一条对角线作矩形OBAC ，设直线BC 交圆O 于D 、E 两点，xyO ECABD若12OC =，则线段CE 、BD 的长度差是 。
八年级数学竞赛例题专题-梯形
八年级数学竞赛例题专题-梯形专题21 梯形阅读与思考梯形是一类具有一组对边平行而另一组对边不平行的特殊四边形，梯形的主要内容是等腰梯形、直角梯形等相关概念及性质.解决梯形问题的基本思路是：通过适当添加辅助线，把梯形转化为三角形或平行四边形，常见的辅助线的方法有：（1）过一个顶点作一腰的平行线（平移腰）；（2）过一个顶点作一条对角线的平行线（平移对角线）；（3）过较短底的一个顶点作另一底的垂线；（4）延长两腰，使它们的延长线交于一点，将梯形还原为三角形．如图所示：例题与求解【例1】如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠D＝2∠B，AD和CD的长度分别为，，那么AB的长是___________. （荆州市竞赛试题）解题思路：平移一腰，构造平行四边形、特殊三角形．【例2】如图1，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD．由四个这样的等腰梯形可以拼出图2所示的平行四边形．（1）求四边形ABCD四个内角的度数；（2）试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；（3）现有图1中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出大致的示意图．（山东省中考试题）解题思路：对于（1）、（2），在观察的基础上易得出结论，探寻上、下底和腰及上、下底之间的关系，从作出梯形的常见辅助线入手；对于（3），在（2）的基础上，展开想象的翅膀，就可设计出若干种图形．【例3】如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，且AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形的面积是49cm2，求梯形的高.（内蒙古自治区东四盟中考试题）解题思路：由于题目条件中涉及对角线位置关系，不妨从平移对角线入手．【例4】如图，在等腰梯形ABCD中，AB//DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P在线段AD上，问：满足条件∠BPC＝900的点P有多少个？（全国初中数学联赛试题）解题思路：根据AB＋DC＝AD这一关系，可以在AD上取点构造等腰三角形．【例5】如图，在等腰梯形ABCD中，CD//AB，对角线AC，BD相交于O，∠ACD＝600，点S，P，Q分别为OD，OA，BC的中点．（1）求证：△PQS是等边三角形；（2）若AB＝5，CD＝3，求△PQS的面积；（3）若△PQS的面积与△AOD的面积的比是7：8，求梯形上、下两底的比CD：AB．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：多个中点给人以广泛的联想：等腰三角形性质、直角三角形斜边中线、三角形中位线等.【例6】如图，分别以△ABC的边AC和BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到边AB的距离是AB的一半．（山东省竞赛试题）解题思路：本题考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定与性质．关键是要构造能运用条件EP＝PF的图形．能力训练A 级等腰梯形中，上底：腰：下底＝1：2：3，则下底角的度数是__________.（天津市中考试题）2. 如图，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝3，BC＝5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转900至DE，连接AE，则△ADE的面积为______________. （宁波市中考试题）3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，∠A＝，∠1＝∠2，且梯形的周长为30cm，则这个等腰梯形的腰长为______________.4.如图，梯形ABCD中，AD//BC，EF是中位线，G是BC边上任一点，如果，那么梯形ABCD的面积为__________. （成都市中考试题）5.等腰梯形的两条对角线互相垂直，则梯形的高和中位线的长之间的关系是 ( )A．＞ B．＝ C．＜ D．无法确定梯形ABCD中，AB//DC，AB＝5，BC＝，∠BCD＝，∠CDA＝，则DC的长度是( )A . B．8 C. D（美国高中考试题）．如图，在等腰梯形ABCD中，AC＝BC＋AD，则∠DBC的度数是 ( )A.300B.450C.600D.900（陕西省中考试8．如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝DC＝5，点P在BC上移动，则当PA＋PD取最小值时，△APD中边AP上的高为( )A． B． C． D．（鄂州市中考试题）9．如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝CD，点P为BC边上一点，PE⊥AB，PF⊥CD，BG⊥CD，垂足分别为E，F，G．求证：PE＋PF＝BG．（哈尔滨市中考试题）10. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E，F分别为AB，AC 中点，BD与EF相交于G．求证：．11.如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O．求证：（1）四边形EBCF是等腰梯形；（2）．（深圳市中考试题）12.