函数奇偶性的归纳总结

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整理函数奇偶性经典总结

文件编号：E2-D2-52-64-04函数奇偶性经典总结整理人尼克函数的奇偶性(一)22120608卢立娇教学目标1.理解函数的奇偶性的概念及其图像性质，会用定义域判断函数的奇偶性。

2.提高观察、归纳、类比推理的能力，体会数形结合的思想。

3.养成乐于求索，善于观察的良好习惯和严谨的科学态度。

教学重难点1.重点：理解函数奇偶性概念的形成和奇偶性的判断。

2.难点：理解函数奇偶性的概念，掌握判别函数奇偶性的方法。

教学过程1.知识回顾平面直角坐标系中任意一点P(a,b)关于x轴、y轴及原点对称的点的坐标各是什么？1.点P(a,b)关于x轴的对称点的坐标为P (a,-b)o其坐标特征为：横坐标不变，纵坐标变为相反数。

2.点P (a,b)关于y轴的对称点的坐标为P (-a,b),其坐标特征为：纵坐标不变，横坐标变为相反数。

3.点P (a,b)关于原点对称点坐标为P (-a,-b),其坐标特征为：横坐标变为相反数，纵坐标也变为相反数。

1.新课讲解提问：函数图像有什么特点？当自变量x取相反数时，函数值有什么特点？2. 引出概念偶函数：若对于f(x)定义域中任意一个X,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数。

奇函数：若对于f(x)定义域中任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫做奇函数。

思考：对于任意一个x,都有一个-x 与之对应，因此奇函数的定义域有什么特征呢？1.例题练讲 1. 判断下列函数是否具有奇偶性① f(x)=x 3+4xf(x)=x 2 + 2\x\②③ f(x)=l®f(x)=O2. 下列函数有奇偶性吗？/(%) = y/1-x +心=整f ⑴=(XT)席®f x ・3, x>00,x=02x+3 ,x<0 1. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，当x<0时，f(x)=x.x4,求当x<0时，函数的解析式. 1.总结 1.根据函数的奇偶性，函数可以分为奇函数，偶函数，非奇非偶函数，既奇又偶函数。

函数的奇偶性的经典总结

xx x f 1)(+=1)(2+=x xx f xx f 1)(=函数的奇偶性一、函数奇偶性的基本概念1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。

2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-，0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。

注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。

（2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及)()(x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。

题型一判断下列函数的奇偶性。

⑴x x x f +=2)(，（2）x x x f -=3)( （3）()()()R x x f x f x G ∈--=,(4)(5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8)提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断（1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。

（2）常见的奇函数有：x x f =)(，3)(x x f =，x x f sin )(=，（3）常见的奇函数有：2)(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。

当()x g ≠0时，)()(x g x f 为偶函数。

（5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ⋅是偶函数，当()x g ≠0时，)()(x g x f 是偶函数。

高中数学函数的奇偶性(解析版)

