2019年高考数学一轮复习理科： 21 函数y=Asinωx+φ的图像及应用
高考数学一轮复习讲义4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
ω 2ω ω
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝sin
x－π 4 的图象是由 y＝sin
x＋π 4
的图象向右平移π个单位长度得到的．(
√
)
2
(2) 将 函 数 y ＝ sin ωx 的 图 象 向 右 平 移 φ(φ>0) 个 单 位 长 度 ， 得 到 函 数 y ＝ sin(ωx － φ) 的 图
如下表所示：
x ωx＋φ
0－φ ω
0
π－φ 2
ω
π 2
π－φ ω
π
3π－φ 2
ω
3π 2
2π－φ ω
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.函数 y＝sin x 的图象经变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
概念方法微思考 1．怎样从 y＝sin ωx 的图象变换得到 y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象？ 提示 向左平移φ个单位长度．
解析 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为 2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距
离为 π2＋4.
π 8．(2018·沈阳质检)若函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则 f 4
的值为________．
答案 3
解析 由题干图象可知 A＝2，3T＝11π－π＝3π， 4 12 6 4
8
4
πx＋3π 所以 y＝10sin 8 4 ＋20，x∈[6,14]．
2019高考数学复习：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
第4节函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用最新考纲 1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝A sin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.知识梳理1.“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示.(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象.(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝A sin(ωx＋φ)在R上的图象.2.函数y＝A sin(ωx＋φ)中各量的物理意义当函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示简谐振动时，几个相关的概念如下表：3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的两种途径[常用结论与微点提醒]1.由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移ϕω个单位长度而非φ个单位长度.2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)将函数y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( )(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( )(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(4)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )解析 (1)将函数y ＝3sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3cos 2x .(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω.故当ω≠1时平移的长度不相等.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(必修4P56T3改编)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为( )A.2，4π，π3B.2，14π，π3 C.2，14π，－π3D.2，4π，－π3解析 由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.答案 C3.(2016·全国Ⅰ卷)若将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3解析 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D. 答案 D4.(2018·长沙模拟改编)y ＝cos(x ＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.解析 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为π2＋4. 答案π2＋45.(2018·沈阳质检)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________.解析 由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π， ∴ω＝2.∵当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝2cos π6＝ 3.答案3考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换【例1】 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值. 解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z .令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.规律方法 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法： (1)五点法作图，用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.【训练1】 (2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析 易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，因此D 项正确. 答案 D考点二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】 (1)(一题多解)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________.(2)(2018·西安质检)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为22，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f (x )＝________.解析 (1)由题图可知A ＝2， 法一 T 4＝7π12－π3＝π4， 所以T ＝π，故ω＝2， 因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对应五点法作图中的第三个点， 因此2×π3＋φ＝π，所以φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.法二 以⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0为第二个“零点”，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2为最小值点， 列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ω·π3＋φ＝π，ω·7π12＋φ＝3π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2， φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)依题意得22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2＝22，则πω＝2，即ω＝π2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ，由于该函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，因此sin(π＋φ)＝－12，即sin φ＝12，而－π2≤φ≤π2，故φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6.答案 (1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6规律方法 已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)五点法，由ω＝2πT 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.【训练2】 (2018·茂名一模)如图所示，函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (x )的图象的一个对称中心是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0 解析 由题中函数图象可知：A ＝2， 由于函数图象过点(0，3)，所以2sin φ＝3，即sin φ ＝32，由于|φ|<π2，所以φ＝π3，则有f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由2x ＋π3＝k π，k ∈Z 可解得x ＝k π2－π6，k ∈Z ，故f (x )的图象的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π6，0，k ∈Z ，则f (x )的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，故选B. 答案 B考点三 三角函数模型及其应用【例3】 如图，某大风车的半径为2 m ，每12 s 旋转一周，它的最低点O 离地面0.5 m.风车圆周上一点A 从最低点O 开始，运动t (s)后与地面的距离为h (m).(1)求函数h ＝f (t )的关系式；(2)画出函数h ＝f (t )(0≤t ≤12)的大致图象.解 (1)如图，以O 为原点，过点O 的圆的切线为x 轴，建立直角坐标系.设点A 的坐标为(x ，y )，则h ＝y ＋0.5. 设∠OO 1A ＝θ，则cos θ＝2－y2， y ＝－2cos θ＋2.又θ＝2π12×t ，即θ＝π6t ，所以y ＝－2cos π6t ＋2，h ＝f (t )＝－2cos π6t ＋2.5(t ≥0).(2)函数h ＝－2cos π6t ＋2.5(0≤t ≤12)的大致图象如下.规律方法 三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题.【训练3】 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.解析 因为当x ＝6时，y ＝a ＋A ＝28；当x ＝12时，y ＝a －A ＝18，所以a ＝23，A ＝5， 所以y ＝f (x )＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6），所以当x ＝10时，f (10)＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4＝23－5×12＝20.5. 