定积分概念
《定积分的定义》课件
总结词：定积分具有线性性质、可加性、可减性、可 乘性和可除性。
详细描述：定积分具有一系列的性质，其中最重要的是 线性性质，即两个函数的和或差的积分等于它们各自积 分的和或差；其次，定积分具有可加性和可减性，即函 数在一个区间上的积分等于该区间左端点处的函数值与 区间长度乘积的一半减去右端点处的函数值与区间长度 乘积的一半；此外，定积分还具有可乘性和可除性，即 函数与常数的乘积的积分等于该常数乘以函数的积分， 函数除以常数的积分等于函数乘以该常数的倒数。这些 性质在求解定积分时非常有用。
功的计算
定积分可用于计算力在空间上所做的功，通过将力在空间上进行积 分得到总功。
电磁学中的应用
在电磁学中，电场强度和磁场强度是空间的函数，通过定积分可以 计算电场强度和磁场强度在空间上的分布。
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微积分基本定理的应用
总结词
微积分基本定理的应用非常广泛，它 为解决各种实际问题提供了重要的数 学工具。
详细描述
通过微积分基本定理，我们可以计算 各种函数的定积分，从而解决诸如面 积、体积、长度、平均值、极值等问 题。此外，它也是微分方程求解的重 要基础。
微积分基本定理的证明
总结词
微积分基本定理的证明涉及到了极限理论、实数性质等深奥的数学知识，是数学严谨性的一个典范。
详细描述
证明微积分基本定理需要利用极限的运算性质和实数完备性等数学知识。其证明过程体现了数学的严 谨性和逻辑性，是数学教学中的重要内容。同时，对于理解微积分的本质和深化数学素养具有重要意 义。
03
定积分的计算方法
直接法
总结词
直接计算定积分的基本方法
详细描述
直接法是计算定积分最基本的方法，它基于定积分的定义，通过将被积函数进行微分和 积分，然后进行计算。这种方法适用于一些简单的定积分计算，但对于一些复杂的定积
积分的定义求积分
积分的定义求积分积分是微积分中的一个重要概念，它表示对函数在某个区间上的累积效果。
在数学中，积分可以通过不同的方法进行求解，常见的方法有定积分、不定积分和线积分等。
下面分别介绍这些方法的定义和求积分的方式：1. 定积分：定积分是对函数在一个区间上的积分，它可以用来计算函数曲线下的面积。
定积分的定义如下：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，将[a, b]划分为n个小区间，每个小区间的长度为Δx，且Δx趋近于0。
在每个小区间上任取一点ξi，代入函数f(x)得到函数值f(ξi)，将这些函数值相乘并求和，得到的极限就是函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作∫[a, b]f(x)dx。
定积分的求解可以利用不同的数值方法，如矩形法、梯形法、辛普森法等。
2. 不定积分：不定积分是对函数的反导数运算，它可以用来求函数的原函数。
不定积分的定义如下：设函数f(x)在区间I上连续，且F(x)是它的一个原函数，即F'(x) = f(x)，则称F(x)为f(x)的一个不定积分，记作∫f(x)dx。
不定积分的求解可以利用一些基本积分公式和积分的性质，如线性性质、换元法、分部积分法等。
3. 线积分：线积分是对向量场沿着曲线的积分，它可以用来计算向量场在曲线上的累积效果。
线积分的定义如下：设曲线C为参数方程r(t)，t∈[a, b]，向量场F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，其中P、Q、R是C上的连续函数，曲线C的切向量为r'(t)。
则线积分的定义为∫C F(r) · dr = ∫[a, b] F(r(t)) · r'(t) dt。
线积分的求解可以利用参数方程对曲线进行参数化，并按照定义计算积分。
根据不同的积分类型和具体函数形式，可以选择适合的积分方法进行求解。
在实际应用中，还可以利用数值积分方法，如数值逼近和数值积分公式等，来求解无法通过解析求解的积分。
定积分的概念分析
定积分的概念分析定积分是微积分学中的重要概念之一，是对函数在一个闭区间上的加和运算。
它在物理学、经济学和工程学等领域有广泛的应用。
本文将对定积分的概念进行分析，并介绍一些相关性质和应用。
一、定积分的定义在介绍定积分的具体定义之前，先引入一些必要的概念。