1．函数的奇偶性(1)奇偶性的定高中数学函数的奇偶性(解析版)义奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数关于原点对称(2)函数奇偶性常用结论结论1：如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有意义，那么f (0)＝0．结论2：如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．结论3：若函数y ＝f (x ＋b )是定义在R 上的奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称．结论4：若函数y ＝f (x ＋a )是定义在R 上的偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．结论5：已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0．特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0．推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ．推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c ．结论6：在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇±偶＝非奇非偶；奇)(÷⨯奇＝偶，偶)(÷⨯偶＝偶，奇)(÷⨯偶＝奇．结论7：若函数f (x )的定义域关于原点对称，则函数f (x )能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记g (x )＝12[f (x )＋f (－x )]，h (x )＝12[f (x )－f (－x )]，则f (x )＝g (x )＋h (x )．结论8：奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．结论9：偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．结论10：复合函数y ＝f [g (x )]的奇偶性：内偶则偶，两奇为奇．结论11：指数型函数的奇偶性(1)函数f (x )＝a x ＋a －x (a >0且a ≠1)是偶函数；(2)函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)是奇函数；(3)函数f (x )＝a x ＋1a x －1(a >0且a ≠1)是奇函数；(4)函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x ＋1a 2x－1(a >0且a ≠1)是奇函数；结论12：对数型函数的奇偶性(1)函数f (x )＝log a m －x m ＋x (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a m ＋xm －x (a >0且a ≠1)是奇函数；(2)函数f (x )＝log a x －m x ＋m (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a x ＋mx －m (a >0且a ≠1)是奇函数；(3)函数f (x )＝log a mx －b mx ＋b (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a mx ＋bmx －b(a >0且a ≠1)是奇函数；(4)函数f(x)＝log a(1＋m2x2±mx)(a>0且a≠1)是奇函数．2．函数的对称性(奇偶性的推广)(1)函数的轴对称定理1：如果函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0（y轴）对称，就是偶函数的定义，它是上述定理1的简化．(2)函数的点对称定理2：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化．(3)两个等价关系若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价：f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a－x)＝f(x)⇔f(2a＋x)＝f(－x)若函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称，则以下三式成立且等价：f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(2a－x)＝－f(x)⇔f(2a＋x)＝－f(－x)考点一判断函数的奇偶性【方法总结】判断函数的奇偶性：首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断．分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．用函数奇偶性常用结论6或特值法可秒杀．【例题选讲】[例1](1)下列函数为偶函数的是()A．y＝B．y＝x2＋e|x|C．y＝x cos x D．y＝ln|x|－sin x答案B解析对于选项A，易知y＝tan B，设f(x)＝x2＋e|x|，则f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项C，设f(x)＝x cos x，则f(－x)＝－x cos(－x)＝－x cos x＝－f(x)，所以y＝x cos x为奇函数；对于选项D，设f(x)＝ln|x|－sin x，则f(2)＝ln2－sin 2，f(－2)＝ln2－sin(－2)＝ln2＋sin2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sin x为非奇非偶函数，故选B．(2)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y＝x＋sin2x B．y＝x2－cos x C．y＝2x＋12xD．y＝x2＋sin x 答案D解析对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋12－x＝2x＋12x＝f(x)，为偶函数；对于D，y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数．(3)设函数f(x)＝e x－e－x2，则下列结论错误的是()A．|f(x)|是偶函数B．－f(x)是奇函数C．f(x)|f(x)|是奇函数D．f(|x|)f(x)是偶函数答案D解析∵f(x)＝e x－e－x2，则f(－x)＝e－x－e x2＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．(4)已知f(x)＝4－x2，g(x)＝|x－2|，则下列结论正确的是()A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数B．h(x)＝f(x)·g(x)是奇函数C．h(x)＝g(x)·f(x)2－x是偶函数D．h(x)＝f(x)2－g(x)是奇函数答案D解析h(x)＝f(x)＋g(x)＝4－x2＋|x－2|＝4－x2＋2－x，x∈[－2,2]．h(－x)＝4－x2＋2＋x≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．B．h(x)＝f(x)·g(x)＝4－x2|x－2|＝4－x2(2－x)，x∈[－2,2]．h(－x)＝4－x2(2＋x)≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．C．h(x)＝g(x)·f(x)2－x＝4－x2，x∈[－2，2)，定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数．D．h(x)＝f(x)2－g(x)＝4－x2x，x∈[－2，0)∪(0，2]，是奇函数．(5)已知函数f(x)满足f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，则以下四个选项一定正确的是()A．f(x－1)＋1是偶函数B．f(x－1)－1是奇函数C．f(x＋1)＋1是偶函数D．f(x＋1)－1是奇函数答案－12解析法一：因为f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，所以f(x)＋f(2－x)＝2，所以函数y＝f(x)的图象关于点(1，1)中心对称，而函数y＝f(x＋1)－1的图象可看作是由y＝f(x)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，所以函数y＝f(x＋1)－1的图象关于点(0，0)中心对称，所以函数y＝f(x＋1)－1是奇函数，故选D．法二：由f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，得f(x＋1)－1＋f(－x＋1)－1＝0，令F(x)＝f(x＋1)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，所以F(x)为奇函数，即f(x＋1)－1为奇函数，故选D．【对点训练】1．下列函数为奇函数的是()A．f(x)＝x3＋1B．f(x)＝ln1－x1＋xC．f(x)＝e x D．f(x)＝x sin x1．答案B解析对于A，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于B，f(－x)＝ln1＋x1－x＝－ln 1－x 1＋x＝－f(x)，所以其是奇函数；对于C，f(－x)＝e－x≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于D，f(－x)＝－x sin(－x)＝x sin x＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B．2．函数f(x)＝9x＋13x的图象()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝x对称2．答案B解析因为f(x)＝9x＋13x＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．3．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是()A．y＝2|x|B．y＝lg(x＋x2＋1)C．y＝2x＋2－x D．y＝lg1x＋13．答案D解析对于D项，1x＋1>0，即x>－1，其定义域关于原点不对称，是非奇非偶函数．4．已知f(x)＝x2x－1，g(x)＝x2，则下列结论正确的是()A．f(x)＋g(x)是偶函数B．f(x)＋g(x)是奇函数C．f(x)g(x)是奇函数D．f(x)g(x)是偶函数4．答案A解析令h(x)＝f(x)＋g(x)，因为f(x)＝x2x－1，g(x)＝x2，所以h(x)＝x2x－1＋x2＝x·2x＋x2(2x－1)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为h(－x)＝－x·2－x－x2(2－x－1)＝x(1＋2x)2(2x－1)＝h(x)，所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数，令F(x)＝f(x)g(x)＝x22(2x－1)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．所以F(－x)＝(－x)22(2－x－1)＝x2·2x2(1－2x)，因为F(－x)≠F(x)且F(－x)≠－F(x)，所以F(x)＝g(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数．5．设f(x)＝e x＋e－x，g(x)＝e x－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是() A．|g(x)|是偶函数B．f(x)g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是偶函数D．f(x)＋g(x)是奇函数5．答案D解析f(－x)＝e－x＋e x＝f(x)，f(x)为偶函数．g(－x)＝e－x－e x＝－g(x)，g(x)为奇函数．|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，B正确；f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确；f(x)＋g(x)＝2e x，f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠－(f(x)＋g(x))，且f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠f(x)＋g(x)，所以f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，D错误，故选D．6．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是() A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数6．答案C解析对于A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．对于B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错．对于C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．对于D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．考点二已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值【方法总结】已知函数的奇偶性求函数解析式中参数的值：常常利用待定系数法，由f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或对方程求解．对于选填题可用特值法进行秒杀．【例题选讲】[例2](1)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________．答案1解析f(x)为偶函数，则y＝ln(x＋a＋x2)为奇函数，所以ln(x＋a＋x2)＋ln(－x＋a＋x2)＝0，则ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1．(2)已知函数f(x)＝2×4x－a2x的图象关于原点对称，g(x)＝ln(ex＋1)－bx是偶函数，则log a b＝()A．1B．－1C．－12D．14答案B解析由题意得f(0)＝0，∴a＝2.∵g(1)＝g(－1)，∴ln(e＋1)－b＝ln(1e＋1)＋b，∴b＝12，∴log212＝－1．故选B．(3)若函数f(x)－1，0<x≤2，1，－2≤x≤0，g(x)＝f(x)＋ax，x∈[－2，2]为偶函数，则实数a＝答案－12解析因为f (x )－1，0<x ≤2，1，－2≤x ≤0，所以g (x )＝f (x )＋ax －1，－2≤x ≤0，1＋a )x －1，0<x ≤2，因为g (x )－1，－2≤x ≤0，＋a )x －1，0<x ≤2为偶函数，所以g (－1)＝g (1)，即－a －1＝1＋a －1＝a ，所以2a ＝－1，所以a ＝－12．(4)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R )是奇函数，则函数f (x )的值域为()A ．(－1，1)B ．(－2，2)C ．(－3，3)D ．(－4，4)答案A解析法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x ＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1．因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1，1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1．因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1，1)．(5)已知f (x )是奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝－e ax ，若f (ln 2)＝8，则a ＝________．答案－3解析当x ＞0，－x ＜0，f (－x )＝－e－ax．因为f (x )是奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝e－ax，所以f (ln 2)＝e－a ln2＝(e ln 2)－a ＝2－a ＝8．解得a ＝－3．【对点训练】7．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.7．答案－32解析函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln(1＋e 3x )－ln e 3x －ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，即－3x －ax ＝ax ，所以2ax ＋3x ＝0恒成立，所以a ＝－328．若函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，则a 的值为________．8．答案12解析解法1：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即(－x )3(12－x －1＋a )＝x 3(12x －1＋a )，所以2a ＝－(12－x －1＋12x －1)，所以2a ＝1，解得a ＝12.解法2：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以(－1)3×(12－1－1＋a )＝13×(121－1＋a )，解得a ＝12，经检验，当a ＝12时，函数f (x )为偶函数．9．函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 3为奇函数，则a ＝________．9．答案－1解析由题意得f (－1)＋f (1)＝0，即2(a ＋1)＝0，解得a ＝－1，经检验，a ＝－1时，函数f (x )为奇函数．10．已知奇函数f (x )x ＋a ，x ＞0，－2－x，x ＜0，则实数a ＝________．10．答案－4解析因为函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，f (－1)＝－f (1)，所以4－21＝－(21＋a )，解得a ＝－4．11．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝()A ．17B ．－1C ．1D ．711．答案A解析因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又因为f (x )为偶函数，所以b ＝0，即a ＋b ＝17．故选A ．12．若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则函数g (x )＝bx ＋ax ，x ∈[－4，－1]的值域为________．12．答案－2，－12解析由函数f (x )的图象关于原点对称，可得a －4＋a ＝0，即a ＝2，则函数f (x )＝2x ＋b ，其定义域为[－2，2]，所以f (0)＝0，所以b ＝0，所以g (x )＝2x ，易知g (x )在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g (－1)，g (－4)]，即－2，－12．考点三已知函数的奇偶性，求函数的值【方法总结】已知函数的奇偶性求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．【例题选讲】[例3](1)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝____．答案12解析∵x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，且f (x )在R 上为奇函数，∴f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12．(2)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (1)＝________．答案52解析由题意知f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1．所以当x ≤0时，f (x )＝2x ＋2x －1，所以f (1)＝－f (－1)＝－[2－1＋2×(－1)－1]＝52(3)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )3(x ＋1)，x ≥0，(x )，x <0，，则g (－8)＝()A ．－2B ．－3C ．2D ．3答案A解析法一当x <0时，－x >0，且f (x )为奇函数，则f (－x )＝log 3(1－x )，所以f (x )＝－log 3(1－x )．因此g (x )＝－log 3(1－x )，x <0，故g (－8)＝－log 39＝－2．法二由题意知，g (－8)＝f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2．【对点训练】13．若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝()A ．2B ．4C ．－2D ．－413．答案C解析根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2．14．已知函数f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝ln x ，则21(())f f e 的值为________．14．答案ln 2解析由已知可得21(f e ＝ln 1e 2＝－2，所以21((f f e＝f (－2)．又因为f (x )是偶函数，所以21(())f f e ＝f (－2)＝f (2)＝ln 2．15．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)＝()A ．－6B ．6C ．4D ．－415．答案D解析因为f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m ，所以f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，则f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4．16．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )3x ＋1，x ≥0，x ，x ＜0，则g (f (－8))＝()A ．－1B ．－2C ．1D ．216．答案A解析因为f (x )为奇函数，所以f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2，所以g (f (－8))＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1．考点四已知函数的奇偶性，求函数的解析式【方法总结】已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．对于奇函数可在x 以及解析式前同时加负号，对于偶函数可在x 前加负号进行秒杀．【例题选讲】[例4](1)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝()A ．e －x －1B ．e －x ＋1C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1答案D 解析通解：依题意得，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(e －x －1)＝－e －x ＋1，选D ．优解：依题意得，f (－1)＝－f (1)＝－(e 1－1)＝1－e ，结合选项知，选D ．(2)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则f (x )＝________．答案－x －1－x ，x ≤0x －1＋x ，x ＞0解析当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝e x －1＋x ，又f (－x )＝f (x )，因此f (x )＝e x －1＋x ．所以f (x )－x －1－x ，x ≤0x －1＋x ，x ＞0．(3)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝()A ．e x －e －xB ．12(e x ＋e －x )C ．12(e －x －e x )D ．12(e x －e －x )答案D解析因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ，所以g (x )＝12(e x －e －x )．【对点训练】17．已知f (x )是奇函数，且x ∈(0，＋∞)时的解析式是f (x )＝－x 2＋2x ，若x ∈(－∞，0)，则f (x )＝________．17．答案x 2＋2x解析由题意知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝－(－x )2＋2×(－x )＝－x 2－2x ＝－f (x )，所以f (x )＝x 2＋2x ．18．函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝()A ．－2xB ．2－xC ．－2－xD ．2x18．答案C解析当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x ．∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x ．19．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________．19．答案2－4x ，x ＞0x 2－4x ，x ≤0解析∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0．又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x ．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，∴f (x )2－4x ，x ＞0，x 2－4x ，x ≤0.20．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．20．答案14解析法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x ．又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14．法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x －14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14．考点五与奇函数相关的函数的求值【方法总结】对于可表示成奇函数加常数的函数，如果已知一个数的函数值，求它的相反数的函数值或求两个相反数的函数值的问题，可用奇函数的结论5的推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ，如果是涉及到函数的最大值与最小值的问题则可用推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c 进行秒杀．【例题选讲】[例5](1)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋1(lg )2f 等于()A ．－1B ．0C ．1D ．2答案D解析设g (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＝f (x )－1，g (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＝ln11＋9x 2－3x＝－g (x )．∴g (x )是奇函数，∴f (lg 2)－1＋1(lg 2f －1＝g (lg 2)＋1(lg )2g ＝0，因此f (lg 2)＋1(lg 2f ＝2．(2)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________．若g (10)＝2019，则g (－10)的值为()A ．－2219B ．－2019C ．－1919D ．－1819答案D解析由题意，因为f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＝f (0)，即f (0)＝0，令y ＝－x ，则有f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0，即f (－x )＝－f (x )，即f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋sin x ＋x 2，g (10)＝2019，则g (10)＝f (10)＋sin 10＋100＝2019，则g (－10)＝f (－10)－sin 10＋100＝－f (10)－sin 10＋100，两式相加得200＝2019＋g (－10)，得g (－10)＝200－2019＝－1819，故选D(4)已知函数f (x )＝a sin x ＋b ln 1－x1＋x＋t ，若1()2f ＋1()2f ＝6，则实数t ＝()A ．－2B ．－1C ．1D ．3答案D 解析令g (x )＝a sin x ＋b ln1－x1＋x ，则易知g (x )为奇函数，所以1(2g ＋1()2g -＝0，则由f (x )＝g (x )＋t ，得1()2f ＋1()2f -＝1()2g ＋1(2g -＋2t ＝2t ＝6，解得t ＝3．故选D ．(5)已知函数f (x )＝2|x |＋1＋x 3＋22|x |＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于()A ．0B ．2C ．4D ．8答案C解析易知f (x )的定义域为R ，f (x )＝2·(2|x |＋1)＋x 32|x |＋1＝2＋x 32|x |＋1，设g (x )＝x 32|x |＋1，则g (－x )＝－g (x )(x ∈R )，∴g (x )为奇函数，∴g (x )max ＋g (x )min ＝0．∵M ＝f (x )max ＝2＋g (x )max ，m ＝f (x )min ＝2＋g (x )min ，∴M ＋m ＝2＋g (x )max ＋2＋g (x )min ＝4，故选C ．【对点训练】21．已知函数f (x )＝x ＋1x－1，f (a )＝2，则f (－a )＝________．21．答案－4解析法一：因为f (x )＋1＝x ＋1x ，设g (x )＝f (x )＋1＝x ＋1x ，易判断g (x )＝x ＋1x故g (x )＋g (－x )＝x ＋1x －x －1x＝0，即f (x )＋1＋f (－x )＋1＝0，故f (x )＋f (－x )＝－2．所以f (a )＋f (－a )＝－2，故f (－a )＝－4．法二：由已知得f (a )＝a ＋1a －1＝2，即a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a －11＝－3－1＝－4．22．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为()A ．3B ．0C ．－1D ．－222．答案B解析设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0．故选B ．23．对于函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ＋1(a ，b ，c ∈R )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)，f (－1)，所得出的正确结果可能是()A ．2和1B ．2和0C ．2和－1D ．2和－223．答案B解析设g (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ，显然g (x )为定义域上的奇函数，所以g (1)＋g (－1)＝0，所以f (1)＋f (－1)＝g (1)＋g (－1)＋2＝2，只有B 选项中两个值的和为2．24．已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg2))＝()A ．－5B ．－1C ．3D ．424．答案C解析设g (x )＝ax 3＋b sin x ，则f (x )＝g (x )＋4，且函数g (x )为奇函数．又lg(lg2)＋lg(log 210)＝lg(lg2·log 210)＝lg1＝0，所以f (lg(lg2))＋f (lg(log 210))＝2×4＝8，所以f (lg(lg2))＝3．故选C ．25．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝()A ．－3B ．－1C ．1D ．325．答案C解析用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1．故选C ．26．设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．26．答案2解析显然函数f (x )的定义域为R ，f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2．27．设函数f(x)＝(e x＋e－x)sin x＋t，x∈[－a，a]的最大值和最小值分别为M，N．若M＋N＝8，则t＝() A．0B．2C．4D．827．答案4解析设g(x)＝(e x＋e－x)sin x，x∈[－a，a]，因为g(x)是奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0，所以M＋N＝g(x)max＋g(x)min＋2t＝2t＝8，所以t＝4．28．若定义在[－2020，2020]上的函数f(x)满足：对任意x1∈[－2020，2020]，x2∈[－2020，2020]都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－2019，且x＞0时有f(x)＞2019，f(x)的最大值、最小值分别为M，N，则M＋N ＝()A．2019B．2020C．4040D．403828．答案D解析令x1＝x2＝0得f(0)＝2f(0)－2019，所以f(0)＝2019，令x1＝－x2得f(0)＝f(－x2)＋f(x2)－2019＝2019，所以f(－x2)＋f(x2)＝4038，令g(x)＝f(x)－2019，则g(x)max＝M－2019，g(x)min＝N －2019，因为g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋f(x)－4038＝0，所以g(x)是奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0，即M－2019＋N－2019＝0，所以M＋N＝4038．29．已知函数f(x)＝(x2－2x)·sin(x－1)＋x＋1在[－1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝() A．4B．2C．1D．029．答案A解析f(x)＝[(x－1)2－1]sin(x－1)＋x－1＋2，令t＝x－1，g(t)＝(t2－1)sin t＋t，则y＝f(x)＝g(t)＋2，t∈[－2，2]．显然M＝g(t)max＋2，m＝g(t)min＋2．又g(t)为奇函数，则g(t)max＋g(t)min＝0，所以M＋m＝4，故选A．30．若关于x的函数f(x)＋cos xt≠0)的最大值为a，最小值为b，且a＋b＝2，则t＝____．30．答案1解析f(x)＋cos x t＋t sin x＋x2x2＋cos x，设g(x)＝t sin x＋x2x2＋cos x，则g(x)为奇函数，g(x)max＝a－t，g(x)min＝b－t．∵g(x)max＋g(x)min＝0，∴a＋b－2t＝0，即2－2t＝0，解得t＝1．。

函数的奇偶性的经典总结归纳

函数的奇偶性的经典总结归纳1.奇函数：若函数f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。

奇函数具有以下性质：-奇函数关于坐标原点对称；-在自变量为0的点上，奇函数的函数值为0；-若函数在定义域内两点x1和x2关于坐标原点对称，则这两点的函数值也对称。

常见的奇函数有：正弦函数sin(x)、正切函数tan(x)、多项式函数f(x) = x^3等。

2.偶函数：若函数f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数。

偶函数具有以下性质：-偶函数关于y轴对称；-在自变量为0的点上，偶函数的函数值为常数；-若函数在定义域内两点x1和x2关于y轴对称，则这两点的函数值也对称。

常见的偶函数有：余弦函数cos(x)、正切函数sec(x)、多项式函数f(x) = x^2等。

3.奇偶性的判断：-对于多项式函数：奇次幂项的系数为0，则函数是偶函数，偶次幂项的系数为0，则函数是奇函数；-对于周期函数：若函数的周期为T，则对于任意x，f(x+T)=f(x)。