答案 20.5考点四 y ＝A sin(ωx ＋φ)图象与性质的综合应用【例4】 (2018·昆明诊断)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a (ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间. 解 (1)f (x )＝4cos ωx · sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a＝4cos ωx ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＋a＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1＋a .当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a .又f (x )最高点的纵坐标为2，∴3＋a ＝2，即a ＝－1. 又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π， ∴f (x )的最小正周期为T ＝π， ∴2ω＝2πT ＝2，ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z .令k ＝0，得π6≤x ≤2π3.∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.规律方法 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的单调区间和对称性的确定，基本思想是把ωx ＋φ看做一个整体.(1)在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性.(2)对称性是三角函数图象的一个重要性质，因此要抓住其轴对称、中心对称的本质，同时还要会综合利用这些性质解决问题，解题时可利用数形结合思想.【训练4】 (2018·桂林调研)已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为( )A.－2B.－1C.－ 2D.－ 3解析 ∵x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π6(k ∈Z ).∵0<φ<π，∴φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴g (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－1.答案 B基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2018·华中师大高考联盟质检)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，只需将函数y＝sin 2x 的图象( ) A.向左平移π8个单位 B.向右平移π4个单位 C.向左平移π4个单位D.向右平移π8个单位解析 由y ＝sin 2x 的图象得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象只需向左平移π8个单位，故选A. 答案 A2.(2016·全国Ⅱ卷)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3解析 由题图可知，A ＝2，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.答案 A3.(2018·合肥二模)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期是π，则其图象向右平移π3个单位后对应函数的单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z ) 解析 由函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期是π，得2πω＝π，解得ω＝2，则f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.将其图象向右平移π3个单位后，对应函数的解析式为y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得所求单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ). 答案 B4.(2018·西安质检)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A.－32B.－12C.12D.32解析 依题设，平移后得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象，又该图象关于原点对称，则π3＋φ＝k π，k ∈Z ，由|φ|<π2，得φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以当2x －π3＝－π3时，f (x )取最小值－32.答案 A5.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值为( )A.2 2B. 2C.－22D.－24解析 依题意得f ′(x )＝Aωcos(ωx ＋φ)，结合函数y ＝f ′(x )的图象，则T ＝2πω＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π，ω＝2. 又Aω＝1，因此A ＝12.因为0<φ<π，3π4<3π4＋φ<7π4，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝－1，所以3π4＋φ＝π，即φ＝π4，f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－12×22＝－24.答案 D 二、填空题6.(必修4P60例1改编)如图，某地一天，从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)，则这段曲线的函数解析式为________.解析 从题图中可以看出，从6～14时是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期， 又12×2πω＝14－6，所以ω＝π8.由图可得A ＝12(30－10)＝10，b ＝12(30＋10)＝20. 又π8×10＋φ＝2π，解得φ＝3π4，∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6，14].答案 y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6，14]7.(2018·大连双基测试)函数f (x )＝sin x ＋cos x 的图象向右平移t (t >0)个单位长度后所得函数为偶函数，则t 的最小值为________.解析 函数f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，其图象向右平移t (t >0)个单位长度后所得函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －t ＋π4为偶函数，则－t ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )，即t ＝－π4－k π(k ∈Z )，又t >0，∴当k ＝－1时，t min ＝3π4.答案 3π48.已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝______________________________________________________. 解析 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2 (k ∈Z ).∴ω＝8k ＋143 (k ∈Z )，因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143. 答案 143 三、解答题9.设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象. 解 (1)∵T ＝2πω＝π，ω＝2， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝32，∴sin φ＝－32，又－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3.(2)由(1)得f (x )＝cos⎛⎪⎫2x －π，列表：描点画出图象(如图).10.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.解 (1)因为f (x )的图象上相邻最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，因为－π2≤φ＜π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4－π6＝3sin π3＝32.(2)将f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12的图象， 所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6 ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )时，g (x )单调递减.因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ). 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018·惠州调研)已知函数f (x )＝sin x ＋λcos x (λ∈R )的图象关于直线x ＝－π4对称，把函数f (x )的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )图象的一条对称轴方程为( ) A.x ＝π6B.x ＝π4C.x ＝π3D.x ＝11π6解析 由f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，可得λ＝－1，所以f (x )＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，g (x )＝2·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －5π12，令12x －5π12＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝2k π＋11π6，k ∈Z .当k ＝0时，对称轴的方程为x ＝11π6. 答案 D12.(2018·湖北七市联考)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，再向上平移2个单位，得到g (x )的图象，若g (x 1)·g (x 2)＝9，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则|x 1－x 2|的最大值为________.解析 由题意，得g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2，所以g (x )max ＝3.又g (x 1)·g (x 2)＝9，所以g (x 1)＝g (x 2)＝3，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1，所以2x ＋π3＝π2＋2kπ(k ∈Z )⇒x ＝π12＋k π(k ∈Z ).又因为x 1，x 2∈[－2π，2π]，所以x 1，2＝π12＋π，π12，π12－π，π12－2π，从而|x 1－x 2|max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－2π＝3π. 答案 3π13.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24). (1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 解 (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温， 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18. 在10时至18时实验室需要降温.。
2019届高考理科数学一轮复习学案：第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图像