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则将[a,b]等分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。
在每个小区间上任取一个点ξi，并设Δx的极限为0，这时ξi变成了[a,b]上的任意一点x。
那么，将每个小区间上的函数值f(ξi)与对应小区间宽度Δx的乘积相加，即可得到一个加和运算，这个加和运算就是函数f(x)在闭区间[a,b]上的定积分，记作∫[a,b]f(x)dx。
定积分可以理解为一个求和的动作，将函数在一个区间上的无穷多个微小部分的面积或者长度，加和成一个整体。
二、定积分的几何意义几何上，定积分可以理解为曲线与坐标轴之间的有符号面积。
具体而言，设函数f(x)在闭区间[a,b]上非负，那么函数f(x)的图像与x轴之间的面积就等于定积分∫[a,b]f(x)dx。
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上存在有负值的部分，那么对应的面积就具有有符号性，即正值部分与负值部分相互抵消。
三、定积分的性质1. 积分的线性性质：对于任意两个函数f(x)和g(x)，以及实数a和b，有∫[a,b](af(x) + bg(x))dx = a∫[a,b]f(x)dx + b∫[a,b]g(x)dx。
2. 积分的次序性：对于任意两个实数a和b，当a < b时，有∫[a,b]f(x)dx = -∫[b,a]f(x)dx。
3. 积分的区间可加性：对于任意三个实数a、b和c，当a < b < c 时，有∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx。
4. 积分的常数性质：当f(x)在闭区间[a,b]上连续时，有∫[a,b]dx = b - a。
定积分的含义和计算
定积分的含义和计算定积分是微积分中的一种重要概念，它表示在一定区间内的曲线与坐标轴之间的面积或者是一个变量随着另一个独立变量的变化而累积的结果。
在实际应用中，定积分可以用于求解曲线下面积、质量、体积、平均值等问题，具有广泛的应用价值。
一、定积分的定义设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，将区间[a,b]划分成n个小区间，其中第i个小区间的长度为Δxi，区间[a,b]的分割记为P={x0,x1,…,xi,xi+1,…,xn}，则Δxi表示第i个小区间的长度。
选取小区间中任意一点ξi，构造n个函数值f(ξi)，则这些函数值的乘积f(ξi)·Δxi表示第i个小区间的面积，将这些小区间的面积加和即可得到整个区间[a,b]的面积。
当n趋于无穷大时，得到了定积分的定义：∫(a,b)f(x)dx=lim(n→∞)Σf(ξi)·Δxi其中f(ξi)表示小区间内其中一点的函数值，Δxi表示小区间的长度。
∫(a,b)f(x)dx表示在区间[a,b]上函数f(x)的定积分。
二、定积分的计算要计算一个函数的定积分，常用的方法有两种：几何方法和代数方法。
1.几何方法：利用几何图形的面积来计算函数的定积分。
将曲线与坐标轴围成的图形分为一些几何图形，计算这些图形的面积，然后将这些面积相加即可得到函数的定积分。
具体的步骤如下：（1）根据函数的特点，找到在区间[a,b]上函数的拐点，划分为多个子区间。
（2）对于每个子区间，确定曲线与坐标轴之间所构成的几何图形的公式。
（3）计算每个子区间的几何图形的面积。
（4）将各个子区间的面积相加，得到整个区间[a,b]上函数的定积分。
2.代数方法：利用微积分的基本公式和性质，将函数的定积分转化为求导或者函数原函数的问题，从而进行计算。
常用的方法有不定积分和定积分的基本性质以及换元积分法和分部积分法。
（1）基本性质：定积分具有线性性、界性、可加性、可换项性。
线性性：∫(a,b)(f(x)+g(x))dx=∫(a,b)f(x)dx+∫(a,b)g(x)dx界性：若f(x)≤g(x)，对于a≤x≤b，那么∫(a,b)f(x)dx≤∫(a,b)g(x)dx可加性：若f(x)在区间[a,b]上有定义，那么∫(a,c)f(x)dx+∫(c,b)f(x)dx=∫(a,b)f(x)dx可换项性：若f(x)在区间[a,b]上有定义，那么∫(a,b)f(x)dx=∫(a,c)f(x)dx+∫(c,b)f(x)dx（2）换元积分法：根据链式法则，将复杂的定积分转化为简单的定积分。
高数定积分概念与性质
2. 右矩形公式