若f(x)是奇函数，则T必须为2nπ（n为整数）；若f(x)是偶函数，则T必须为nπ（n为整数）；-对于一般函数：可通过函数定义或函数的性质来判断奇偶性。

4.常见函数的奇偶性：-指数函数、对数函数：既不是奇函数也不是偶函数；-幂函数：偶次幂为偶函数，奇次幂为奇函数；-三角函数：正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数，正切函数为奇函数；-反三角函数：正弦函数和正切函数为奇函数，余弦函数为偶函数；-双曲函数：正弦双曲函数为奇函数，余弦双曲函数为偶函数，正切双曲函数为奇函数。

通过了解函数的奇偶性，可以方便地推导出函数的性质，进行函数的分析和计算。

在求函数的积分、奇偶拆分和简化复杂表达式等问题中，奇偶性的运用会使得计算更加简便和直观。

注意：当定义域存在上下对称时，函数的奇偶性不再成立，此时不能简单地根据函数表达式判断奇偶性。

在这种情况下，应根据函数的性质和定义进行判断。

总结起来，函数的奇偶性是函数在定义域内点的函数值关于坐标轴对称的性质。

(完整版)函数奇偶性知识点,推荐文档

函数的奇偶性知识点总结一、函数奇偶性的概念：①设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，则这个函数叫奇函数。

（如果已知函数是奇函数，当函数的定义域中有0时，我们可以得出()00f =）②设函数()y g x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈，若()()g x g x -=，则这个函数叫偶函数。

从定义我们可以看出，讨论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断，看其定义域是否关于原点对称。

也就是说当x 在其定义域内时，x -也应在其定义域内有意义。

③图像特征如果一个函数是奇函数⇔这个函数的图象关于坐标原点对称。

如果一个函数是偶函数⇔这个函数的图象关于y 轴对称。

④复合函数的奇偶性：同偶异奇。

⑤对概念的理解：(1)必要条件：定义域关于原点成中心对称。

(2))(x f 与)(x f -的关系：当)()(x f x f =-或0)()(=--x f x f 或1)()(=-x f x f 时为偶函数；当)()(x f x f -=-或0)()(=+-x f x f 或1)()(-=-x f x f 时为奇函数。

二、函数的奇偶性与图象间的关系：①偶函数的图象关于y 轴成轴对称，反之也成立；②奇函数的图象关于原点成中心对称，反之也成立。

三、关于函数奇偶性的几个结论：①若)f= f是奇函数且在0(x=x处有意义，则(0)0②偶函数±偶函数=偶函数；奇函数±奇函数=奇函数；偶函数⨯偶函数=偶函数；奇函数⨯奇函数=偶函数；偶函数⨯奇函数=奇函数③奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.。

高中数学必修第一册函数的奇偶性知识题型总结

函数的奇偶性知识提要》》》 1. 奇、偶函数的概念【注意】（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.一个函数只有定义域关于原点对称，这个函数才有可能是奇函数（或偶函数），如果定义域不关于原点对称，一定不具有奇偶性。

反之，如果一个函数具有奇偶性，那么它的定义域一定关于原点对称.。

（2）是为奇函数的既不充分也不必要条件，但如果奇函数在处有定义，必有（3）偶函数不一定与y 轴相交（4）函数既是奇函数也是偶函数; 常函数为偶函数.奇偶性定义图像特征定义域特点表达式的常见变形偶函数设函数定义域为D,如果,都有且，那么函数是偶函数图像关于轴对称定义域关于原点对称；奇函数设函数定义域为D,如果,都有且，那么函数是奇函数图像关于原点对称定义域关于原点对称；0)0(=f )(x f )(x f 0=x 0)0(=f 0)(=x f )0()(≠=c c x f )(x f D x ∈∀D x ∈-)()(x f x f =-)(x f y |)(|)()(x f x f x f =-=)(x f D x ∈∀D x ∈-)()(x f x f -=-)(x f 0)()(=-+x f x f2. 奇、偶函数的性质（1）若奇函数在处有定义，即有意义，则；（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称，反之也成立．（3）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.（4）在公共定义域内：①奇＋奇＝奇；②偶＋偶＝偶；③奇×奇＝偶；④偶×偶＝偶；⑤奇×偶＝奇．方法提炼》》》》1.函数奇偶性的判断方法方法解读适合题型定义法确定定义域，判断是否关于原点对称。

若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断与的关系函数解析式较简单，抽象函数等图像法奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或轴)对称．函数图像容易确定、分段函数等性质法在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数.组合函数、复合函数温馨提示（1）判断函数的奇偶性应树立“定义域优先的原则”；（2）对于较复杂的函数解析式，可先对其进行化简，在进行判断.)(xf0=x)0(f0)0(=fy)(xf)(xf-y2.函数奇偶性的应用技巧技巧解读求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据得到待求参数的恒等式，由系数的对等性得到系数的值或者方程（组），进而得出参数的值.求函数解析式抓住奇偶性，讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而求得的解析式.巧妙构造造奇偶函数求函数值若题设条件给出的函数不具备奇偶性，但通过变形转化为一个新的函数，进而能够确定奇偶性，便可利用此性质求解复杂式子的值，充分体现转化思想和构造技巧的应用.温馨提示（1）利用奇函数的性质求解函数的解析式需注意当时的情况，不能丢掉.（2）利用奇函数的性质求值可利用在定义域R上为奇函数，得到，或者是等特殊值，从而求得参数值.常考题型：题型一、函数奇偶性概念理解题型二、函数奇偶性的判定题型三、函数奇偶性求函数值题型四、函数奇偶性求参数题型五、函数奇偶性与单调性结合——比较大小题型六、函数奇偶性与单调性结合——解不等式题型七、利用函数奇偶性求对称区间上的函数解析式题型八、利用奇偶性构造方程组求解析式题型九、与函数奇偶性、单调性相关的综合解答题)()(=-±xfxf)(xf)(xf=x)(xf)0(=f0)1()1(=+-ff题型一、函数奇偶性概念理解下列命题：①偶函数的图像一定与轴相交；②奇函数的图像一定通过原点； ③既是奇函数又是偶函数的函数只能是； ④偶函数的图像关于轴对称．⑤奇函数的图像关于原点对称其中正确的是_______________ 题型二、函数奇偶性的判定【例1】判断下列函数的奇偶性(1) (2)(3) (4)(5)；(6)(7) (8)；(9)【练习1】(1) ; (2)(3)； (4) (5)(6)y ()()0R f x x =∈y 4)(x x f =5)(x x f =xx x f 1)(+=21)(x x f =122)(2++=x x x x f 232)(x x x f -=2211)(x x x f -+-=()2f x x =-⎩⎨⎧>+-<+=00)(22x x x x x x x f ，，2432)(xx x f +=y =()1xf x x =-()1,0,1,0.x x f x x x +>⎧=⎨-<⎩2532)(x x x f +=4212)(xx x f +=【例2】(1)（多选）下列函数是奇函数的是 ( )A ．，（）B ．C ．D ． (2)下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增是 ( ) A ．B ．C ．D ．(3)（多选）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是 ( ) A ． B ． C ． D ．【练习2】(1)（多选）下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是 ( )A ． B. C ． D ． (2)（多选）下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（）A ．． C ． D ．【例3】设是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是（）A.是奇函数B.C.是偶函数D.是偶函数【练习3】(1)(2014课标Ⅰ,理3)设函数的定义域都为R,且是奇函数,是偶函数,则下列结论中正确的是 ( )A )是偶函数 B.是奇函数 C.是奇函数 D.是奇函数(2)已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为R ，则 ( ) A ．是奇函数 B ．是奇函数 C ．是奇函数D ．是偶函数题型y x =[0,1]x ∈23y x =3y x=||y x x =y =3y x x =-1y x=-y =(0,)+∞y x =||1y x =+2y x =21y x =-(0,)+∞22y x =+2y x =-1y x x=+1||-=x y ()0,x ∈+∞()f x =()f x x =()2f x x x =+()2(1)f x x =+)(x f )()(x f x f -|)(|)(x f x f -)()(x f x f --)()(x f x f -+)()(x g x f ，)(x f )(x g )()(x g x f )(|)(|x g x f |)(|)(x g x f |)()(|x g x f ()f x ()g x ()()f x g x +()()f x g x ()()f x g x ()f g x ⎡⎤⎣⎦题型三、函数奇偶性求函数值【例1】已知是上的奇函数，且时，，则. 【例2】若是定义在上的奇函数，当时，，则.【例3】已知，且，则【例4】已知函数是上的偶函数，若，则_________ 【例5】已知为奇函数，则___________ 【练习】1.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则_____2.已知为定义在R 上的奇函数，当时，，则____________3.已知，（是常数），且，则的值为.4.已知是定义在上的奇函数，若，则___________ 题型四、函数奇偶性求参数【例题剖析】1.已知奇函数的定义域为，则实数__________.2.已知函数是偶函数，则__________.3.已知是定义在上的偶函数，那么的值是______4.设是定义在上的奇函数，则_______5.已知函数是偶函数，则______.6.若函数奇函数，则＝_________7.已知函数是奇函数，且，则_________ )(x f R 0>x 142)(2++-=x x x f _____)1(=-f ()f x R 0x >()258f x x x=+-()()05f f +-=2)(35++-=bx ax x x f 17)5(=-f ______)5(=f ()2y xf x =+R ()32f -=()3f =(1)1y f x =++()()02f f +=()f x R 0x >()231=-+f x x x ()3f -=)(x f 0<x 12)(2+-=x x x f =+)0()2(f f 5)(35+++=cx bx ax x f c b a ，，9)5(=f )5-(f ___3)2(-+=x f y R 4)1(=f =)3(f ()y f x =()2,1a a -a =()()21f x x a =++a =bx ax x f +=2)(]21[a a ，-b a +()()322f x x a x x =---+2,3b b b ⎡⎤---⎣⎦()f b =()()322x xx a f x -=⋅-=a ))(12()(a x x xx f -+=a 1)(2++=x b ax x f ()225f =12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.已知函数的图象关于原点中心对称，则23)1()(x a x x f ++=______=a【练习】 1.已知定义在上的函数是奇函数，则实数的值为______． 2.若为偶函数，则实数3.已知函数是偶函数，定义域为，则. 5.已知定义在上的函数满足，且当时，，，则________6.若为奇函数，则__________7.若函数是定义在上的偶函数，则_________题型五、函数奇偶性与单调性结合——比较大小【例题剖析】1.已知偶函数在上单调递减，则下列结论正确的是( )A ．B ．C ．D ．2.已知是奇函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是( )A ．B ．C ．D ．【练习】1.设函数的定义域为R ，对于任意实数x 总有，当时，单调递增，则，，的大小关系是( )22,a a -⎡⎤⎣⎦()y f x =a )4)(()(-+=x a x x f ______=a b a bx ax x f +++=3)(2]21[a a ，-____)0(=f R ()f x ()()0f x f x -+=0x ≤()22xaf x bx =-+()10f =()3f =()()()211f x x a x a =+++-=a ()21f x x ax =++(,22)b b --2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x (],0∞-()()()152f f f ->>()()()215f f f >->()()()125f f f ->>()()()521f f f >>-()f x [0,)+∞()0.5f -()1f -()0f ()()()0.501f f f -<<-()()()10.50f f f -<-<()()()00.51f f f <-<-()()()100.5f f f -<<-()f x ()()f x f x -=[)0,x ∈+∞()f x ()2f -()πf ()3f -A ． B ． C ．D ．()()()π32f f f >->-()()()2π3f f f ->->()()()3π2f f f -<-<()()()2π3f f f -<-<2.若偶函数在上单调递增，则，，的大小关系是( )A ．B ．C ．D ．3.若奇函数在上是减函数，则下列关系式中成立的是( )A ．B ．C ．D ．题型六、函数奇偶性与单调性结合——解不等式【例1】(1)设函数y =f (x )为上的偶函数，且对任意的均，则满足的实数的范围是____________(2)已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是__________(3)已知定义在上的奇函数在区间上是减函数，若，则实数的取值范围为__________．(4)定义在上的奇函数，当时，单调递增，则不等式的解集是__________(5)已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则使得成立的的取值范围是__________]2,2[-)(x f ]2,0[)()1(m f m f <-m ()f x (0,)+∞(a f =π2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭23c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭b ac <<b c a <<a c b <<c a b <<()y f x =(),0-∞523634f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭352463f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭532643f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭532643f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭R (]()1212,,0x x x x ∞∈-≠()()()21210f x f x x x ⎡⎤--<⎣⎦()()121f x f x +<-x [4,4]-()f x [0,4](1)(2)f x f +>-x R ()f x [0,)x ∈+∞()f x ()()2110f x f ++≥()f x R 0x ≥()221f x x x =-+()()21f f x ->+x (6)已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为__________()f x R 0x ≥()()2f x x x =+()()3370f m f m ++->m【练习1】(1)已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为__________(2)定义在上的奇函数是减函数，若，实数的取值范围为__________.(3)奇函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围__________(4)已知函数，且，则实数的取值范围是_________(5)已知函数是定义在上的偶函数；且在上单调递增，若对于任意的，不等式恒成立，则的取值范围________________【例2】(1)已知是奇函数，且在内是减函数，又，则的解集______(2)定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x 的取值范围是________【练习2】(1)已知函数是偶函数，若在上单调递增，，则的解集为______(2)定义在上的奇函数满足对任意的，有，且，则不等式的解集为____________(3)定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为____________()f x R [)0,+∞()()121f x f x ->+)1,1(-)(x f 0)31()1(<-+-a f a f a()f x [)0,+∞()23f =()313f x -≤-≤()()4f x x x =+()()2230f a f a +-<a ()y f x =R (],0-∞x ∈R ()()21f ax f x >+a ()f x (0,)+∞(1)0f =()0x f x ⋅<R ()f x (),0-∞()30f =()()10x f x +≥()f x ()0,∞+()10f =()0f x x<R ()f x ()()1212,0,x x x x ∈+∞≠()()12120f x f x x x ->-()20f =()()10x f x -≤R ()f x ()0,∞+103f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()202f x x ≤-题型七、利用函数奇偶性求对称区间上的函数解析式【例1】(1)已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则当时，的解析式为________(2)函数是定义在上的奇函数，已知当时，，求函数的解析式________(3)已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的表达式为________．(4)已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当x ∈(0,+∞)时，_____________【练习1】(1)已知是定义在上的奇函数，当时，，求时，函数的解析式___________(2)已知函数是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式.(3)已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )=x (x ―4)，则函数f （x ）解析式为__________(4)是定义在R 上的奇函数，当时，，则的表达式为_____题型八、利用奇偶性构造方程组求解析式【例1】是奇函数，是偶函数，且，求，的解析式．【练习1】已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则_______()f x R 0x ≥()()1f x x x =+0x <()f x ()f x R 0x >2()23f x x x =--()f x ()f x R 0x ≥()()24f x x x =+()f x R ()f x (),∞∞-+(),0x ∞∈-()2f x x x =-()f x =()y f x =R 0x ≥2()2f x x x =-+0x <()f x ()f x R 0x <()22f x x x=-()f x ()f x 0x ≥()22f x x x =-+()f x ()f x ()g x ()()11f xg x x +=-()f x ()g x ()f x ()g x 2()()1f x g x x x +=-+(2)f =题型九、与函数奇偶性、单调性相关的综合解答题【例1】已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性；(2)利用单调性的定义证明：在上单调递减；(3)解不等式．【例2】已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式；(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；(3)解不等式.【例3】已知函数f(x)=x 2―1x. (1)判断函数f (x )的奇偶性，并证明；(2)证明f (x )在区间(0,+∞)上是增函数；(3)求函数f (x )在区间[―4,―2]上的最大值和最小值.【例4】已知函数是上的偶函数，当，，(1)求函数的解析式；(2)若，求实数的取值范围.2()1x f x x =-(1,1)-()f x ()f x (0,1)()2(1)10f m f m -+-<()21ax b f x x -=+[]1,1-()11f =-()f x ()f x []1,1-()()210f t f t +->()f x R 0x ≤2()43f x x x =-+-()f x (21)(1)f m f m -<+m【练习1】已知函数f (x )=ax +b 1+x 2是定义在(―1,1)上的奇函数，且f (12)=25. （1）求函数f (x )的解析式；（2）用定义法证明函数f (x )的单调性；（3）若f (m )+f (2m ―1)>0，求实数m 的取值范围.【练习2】已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的值；(2)判断的单调性，并用定义法证明你的结论；(3)求使成立的实数a 的取值范围.()21mx n f x x +=+[]1,1-()11f =,m n ()f x ()2(1)10f a f a -+-<。