第19讲函数y=A sin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用课前双击巩固1.y=A sin(ωx+φ)的有关概念振幅周期频率相位初相y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)AT=f==2.用五点法画y=A sin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:xωx+φy=A sin(ωx+φ)0A0-A03.函数y=sin x的图像经变换得到y=A sin(ωx+φ)的图像的步骤图3-19-1题组一常识题1.[教材改编]函数y=sin x的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍得到的图像对应的函数解析式是.2.[教材改编]某函数的图像向右平移个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y=sin,则原函数的解析式是.3.[教材改编]若函数f(x)=sinωx(0<ω<2)在区间0,上单调递增,在区间,上单调递减,则ω=.4.[教材改编]已知简谐运动f(x)=2sin x+φ的图像经过点(0,1),则该简谐运动的初相φ为.题组二常错题◆索引:图像平移多少单位长度容易搞错;不能正确理解三角函数图像对称性的特征;三角函数的单调区间把握不准导致出错;确定不了函数解析式中φ的值.5.为得到函数y=cos的图像,只需将函数y=sin2x的图像向平移个单位长度.6.设ω>0,若函数f(x)=sin cos在区间上单调递增,则ω的取值范围是.7.若f(x)=2sin(ωx+φ)+m对任意实数t都有f=f,且f=-3,则实数m=.8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的部分图像如图3-19-2所示,则φ=.图3-19-2课堂考点探究探究点一函数y=A sin(ωx+φ)的图像变换1(1)[2016·全国卷Ⅰ]将函数y=2sin2x+的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为()A.y=2sin2x+B.y=2sin2x+C.y=2sin2x-D.y=2sin2x-(2)[2018·安徽江南十校联考]函数y=cos2x的图像可以由函数y=sin2x的图像经过平移而得到,这一平移过程可以是()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度[总结反思]由y=sin x的图像变换到y=A sin(ωx+φ)的图像,两种变换中平移的量的区别:先平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位长度;而先伸缩再平移,平移的量是(ω>0)个单位长度.特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx 加减多少值.式题(1)[2017·雅安三诊]把函数y=sin x的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向右平移个单位长度,所得图像的函数解析式为()A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin(2)为了得到函数y=sin3x+cos3x的图像,可以将函数y=cos3x的图像()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度探究点二函数y=A sin(ωx+φ)的图像与解析式2(1)[2017·马鞍山三模]已知函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图像如图3-19-3所示,则φ=.图3-19-3(2)已知函数f(x)=M sin(ωx+φ)M>0,|φ|<的部分图像如图3-19-4所示,其中A(2,3)(点A为图像的一个最高点),B-,0,则函数f(x)=.图3-19-4[总结反思]利用图像求函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式主要从以下三个方面考虑:(1)根据最大值或最小值求出A的值.(2)根据周期求出ω的值.(3)根据函数图像上的某一特殊点求出φ的值.式题已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图像如图3-19-5所示,且A,1,B(π,-1),则φ值为.图3-19-5探究点三函数y=A sin(ωx+φ)的图像与性质3(1)[2017·惠州模拟]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)的最小正周期是π,将函数f(x)的图像向左平移个单位长度后所得图像过点P(0,1),则函数f(x)=sin(ωx+φ) ()A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增(2)[2017·西宁二模]函数y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图像如图3-19-6所示,A,B分别为最高点与最低点,且|AB|=2,则该函数图像的一条对称轴为()图3-19-6A.x=B.x=-C.x=2D.x=1[总结反思]求y=A sin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式的一般步骤.(1)求A,B.确定函数的最大值M和最小值m,则A=,B=.(2)求ω.确定函数的周期T,则ω=.(3)求φ.常用方法如下:①代入法:把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入.②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.式题[2017·长安一中质检]已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的部分图像如图3-19-7所示,若f(0)=,且·=-8,B,C分别为最高点与最低点.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若将f(x)的图像向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图像,求函数g(x)在区间0,上的最大值和最小值.图3-19-7探究点四三角函数模型的简单应用4有一个半径为4m的水轮(如图3-19-8),水轮的圆心O距离水面2m,已知水轮逆时针转动,且每分钟转动4圈,当水轮上的点P从水中浮现(即到达图中点P)时开始计时.(1)将点P距离水面的高度h(m)表示为时间t(s)的函数;(2)在水轮转动一圈的过程中,有多长时间点P距水面的高度超过4m.图3-19-8[总结反思](1)解三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式,可以根据给出的已知条件确定模型f(x)=A sin(ωx+φ)+k中的待定系数.(2)把实际问题“翻译”为函数f(x)所满足的条件,通过数学运算得到相关结论,最后把数学结论“翻译”为实际问题的答案.式题某城市一年中12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+A cos(x-6)(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28℃,12月份的月平均气温最低,为18℃,则10月份的月平均气温为℃.。
2019年高考数学考点19函数y=Asin(ωxφ)的图像必刷题理
考点19 函数y=Asin（ωx+φ）的图像1．已知函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中，则函数g（x）=cos（2x-φ）的图象（）A．关于点对称 B．关于轴对称C．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到 D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到【答案】A2．设，函数的图像向左平移个单位后与原图重合，则的最小值是（）A． B． C． D． 3【答案】D【解析】∵图象向左平移个单位后与原图象重合∴是一个周期∴ω≥3 所以最小是3故选：D．3．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】B【解析】,故应向右平移个单位长度.故选B.4．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有点（）A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度【答案】B5．将函数y=3sin（2x+）的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点（，0）中心对称A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】B6．把的图像向左平移个单位，再把所得图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，所得的图像的解析式为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，得y=sin（2x+），即y=cos2x的图象，把y=cos2x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cosx的图象；故选：B．7．将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，则a的值可以为（）A． B． C． D．【答案】C8．如图，己知函数的图象关于点M(2，0)对称，且f(x)的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象；则下列是g(x)的单调递增区间的为( )A． B． C． D．【答案】D【解析】由图象可知，因为的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，9．已知函数，的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象D．若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是【答案】D10．函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则的值为A． B． C． D．【答案】B【解析】把函数的图象向右平移哥单位后，得到的图象，根据所得图象与函数的图象重合，可得，令时，，故选B.11．函数的最小正周期为，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象（）A．关于点对称 B．关于点对称C．关于直线对称 D．关于直线对称【答案】C12．函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】C13．函数其中（）的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（）A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平衡个长度单位【答案】A14．已知函数的周期为，若将其图象沿x轴向右平移a个单位，所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为A． B． C． D．【答案】D【解析】15．为了得函数的图象，只需把函数的图象（）A．向左平移个单位 B．向左平移单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位【答案】A不妨设函数的图象沿横轴所在直线平移个单位后得到函数的图象。
2019届高三数学(理)一轮课件：第19讲-函数y=Asin(ωx+φ)的图像
教学参考
3.[2015·全国卷Ⅱ] 如图 3-19-1,长方形 A
AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 DA 运动,记∠BOP=x.将动点 P
教学参考
4.[2016·全国卷Ⅲ] 函数 y=sin x- 3cos x 的
函数 y=sin x+ 3cos x 的图像至少向右平 个单位长度得到.