ba n
( y0
y1
yn1)
ab f (x)dx y1x y2x ynx
ba n
(
y1
y2
yn
)
3. 梯形公式
ab f (x) dx
y
n1 i1
1[ 2
yi1
yi ]x
O a xi1xi
bx
b
n
a
1 2
i2xi
i2 n3
且只有有限个间断点
(证明略)
y
y x2
O
i 1x
n
n
i1
f
(i )xi
1 n3
n
i2
i1
1 n3
1 n(n 1)(2n 1) 注 6
注. 当n 较大时, 此值可作为
1 (1 1)(2 1) 6n n
01 x2 dx 的近似值
n k 0
nn 0
O12
nn
(n1) π π x
n
n1 1 x
n
思考: 如何用定积分表示下述极限
提示:
I lim 1 n sin k π π n π k 1 n n
lim 1 sin n π lim 1 sin (n 1) π
n n n n n
n
1
1
0 f (x) dx 0
1
1
即 0 x dx 0 ln (1 x) dx
作业
P235 *2 (2) ; 6 ; 7 ; 10 (3) , (4) ; 12(3) ; 13 (1) , (5)
积分与定积分概念
积分与定积分概念积分和定积分是微积分中非常重要的概念，它们在各个领域都有着广泛的应用。
本文将介绍积分和定积分的概念、性质以及在实际问题中的应用。
一、积分的概念积分是微积分中的一个基本概念，它是求解曲线下面积的一种方法。
对于一个函数f(x)，它的积分可以用∫f(x)dx表示，其中∫是积分符号，f(x)是被积函数。
积分的结果可以看作是函数f(x)在某个区间上的“累积”。
二、定积分的概念定积分是积分的一种特殊形式，它是从a到b的区间上的积分。
定积分可以用∫[a,b]f(x)dx表示，其中[a, b]表示积分的区间。
定积分的结果是一个具体的数值，代表了函数f(x)在[a, b]区间上的累积值。
三、积分与定积分的性质1. 积分的线性性质：对于两个函数f(x)和g(x)，以及一个标量k，有∫(kf(x) + g(x))dx = k∫f(x)dx + ∫g(x)dx。
这个性质可以简化积分的计算过程。
2. 定积分与导数的关系：如果函数F(x)是函数f(x)的一个原函数（即F'(x) = f(x)），那么∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。
这个性质可以用来求解定积分的值。
3. 定积分的区间可加性：如果函数f(x)在[a, c]和[c, b]上都是可积的，那么∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx。
这个性质可以将一个区间上的积分分解成两个子区间上的积分。
四、积分在实际问题中的应用1. 曲线下面积：积分可以用来计算曲线与x轴之间的面积。
例如，在物理学中，利用定积分可以求解物体的位移、速度等问题。
2. 几何体的体积：积分可以用来计算几何体的体积。
例如，在工程学中，利用定积分可以求解复杂形状的建筑物的体积。
3. 概率密度函数：积分可以用来计算概率密度函数下的概率。
在统计学中，利用定积分可以计算出某个区间内随机变量的概率。
总结：积分和定积分是微积分中的重要概念，它们可以用来求解函数的累积值、曲线下的面积等实际问题。
定积分的概念
性质4：（积分的可加性）
对任意的c，则一定有
b a
f
(
x)dx
c a
f
(x)dx
b c
f
(
x)dx
小结
定积分的实质：特殊和式的极限．
定积分的思想和方法：
分割 求和 取极限
化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
积零为整
取极限
精确值——定积分
定积分的几何意义：
练习题
一、 填空题：
1、函数 f ( x) 在 a , b 上的定积分是积分和的极限， n 即 b f ( x)dx ____li_m0_i_1_f_(__i )__x_i ___ . a
将和式极限：
lim
n
1 n
sin
n
sin
2 n
sin
(
n
1) n
表示成定积分.
思考题解答
原式
lim
n
1 n
sin
n
sin
2 n
sin
(n
1) n
sin
n n
lim 1 n sin i
n n i1 n
1
lim
n
n i 1
sin
i n
n
1
sin xdx.
0
i xi
作业
3.定积分 2 (x2 1)dx 2
0
4.