高中数学函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析

函数奇偶性知识点归纳考点分析及经典案例分析函数的奇偶性定义：1．偶函数：一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数．2．奇函数：一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数．二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；3、可逆性：是偶函数；奇函数；4、等价性：；；5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。

8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。

并且关于原点对称。

三、关于奇偶函数的图像特征一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称点（x,y ）→（-x,-y ）偶函数的图像关于轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于轴对称，那么这个函数是偶函数。

()f x x ()()f x f x -=()f x ()f x x ()()f x f x -=-()f x x )()(x f x f =-⇔)(x f )()(x f x f -=-⇔)(x f )()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f (||)()f x f x ⇔=)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f y y y即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称点（x,y ）→（-x,y ）奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

）偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。

函数奇偶性总结

函数奇偶性总结一、函数的奇偶性概念在数学中，我们经常研究函数的性质，其中一个重要的性质就是奇偶性。

函数的奇偶性描述了函数的对称性质。

一个函数$f(x)$被称为奇函数，如果对于任意实数$x$，有$f(-x)=-f(x)$成立。

换句话说，奇函数在原点处对称，图像关于坐标原点对称。

一个函数$f(x)$被称为偶函数，如果对于任意实数$x$，有$f(-x)=f(x)$成立。

换句话说，偶函数在原点处对称，图像关于$y$轴对称。

二、判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性有以下几种方法：1. 使用函数表达式对于多项式函数或已知函数表达式，可以通过观察函数表达式中的各项系数来快速判断函数的奇偶性。

- 对于多项式函数，如果函数的各项次数都是偶数，则函数是偶函数；如果函数的各项次数都是奇数，则函数是奇函数。

- 对于已知函数表达式，如果函数表达式中只包含偶数次幂或只包含奇数次幂的项，则函数是奇函数或偶函数。

2. 使用图像对称性通过观察函数的图像可以判断函数的奇偶性。

- 如果函数图像关于$y$轴对称，则函数是偶函数。

- 如果函数图像关于原点对称，则函数是奇函数。

3. 使用微积分方法利用微积分的性质可以判断函数的奇偶性。

- 奇函数的导函数是偶函数。

- 偶函数的导函数是奇函数。

通过求导函数，可以判断函数的奇偶性。

三、函数奇偶性的应用函数的奇偶性在数学和物理中具有广泛的应用。

- 在函数的图像对称性的研究中，奇函数和偶函数是常见的对象。

- 在积分计算中，奇函数在对称区间上的积分为零，只需要计算一个半区间的积分即可。

- 在物理学中，奇函数和偶函数经常用于描述对称性问题，如电荷分布的对称性等。

四、总结函数的奇偶性是函数的重要性质，可以通过函数表达式、图像对称性和微积分方法等多种方法来判断函数的奇偶性。

了解函数的奇偶性对于解决数学问题和物理问题都具有重要的意义。

判断函数奇偶性知识点总结

判断函数奇偶性知识点总结函数奇偶性是高中数学中的一类重要的概念和方法，对于理解函数的性质和解题有着重要的指导作用。

掌握函数奇偶性的判断方法，可以帮助我们更好地分析和解决数学问题。

本文将总结判断函数奇偶性的相关知识点，包括奇偶函数的定义、判断方法及常见函数的奇偶性。

一、奇偶函数的定义1. 定义函数的奇偶性是指函数图像关于y轴对称或关于原点对称的性质。

具体而言，对于定义域中的任意实数x，若函数满足f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；若函数满足f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。

2. 奇函数的性质（1）奇函数在原点对称，即函数图像关于原点对称；（2）如果函数是奇函数，且存在一个值x0使得f(x0) = 0，那么f(-x0) = 0。

3. 偶函数的性质（1）偶函数在y轴对称，即函数图像关于y轴对称；（2）如果函数是偶函数，且存在一个值x0使得f(x0) = 0，那么f(-x0) = 0。

二、判断函数奇偶性的方法1. 使用定义判断要判断函数奇偶性，可以使用定义进行判断。

即对于定义域中的任意实数x，如果满足f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；如果满足f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数；如果无法满足以上两个条件，则函数既不是奇函数也不是偶函数。

2. 使用图像判断利用函数图像的对称性质，我们可以判断函数的奇偶性。

具体而言，对于函数的图像图形，如果它关于y轴对称，则函数为偶函数；如果它关于原点对称，则函数为奇函数；如果既不关于y轴对称也不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数。