π
课堂考点探究
[答案] (1)D (2)C
[解析] (1)函数 y=2sin 2x+π6 的周期为22π
即平移π
4
个单位,所得图像对应的函数为
课堂考点探究
[总结反思] 由 y=sin x 的图像变换到 y 平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位长度 特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针
课堂考点探究
变式题 (1)[2017·雅安三诊] 把函数 y=s
课堂考点探究
[思路点拨] (1)利用函数 y=Asin(ωx+φ) 的单调性,求出所给函数的单调性.(2)根
课堂考点探究
[答案] (1)B (2)D
[解析] (1)∵函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0
函数 f(x)的图像向左平移π个单位长度
课堂考点探究
(2)由函数 y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为
教师备用例题
例 2 [配合例 3 使用] [2017·宜春四校 联考] 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) 其中 ω>0,|φ|<π2 ,若将函数图像向左平移1π2
教师备用例题
例 3 [配合例 4 使用] 如图所示,某市政府 楼 O 为中心,正北方向和正东方向的马路 域内建造一座图书馆.为了充分利用这块
高考一轮复习：函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用
又 T=6,故选 A.
答案 A
高考总复习·数学（理科）
2.若函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,则ω=(
A.5 B.4
C.3 D.2
).
高考总复习·数学（理科）
解析
答案
由函数图象可知=(x0+)-x0=,所以 T=,所以ω=4.
B
高考总复习·数学（理科）
正确“列表、描点、连线”;(3)按照图象变换规律进行即可.
解析
(1)y=2sin(2x+)的振幅 A=2,周期 T= =π,初相φ=.
(2)令 X=2x+ ,则 y=2sin(2x+ )=2sin X.
高考总复习·数学（理科）
列表如下:
x
-
X
0
y=sin X
0
高考总复习·数学（理科）
(1)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,- ≤φ≤ )的图象
上的相邻的最高点和最低点的距离为 2
析式 f(x)=
.
,且过点(2,-),则函数解
高考总复习·数学（理科）
(2)函数
f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, <
φ<)的部分图象如图所示,则ω和φ的值分
坐标不变),即可得到
y=2sin(2x+ )的图象.
高考总复习·数学（理科）
(1)(2016 全国Ⅲ卷)函数 y=sin x- cos x 的图象可由函
高考数学一轮总复习第4章三角函数第4节函数y=Asinωx+φ的图象及简单应用教师用书
第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及简单应用考试要求：1．结合具体实例，了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的实际意义．2．能借助图象理解参数A ，ω，φ的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．3．会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．一、教材概念·结论·性质重现1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ≥0)振幅周期频率相位初相A T ＝f ＝＝ωx ＋ φ φ2．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示：ωx ＋φ0π2πxy ＝A sin(ωx＋φ)0A 0－A 01．五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凹凸方向．3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种途径：由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要平移个单位长度，而不是|φ|个单位长度．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．( × )(2)函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A．( × )(3)若函数y＝A sin(ωx＋φ)(A≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．( √ )(4)函数y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为．( √ ) 2．(2021·常州一模)已知函数f(x)＝2sin x，为了得到函数g(x)＝2sin的图象，只需( )A．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位长度B．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位长度C．先将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的D．先将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍B 解析：将f(x)＝2sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的函数解析式为f(x)＝2sin 2x；再将函数f(x)＝2sin 2x图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数f(x)＝2sin．3．函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期是π，则其图象向右平移个单位长度后得到的图象对应函数的单调递减区间是( )A．(k∈Z)B．(k∈Z)C．(k∈Z)D．(k∈Z)B 解析：由题意知ω＝＝2，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝cos＝cos＝sin 2x的图象，由2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，解得函数的单调递减区间为(k∈Z)．4．(2021·东城区一模)已知函数f(x)＝A sin(2x＋φ)，其中x和f(x)部分对应值如表所示：x－0f(x)－2－2－222那么A＝________．4 解析：由题意得f(0)＝A sin φ＝－2，f＝－A cos φ＝－2，所以A2(sin2φ＋cos2φ)＝16，因为A＞0，所以A＝4．5．函数y＝A sin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝ ．3 解析：观察函数图象可得周期T＝，故T＝＝，所以ω＝3．考点1 由图象确定y＝A sin ωx＋φ 的解析式——基础性1．(2022·银川模拟)已知函数y＝sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则此函数的解析式可以是( )A．y＝sinB．y＝sinC．y＝sinD．y＝sinC 解析：由函数y＝sin(ωx＋φ)的图象知，T＝2×＝π，ω＝＝2，由五点法画图知，是函数图象的第三个关键点，即2×＋φ＝π，解得φ＝，所以此函数的解析式是y＝sin．