y
f (x) 在 a, b 上连续，则定积分
b
f (x)dx 的值
A
a
A.与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关
C.与积分变量用何字母表示有关；D.与被积函数的形式无关
定积分概念、性质(1)
◆定积分的基本性质
1
b
a
f
x
g
x
dx
b
a
f
x dx
b
a
g
xdx
可推广至有限个函数的代数和的情形。
2
b
a
k
f
x dx
k
b
a
f
x dx
3
b
a
f
x
dx
c
a
f
x dx
b
c
f
x dx
·a ·c ·b ·b ·a ·c
c
b
f
xdx
a
b
f
xdx
c
a
f
xdx
无论 a, b, c 的相对位置如何，（3）式均成立。
dx
2 0
sin
x
cos
x
dx
cos x sin x2 0 1 1 0 2 0
x 1, x 1
8 设
f
x
1 2
x2,
x
1
，求 2 f x dx 0
a
a
因 f (x) f (x) f (x)
性质6（介值定理）：设f(x)在[a,b]上可取得最大值M和
最小值m， 于是， 由性质5有
b
m(b a) a f (x)dx M (b a)
几何意义也很明显
性质7 （积分中值定理）：若函数f (x)在[a,b]上连续，
则至少存在一点 [a,b]使得
0
(1 3
x3 )
1 0
1 3
变：（2 x 1）dx 1
计算定积分 b f（x）dx a
a 0,b 2, f (x) x3
31定积分概念
27
( 3) 求和 : 得到面积 A的一个近似值 ⇒
A = ∑ ∆Ak ≈ ∑ f (ξ k )∆x k
k =1 k =1
n
n
k 1 = ∑ 1 + 2 ⋅ = n n k =1
第三章 一元函数积分学及其应用
定 积 分 的 应 用 反 常 积 分 定 积 分 的 计 算 不 定 积 分 本 定 理 微 积 分 基 本 公 式 与 基
G.F.B.Riemann(1826-1866)
条 件 与 性 质
定 积 分 的 概 念 、 存 在
第三章 一
元 函 数 积 分 学 及 其 应 用
λ = max { ∆ t k }
1≤ k ≤ n n
S = lim ∑ f (ξ k )∆t k .
λ →0
k =1
许多类似的实际问题： 许多类似的实际问题：“求一个整体量 ——To integrate ” ，最终在数学上都归 结为: 求一种特殊结构的和式的极限—— 结为 求一种特殊结构的和式的极限 此极限值就是所谓的定积分。 此极限值就是所谓的定积分。
Integration and its Applications in One Variable
1
本 章 内 容
定积分(Definite Integrals)概念性质 定积分 概念性质 微积分学基本定理(Newton-Leibniz) 微积分学基本定理 不定积分的概念及与定积分的关系 积分的计算——两大基本积分法 两大基本积分法 积分的计算 反常积分(Improper Integrals) 反常积分 定积分的应用(微元法研究函数整体性态 定积分的应用 微元法研究函数整体性态) 微元法研究函数整体性态
定积分的定义与计算
定积分的定义与计算定积分是微积分中的一个重要概念，被广泛应用于各个领域的数学分析和工程实践中。
本文将简要介绍定积分的定义和计算方法，并探讨其在实际问题中的应用。
一、定积分的定义定积分是将一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)的值进行“求和”的操作。
具体来说，我们将区间[a, b]进行分割，将每个小区间的长度取得越来越小，然后在每个小区间上找出一个代表点，将函数在该点的值与小区间的长度相乘，再将这些乘积相加起来，即可得到函数f(x)在区间[a, b]上的定积分。
数学表示上，定积分可以用符号∫来表示，即∫[a,b]f(x)dx，意思是对函数f(x)在区间[a, b]上求积分。
其中，dx表示积分的变量，a和b表示积分的下限和上限。
二、定积分的计算方法1. 基本积分法基本积分法是定积分计算中常用的一种方法。
根据函数f(x)的不同形式，我们可以采用不同的积分公式来计算定积分。
一些常见的函数形式如下：- 多项式函数：一般多项式函数的定积分就是多项式各项的积分之和。
例如，对于f(x) = ax^n，其中a和n为常数，我们可以利用基本积分公式∫x^n dx = (1 / (n + 1)) * x^(n + 1) 来计算定积分。
- 三角函数：三角函数的定积分可以利用一些特定的公式来计算。
例如，对于f(x) = sin(x)，我们可以利用基本积分公式∫sin(x) dx = -cos(x) + C 来计算定积分，其中C为常数。
- 指数函数和对数函数：指数函数和对数函数的定积分也有一些特定的计算公式。
例如，对于f(x) = e^x，我们可以利用基本积分公式∫e^x dx = e^x + C 来计算定积分，其中C为常数。
2. 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是另一种常用的定积分计算方法。
该公式表明，如果一个函数F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)在区间[a, b]上的定积分可以通过计算原函数在区间端点的值之差得到，即∫[a,b]f(x)dx = F(b) -F(a)。
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§1.5.3 定积分的概念
编写：齐洪震 审阅：高二数学组
【目标引领】
1.了解定积分的概念,会通过四步曲求连续函数的定积分;
2.了解定积分的几何意义及性质. 【自学探究】
（1）． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，
（2）． 对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 【合作解疑】 1．定积分的概念
如果函数()x f 在区间[]b a ,上 ，用分点01
1
i i n a x x x
x x
b