3. 使用性质判断对于一些特定的函数，可以利用其性质来判断其奇偶性。

（1）多项式函数：多项式函数中的偶次幂项为偶函数，奇次幂项为奇函数。

（2）三角函数：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

（3）指数函数和对数函数：指数函数和对数函数既可以是奇函数，也可以是偶函数，具体与函数的定义和参数相关。

奇偶性知识点总结

函数的奇偶性知识点总结本节主要知识点（1）函数的奇偶性; （2）函数奇偶性的判定; （3）奇函数和偶函数的性质; （4）函数的奇偶性的应用. 知识点一函数的奇偶性常见函数的奇偶性（1）二次函数()0)(2≠=a ax x f 和()0)(2≠+=a c ax x f 都是偶函数;（2）正比例函数()0)(≠=k kx x f 和反比例函数()0)(≠=k xkx f 都是奇函数. 一个函数是奇函数或偶函数,我们就说这个函数具有奇偶性.对函数奇偶性定义的理解（1）注意定义中的x 的任意性,如果函数)(x f 的定义域中存在0x ,有)()(00x f x f ≠-,或)()(00x f x f -≠-,则函数)(x f 不是偶函数或奇函数.（2）函数的奇偶性和单调性都是函数的重要性质.单调性是函数的局部性质,是研究函数值随自变量的变化趋势;而奇偶性是函数的整体性质,是研究函数的图象在整个定义域上的对称性.（3）偶函数和奇函数的定义域都是关于原点对称的,所以在判断一个函数的奇偶性时,要先确定函数的定义域,若定义域关于原点对称,则根据奇、偶函数的定义接着往下判断)(x f -与)(x f 的关系;若定义域关于原点不对称,则函数既不是偶函数,也不是奇函数. 即判断函数的奇偶性仍然遵循“定义域优先”的原则.（4）如果函数)(x f 是偶函数,则0)()(=--x f x f ,若0)(≠x f ,则还有1)()(=-x f x f ;如果函数)(x f 是奇函数,则0)()(=+-x f x f ,若0)(≠x f ,则还有1)()(-=-x f x f . （5）既是偶函数,又是奇函数的函数只有一类,即0)(=x f ,∈x D ,且D 关于原点对称. （6）偶函数的图象关于y 轴对称,反过来,图象关于y 轴对称的函数是偶函数;奇函数的图象关于原点对称,反过来,图象关于原点对称的函数是奇函数.因此,对于比较容易画出图象的函数,我们可以利用图象法来判断函数的奇偶性. （7）若函数)(x f 是偶函数,点())(,a f a 在函数)(x f 的图象上,则点())(,a f a --,即())(,a f a -也在函数)(x f 的图象上,点())(,a f a 与点())(,a f a -关于y 轴对称;若函数)(x f 是奇函数,点())(,a f a 在函数)(x f 的图象上,则点())(,a f a --,即())(,a f a --也在函数)(x f 的图象上.点())(,a f a 与点())(,a f a --关于原点对称.★（8）如果函数)(x f 在区间[]b a ,或()b a ,上为偶函数或奇函数,则区间的两个端点互为相反数,即0=+b a （因为这个区间关于原点对称）.（9）特别说明,若函数)(x f 是偶函数,则有()x f x f x f ==-)()(.偶函数的图象特征若一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形;反之,若一个函数的图象关于y 轴对称,则这个函数是偶函数.下面分别是函数4x y =和函数1+=x y 的图象,它们都是偶函数.奇函数的图象特征若一个函数是奇函数,则这个函数的图象关于原点对称;反之,若一个函数的图象关于原点对称,则这个函数是奇函数. 下面分别是函数xy 2=和对勾函数x x y 4+=的图象,它们都是奇函数.知识点二函数奇偶性的判定判断函数奇偶性的方法有三种:定义法、图象法和性质法. 用定义法判断函数的奇偶性（1）求求函数的定义域,若定义域关于原点对称,则进行第（2）步;若定义域关于原点不对称,则函数是非奇非偶函数.（2）判求出)(x f -,然后根据)(x f -与)(x f 的关系,确定函数的奇偶性;①若)()(x f x f =-,或0)()(=--x f x f ,或1)()(=-x f x f （0)(≠x f ）,则函数)(x f 是偶函数;②若)()(x f x f -=-,或0)()(=+-x f x f ,或1)()(-=-x f x f （0)(≠x f ）,则函数)(x f 是奇函数;③若)()(x f x f ±≠-,则函数)(x f 是非奇非偶函数.说明: 若要说明一个函数不是偶函数（或奇函数）,只需在函数定义域内找到一个数a ,有)()(a f a f ≠-（或)()(a f a f -≠-）即可.(见后面的相关例题)图象法判断函数的奇偶性对于容易画出图象的函数,若函数的图象关于y 轴对称,则它是偶函数;若函数的图象关于原点对称,则它是奇函数. 性质法判断函数的奇偶性两个在公共定义域上具有奇偶性的函数,它们的和与积所构成的函数的奇偶性为: 奇+奇=奇; 偶+偶=偶;（一奇一偶的和的单调性不能确定）奇⨯奇=偶; 偶⨯偶=偶; 奇⨯偶=奇. 知识点三奇函数和偶函数的性质（1）定义域的对称性奇函数和偶函数的定义域都关于原点对称;（2）图象的对称性奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称; （3）单调性的“奇同偶异”性如果函数)(x f 是奇函数,那么函数)(x f 在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;如果函数)(x f 是偶函数,那么函数)(x f 在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.简记为“奇同偶异”.函数的奇偶性与函数值及最值的关系与函数值的关系当函数的自变量互为相反数时,偶函数的函数值相等,奇函数的函数值互为相反数.与最值的关系奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数（其中一个是最大值,另一个是最小值）;偶函数在关于原点对称的区间上具有相同的最值. 复合函数的奇偶性对于复合函数())(x g f ,若)(x g 为偶函数,则())(x g f 为偶函数;若)(x g 为奇函数,则())(x g f 的奇偶性与)(x f 的奇偶性相同.其中())(x g f 的定义域关于原点对称.题型一已知函数解析式用定义法判断函数的奇偶性例1. 判断下列函数的奇偶性:（1）1)(23--=x x x x f ; （2）xx x f 1)(-=; （3）22)(+--=x x x f .分析:例1中三个函数的解析式结构都比较简单,可以用定义法判断其奇偶性.先求出函数的定义域,若定义域关于原点对称,则继续往下判断;若定义域关于原点不对称,则函数是非奇非偶函数.解:（1）函数1)(23--=x x x x f 的定义域为()()+∞∞-,11, ,不关于原点对称,所以该函数是非奇非偶函数; （2）函数xx x f 1)(-=的定义域为()()+∞∞-,00, ,关于原点对称. ∵)(111)(x f x x x x x x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=---=- ∴该函数是奇函数;（3）函数22)(+--=x x x f 的定义域为R ,关于原点对称.∵()())(222222)(x f x x x x x x x f -=--+=---+-=+----=- ∴该函数是奇函数. 例2. 判断函数xax x f +=2)(（∈a R ）的奇偶性. 分析:该函数的解析式里面含有参数a ,当参数影响到判断)(x f -与)(x f 的关系时,要对参数进行分类讨论.解:函数xax x f +=2)(的定义域为()()+∞∞-,00, ,关于原点对称. 当0=a 时,2)(x x f =∵())()(22x f x x x f ==-=-∴)(x f 为偶函数; 当0≠a 时,())()(22x f x a x x a x x f ≠-=-+-=-,且xa x x f x f --=-≠-2)()(. ∴函数)(x f 是非奇非偶函数.综上所述,当0=a 时,函数)(x f 为偶函数;当0≠a 时,函数)(x f 是非奇非偶函数. 例3. 已知函数1)(2+-+=a x x x f ,∈x R ,a 为实数,判断)(x f 的奇偶性. 分析:上面例2已经提到:对于含有参数的函数的奇偶性的判断,要充分考虑参数的不同取值情况,看是否会影响到)(x f -与)(x f 的关系,必要时要对参数进行分类讨论.在判断函数的奇偶性时,若在函数的定义域内能找到一个a ,使)()(a f a f ≠-或)()(a f a f -≠-,则函数)(x f 就不是偶函数或减函数.解:由题意可知函数)(x f 的定义域关于原点对称. 当0=a 时,11)(22++=+-+=x x a x x x f . ∵())(11)(22x f x x x x x f =++=+-+-=-∴函数)(x f 为偶函数;当0≠a 时,∵1)(2+=a a f ,12)(2++=-a a a f ∴)()(a f a f ≠-,且1)()(2--=-≠-a a f a f ∴函数)(x f 为非奇非偶函数.综上所述,当0=a 时,函数)(x f 为偶函数;当0≠a 时, 函数)(x f 既不是奇函数,也不是偶函数.例4. 已知函数xax x f 1)(2+=,其中a 为实数,判断函数)(x f 的奇偶性. 解:函数xax x f 1)(2+=的定义域为()()+∞∞-,00, ,关于原点对称. 当0=a 时,xx f 1)(=,函数)(x f 为奇函数;当0≠a 时,∵()xax x x a x f 11)(22-=-+-=- ∴)()(x f x f ≠-,且)()(x f x f -≠- ∴函数)(x f 既不是偶函数,也不是奇函数.综上所述,当0=a 时, 函数)(x f 为奇函数;当0≠a 时,函数)(x f 既不是偶函数,也不是奇函数. 例5. 判断函数1111)(22+++-++=x x x x x f 的奇偶性.分析:该函数的解析式结构较为复杂,如果用定义法来判断其奇偶性,研究)(x f -与)(x f 的关系时会比较困难,我们可以研究)(x f -与)(x f 的和、差、商,来进行奇偶性的判断.解:函数)(x f 的定义域为R ,关于原点对称. ∵11111111)()(2222+++-++++-+--+=+-x x x x x x x x x f x f()()()()()()()()11111211211111111122222222222222=++++-+-+-++---+=++++-+--+++-+=x x x xx x x x x x x x x x x x x x∴)()(x f x f -=- ∴函数)(x f 为奇函数.解法二:函数)(x f 的定义域为R ,关于原点对称. 当0=x 时,0)(=x f ;当0≠x 时,0)(≠x f∵()()()()1111111111111111)()(22222222-+++-++++--+=+++-+++-+--+=-x xx xx x x x x x x x x x x x x f x f1221211212222-=-=-+-+---+=xx x x x x x x ∴)()(x f x f -=-综上所述,函数)(x f 为奇函数.注意:1)()(-=-x f x f 的前提是0)(≠x f . 题型二分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性,可以用定义法,也可以用图象法.用定义法时,必须验证在每一段内都有)()(x f x f =-或)(-)(x f x f =-成立,而不能只验证一段解析式. 在判断时,要特别注意x 与x -的范围,然后选择合适的解析式代入.总结若[]b a x ,∈,则[]a b x --∈-,,把x -代入[]a b --,上的解析式即可得到)(x f -.例6. 判断函数()()⎩⎨⎧>+<-=0,10,1)(x x x x x x x f 的奇偶性.解:由题意可知,函数)(x f 的定义域为()()+∞∞-,00, ,关于原点对称. 当0>x 时,0<-x∴())(1)(x f x x x f -=+-=-; 当0<x 时,0>-x∴())(1)(x f x x x f -=--=-. 综上所述,函数)(x f 为奇函数.例7. 函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-->+=0,1210,121)(22x x x x x f ,则)(x f 【】（A ）是奇函数（B ）是偶函数（C ）既不是奇函数,也不是偶函数（D ）无法判断解:由题意可知函数)(x f 的定义域为()()+∞∞-,00, ,关于原点对称. 当0>x 时,0<-x∴())(121121)(22x f x x x f -=--=---=-; 当0<x 时,0>-x ∴())(121121)(22x f x x x f -=+=+-=-. 综上所述,函数)(x f 是奇函数.选择【 A 】.方法二:（图象法）,函数)(x f 的图象如下图所示,其图象关于原点对称,所以函数)(x f 是奇函数.例8. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+-=0,0,00,2)(22x mx x x x x x x f 是奇函数,则=m _________.解:当0>x 时,0<-x∴()mx x mx x x f -=--=-22)(∵函数)(x f 是奇函数,∴)()(x f x f -=- ∴()x x x x mx x 22222-=+--=- ∴2=m .题型三抽象函数奇偶性的判断例9. 已知函数)(x f ,∈x R ,若对于任意实数b a ,,都有)()()(b f a f b a f +=+. 求证:)(x f 为奇函数.分析:该函数的定义域是关于原点对称的,所以只需要判断)(x f -与)(x f 的关系即可.考虑到0=+-x x ,所以我们可以先求出)0(f 的值.证明:由题意可知)(x f 的定义域关于原点对称. 令0==b a∵对于任意实数b a ,,都有)()()(b f a f b a f +=+ ∴)0()0()00(f f f +=+ ∴0)0(=f令x b x a =-=,,则0)()()0()(=+-==+-x f x f f x x f ∴)()(x f x f -=- ∴函数)(x f 为奇函数.例10. 已知函数)(x f ,∈x R ,若对于任意实数21,x x ,都有:()()()()2121212x f x f x x f x x f ⋅=-++.求证:)(x f 为偶函数.证明: 由题意可知)(x f 的定义域关于原点对称. 令0,21==x x x ,则有)0()(2)(2)()(f x f x f x f x f ⋅==+①令x x x ==21,0,则有:)()0(2)()(x f f x f x f ⋅=-+②由①②得:)()()(2x f x f x f -+=∴)()(x f x f =- ∴函数)(x f 为偶函数.例11. 已知)(x f 是定义在()2,2-上的函数,且满足对任意()2,2,-∈y x ,都有)(5)(y f xy y x f x f -⎪⎭⎫⎝⎛-+=.（1）求)0(f 的值;（2）判断)(x f 的奇偶性并证明. （1）解:令0==y x∵对任意()2,2,-∈y x ,都有)(5)(y f xy y x f x f -⎪⎭⎫⎝⎛-+=∴()0)0(0)0(=-=f f f ; （2）函数)(x f 为奇函数.理由如下:由题意可知,函数)(x f 的定义域()2,2-关于原点对称. 令x y -=,则有)(0)()0()(x f x f f x f --=--= ∴)()(x f x f -=- ∴函数)(x f 为奇函数.例12. 已知)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++对一切y x ,都成立,且0)0(≠f ,试判断)(x f 的奇偶性.解:由题意可知函数)(x f 的定义域为R ,关于原点对称. 令0==y x ,则有)0()0(2)0()0(f f f f =+ ∴)0(2)0(22f f =,()01)0()0(=-f f ∵0)0(≠f ,∴1)0(=f令0=x ,则有)()0(2)()(y f f y f y f =-+ ∴)(2)()(y f y f y f =-+ ∴)()(y f y f =- ∴函数)(x f 为偶函数.注意本题与例10的区别及联系.例13. 已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意b a ,∈R ,都满足)()()(a bf b af ab f +=.（1）求)0(f ,)1(f 的值;（2）判断)(x f 的奇偶性,并证明你的结论.（1）解:令0==b a ,则0)0(0)0(0)0(=⨯+⨯=f f f . 令1==b a ,则)1(2)1(1)1(1)1(f f f f =⨯+⨯=,∴0)1(=f ; （2）函数)(x f 为奇函数.理由如下:由题意可知函数)(x f 的定义域关于原点对称. 令1-==b a ,则有0)1(2)1()1()1(=--=----=f f f f ∴0)1(=-f令1,-==b x a ,则有)()(0)()1()(x f x f x f xf x f -=-=--=- ∴函数)(x f 为奇函数.例14. 若函数)(x f 的定义域是R ,且对任意∈y x ,R 都有)()()(y f x f y x f +=+成立.（1）试判断)(x f 的奇偶性;（2）若4)8(=f ,求⎪⎭⎫⎝⎛-21f 的值.解:（1）∵函数)(x f 的定义域是R ∴其定义域关于原点对称.