2．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)满足f＝f(x)，且f(x)的图象如图所示，则φ＝( )A． B．－C． D．－D 解析：因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)满足f＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，结合图象，－＝×，所以ω＝2．结合五点法作图可得，2×＋φ＝，所以φ＝－．3．(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝________．－ 解析：由题意可得T＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2，当x＝时，ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ，所以φ＝2kπ－π(k∈Z)，令k＝1可得φ＝－，据此有f(x)＝2cos，f ＝2cos＝2cos＝－．4．如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数T＝A sin(ωt＋φ)＋b，则这段曲线对应的函数解析式为____________．y＝10sin＋20，x∈[6,14] 解析：从题图中可以看出，6～14时是函数y＝A sin(ωx＋φ)＋b的半个周期，所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20．又×＝14－6，所以ω＝．又×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝，所以y＝10sin＋20，x∈[6,14]．1．由图象求解析式问题，求①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝＋kπ，k∈Z；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝＋kπ，k∈Z．考点2 函数y＝A sin ωx＋φ 的图象变换——综合性(1)(2021 ·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝( )A．sin B．sinC．sin D．sinB 解析：由已知的函数y＝sin逆向变换，第一步：向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象，即为y＝f(x)的图象，所以f(x)＝sin．(2)(2021·山西二模)将函数y＝sin的图象沿x轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度得到y ＝cos 2x的图象，则φ的值可能为( )A． B．C． D．A 解析：将函数y＝sin的图象沿x轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到y＝sin＝sin＝cos＝cos＝cos．若要得到y＝cos 2x的图象，则－2φ－＝2kπ，即φ＝－kπ－，k∈Z．因为φ＞0，所以当k＝－1时，φ＝．本例(1)若改为：函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数y＝f(x)的图象，则f(x)＝________．sin 解析：函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin，向右平移个单位长度得到函数f(x)＝sin＝sin．1．由函数y移后伸缩”与“先伸缩后平移”．要特别注意这两种情况下平移的单位长度．2．当变换前后解析式三角函数名称不同时，要注意利用诱导公式转化．1．(2022·泰安模拟)已知函数f(x)＝4sin的图象为C，为了得到函数g(x)＝4sin的图象，只要把C上所有点的( )A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D 解析：函数f(x)＝4sin的图象为C，为了得到函数g(x)＝4sin的图象，只要把C 上所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，即可．2．已知函数f(x)＝cos是偶函数，要得到函数g(x)＝sin 2x的图象，只需将函数f(x)的图象( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度C 解析：因为函数f(x)＝cos是偶函数，所以φ－＝kπ(k∈Z)．因为|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝cos 2x，要得到函数g(x)＝sin 2x＝cos的图象，只需将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度．考点3 三角函数模型及其应用——应用性(2021·上海模拟)如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A．风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到点A的距离与点P的高度之和为( )A．5米B．(4＋)米C．(4＋)米D．(4＋)米D 解析：以圆心O1为原点，以水平方向为x轴正方向，以竖直方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O离地面1米，12秒转动一圈．设∠OO1P＝θ，运动t(秒)后与地面的距离为f(t)．又T＝12，所以θ＝t，所以f(t)＝3－2cos t，t≥0；风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达点P，θ＝6π＋，P(，1)，所以点P的高度为3－2×＝4(米)．因为A(0，－3)，所以AP＝＝，所以点P到点A的距离与点P的高度之和为(4＋)米．三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数模型，再利用三角函数的有关知1．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4 m，P0在水平面上，盛水筒M 从点P0处开始运动，OP0与水平面所成角为30°，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式是( )A．H＝4sin＋2B．H＝4sin＋2C．H＝4sin＋2D．H＝4sin＋2A 解析：以O为原点，过点O的水平直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，因为∠xOP0＝30°＝，所以OM在 t(s) 内转过的角度为t＝t，所以以x轴为始边，以OM为终边的角为t－，则点M的纵坐标为4sin，所以点M距水面的高度H(m)表示为时间 t(s) 的函数是H＝4sin＋2．2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7 000元的基础上，按月呈f(x)＝A sin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)．已知3月份达到最高价9 000元，9月份价格最低，为5 000元，则7月份的出厂价格为________元．6 000 解析：作出函数简图如图：三角函数模型为y＝A sin(ωx＋φ)＋B，由题意知A＝(9 000－5 000)＝2 000，B＝7 000，T＝2×(9－3)＝12，所以ω＝＝．将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有×3＋φ＝，所以φ＝0，故f(x)＝2 000sin x＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)．