如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN//AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP＝．①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由．②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．（江西省中考试题) B 级如图，在梯形ABCD中，AB//DC，AD＝BC，AB＝10，CD＝4，延长BD到E，使DE＝DB，作EF⊥AB交BA的延长线于点F，则AF＝__________.（山东省竞赛试题）2.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝10cm，AC与BD相交于G，且∠AGD＝，设E为CG中点，F是AB中点，则EF长为_________.（“希望杯”邀请赛试题）3.用四条线段：作为四条边，构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线的长的最大值为_________.（湖北赛区选拔赛试题）4.如图，梯形ABCD的两条对角线AC，BD相交于O点，且AO：CO＝3：2，则两条对角线将梯形分成的四个小三角形面积之比为 _________. （安徽省中考试题）第4题图第5题图第6题图5.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，若△DEC的面积为S，则四边形ABCD的面积为 ( )A． B．2S C． D．（重庆市竞赛试题）6.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝，∠C＝，E，M，F，N分别为AB，BC，CD，DA的中点，已知BC＝7，MN＝3，则EF的值为 ( ) A．4 B． C．5 D．（全国初中数学联赛试题）7.如图，梯形ABCD中，AB//DC，E是AD的中点，有以下四个命题：①若AB＋DC＝BC，则∠BEC＝；②若∠BEC＝，则AB＋DC＝BC；③若BE是∠ABC的平分线，则∠BEC＝；④若AB＋DC＝BC，则CE是∠DCB的平分线.其中真命题的个数是 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（重庆市竞赛试题）8.如图，四边形ABCD是一梯形，AB//CD，∠ABC＝，AB ＝9cm，BC＝8cm，CD＝7cm，M是AD的中点，从M作AD的垂线交BC于N，则BN的长等于 ( )A．1cm B．1.5cm C．2cm D．2（“希望杯”邀请赛试题）9.如图，在梯形ABCD中，AB//DC，M是腰BC的中点，MN⊥AD.求证：（山东省竞赛试题）10.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，分别以两腰AB，CD为边向两边作正方形ABGE和正方形DCHF，设线段AD的垂直平分线交线段EF于点M.求证：点M为EF的中点.（全国初中数学联赛试题）11.已知一个直角梯形的上底是3，下底是7，且两条对角线的长都是整数，求此直角梯形的面积.（“东方航空杯”上海市竞赛试题）12.如图1，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形OABD的边BD的三等分点（）交AB于E，AB＝12，四边形OEBF的面积为（1）求值.（2）已知，点P从A出发以0.5cm/s速度沿AB、BD向D运动，点Q从C同时出发，以1.5cm/s的速度沿CO，OA，AB向B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.从运动开始，经过多少时间，四边形PQCB为等腰梯形（如图2）.（3）在（2）条件下，在梯形PQCB内是否有一点M，使过M且与PB，CQ分别交于S，T的直线把PQCB的面积分成相等的两部分，若存在，请写出点M的坐标及CM的长度；若不存在，请说明理由.。
希望杯数学八年级竞赛真题及答案(1-23届)
1、第一届希望杯初二第1试试题2、第一届希望杯初二第2试试题3、第二届希望杯初二第1试试题4、第二届希望杯初二第2试试题5、第三届希望杯初二第1试试题6、第三届希望杯初二第2试试题7、第四届希望杯初二第1试试题8、第四届希望杯初二第2试试题9、第五届希望杯初二第1试试题10、第五届希望杯初二第2试试题11、第六届希望杯初二第1试试题12、第六届希望杯初二第2试试题13、第七届希望杯初二第1试试题14、第七届希望杯初二第2试试题15、第八届希望杯初二第1试试题16、第八届希望杯初二第2试试题17、第九届希望杯初二第1试试题18、第九届希望杯初二第2试试题19、第十届希望杯初二第1试试题20、第十届希望杯初二第2试试题21、第十一届希望杯初二第1试试题22、第十一届希望杯初二第2试试题23、第十二届希望杯初二第1试试题24、第十二届希望杯初二第2试试题25、第十三届希望杯初二第1试试题26、第十三届希望杯初二第2试试题27、第十四届希望杯初二第1试试题28、第十四届希望杯初二第2试试题28、第十五届希望杯初二第1试试题30、第十五届希望杯初二第2试试题31、第十六届希望杯初二第1试试题32、第十六届希望杯初二第2试试题33、第十七届希望杯初二第1试试题34、第十七届希望杯初二第2试试题35、第十八届希望杯初二第1试试题36、第十八届希望杯初二第2试试题37、第十九届希望杯初二第1试试题38、第十九届希望杯初二第2试试题39、第二十届希望杯初二第1试试题40、第二十届希望杯初二第2试试题41、第二十一届希望杯初二第1试试题42、第二十一届希望杯初二第2试试题43、第二十二届希望杯初二第1试试题44、第二十二届希望杯初二第2试试题45、第二十三届希望杯初二第1试试题46、第二十三届希望杯初二第2试试题希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( )A ．45°.B ．