令0==y x ,则有)0(2)0()0()0(f f f f =+= ∴0)0(=f令x y -=,则有0)()()0(=-+=x f x f f ∴)()(x f x f -=- ∴函数)(x f 为奇函数;（2）令y x =,则有)(2)()()2(x f x f x f x f =+=∴2)2()(x f x f =∵4)8(=f ∴2242)8()4(===f f ,1222)4()2(===f f ,212)2()1(==f f ,412)1(21==⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ∵函数)(x f 为奇函数∴.412121-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f例15. 已知函数)(x f ,∈x R 对任意实数b a ,都有)()()(b f a f ab f +=,且当1>x 时,0)(>x f .（1）试判断函数)(x f 的奇偶性;（2）求证:函数)(x f 在()+∞,0上是增函数.（1）解:由题意可知函数)(x f 的定义域关于原点对称. 令1==b a ,则)1(2)1()1()1(f f f f =+=,∴0)1(=f .令1-==b a ,则0)1(2)1()1()1(=-=-+-=f f f f ,∴0)1(=-f . 令1,-==b x a ,则)()1()()(x f f x f x f =-+=- ∴函数)(x f 为偶函数;（2）任取∈21,x x ()+∞,0,且21x x <,则112>x x ∵当1>x 时,0)(>x f ,∴012>⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x f∴()()()()()0121121112112>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-x x f x f x x f x f x f x x x f x f x f ∴()()21x f x f <∴函数)(x f 在()+∞,0上是增函数.题型四函数奇偶性的应用（1）求函数值; （2）求函数解析式; （3）求参数的值或取值范围; （4）求函数的值域或最值. 应用1 求函数值例16.（1）已知)(x f 为奇函数,9)()(+=x f x g ,3)2(=-g ,则=)2(f _________; （2）设函数()11)(22++=x x x f 的最大值为M ,最小值为m ,则=+m M _________.解:（1）∵)(x f 为奇函数,∴)()(x f x f -=- ∵9)()(+=x f x g ,3)2(=-g ∴6939)2()2(-=-=--=-g f ∴6)2()2(=--=f f .（2）()12112111)(22222++=+++=++=x x x x x x x x f 设12)(2+=x xx g ,其定义域为R ,关于原点对称. ∵)(12)(2x g x xx g -=+-=-∴)(x g 为奇函数∵奇函数在关于原点对称的区间上的最大值与最小值互为相反数 ∴0)()(min max =+x g x g∴2))(1())(1(min max =+++=+x g x g m M .重要结论（1）若函数)(x f 为奇函数,则)(x f 在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,即0)()(min max =+x f x f .（2）若函数)(x f 为奇函数,k x f x g +=)()(（k 为常数）,则()k x g x g 2)(min max =+.例17. 已知8)(35-++=bx ax x x f ,且10)2(=-f ,则=)2(f 【】（A ）26- （B ）18- （C ）10- （D ）10 解法一:设bx ax x x g ++=35)(,易知函数)(x g 为奇函数. ∴)()(x g x g -=-,8)()(-=x g x f∵10)2(=-f ,∴108)2(=--g ,18)2(=-g . ∴18)2()2(-=--=g g∴268188)2()2(-=--=-=g f .选择【 A 】. 解法二:8222)2(35-++=b a f ①()()()8222)2(35--+-+-=-b a f ②①+②得:16)2()2(-=-+f f ∵10)2(=-f∴261016)2(16)2(-=--=---=f f .例18. 已知1)()(--=x x f x g ,其中)(x g 是偶函数,且1)2(=f ,则=-)2(f 【】（A ）1- （B ）1 （C ）3- （D ）3 解:∵)(x g 是偶函数,∴)()(x g x g =-. ∵1)()(--=x x f x g ,∴1)()(++=x x g x f∵13)2(12)2()2(=+=++=g g f ,∴2)2()2(-=-=g g ∴312212)2()2(-=+--=+--=-g f .选择【 C 】.例19. 已知)(x f ,)(x g 均为R 上的奇函数,且2)()()(++=x bg x af x F 在()+∞,0上的最大值为5,则)(x F 在()0,∞-上的最小值为_________. 解:设)()()(x bg x af x G +=,则2)()(+=x G x F ∵)(x f ,)(x g 均为R 上的奇函数∴)()()(x bg x af x G +=也是R 上的奇函数∵当∈x ()+∞,0时,52)()(max max =+=x G x F ∴3)(max =x G∴根据奇函数图象的对称性,)(x G 在()0,∞-的最小值为3)()(max min -=-=x G x G ∴1232)()(min min -=+-=+=x G x F .注意:本题利用结论: 若函数)(x f 为奇函数,k x f x g +=)()(（k 为常数）,则()k x g x g 2)(min max =+.可以快速得出结果.例20. 已知⎩⎨⎧<>-=0),(0,3)(2x x g x x x f 是奇函数,则()=-)3(g f _________.分析:先求出当0<x 时,函数)(x g 的解析式,然后代入求值. 解:当0<x 时,0>-x∴())(33)(22x f x x x f -=-=--=-∴3)(2+-=x x f∴⎩⎨⎧<+->-=0,30,3)(22x x x x x f ,∴3)(2+-=x x g∴()633)3(2-=+--=-g∴()()3336)6()3(2-=+--=-=-f g f .应用2 求函数解析式利用函数的奇偶性求函数解析式的一般方法是:（1）“求谁设谁”,即求函数在哪个区间上的解析式,就设x 在哪个区间上; （2）利用已知区间的函数解析式矩形化简,得到)(x f -的解析式;（3）利用函数)(x f 的奇偶性写出)(x f -或)(x f ,即可得到函数)(x f 的解析式. 注意:若)(x f 是R 上的奇函数时,不要遗漏0=x 的情形.例21. 已知)(x f 是R 上的奇函数,当0>x 时,132)(2++-=x x x f . （1）求)0(f 的值; （2）求函数)(x f 的解析式.解:（1）∵)(x f 是R 上的奇函数 ∴)0()0()0(f f f -==-,0)0(2=f ∴0)0(=f ;（2）当0<x 时,则0>-x∴())(132132)(22x f x x x x x f -=-+-=+--=- ∴132)(2-+=x x x f .∴函数)(x f 的解析式为⎪⎩⎪⎨⎧<-+=>++-=0,1320,00,132)(22x x x x x x x x f .例22. 若函数)(x f 是偶函数,函数)(x g 是奇函数,且11)()(-=+x x g x f ,求函数)(x f 的解析式.解:∵函数)(x f 是偶函数,函数)(x g 是奇函数 ∴)()(x f x f =-,)()(x g x g -=-∵11)()(-=+x x g x f ∴11)()(--=-+-x x g x f ,11)()(+-=-x x g x f解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=+11)()(11)()(x x g x f x x g x f 得:11)(2-=x x f .∴函数)(x f 的解析式为11)(2-=x x f . 例23. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数,且x ≤0时,1)(+-=x x f . （1）求)0(f ,)2(f ; （2）求函数)(x f 的解析式.解:（1）∵当x ≤0时,1)(+-=x x f ,∴1)0(=f .∵)(x f 是定义在R 上的偶函数,∴31)2()2()2(=+--=-=f f ;（2）当0>x 时,则0<-x ∴()11)(+=+--=-x x x f .∴函数)(x f 的解析式为⎩⎨⎧>+≤+-=0,10,1)(x x x x x f .例24. 已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数,当0>x 时,x x x f 2)(2-=,则函数)(x f 在R 上的解析式为____________.结论若奇函数在原点处有定义,则0)0(=f .解:∵函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数∴0)0(=f . ∵当0>x 时,x x x f 2)(2-=∴当0<x 时,0>-x ,())(22)(22x f x x x x x f -=---=+=- ∴x x x f 2)(2--=.∴函数)(x f 的解析式为⎪⎩⎪⎨⎧<--=>-0,20,00,222x x x x x x x .例25. 函数1)(2++=x b ax x f 为R 上的奇函数,且5221=⎪⎭⎫ ⎝⎛f .（1）求函数)(x f 的解析式;（2）若)(x f ≤532-m 在区间[]4,2上恒成立,求m 的取值范围.解:（1）∵函数1)(2++=x bax x f 为R 上的奇函数∴0)0(==b f ,∴1)(2+=x axx f∵5221=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,∴5252121212==+⎪⎭⎫⎝⎛a a,解之得:1=a . ∴函数)(x f 的解析式为1)(2+=x xx f ; （2）∵)(x f ≤532-m 在区间[]4,2上恒成立∴12+x x ≤532-m 恒成立设1)(2+=x x x g ,只需max )(x g ≤532-m 即可.任取[]4,2,21∈x x ,且21x x <,则有()()()()()()()()111111111)()(22212121222121222122221121++--=+++-+=+-+=-x x x x x x x x x x x x x x x x x g x g ∵[]4,2,21∈x x ,且21x x <∴()()011,01,022212121>++<-<-x x x x x x ∴0)()(21>-x g x g ,∴()()21x g x g > ∴函数)(x g 在[]4,2上为减函数 ∴52122)2()(2max =+==g x g ∴52≤532-m ,解之得:m ≥1或m ≤1-. ∴实数m 的取值范围是(][)+∞-∞-,11, .例26. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,当0>x 时,32)(x x x f +=,求)(x f . 解:∵函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,∴0)0(=f . ∵当0>x 时,32)(x x x f +=∴当0<x 时,,0>-x ())()(3232x f x x x x x f -=+--=-=-，∴32)(x x x f +-=.∴⎪⎩⎪⎨⎧<+-=>+=0,0,00,)(3232x x x x x x x x f .应用3 求参数的值例27. 已知函数()b a x b ax x f ++-+=31)(2为偶函数,其定义域为[]a a 2,1-,则b a +的值为_________.结论如果函数)(x f 在区间[]b a ,或()b a ,上为偶函数或奇函数,则区间的两个端点互为相反数,即0=+b a （因为这个区间关于原点对称）.解:∵偶函数的定义域关于原点对称 ∴021=+-a a ,解之得:31=a . ∴()b x b x x f ++-+=1131)(2∵)()(x f x f =-∴()()b x b x b x b x ++-+=++--1131113122 ∴()11-=--b b ,解之得:1=b ∴34131=+=+b a . 例28. 若函数()()a x x xx f -+=12)(为奇函数,则=a _________.解:∵函数)(x f 为奇函数 ∴)()(x f x f -=-,()()()()a x x xa x x x -+-=--+--1212∴()()()()a x x a x x -+=--+-1212 展开并整理得:()()x a x a 2112-=- ∴a a 2112-=-,解之得:21=a . 例29. 若函数()()a x x x f -+=1)(为偶函数,则=a _________. 解:∵函数)(x f 为偶函数,∴)()(x f x f =- ∴()()()()a x x a x x -+=--+-11 ∴()()x a x a -=-11 ∴a a -=-11,解之得:1=a .例30. 若函数()321)(2++-=mx x m x f 为偶函数,则函数)(x f 在区间()3,5--上【】（A ）先增后减（B ）先减后增（C ）单调递减（D ）单调递增分析: 结论对于函数c bx ax y ++=2：（1）当0=b 时,它是偶函数; （2）当0==c a 时,它是奇函数.对于本题,因为函数()321)(2++-=mx x m x f 为偶函数,所以不难得到0=m . 解:∵函数()321)(2++-=mx x m x f 为偶函数∴)()(x f x f =-,()()32132122++-=+--mx x m mx x m ∴m m 22=-,解之得:0=m∴3)(2+-=x x f ,其图象开口向下,对称轴为y 轴. ∵函数)(x f 在区间()3,5--单调递增.选择【 D 】.例31. 设a 为常数,函数34)(2+-=x x x f .若()a x f +为偶函数,则=a _________. 分析:将函数)(x f 的图象向左()0>a 或向右()0<a 平移a 个单位长度,即可得到函数()a x f +的图象.偶函数的图象关于y 轴对称.结论若函数)(x f 满足)()(x a f x a f -=+,则函数)(x f 的图象关于直线a x =对称.解法一:∵()1234)(22--=+-=x x x x f∴()()122--+=+a x a x f∵()a x f +为偶函数∴其图象的对称轴为y 轴,∴02=-a ,解之得:2=a .解法二:()1234)(22--=+-=x x x x f ,其图象的对称轴为直线2=x .∵()a x f +为偶函数∴)()(a x f a x f +=+-,即)()(x a f x a f +=- ∴函数)(x f 的图象关于直线a x =对称. ∴2=a .例32. 已知()231)(bx x a x f +-=是定义在[]b b +2,上的偶函数,则=+b a _______. 解:∵偶函数的定义域关于原点对称 ∴02=++b b ,解之得:1-=b ∴()231)(x x a x f --=∵)()(x f x f =-,∴()()232311x x a x x a --=--- ∴()11-=--a a ,解之得:1=a . ∴=+b a 0.例33. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+-=0,0,00,2)(22x mx x x x x x x f 是奇函数,则=m _________.解:当0<x 时,0>-x ,∴x x x f 2)(2--=- ∵函数)(x f 是奇函数 ∴)(2)(2x f x x x f -=--=- ∴mx x x x x f +=+=222)(（0<x ） ∴2=m .例34. 已知函数()()21)(x t x x x f -+=为偶函数.（1）求实数t 的值;（2）是否存在实数0>>a b ,使得当∈x []b a ,时,函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--b a 22,22?若存在,请求出b a ,的值;若不存在,请说明理由. 分析:()()21)(x t x x x f -+=,设()()()t x x x h x x g -+==1,1)(2,因为)(x f 与)(x g 均为偶函数,所以()t x t x x h --+=1)(2也是偶函数,故01=-t ,得到1=t . 解:∵函数()()21)(x t x x x f -+=为偶函数∴()()()()2211)(x t x x x t x x x f -+=--+-=-∴()()()()t x x t x x -+=--+-11∴t t -=-11,解之得:1=t . ∴()()222211111)(x x x x x x x f -=-=-+=; （2）∵0>>a b ∴函数211)(x x f -=在区间[]b a ,上为增函数 ∴2min11)()(a a f x f -==,2max 11)()(bb f x f -==∵函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--b a 22,22∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-bb a a 2211221122,解之得:⎩⎨⎧==11b a∵0>>a b∴不存在实数0>>a b ,使得当∈x []b a ,时,函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--b a 22,22.例35. 已知函数211)(xmx x f ++=是R 上的偶函数. （1）求实数m 的值;（2）判断并用定义法证明函数)(x f y =在()0,∞-上的单调性.解:（1）∵函数211)(xmx x f ++=是R 上的偶函数 ∴)()(x f x f =-,221111x mx x mx ++=++- ∴11+=+-mx mx ,m m =-,解之得:0=m ; （2）由（1）知:211)(x x f +=. 