所以f(7)＝2 000×sin＋7 000＝6 000(元)．故7月份的出厂价格为6 000元．考点4 三角函数图象与性质的综合问题——综合性(1)(多选题)将函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为y＝g(x)，则下列结论正确的是( )A．函数g(x)的图象关于直线x＝对称B．函数g(x)的图象关于点对称C．函数g(x)在上单调递减D．函数g(x)在[0,2π]上恰有4个极值点AD 解析：函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为y＝g(x)＝2sin的图象，对于A：当x＝时，g＝2，故A正确．对于B：当x＝时，g＝2sin＝，故B错误．对于C：当x∈时，2x－∈，故函数在该区间上单调递增，故C错误．对于D：令2x－＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，当k＝0,1,2,3时，x＝，，，，正好有4个极值点，故D正确．(2)已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是( )A． B．(－2,2)C．(－2，－) D．(－2，－1)D 解析：方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，x∈．设2x＋＝t，则t∈，题目条件可转化为＝sin t，t∈，有两个不同的实数根．所以y＝和y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，的范围为，故m的取值范围是(－2，－1)．已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在x∈上有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是________．1≤m＜2 解析：2sin2x－sin 2x＋m－1＝－cos 2x－sin 2x＋m＝－2sin＋m．因为x∈，所以2x＋∈．要使方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在x∈上有两个不同的实数根，则2x＋∈且2x ＋≠，此时2sin∈[1,2)，所以1≤m＜2．1．研究y＝1．(2021·运城模拟)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则下列结论错误的是( )A．f(x)＝2sinB．若把f(x)的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，则得到的函数在[－π，π]上是增函数C．若把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，则所得图象对应的函数是奇函数D．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－4π对称B 解析：由图象可得T＝－2π＝，所以T＝6π，所以ω＝＝．因为f(2π)＝2，所以f(2π)＝2sin＝2，即sin＝1，所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ＝2kπ－(k∈Z)．因为|φ|＜π，所以φ＝－．所以f(x)＝2sin，故A正确．把f(x)的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数为y＝2sin．因为x∈[－π，π]，所以－≤x－≤，所以y＝2sin在[－π，π]上不单调递增，故B错误．把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的函数为y＝2sin＝2sin x，是奇函数，故C正确．f(－4π)＝2sin＝2，是最值，故x＝－4π是f(x)的对称轴，故D正确．2．若将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则函数f(x)在上的最大值为( )A．2 B．C．1 D．A 解析：将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，得到的y＝2sin的图象关于y轴对称，所以φ＝，函数f(x)＝2sin．因为x∈，所以2x＋∈，则当2x＋＝时，函数f(x)在上的最大值为2．将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A ．B ．C ．D ．[四字程序]思路参考：构造正弦型函数的解析式．B 解析：y ＝cos x ＋sin x ＝2sin ，函数的图象向左平移m (m >0)个单位长度，得y ＝2sin 的图象．由x ＋m ＋＝k π＋(k ∈Z )，得函数y ＝2sin 的图象的对称轴为x ＝－m ＋k π(k ∈Z )．因为所得的图象关于y 轴对称，所以－m ＋k π＝0(k ∈Z )，即m ＝k π＋(k ∈Z )，则m 的最小值为．思路参考：构造余弦型函数的解析式．B 解析：函数y ＝cos x ＋sin x ＝2cos 的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到y ＝2cos 的图象．因为此函数图象关于y 轴对称，所以y ＝2cos 为偶函数，易知m 的最小值为．思路参考：根据图象对称轴与函数最值的关系．B 解析：由解法1，得y ＝2sin ．因为所得的图象关于y 轴对称，可得当x ＝0时，y ＝±2，进而sin ＝±1，易知m 的最小值为．思路参考：利用函数图象．B 解析：y＝cos x＋sin x＝2sin，可得此函数图象的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，可知离y轴最近的对称轴为x＝和x＝－．由图象向左平移m(m>0)个单位长度后关于y轴对称，易知m的最小值为．1．基于课程标准，解答本题一般需要提升运算求解能力、逻辑推理能力，体现逻辑推理、数学运算的核心素养．2．基于高考数学评价体系，本题涉及三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，渗透了转化与化归思想方法，有一定的综合性，属于中低档难度题．将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，所得函数g(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)在上的最大值为( )A．0 B．C． D．1D 解析：将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，可得函数g(x)＝sin的图象．根据所得图象关于原点对称，可得＋φ＝kπ．因为|φ|<，所以φ＝，f(x)＝sin．在上，2x＋∈，故当2x＋＝时，f(x)取得最大值为1．。
高考数学一轮总复习课件：函数y=Asin(ωx+φ)
sin
π
x＋
4
图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝
sin12x＋π4 的图象；再将图象上各点的纵坐标都伸长到原来的2倍(横坐标
不变)，得到y＝2sin12x＋π4 的图象，即y＝2cos－12x＋π4 的图象．
【答案】 见解析
(2)如何由y＝13sin2x＋π3 的图象得y＝sinx的图象．
例1
用五点法作出y＝2sin
2x＋π3
在[－
π 3
，
2π 3
]内的图
象．
【解析】 2·－π3 ＋π3 ＝－π3 ，2·2π 3 ＋π3 ＝5π 3 ，
令2x＋π3 ＝0，解得x＝－π6 .
ππ
π
2x＋ 3 ＝ 2 ，解得x＝12.
π
π
2x＋ 3 ＝π，解得x＝ 3 .
2x＋π3 ＝3π 2 ，解得x＝71π2 .