-=<<<<<<= 将区间[]b a ,等分成n 个小区间，在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点()n i i ,3,2,1=ξ，作和式：()x f n
i i ∆∑=1ξ= 当∞→n 时，上述和式无限接近某个常数，这个常
数叫做函数()x f 在区间[]b a ,上的 ，记做()dx x f b
a
⎰。
即
()()i n
i n b
a
f n
a b dx x f ξ-∑
==∞→⎰
1
lim
其中函数()f x 叫做 ，x 叫做 变量，区间[,]a b 为 区间，b 叫积分 ，叫a 积分 。
说明：（1） 定积分()b
a f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞
时）称为()b a
f x dx ⎰
，而不是n S ．定积分()b
a
f x dx ⎰的值只与被积函数()f x 及被积区间
[,]a b 有关，而与积分变量所用的符号无关，即定积分()b a
f x dx ⎰是一个常数，当被积函数()f x 及被积区间[,]a b 给定后，这个数便是确定的，它除了不依赖于定义中的对区间[,]
a b 的分法和i ξ的取法外，也不依赖于()b a
f x dx ⎰中的积分变量，即()b a
f x dx ⎰＝()b
a
f t dt ⎰。
（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1
()n
i i b a f n
ξ=-∑
；
④取极限：()
1
()lim n
b
i a
n i b a f x dx f n
ξ→∞
=-=∑⎰
（3）曲边图形面积：()b a
S f x dx =
⎰
；变速运动路程2
1
()t t S v t dt =
⎰
；
变力做功 ()b
a
W F r dr =
⎰
2．定积分的几何意义
（2）用定积分表示下图中阴影的面积
说明：一般情况下，定积分()b
a f x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及
直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．
分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。
考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆++∆ 不妨设1(),(),,()0i i n f x f x f x +<
于是和式即为
()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -∆+∆++∆--∆++-∆
()b
a f x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）
3．定积分的性质 性质1 1b a dx =⎰
性质2 ()b a kf x dx =⎰ （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质） 性质3
12[()()]b a
f x f x dx ±=⎰
（定积分的线性性质）
性质4
()()b
c
a
a
f x dx f x dx =
+⎰
⎰
()a c b <<其中（定积分对积分
区间的可加性）
说明：①推广：1212[()()()]()()()b
b b b m m a a
a
a
f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=
±
±±
⎰⎰
⎰
⎰
②推广:121
()()()()k
b
c c b a
a
c c f x dx f x dx f x dx f x dx =
+
++
⎰⎰
⎰
⎰
③性质解释：
4.从几何意义角度区分
(),(),()
b b b
a a a
f x dx f x dx f x dx
⎰⎰⎰
【精讲点拨】
例1.利用定积分定义计算下列各式，并用几何意义检验：
（1）2
1
(1)
x dx
+
⎰（2）2
2
(1)
x dx
-
+
⎰（3）1
xdx
⎰（4）13
x dx
⎰
例2．利用定积分几何意义求：
（1）
2
2
-
⎰（2）
⎰
【训练巩固】
AM N B AM PC C PN B
S S S
=+
曲边梯形曲边梯形曲边梯形
1、定积分⎰b
a
cdx （c 为常数）的几何意义是
2、（1）由y=sinx, x=0,x=2
π
,y=0所围成图形的面积写成定积分的形式是
（2
）由0,2y y ==
=所围成图形的面积写成定积分的形式是
（2）由22,y x x y =-=所围成图形的面积写成定积分的形式是 3、定积分⎰b
a dx x f )(的大小 （ ）
A 、与)(x f 和积分区间[]b a ,有关，与i ξ的取法无关
B 、与)(x f 有关，与区间[]b a ,及i ξ的取法无关
C 、与)(x f 和i ξ的取法有关，与积分区间[]b a ,无关
D 、与)(x f 、区间[]b a ,和i ξ的取法都有关 4、下列等式成立的个数是（ ） ①⎰⎰
=
1
01
)()(dx x f dt t f ②dx x dx x xdx ⎰
⎰⎰=
+
π
π
ππ
2
20sin sin
sin
③dx x dx x a a
a
⎰⎰
=-0
2 ④⎰
⎰
<
-2
2
2
24dx dx x
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4 5、计算下列定积分
（1）2
1(1)x dx +⎰； （2）22
x dx -⎰
；
（3
）a a
-⎰（0a >）
； （4）()40
f x dx ⎰
其中(),01
1,134,34x x f x x x x ≤<⎧⎪
=≤≤⎨⎪-<≤⎩
*6、思考题：你能使用定积分计算出椭圆
()222
2
10x y a b a
b
+
=>>的面积吗？
（由
()222
2
10x y a b a
b
+
=>>解出椭圆在x 轴上方部分曲线的函数表达式（此时0y ≥），
然后根据定积分性质1以及上面第5题（3）的结果可求出椭圆在x 轴上方部分的面积）。