函数)(x f y =在()0,∞-上为增函数,理由如下: 任取()0,,21∞-∈x x ,且21x x <,则有()()()()()()()()222112122221212222212111111111x x x x x x x x x x x x x f x f ++-+=++-=+-+=- ∵()0,,21∞-∈x x ,且21x x <∴()()011,0,022211212>++>-<+x x x x x x ∴()()()()2121,0x f x f x f x f <<- ∴函数)(x f y =在()0,∞-上为增函数.例36. 已知函数nmx x x f ++=2)(2是奇函数,且3)1(=f ,其中∈n m ,R .（1）求n m ,的值;（2）判断)(x f 在(]2,-∞-上的单调性,并加以证明. 解:（1）∵3)1(=f ,∴33=+nm ,∴1=+n m . ∵函数)(x f 为奇函数∴)()(x f x f -=-,nmx x n mx x --+=+-+2222∴n n -=,解之得:0=n解方程组⎩⎨⎧==+01n n m 得:⎩⎨⎧==01n m ;（2）由（1）可知:xx x x x f 22)(2+=+=（可见函数)(x f 为对勾函数）函数)(x f 在(]2,-∞-上为增函数,理由如下: 任取∈21,x x (]2,-∞-,且21x x <,则有()()()()()212121212122112122222x x x x x x x x x x x x x x x f x f --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=- ∵∈21,x x (]2,-∞-,且21x x < ∴02,0,0212121>-<->x x x x x x ∴∴()()()()2121,0x f x f x f x f <<- ∴函数)(x f y =在()0,∞-上为增函数.应用4 函数的奇偶性与单调性的综合例37. 已知)(x f 在定义域[]1,1-上是奇函数,又是减函数,若()()0112<-+-a f a f ,求实数a 的取值范围. 解:∵()()0112<-+-a f a f ∴()()a f a f --<-112∵)(x f 在定义域[]1,1-上是奇函数 ∴()()()1)1(1-=--=--a f a f a f ∴()()112-<-a f a f由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧->-≤-≤-≤-≤-1111111122a a a a ,解之得:0≤1<a .∴实数a 的取值范围是[)1,0.例38. 定义在[]2,2-上的偶函数)(x f 在[]2,0上单调递减,若()()m f m f <-1,求实数m 的取值范围.结论:若函数)(x f 为偶函数,则有()x f x f x f ==-)()(.解:∵函数)(x f 是定义在[]2,2-上的偶函数∴()()m f m f -=-11,()()m f m f =,[]2,0,1∈-m m . ∵)(x f 在[]2,0上单调递减,()()m f m f <-1 ∴()()m f m f <-1,m m >-1.由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-≤-≤-mm m m 122212,解之得:1-≤m 21<.∴实数m 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,1.注意:m m >-1的同解不等式为()221m m >-.例39. 定义在R 上的奇函数)(x f ,满足021=⎪⎭⎫⎝⎛f ,且在()+∞,0上单调递减,求不等式0)(>x xf 的解集.分析:奇函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.解:∵定义在R 上的奇函数)(x f ,满足021=⎪⎭⎫⎝⎛f∴021=⎪⎭⎫⎝⎛-f∵函数)(x f 在()+∞,0上单调递减 ∴函数)(x f 在()0,∞-上单调递增 ∴当210<<x 时,0)(>x f ;当021<<-x 时,0)(<x f ∴不等式0)(>x xf 的解集为⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,00,21 .注意:对于奇函数)(x f 的理解,可结合下面的图象.图中0)0(=f .例40. 已知奇函数)(x f y =,∈x ()1,1-是减函数,解不等式0)31()1(<-+-x f x f . 解:∵0)31()1(<-+-x f x f ∴)31()1(x f x f --<- ∵)(x f y =是奇函数∴()()13)31()31(-=--=--x f x f x f ∴)13()1(-<-x f x f由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-1311311111x x x x ,解之得:210<<x .∴不等式0)31()1(<-+-x f x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<210x x . 例41. 已知偶函数)(x f 在[)+∞,0上单调递减,()02=f ,若()01>-x f ,则x 的取值范围是__________.解:由题意可得0)(>x f 的解集为()2,2- ∵()01>-x f∴212<-<-x ,解之得:31<<-x ∴x 的取值范围是()3,1-.例42. 已知函数)(x f 是定义在[]a a 2,1-上的偶函数,且当x ≥0时,)(x f 单调递增,则关于x 的不等式()()a f x f >-1的解集为【】（A ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡35,34 （B ）⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡35,3432,31（C ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--32,3131,32 （D ）随a 的值的变化而变化解:∵函数)(x f 是定义在[]a a 2,1-上的偶函数 ∴021=+-a a ,解之得:31=a ∴函数)(x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,32∵()()a f x f >-1,∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛>-311f x f ,∴()⎪⎭⎫⎝⎛>-311f x f∵当x ≥0时,)(x f 单调递增,1-x ≥0∴311>-x . 由题意可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤-≤-31132132x x ,解之得:31≤32<x 或x <34≤35.∴不等式()()a f x f >-1的解集为⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡35,3432,31 .选择【 B 】.例43. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在区间(]0,∞-上单调递增.若实数a 满足()⎪⎭⎫⎝⎛->-211f a f ,则a 的取值范围是【】（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21, （B ）⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,2321,（C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 （D ）⎪⎭⎫⎝⎛+∞,23解:∵)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在区间(]0,∞-上单调递增∴)(x f 在区间[)+∞,0上单调递减,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-2121f f . ∵()⎪⎭⎫⎝⎛->-211f a f∴()⎪⎭⎫⎝⎛>-211f a f ,∴211<-a ,解之得:2321<<a .∴a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛23,21.选择【 C 】.☆例44. 已知函数)(x f 的定义域为()+∞,0,且⎩⎨⎧><+=0),(0,2)(2x x f x x x x g 是奇函数.（1）求)(x f 的表达式;（2）若)(x f 在[]b a ,上的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡a b 1,1,求值:b a ,是方程x x f 1)(=的两个根.解:当0>x 时,0<-x∴()x x x g 22-=- ∵)(x g 是奇函数∴()()()x g x x x g -=+--=-22 ∴x x x g 2)(2+-=（0>x ） ∴x x x f 2)(2+-=（0>x ）; （2）证明:由题意可知:0>>a b ∵()112)(22+--=+-=x x x x f ≤1∴a1≤1,∴a ≥1 ∴)(x f 在[]b a ,上单调递减∴()a a f 1=,()bb f 1= ∴b a ,是方程x x f 1)(=的两个根.例45. 设函数)(x f 对任意∈y x ,R 都有()()()y f x f y x f +=+,且当0>x 时,0)(<x f ,2)1(-=f . （1）证明:)(x f 为奇函数; （2）证明:)(x f 在R 上是减函数;（3）若()()47652>-++x f x f ,求x 的取值范围; （4）求)(x f 在[]3,3-上的最大值与最小值.（1）证明:令0==y x ,则)0(2)0()0()0(f f f f =+=,∴0)0(=f 令x y -=,则有0)()()0(=-+=x f x f f ∴)()(x f x f -=-∵函数)(x f 的定义域为R ,关于原点对称 ∴函数)(x f 为奇函数;（2）证明:任取∈21,x x R ,且21x x <,则012>-x x ∵当0>x 时,0)(<x f ,∴()012<-x x f∴()()()()()()()1112211212)(x f x f x x f x f x x x f x f x f -+-=-+-=-()012<-=x x f .∴()()012<-x f x f ,∴()()21x f x f >. ∴)(x f 在R 上是减函数;（3）解:由（1）可知:2)1()1(=--=-f f令1-==y x ,则4)1(2)1()1()2(=-=-+-=-f f f f ∵()()47652>-++x f x f∴())2(7652->-++f x x f ,())2(511->-f x f ∵)(x f 在R 上是减函数 ∴2511-<-x ,解之得:513>x . ∴x 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛+∞,513;（4）令1,2-=-=y x ,则624)1()2()3(=+=-+-=-f f f ∵)(x f 在R 上是减函数 ∴)(x f 在[]3,3-上的最大值为6∵奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数 ∴)(x f 在[]3,3-上的最小值为6-.例46. 函数)(x f 对任意∈b a ,R 都有()()()1-+=+b f a f b a f ,并且当0>x 时,1)(>x f .（1）判断函数)(x f 是否为奇函数; （2）证明:)(x f 在R 上是增函数;（3）解不等式()1232<--m m f .（1）解:令0==b a ,则1)0(21)0()0()0(-=-+=f f f f ∴01)0(≠=f∴函数)(x f 不是奇函数;（2）任取∈21,x x R ,且21x x <,则012>-x x∵当0>x 时,1)(>x f ,∴()112>-x x f∴()()()()()()()11121112121)(x f x f x x f x f x x x f x f x f --+-=-+-=- ()0112>--=x x f∴()()12x f x f >∴)(x f 在R 上是增函数;（3）由（1）可知:1)0(=f∵()1232<--m m f∴())0(232f m m f <--∵)(x f 在R 上是增函数∴0232<--m m ,解之得:132<<-m ∴不等式()1232<--m m f 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,32. 例47. 设)(x f y =是定义在()+∞,0上的减函数,且满足())()(y f x f xy f +=, 131=⎪⎭⎫ ⎝⎛f . （1）求)1(f ,⎪⎭⎫ ⎝⎛91f ,)9(f 的值; （2）若2)2()(<--x f x f ,求x 的取值范围.解:（1）令1==y x ,则有)1(2)1()1()1(f f f f =+=,∴0)1(=f ;令31==y x ,则有212313191=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f ; ∵01)3(31)3(313)1(=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=f f f f f ∴1)3(-=f∴()2)3(2)3()3(33)9(-==+=⨯=f f f f f ;（2）∵2)2()(<--x f x f ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<91)2()(f x f x f ∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛-<x f x f 291)( ∵)(x f y =是定义在()+∞,0上的减函数 ∴()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧->>->x x x x 29102910,解之得:251<<x . ∴x 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛2,51. ☆例48. 设)(x f 是定义在()()+∞∞-,00, 上的函数,且满足()()()y f x f xy f +=,当1>x 时,()0<x f .（1）求)1(f 的值,并证明)(x f 是偶函数;（2）证明函数)(x f 在()+∞,0上单调递减;（3）若1)3(-=f ,)8()(-+x f x f ≥2-,求x 的取值范围. 解:（1）令1==y x ,则有)1(2)1()1()1(f f f f =+=,∴0)1(=f ; ∵)(x f 是定义在()()+∞∞-,00, 上的函数∴其定义域关于原点对称.令1-==y x ,则有()()()01211)1(=-=-+-=f f f f ,∴()01=-f . 令1-=y ,则有()())(1)(x f f x f x f =-+=-∴)(x f 是偶函数;（2）证明:任取∈21,x x ()+∞,0,且21x x <,则112>x x ∵当1>x 时,()0<x f ,∴012<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x f ∴()()()()()0121112111212<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-x x f x f x f x x f x f x x x f x f x f ∴()()21x f x f >.∴函数)(x f 在()+∞,0上单调递减;（3）解:∵1)3(-=f∴令3==y x ,则有2)3(2)3()3()9(-==+=f f f f ∴)8()(-+x f x f ≥)9(f∴())8(-x x f ≥)9(f∵函数)(x f 是偶函数∴()()8-x x f ≥)9(f∵函数)(x f 在()+∞,0上单调递减; ∴()()⎩⎨⎧≠-≤-0898x x x x ,解之得:1-≤x ≤74-或74+≤x ≤9,且0≠x ,8≠x . ∴x 的取值范围是[)(][)(]9,88,7474,00,1 +--. 例49. 若函数1)(++-=bx a x x f 为区间[]1,1-上的奇函数,则它在这一区间上的最大值为_________.解:∵函数)(x f 为区间[]1,1-上的奇函数∴0)0(=f ,∴0=a ∴1)(+-=bx x x f ∵())1(1f f --,∴1111+=+---b b ,解之得:0=b ∴x x f -=)(,在区间[]1,1-上为减函数 ∴()11)(max =-=f x f .例50. 已知函数32)(2-+-=x x x f .（1）求)(x f 在区间[]2,12-a 上的最小值()a g ;（2）求)(a g 的最大值. 解:（1）由题意可知:212<-a ,解之得:23<a . ()2132)(22---=-+-=x x x x f ,其图象的开口向下,对称轴为直线1=x . 当12212<+-a ,即21<a 时,684)12()(2min -+-=-=a a a f x f ∴()6842-+-=a a a g ; 当2212+-a ≥1,即21≤23<a 时,()()32min -==f x f ∴3)(-=a g .综上所述,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<-+-=2321,321,684)(2a a a a a g ; （2）由（1）可知:3)(max -=a g .。