(2)变换作图．
相位
周期
振幅
①y＝sinx―变―换→y＝sin(x＋φ)―变―换→y＝sin(ωx＋φ)―变―换→y＝
Asin(ωx＋φ)
周期
相位
振幅
②y＝sinx―变―换→y＝sinωx―变―换→y＝sin(ωx＋φ)―变―换→
y＝Asin(ωx＋φ)
【说明】 前一种方法第一步相位变换是_向_左__(φ_>_0_)_或_向__右_(_φ_<_0_)
π
π
则ω＝ 3 －2kπ(k∈Z)，结合0<ω<2，得ω＝ 3 ，
所以f(x)＝sinπ3 x＋π6 ＝cosπ2 －π3 x－π6
＝cosπ3 （x－1），
所以只需将函数g(x)＝cos
π 3
2019年高考数学一轮： 第3章第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用学案 理
第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及应用[考纲传真] (教师用书独具)1.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数的图像，了解参数A ，ω，φ对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．(对应学生用书第54页)[基础知识填充]1．y ＝A sin (ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)，表示一个振动量时振幅 周期 频率 相位 初相A T ＝2πω f ＝1T ＝ω2πωx ＋φφy A ωx φx－φωπ2－φωπ－φω32π－φω2π－φωωx ＋φ 0 π2π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A图341[知识拓展]1．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝kπ＋π2，k∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)利用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图像左移π4个单位后所得图像的解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( ) (3)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图像是由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像向右平移π2个单位得到的．( )(4)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的振幅，频率和初相分别为( )A ．2,4π，π3B ．2，14π，π3C ．2，14π，－π3D ．2,4π，－π3C [由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.]3．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( ) A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向上平行移动π3个单位长度D ．向下平行移动π3个单位长度A [把函数y ＝sin x 的图像上所有的点向左平行移动π3个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像．]4．用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6在一个周期内的图像时，主要确定的五个点是________、________、________、________、________.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0；⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1；⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，0；⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，－1；⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6，0 [分别令x －π6＝0，π2，π，32π，2π，即可得五个点的横坐标(纵坐标分别为0,1,0，－1,0)．] 5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图像如图342所示，则ω＝________.图34232 [由题图可知，T 4＝2π3－π3＝π3， 即T ＝4π3，所以2πω＝4π3，故ω＝32.](对应学生用书第55页)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及变换已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图像作怎样的变换可得到f (x )的图像？【导学号：79140116】[解] (1)列表取值：xπ2 32π 52π 72π 92π 12x －π40 π2 π 32π 2π f (x )3－3(2)先把y ＝sin x 的图像向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图像．[规律方法] 函数y ＝A sinωx ＋φA ＞0，ω＞0的图像的作法,1五点法：用“五点法”作y ＝A sin ωx ＋φ的简图，主要是通过变量代换，令z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表得出五点坐标，描点，连线后得出图像.,2图像变换法：由函数y ＝sin x 的图像通过变换得到y ＝A sin ωx ＋φ的图像有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φω确定平移单位.[跟踪训练] (1)(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2 D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 (2)(2018·呼和浩特一调)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2向左平移π3个单位长度后得到的函数是一个偶函数，则φ＝________.(1)D (2)－π6 [(1)因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以曲线C 1：y ＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线y ＝cos 2x ，再把得到的曲线y ＝cos 2x 向左平移π12个单位长度，得到曲线y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.故选D ． (2)由题意得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ是一个偶函数，因此2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，即φ＝－π6＋k π(k ∈Z )．因为|φ|＜π2，所以φ＝－π6.]求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式(1)(2016·全国卷Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像如图343所示，则( )图343A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 (2)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( ) A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 (1)A (2)D [(1)由图像知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图像的一个最高点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A ．(2)由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最大值为4，最小值为0，可知b ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2.] [规律方法] 确定y ＝A sin ωx ＋φ＋b A ＞0，ω＞0的步骤和方法,1求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2.,2求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT.,3求φ：常用的方法有：,①代入法：把图像上的一个已知点代入此时A ，ω，b 已知或代入图像与直线y ＝b 的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上.,②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口.“第一点”即图像上升时与x 轴的交点时ωx ＋φ＝0；“第二点”即图像的“峰点”时ωx ＋φ＝π2；“第三点”即图像下降时与x 轴的交点时ωx ＋φ＝π；“第四点”即图像的“谷点”时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.[跟踪训练] (2017·石家庄一模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图像如图344所示，则f ⎝⎛⎭⎪⎫11π24的值为( )图344A ．－62 B ．－32 C ．－22D ．－1 D [由图像可得A ＝2，最小正周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－2，解得φ＝－5π3＋2k π(k ∈Z )，即k ＝1，φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1，故选D ．]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像与性质的应用(2018·合肥二检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求函数y ＝f (x )的图像的对称轴方程； (2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．[解] (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π，∴ω＝2πT＝2.于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，即函数f (x )的图像的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )．(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；同理其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.[规律方法] 三角函数图像与性质应用问题的求解思路,先将y ＝f x 化为y ＝A sin ωx ＋φ＋b 的形式，再借助y ＝A sin ωx ＋φ的图像和性质如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等解决相关问题. [跟踪训练] 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． [解] (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，则－1≤f (x )≤32.故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.三角函数模型的简单应用某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？【导学号：79140117】[解] (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＞11，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＜－12.又0≤t ＜24，因此7π6＜π12t ＋π3＜11π6，即10＜t ＜18.故在10时至18时实验室需要降温．[规律方法] 三角函数模型的实际应用类型及解题关键 1已知函数解析式，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系. 2函数解析式未知时，需把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模.3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图345A ．5B ．6C ．8D ．10C [根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.]。
函数y=Asin(ωx φ)的图象及应用 2019高考数学专项复习精讲
解析 分别令x- =0, ,π, π,2π,即可得五个点的横坐标(纵坐标分别为
6 2
3 2
0,1,0,-1,0).
考点突破
考点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
典例1 某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ) ω 0,| φ | 在某 2
T 4
解析 由题图可知, = - = ,
4 3 3 故ω= . 2
即T= ,所以 = ,
2 ω
4 3
2 3 3 3
6.用五点法作函数y=sin x 在一个周期内的图象时,主要确定的五个 6
点是
答案
、
、
、
、
.
2 7 5 13 , 0 , 1 ,0 ,1 ,0 ; ; ; ; 6 3 6 3 6
解析 (1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-6 ,数据补全如下表:
ωx+φ x Asin(ωx+φ) 0
π 12
π 2 π 3
π
7π 12
3π 2 5π 6
2π
13π 12
0
5
0
-5
0
2 x . 且函数解析式为f(x)=5sin 6
2
的. (√) (3)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的两条相邻对称轴间的距离为一个周期.