75°.C ．55°.D ．65°2．2的平方的平方根是 ( )A ．2.B ．2. C ．±2. D ．43．当x=1时，a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 的值是( ) A ．0B ．a 0.C ．a 1D ．a 0-a 14. ΔABC,若AB=π27则下列式子成立的是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B;B ．∠C ＞∠B ＞∠A;C ．∠B ＞∠A ＞∠C;D ．∠C ＞∠A ＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( ) A ．4个B ．5个.C ．6个.D ．76．725-的立方根是[ ] （A ）12-. （B ）21-.（C ）)12(-±. （D ）12+.7．把二次根式a a 1-⋅化为最简二次根式是[ ](A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图1在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 的中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( ) A ．2组B ．3组.C ．4组D ．5组。
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2010年八年级数学竞赛（决赛）试题
（竞赛时间：2010年3月21日上午9:30-11:30）
题号 一 二 三 四 五 总分
得分
评卷人
一、 选择题（每小题5分，共30分）
1．计算(1252011)(2462010)的结果是（ ）
A． 1004 B． 1006 C． 1008 D．1010
2．如图1是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为图上三点，则在正方体盒子中，
∠ABC的度数为（ ）
A． 120° B．90° C． 60° D．45°
3．九年级的数学老师平均每月上6节辅导课，如果由女教师完成，则每人每月应上15
节；如果只由男教师完成，则每人应上辅导课（ ）节
A．9 B． 10 C． 12 D．14
4．如果有四个不同的正整数m、n、p、q满足（7－m）（7－n）（7－p）（7－q）=4，那么
m+n+p+q等于（ ）
A．21 B． 24 C． 26 D．28
5．如图2，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，AD的延长线交
BF于E，且E为垂足，则结论①AD=BF，②CF=CD，③AC+CD=AB，④BE=CF，
⑤BF=2BE，其中正确的结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．如果实数
8181mnmmnmnnmn
，且，则
（ ）
A． 7 B． 8 C． 9 D．10
二、填空题（每小题5分，共30分）
7．若(2011 4149aQa，）是第三象限内的点，且a为整
数，则
a
= .
8．若实数2222 231 3-2xyxySxy，满足，，则S的取值范围是 .
9．在△ABC中，三个内角的度数均为整数，且∠A<∠B<∠C，5∠C=9∠A，则∠B的度数是 .
10．已知22302010 672010 xyxy，，则 .
F
( 图2 ）
E
D
C
B
A
11．如图3所示的长方形中，甲、乙、丙、丁四块面积相等，甲的长是宽的2倍，
设乙的长和宽分别是 :abab和，则 .
12．已知平面直角坐标系内A、B两点的坐标分别是
(2 3B4 1P, 0Axx，），（，），（）是
轴上的一个动点，则当x
时，△PAB的周长最短．
以下三、四、五题要求写出解题过程。
三、（本题满分20分）
13．某公司用1400元向厂家订了22张办公椅，办公椅有甲、乙、丙三种，它们的单价
分别是80元，50元，30元，问有哪些不同的订购方案．
四、（本题满分20分）
14．如图4，在△ABC中，AD交边BC于点D，
∠BAD=15°，∠ADC=4∠BAD，DC=2BD．
⑴求∠B的度数；
⑵求证：∠CAD=∠B.
五、（本题满分20分）
15．已知4 5 6.abacbcabacbc，， 求17137abc的值．
答案：
2010年八年级数学竞赛（决赛）试题答案
一、选择题：1．B 2．B 3．B 4．D 5．A 6．A
二、填空题：7． 2010 8． 506S 9． 54 10． 2 11． 9:2 12． 3.5
13、解：设80元x张，50元y张，则30元（22－x－y）张.
由题意得 805030(22)=14000 0 22xyxyxyxy，，
解得 5=37222yxxy 537021014.8537222xxxx
因为 52xyx、和都为整数，所以 10 12 14x的值可取、、
方案列表如下：（有三种方案可选择）
方案/（张） 80元 50元 30元
( 图4 ）
D
C
B
A
1 10 12 0
2 12 7 3
3 14 2 6
14、解：⑴∵∠BAD=15°，∠ADC=4∠BAD，
∴∠ADC=60°，
∴∠B=60°－15°=45°，
⑵ 过C作CEAD于E，连接EB.
∵∠ECD=90°－60°=30°
∴DC=2ED，
∵DC=2BD，
∴ED=BD
∴∠DBE=∠DEB=∠ECD=30°，
∴∠EBA=45°－30°=15°=∠BAD
∴AE=EC=EB
∴∠CAD=∠B=45°
15、解：1111444ababababab由 ①
同理得：111 5ac②， 1116bc ③
将①②③式相加得： 11137120abc ④
④－①得 171201207cc
④－②得 11312012013bb
④－③得 11712012017aa
∴17137120120120120abc
( 图4 ）
E
D
C
B
A