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函数的奇偶性的归纳总结考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。

教学目标：1、理解函数奇偶性的概念；2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法；3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法；4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。

教学重点：1、理解奇偶函数的定义；2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。

教学难点：1、对奇偶性定义的理解；2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。

教学过程：一、知识要点：1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。

一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。

理解：(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。

这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象：奇函数⇔图象关于原点成中心对称的函数，偶函数⇔图象关于y 轴对称的函数。

4、函数奇偶性的性质：①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。

②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。

③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。

奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a<b)上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上也是单调递增（减）；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。

偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a<b ）上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上单调递减（增）④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。

⑤若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数。

复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. 5、判断函数奇偶性的方法：⑴、定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-〔或()()1=-x f x f 或()()0=--x f x f 〕⇔函数f （x ）是偶函数；对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-〔或()()1-=-x f x f 或()()0=+-x f x f ⇔函数f （x ）是奇函数；判断函数奇偶性的步骤：①、判断定义域是否关于原点对称； ②、比较)(x f -与)(x f 的关系。

③、扣定义，下结论。

⑵、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y 轴对称的函数是偶函数。

，⑶、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数； ②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。

③若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==。

二、典例分析1、给出函数解析式判断其奇偶性：分析：判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系.【例1】判断下列函数的奇偶性： (1). 2()21;f x x x =-+ (2) . 223(),0;3x x f x x x x x ++⎧⎫=∈≥⎨⎬-⎩⎭解：()f x 函数的定义域是()-∞+∞，， ∵ 2()21f x x x =-+，∴2()()21f x x x -=---+221()x x f x =-+=，∴ 2()21f x x x =-+为偶函数。

（法2—图象法）：画出函数2()21f x x x =-+的图象如下：由函数2()21f x x x =-+的图象可知，2()21f x x x =-+为偶函数。

说明：解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、填空题可用图象法判断函数的奇偶性。

(2) . 解：由303x x +≥-，得x ∈(－∞，－3］∪(3，+∞). ∵定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数.【例2】判断下列函数的奇偶性：(1). ();f x =(2) . 3()3sin(2);2f x x π=- (3). 021()1x f x x -=-。

解： (1).由240330x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩，解得2206x x x -≤≤⎧⎨≠≠-⎩且 ∴定义域为－2≤x ＜0或0＜x ≤2，则();33f x x x ==+-.∴()();f x f x x-===-.∴()f x =为奇函数.说明：对于给出函数解析式较复杂时，要在函数的定义域不变情况下，先将函数解析式变形化简，然后再进行判断。

(2) .函数3()3sin(2)2f x x π=-定义域为R ， ∵3()3sin(2)3cos 22f x x x π=-=-， ∴()3cos 2()3cos 2()f x x x f x -=--=-=，∴ 函数3()3sin(2)2f x x π=-为偶函数。

(3). 由2010x x ≠⎧⎨-≠⎩，解得 01x x ≠⎧⎨≠±⎩，∴ 函数定义域为{}0,1x R x x ∈≠≠±，又∵022111()011x f x x x --===--，∴()0f x -=， ∴()()f x f x -=且()()f x f x -=-，所以022111()011x f x x x --===-- 既是奇函数又是偶函数。

【例3】判断下列函数的奇偶性：(1). 0.5()log (f x x =+；(2). (1),(0)()0,(0)(1),(0)x x x f x x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩解：(1) . 定义域为R ，∵220.50.5()()log (()1)log (1)f x f x x x x x -+=-+-++++20.50.5log ((1))log 10x x =+-==，∴ f (－x )=－f (x )，所以f (x )为奇函数。

说明：给出函数解析式判断其奇偶性，一般是直接找()f x -与()f x 关系，但当直接找()f x -与()f x 关系困难时，可用定义的变形式：()()0=--x f x f ⇔函数f （x ）是偶函数；()()0=+-x f x f ⇔函数f （x ）是奇函数。

(2) .函数的定义域为R ，当0x >时，0,()()(1)(1)();x f x x x x x f x -<-=--=--=- 当0x =时，0,()0();x f x f x -=-==-当0x <时，[]0,()()1()(1)().x f x x x x x f x ->-=---=-+=-综上可知，对于任意的实数x ，都有()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数。

说明：分段函数判断奇偶性，必分段来判断，只有各段为同一结果时函数才有奇偶性。

分段函数判断奇偶性，也可用图象法。

2、抽象函数判断其奇偶性：【例4】已知函数()(0),f x x R x ∈≠且对任意的非零实数1,2,x x 恒有1212()()(),f x x f x f x ⋅=+判断函数()(0)f x x R x ∈≠且的奇偶性。

解：函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，令121x x ==，得(1)0f =，令121x x ==-，则2(1)(1),(1)0,f f f -=∴-= 取121,x x x =-=，得()(1)(),f x f f x -=-+()(),f x f x ∴-=故函数()(0)f x x R x ∈≠且为偶函数。

3、函数奇偶性的应用：(1) . 求字母的值：【例5】已知函数21()(,,)ax f x a b c Z bx c+=∈+是奇函数，又(1)2f =，(2)3f <，求,,a b c 的值.解：由()()f x f x -=-得()bx c bx c -+=-+，∴0c =。

又(1)2f =得12a b +=，而(2)3f <得4132a b+<，∴4131a a +<+，解得12a -<<。

又a Z ∈，∴0a =或1a =.若0a =，则12b Z =∉，应舍去；若1a =，则1b Z =∈b =1∈Z .∴1,1,0a b c ===。

说明：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想(建立方程或不等式，组成混合组)，使问题得解.有时也可用特殊值，如 f (－1)=－f (1)，得c =0。

(2) . 解不等式：【例6】若f (x )是偶函数，当x ∈［0，+∞)时，f (x )=x －1，求f (x －1)＜0的解集。

分析：偶函数的图象关于y 轴对称，可先作出f (x )的图象，利用数形结合的方法. 解：画图可知f (x )＜0的解集为｛x ｜－1＜x ＜1｝， ∴f (x －1)＜0的解集为｛x ｜0＜x ＜2｝. 答案：｛x ｜0＜x ＜2｝说明：本题利用数形结合的方法解题较快、简捷.本题也可先求f (x )的表达式，再求f (x －1)的表达式，最后求不等式的解也可得到结果. (3) . 求函数解析式：【例7】已知f (x )是R 上的奇函数，且x ∈(－∞，0)时，f (x )=－x lg(2－x )，求f (x ). 分析：先设x ＞0，求f (x )的表达式，再合并. 解：∵f (x )为奇函数，∴f (0)=0.当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )=x lg(2+x )，即－f (x )=x lg(2+x )， ∴f (x )=－x lg(2+x ) (x ＞0). ∴lg(2)(0)()lg(2)(0)x x x f x x x x --<⎧=⎨-+≥⎩。

说明：注意自变量在区间上的转化，分段函数的处理和分类讨论的思想紧密相连。

三、巩固训练：一、选择题1.若y =f (x )在x ∈［0，+∞)上的表达式为y =x (1－x )，且f (x )为奇函数，则x ∈(－∞，0］时f (x )等于A.－x (1－x )B.x (1+x )C.－x (1+x )D.x (x －1)2.已知四个函数：①21log 1xy x+=-， ②11x x e y e -=+，③ y =3x +3-x ，④ y =lg(3x +3-x ).其中为奇函数的是A.②④B.①③C.①④D.①②3.已知y =f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=x 2－2x ，则在R 上f (x )的表达式为 A.－x (x －2) B. x （｜x ｜－2） C.｜x ｜(x －2) D.｜x ｜（｜x ｜－2）二、填空题4.已知f (x )=ax 2+bx +3a +b 是偶函数，且定义域为［a －1，2a ］，则a =_____________，b =____________.5.若1()21x f x a =+- (x ∈R 且x ≠0)为奇函数，则a =_______________.6.已知f (x )=ax 7－bx +2且f (－5)=17，则f (5)=_______________.7.已知()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，当03x <<时，()f x 的图像如右图所示，那么不等式()cos 0f x x ⋅<的解集是_____________三、解答题 8.已知11()()2()G x f x f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦且x =ln f (x )，判定G (x )的奇偶性。