(×)ห้องสมุดไป่ตู้
(4)函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的两个相邻对称
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π π kπ－ ，kπ＋ 6 3 (k∈Z)． 故函数 f(x)的递增区间为 B组 能力提升
5π 11π 8 11．(2017·天津高考)设函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若 f ＝2，f 8 ＝0， 且 f(x)的最小正周期大于 2π，则( )
2 π A．ω＝ ，φ＝ 3 12 1 11π C．ω＝ ，φ＝－ 3 24 A
π x－ π π 2x－ 2 4 ＋ 3 ，故选 D.] 度，所得图像对应的函数为 y＝2sin 6 ＝2sin π π ωx＋ ，0 6 (ω∈N＋)图像的一个对称中心是 6 4．若函数 y＝cos ，则ω的最小值为( A．1 B．2 )
C．4 B [由题意知
D．8 πω π π ＋ ＝kπ＋ (k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N＋，所以ωmin＝2.] 6 6 2
π 2x＋ 3 y＝2sin 描点画图：
π － 6 0 0 0
π 12 π 2 1 2
π 3 π 0 07π 12 3π 2 －1 来自25π 6 2π 0 0
π ，0 10．已知函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ)(A ＞0， ω ＞0)的图像过点 P 12 ，图像上与点 P 最近的一个最高点是 π ，5 Q 3 . (1)求函数的解析式； (2)求函数 f(x)的递增区间． [解] π π － (1)依题意得 A＝5，周期 T＝4 3 12 ＝π，
课时分层训练(二十一)
一、选择题
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应用
A组 基础达标
π π 2x－ － ，π 3 在区间 2 1．(2017·沈阳三十一中月考)函数 y＝sin 上的简图是(
)
A
[令 x＝0，得 y＝sin
－
π π π － 3 3 ＝－ ，排除 B，D.由 f 3 ＝0，f 6 ＝0，排除 C.] 2 )
图 346 π 3π x＋ 4 ＋20(6≤x≤14) y＝10sin 8 [由图知 A＝10，b＝20，T＝2(14－6)＝16，所以ω＝ 2π π ＝ ，所 T 8
π 5π x＋φ ＋φ 3π 以 y＝10sin 8 ＋20，把点(10,20)代入，得 sin 4 ＝0，因为|φ|＜π，则φ可以取 ， 4 π 3π x＋ 4 ＋20，x∈[6,14]．] 所以这段曲线的函数解析式可以为 y＝10sin 8 8．电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜ π )的图像如图 347 所 2
π ＋φ π π ∴sin 3 ＝1， ＋φ＝2kπ＋ ，k∈Z， 3 2 π π π ∴φ＝2kπ＋ ，k∈Z.又∵0＜φ＜ ，∴φ＝ ， 6 2 6 π 100πt＋ 6 ， ∴I＝10sin 当 t＝ 1 秒时，I＝－5(安)．] 100
三、解答题 9．已知函数 y＝2sin 2x＋ π 3 .
π 2x＋ 3 ，将其图像向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到的函数为奇 5．(2018·云南二检)已知函数 f(x)＝sin 函数，则φ的最小值为( A. C. π 12 π 3 ) π B. 6 π D. 2 [由题意，得平移后的函数为 y＝sin 2(x－φ)＋ π π 2x＋ －2φ 3 ＝sin 3 ，则要使此函数为奇函数，则
1 示，则当 t＝ 秒时，电流强度是________安. 100 【导学号：79140119】
图 347 －5 ∴ω＝
T 4 1 1 [由图像知 A＝10， ＝ － ＝ ， 2 300 300 100
2π ＝100π，∴I＝10sin(100πt＋φ)． T
1 ，10 ∵图像过点 300 ， ∴10sin 100π× 1 ＋φ 300 ＝10，
π 2x＋ 1 6 的图像向右平移 个周期后，所得图像对应的函数为( 3．(2016·全国卷Ⅰ)将函数 y＝2sin 4 π 2x＋ 4 A．y＝2sin π 2x－ 4 C．y＝2sin D [函数 y＝2sin 2x＋ B．y＝2sin D．y＝2sin 2x＋ 2x－ π 3 π 3
π π 2x＋ 1 π 6 的周期为π，将函数 y＝2sin 6 的图像向右平移 个周期即 个单位长 4 4
π ，0 2π ∴ω＝ ＝2.故 y＝5sin(2x＋φ)，又图像过点 P 12 ， π π ＋φ π π ∴5sin 6 ＝0，由已知可得 ＋φ＝0，∴φ＝－ ， 6 6 π 2x－ 6 . ∴y＝5sin (2)由－ 得－ π π π ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z， 2 6 2
π π ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z， 6 3
(1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图像． [解] (1)y＝2sin 2x＋ π 3 的振幅 A＝2，
最小正周期 T＝
2π π ＝π，初相φ＝ . 2 3
π 2x＋ π 3 ＝2sin X. (2)令 X＝2x＋ ，则 y＝2sin 3 列表：
x X y＝sin X
B
π kπ π π －2φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝－ ＋ (k∈Z)，由φ＞0，得φ的最小值为 ，故选 B.] 3 2 6 6 二、填空题 6．若函数 f(x)＝ 3sin
ωx－
π π π 3 (ω＞0)的最小正周期为 ，则 f 3 ＝________. 2
π π π π ωx－ 4× － π 3 (ω＞0)的最小正周期为 ， 3 3 ＝0.] 0 [由 f(x)＝ 3sin 得ω＝4， 所以 f 3 ＝ 3sin 2 7．(2018·武汉调研)如图 346，某地一天 6—14 时的温度变化曲线近似满足函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(|φ| ＜π)，则这段曲线的函数解析式可以为________．
π π 2．函数 f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图像的相邻两支截直线 y＝2 所得线段长为 ，则 f 6 的值是( 2
【导学号：79140118】 A．－ 3 C．1 D B. 3 3
D. 3 π π π π π [由题意可知该函数的周期为 ，所以 ＝ ，ω＝2，f(x)＝tan 2x，所以 f 6 ＝tan ＝ 3.] 2 ω 2 3 )